專題37求曲線的軌跡方程【考點預(yù)測】曲線的方程和方程的曲線在直角坐標(biāo)系中，如果是某曲線（看作適合某種條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：（1）曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解（完備性）（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點（純粹性）那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫方程的曲線．事實上，曲線可以看作一個點集，以一個二元方程的解作為坐標(biāo)的點也組成一個點集，上述定義中【方法技巧與總結(jié)】一．直接法求動點的軌跡方程利用直接法求動點的軌跡方程的步驟如下：（1）建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（2）設(shè)點：設(shè)軌跡上的任一點（3）列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式（4）代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為的方程式化簡（5）證明（一般省略）：證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程（對某些特殊值應(yīng)另外補(bǔ)充檢驗）．簡記為：建設(shè)現(xiàn)代化，補(bǔ)充說明．注：若求動點的軌跡，則不但要求出動點的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線．二．定義法求動點的軌跡方程回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動點和滿足焦點標(biāo)志的定點連起來判斷．熟記焦點的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點；（2）標(biāo)記為的點；（3）圓心；（4）題目提到的定點等等．當(dāng)看到以上的標(biāo)志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結(jié)合曲線定義求解軌跡方程．三．相關(guān)點法求動點的軌跡方程如果動點的運(yùn)動是由另外某一點的運(yùn)動引發(fā)的，而該點的運(yùn)動規(guī)律已知，（該點坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程．四．交軌法求動點的軌跡方程在求動點的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常常可以先解方程組得出交點（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等為參數(shù)．五．參數(shù)方程法求動點的軌跡方程動點的運(yùn)動主要是由于某個參數(shù)的變化引起的，可以選參、設(shè)參，然后用這個參數(shù)表示動點的坐標(biāo)，即，再消參.六．點差法求動點的軌跡方程圓錐曲線中涉及與弦的中點有關(guān)的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點的坐標(biāo)滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點的軌跡方程．【題型歸納目錄】題型一：直接法題型二：定義法題型三：相關(guān)點法題型四：交軌法題型五：參數(shù)法題型六：點差法題型七：立體幾何與圓錐曲線的軌跡題型八：復(fù)數(shù)與圓錐曲線的軌跡題型九：向量與圓錐曲線的軌跡題型十：利用韋達(dá)定理求軌跡方程【典例例題】題型一：直接法例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點P是橢圓上任意一點，過點P作x軸的垂線，垂足為M，則線段PM的中點的軌跡方程為______．【方法技巧與總結(jié)】如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系且這些幾何簡單明了且易于表達(dá)，那么只需把這些關(guān)系“翻譯”成含的等式，就可得到曲線的軌跡方程，由于這種求軌跡方程的過程不需要其他步驟，也不需要特殊的技巧，所以被稱為直接法．例2．（2023·河南河南·模擬預(yù)測（理））已知平面上的動點到點和的距離之比為，則點到軸的距離最大值為_____.例3．（2023·全國·高三課時練習(xí)）已知點到定點的距離比它到x軸的距離大．(1)求點P的軌跡C的方程；例4．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知平面直角坐標(biāo)系中有兩點，且曲線上的任意一點P都滿足．求曲線的軌跡方程并畫出草圖；例5．（2023·湖南湘潭·高三開學(xué)考試）已知兩點的坐標(biāo)分別為，直線的交點為，且它們的斜率之積．求點的軌跡的方程;題型二：定義法例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定點A（1，1）和直線L：x+y-2=0，那么到定點A和到定直線L距離相等的點的軌跡為（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．直線【方法技巧與總結(jié)】若動點的軌跡符合某一已知曲線（圓，橢圓，雙曲線，拋物線）的定義，則可根據(jù)定義直接求出方程中的待定系數(shù)，故稱待定系數(shù)法．例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，動圓與圓外切，且與定直線相切，設(shè)動點的軌跡為．求的方程；例8．（2023·江西南昌·三模（理））已知兩條直線：，：，有一動圓（圓心和半徑都在變動）與，都相交，并且，被截在圓內(nèi)的兩條線段的長度分別是定值，，則動圓圓心的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．直線例9．（2023·上海市大同中學(xué)高三開學(xué)考試）已知定點和定圓，動圓和圓外切，且經(jīng)過點，求圓心的軌跡方程_______例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)動圓與軸相切且與圓:相外切,則動圓圓心的軌跡方程為______.例11．（2023·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期末）已知圓：和圓：，動圓M同時與圓及圓外切，則動圓的圓心M的軌跡方程為______.例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））設(shè)圓的圓心為A，直線過點且與軸不重合，交圓A于兩點，過作的平行線交于點．證明為定值，并寫出點E的軌跡方程；例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是圓上的動點，是線段上一點，，且，求點的軌跡的方程例14．（2023·河南鄭州·高三階段練習(xí)（理））如圖，已知圓的方程為，圓的方程為，若動圓與圓內(nèi)切與圓外切．求動圓圓心的軌跡的方程；例15．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測）已知圓與圓：外切，同時與圓：內(nèi)切.說明動點的軌跡是何種曲線，并求其軌跡方程；例16．設(shè)圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，交圓于，兩點，過作的平行線交于點，求點的軌跡方程．題型三：相關(guān)點法例17．（2023·全國·高三課時練習(xí)）設(shè)分別是直線和上的動點，且滿足，則的中點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】有些問題中，所求軌跡上點的幾何條件是與另一個已知方程的曲線上點相關(guān)聯(lián)的，這時要通過建立這兩點之間關(guān)系，并用表示，再將代入已知曲線方程，即得關(guān)系式．例18．（2023·全國·高三課時練習(xí)）已知的頂點，，頂點A在拋物線上運(yùn)動，則的重心G的軌跡方程為______．例19．（2023·全國·高三課時練習(xí)）當(dāng)點P在圓上變動時，它與定點的連線PQ的中點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．例20．（2023·全國·高三課時練習(xí)）已知A、B分別是直線和上的兩個動點，線段AB的長為，P是AB的中點．求動點P的軌跡C的方程．題型四：交軌法例21．（2023·四川涼山·高三期末（理））設(shè)橢圓的上、下頂點分別為A、B，直線與橢圓交于兩點M、N，則直線AM與直線BN的交點F一定在下列哪種曲線上（

）A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓【方法技巧與總結(jié)】在求動點的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常?？梢韵冉夥匠探M得出交點（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等為參數(shù)．例22．（多選題）（2023·江蘇·南京市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓C：（）的離心率為，過點P（1，1）的直線與橢圓C交于A，B兩點，且滿足.動點Q滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．動點Q的軌跡方程為C．線段OQ（O為坐標(biāo)原點）長度的最小值為D．線段OQ（O為坐標(biāo)原點）長度的最小值為例23．（2023·北京市朝陽區(qū)人大附中朝陽分校高三階段練習(xí)）在矩形中，，把邊分成等份，在的延長線上，以的分之一為單位長度連續(xù)取點.過邊上各分點和點作直線，過延長線上的對應(yīng)分點和點A作直線，這兩條直線的交點為，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則點滿足的方程是___________.例24．（河北省邢臺市名校聯(lián)盟2022屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）已知、為橢圓C：的左右頂點，直線與C交于兩點，直線和直線交于點.求點的軌跡方程.例25．（2023·河南·新蔡縣第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知反比例函數(shù)的圖像C是以x軸與y軸為漸近線的等軸雙曲線.(1)求雙曲線C的頂點坐標(biāo)與焦點坐標(biāo)；(2)設(shè)?為雙曲線C的兩個頂點，點?是雙曲線C上不同的兩個動點.求直線與交點的軌跡E的方程；例26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，，過直線l：左側(cè)且不在x軸上的動點P，作于點H，的角平分線交x軸于點M，且，記動點P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)已知曲線C與x軸正半軸交于點，過點的直線交C于A，B兩點，，點T滿足，其中，證明：.例27．（2023·全國·模擬預(yù)測（文））設(shè)拋物線C：，過點的直線l與C交于A，B兩點，分別過點A，B作拋物線的切線，兩切線相交于點P，求點P的軌跡方程；例28．（2023·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的離心率為2，，為雙曲線C的左、右焦點，是雙曲線C上的一個點．(1)求雙曲線C的方程；(2)若過點且不與漸近線平行的直線l（斜率不為0）與雙曲線C的兩個交點分別為M，N，記雙曲線C在點M，N處的切線分別為，，點P為直線與直線的交點，試求點P的軌跡方程（注：若雙曲線的方程為，則該雙曲線在點處的切線方程為）例29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)點，為直線上一動點，過點作拋物線的兩條切線，，其中，為切點，求直線的方程，并證明直線過定點；(3)過（2）中的點的直線交拋物線于，兩點，過點，分別作拋物線的切線，，求，交點滿足的軌跡方程．例30．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）雙曲線的實軸為，點是雙曲線上的一個動點，引，，與的交點為，求點的軌跡方程.例31．（2023·全國·高三課時練習(xí)）已知點、以及直線，設(shè)長為的線段在直線l上移動（如圖所示），求直線和的交點M的軌跡方程．題型五：參數(shù)法例32．（2023·新疆·皮山縣高級中學(xué)高三期末（文））已知，，當(dāng)時，線段的中點軌跡方程為（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】有時不容易得出動點應(yīng)滿足的幾何條件，也無明顯的相關(guān)點，但卻較容易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）該動點常常受到另一個變量（角度，斜率，比值，解距或時間等）的制約，即動點坐標(biāo)中的分別隨另一變量的變化而變化，我們稱這個變量為參數(shù)，由此建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法．例33．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））已知曲線和直線l：y=kx(k≠0)，若C與l有兩個交點A和B，求線段AB中點的軌跡方程.例34．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高三期末（理））已知兩條動直線與（，為參數(shù)）的交點為.求點的軌跡的方程；例35．（2023·北京市第五十七中學(xué)高三期中）P是圓上的動點，P點在x軸上的射影是D，點M滿足.(1)求動點M的軌跡C的方程；(2)過作弦且弦被Q平分，求此弦所在的直線方程及弦長；(3)過點的直線l與動點M的軌跡C交于不同的兩點A，B，求以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點E的軌跡方程.例36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l1：y＝k1x和l2：y＝k2x與拋物線y2＝2px（p＞0）分別相交于A，B兩點（異于原點O）與直線l：y＝2x+p分別相交于P，Q兩點，且．求線段AB的中點M的軌跡方程；例37．（2023·江蘇·周市高級中學(xué)高三階段練習(xí)）已知直線與坐標(biāo)軸的交點分別為A，B，則線段的中點C的軌跡與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積為（

）A． B． C． D．例38．（2023·全國·高三課時練習(xí)）已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓的半徑為，記是以曲線與坐標(biāo)軸的交點為頂點的橢圓．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)AB是過橢圓中心的任意弦，l是線段AB的垂直平分線，M是l上異于橢圓中心的點，(O為坐標(biāo)原點，)，當(dāng)點A在橢圓上運(yùn)動時，求點M的軌跡方程．題型六：點差法例39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點的軌跡方程為_________________．【方法技巧與總結(jié)】圓錐曲線中涉及與弦的中點有關(guān)的軌跡問題可用點差法．例40．（2023·全國·高三課時練習(xí)）斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點的軌跡方程是______．例41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的弦所在直線過點，求弦中點的軌跡方程.例42．（2023·上海市行知中學(xué)高三開學(xué)考試）已知曲線上一動點到兩定點，的距離之和為，過點的直線與曲線相交于點，．(1)求曲線的方程；(2)動弦滿足：，求點的軌跡方程；例43．（2023·全國·高三期中）（1）若雙曲線的一條漸近線方程為，且兩頂點間的距離為6，求該雙曲線方程．（2）一組平行直線與橢圓相交，求弦的中點的軌跡方程．例44．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知橢圓，，是橢圓上的兩個不同的點.（1）若點滿足，求直線的方程；（2）若，的坐標(biāo)滿足，動點滿足(其中為坐標(biāo)原點)，求動點的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；題型七：立體幾何與圓錐曲線的軌跡例45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，E為的中點，F(xiàn)為底面ABCD上一動點，且EF與底面ABCD所成的角為．若該正方體外接球的表面積為，則動點F的軌跡長度為（

）．A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】利用坐標(biāo)法解決．例46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，點是平面外一定點，過作平面的斜線斜線與平面所成角為．若點在平面內(nèi)運(yùn)動，并使直線與所成角為則動點的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線的一支例47．（2023·北京市第十三中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，正方體中，為底面上的動點，且于，且，則點的軌跡是（

）A．線段 B．圓弧C．拋物線的一部分 D．以上答案都不對例48．（多選題）（2023·廣東·大埔縣虎山中學(xué)模擬預(yù)測）如圖所示，在棱長為2的正六面體中，O為線段的中點（圖中未標(biāo)出），以下說法正確的有（

）．A．線段CD中點為E，則直線OE與平面所成角的正弦值為．B．在線段上取靠近B點的三等分點F，則直線與直線不共面．C．在平面上存在一動點P，滿足，則P點軌跡為一橢圓．D．在平面上存在一動點Q，點Q到點O的距離和點Q到直線AB的距離相等，則點Q的軌跡為拋物線，其準(zhǔn)線到焦點的距離為．題型八：復(fù)數(shù)與圓錐曲線的軌跡例49．（2023·河南開封·高三階段練習(xí)（文））已知為虛數(shù)單位，且，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）利用坐標(biāo)法解決．（2）利用復(fù)數(shù)幾何意義例50．（多選題）（2023·重慶一中高一期末）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對應(yīng)的點為Z，則下來說法正確的有（

）A．若，則Z在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為圓B．若，則Z在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為橢圓C．不可能存在復(fù)數(shù)z同時滿足和D．若，則的取值范圍為[8，10]例51．（2023·上海市徐匯中學(xué)高三期末）如果復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡是（

）A．直線 B．橢圓 C．線段 D．圓例52．（2023·全國·高一課時練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡是___________．例53．（2023·江西贛州·高三期末（文））設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡方程為___________.題型九：向量與圓錐曲線的軌跡例54．（2023·全國·高三課時練習(xí)）已知，，O為坐標(biāo)原點，動點滿足，其中，且，則動點P的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）利用坐標(biāo)法解決．（2）利用向量幾何意義例55．（2023·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知向量，是單位向量，若，且，則的取值范圍是___________．例56．（2023·全國·高三課時練習(xí)）設(shè)過點的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點，點Q與點P關(guān)于y軸對稱，O為坐標(biāo)原點．若，且，則點P的軌跡方程是______．例57．（2023·陜西師大附中高一期中）已知向量，，，滿足，與的夾角為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．例58．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(1)設(shè)動點滿足：，其中，是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．(2)設(shè)動點滿足：，其中，是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在點，使得點到的距離與到直線的距離之比為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．例59．（2023·重慶八中高三階段練習(xí)）拋物線的焦點為F，P在拋物線C上，O是坐標(biāo)原點，當(dāng)與x軸垂直時，的面積為1.(1)求拋物線C的方程；(2)若A，B都在拋物線C上，且，過坐標(biāo)原點O作直線的垂線，垂足是G，求動點G的軌跡方程.例60．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面上一定點和直線l：x=8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且·=0．求動點P的軌跡方程；題型十：利用韋達(dá)定理求軌跡方程例61．（2023·全國·高三課時練習(xí)）設(shè)橢圓的方程為，斜率為1的動直線交橢圓于A，B兩點，以線段的中點為圓心，為直徑作圓，圓心的軌跡方程為______．【方法技巧與總結(jié)】聯(lián)立直線與曲線方程得出兩根之和與之積關(guān)系，再進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例62．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)不同的兩點A，B在橢圓上運(yùn)動，以線段AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點O，過O作，M為垂足．求點M的軌跡方程.例63．（2023·浙江·杭州市富陽區(qū)場口中學(xué)高三期末）已知橢圓C的離心率為，其焦點是雙曲線的頂點.(1)寫出橢圓C的方程；(2)直線l：與橢圓C有唯一的公共點M，過點M作直線l的垂線分別交x軸?y軸于，兩點，當(dāng)點M運(yùn)動時，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.例64．（2023·廣東·高三階段練習(xí)）已知橢圓的離心率是，其左、右頂點分別是、，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點、是橢圓上異于、的不同兩點，設(shè)點是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個交點，記線段的中點為，若，求動點的軌跡方程．例65．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓上，且點A是橢圓短軸的一個端點（點A在y軸正半軸上）.（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點，試求直線BC的方程;（2）若角A為，AD垂直BC于D，試求點D的軌跡方程.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·江蘇省木瀆高級中學(xué)模擬預(yù)測）復(fù)平面中有動點Z，Z所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足，則動點Z的軌跡為（

）A．直線 B．線段 C．兩條射線 D．圓2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正三角形OAB的邊長為1，動點C滿足，且，則點C的軌跡是（

）A．線段 B．直線 C．射線 D．圓3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）四邊形為梯形，且，，，點是四邊形內(nèi)及其邊界上的點.若，則點的軌跡的長度是（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的軌跡為（

）A．線段 B．直線C．橢圓 D．橢圓的一部分5．（2023·河南安陽·高三開學(xué)考試（文））平面上到兩條相交直線的距離之和為常數(shù)的點的軌跡為平行四邊形，其中這兩條相交直線是該平行四邊形對角線所在的直線.若平面上到兩條直線，的距離之和為2的點P的軌跡為曲線，則曲線圍成的圖形面積為（

）A． B． C． D．6．（2023·河南·鄭州四中高三階段練習(xí)（理））下列四個命題中不正確的是（

）A．若動點P與定點、連線PA、PB的斜率之積為定值，則動點P的軌跡為雙曲線的一部分．B．設(shè)m，，常數(shù)，定義運(yùn)算“*”：，若，則動點的軌跡是拋物線的一部分．C．已知兩圓、圓，動圓M與圓A外切、與圓B內(nèi)切，則動圓的圓心M的軌跡是橢圓．D．已知，，，橢圓過A，B兩點且以C為其一個焦點，則橢圓的另一個焦點的軌跡為雙曲線．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體的棱長為分別是棱?的中點，點為底面四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動點，若直線與平面無公共點，則點的軌跡長度為（

）A．2 B． C． D．8．（2023·安徽·合肥一中模擬預(yù)測（文））首鋼滑雪大跳臺是冬奧史上第一座與工業(yè)舊址結(jié)合再利用的競賽場館，它的設(shè)計創(chuàng)造性地融入了敦煌壁畫中飛天的元素，建筑外形優(yōu)美流暢，飄逸靈動，被形象地稱為雪飛天．中國選手谷愛凌和蘇翊鳴分別在此摘得女子自由式滑雪大跳臺和男子單板滑雪大跳臺比賽的金牌．雪飛天的助滑道可以看成一個線段和一段圓弧組成，如圖所示.假設(shè)圓弧所在圓的方程為，若某運(yùn)動員在起跳點以傾斜角為且與圓相切的直線方向起跳，起跳后的飛行軌跡是一個對稱軸在軸上的拋物線的一部分，如下圖所示，則該拋物線的軌跡方程為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023·福建省福州第一中學(xué)三模）已知曲線C是平面內(nèi)到定點和定直線的距離之和等于4的點的軌跡，若在曲線C上，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線C關(guān)于x軸對稱 B．曲線C關(guān)于y軸對稱C． D．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：(>0)的焦點F與圓的圓心重合，直線與C交于兩點，且滿足：(其中O為坐標(biāo)原點且A、B均不與O重合)，則(

)A． B．直線恒過定點C．A、B中點軌跡方程： D．面積的最小值為1611．（2023·福建·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線的右支上，若，的面積為，則下列選項正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若為銳角三角形，則D．若的重心為，隨著點的運(yùn)動，點的軌跡方程為12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知、兩點的坐標(biāo)分別是，，直線、相交于點，且兩直線的斜率之積為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時，點的軌跡圓（除去與軸的交點）B．當(dāng)時，點的軌跡為焦點在軸上的橢圓（除去與軸的交點）C．當(dāng)時，點的軌跡為焦點在軸上的拋物線D．當(dāng)時，點的軌跡為焦點在軸上的雙曲線（除去與軸的交點）三、填空題13．（2023·浙江·高三開學(xué)考試）已知雙曲線與直線有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸?軸于兩點，當(dāng)點運(yùn)動時，點的軌跡方程是___________.14．（2023·江西·上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））①已知點，直線，動點P滿足到點A的距離與到直線l的距離之比為；②已知圓C的方程為，直線l為圓C的切線，記點，到直線l的距離分別為，，動點P滿足，；③點S，T分別在x軸，y軸上運(yùn)動，且，動點P滿足；在①，②，③這三個條件中，動點P的軌跡W為橢圓的是______．15．（2023·黑龍江·大慶實驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，兩定點，，動點Q滿足以FQ為直徑的圓與x軸相切．直線FQ與動點Q的軌跡E交于另一點P，當(dāng)時，直線PQ的斜率為______．16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，一組平行直線的斜率是，當(dāng)它們與橢圓相交時，這些直線被橢圓截得的線段的中點軌跡方程是__．四、解答題17．（2023·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測（理））在中，，，與BC斜率的積是．(1)求點的軌跡方程；(2)，求PC的中點的軌跡方程．18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的兩條互相垂直的切線的交點軌跡為C，曲線C的兩條切線PA、PB交于點P，且與C分別切于A、B兩點，求的最小值．19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合．(1)求橢圓的離心率與拋物線的方程；(2)過焦點的動直線與拋物線交于，兩點，從原點作直線的垂線，垂足為，求動點的軌跡方程；(3)點為橢圓上的點，設(shè)直線與平行，且直線與橢圓交于，兩點，若的面積為1，求直線的方程．20．（2023·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點的坐標(biāo)分別是，直線相交于點，且它們的斜率之積為.(1)求點的軌跡方程；(2)記點的軌跡為曲線，是曲線上的點，若直線，均過曲線的右焦點且互相垂直，線段的中點為，線段的中點為.是否存在點，使直線恒過點，若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.21．（2023·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的離心率為2，，為雙曲線C的左、右焦點，是雙曲線C上的一個點．(1)求雙曲線C的方程；(2)若過點且不與漸近線平行的直線l（斜率不為0）與雙曲線C的兩個交點分別為M，N，記雙曲線C在點M，N處的切線分別為，，點P為直線與直線的交點，試求點P的軌跡方程（注：若雙曲線的方程為，則該雙曲線在點處的切線方程為）專題37求曲線的軌跡方程【考點預(yù)測】曲線的方程和方程的曲線在直角坐標(biāo)系中，如果是某曲線（看作適合某種條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：（1）曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解（完備性）（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點（純粹性）那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫方程的曲線．事實上，曲線可以看作一個點集，以一個二元方程的解作為坐標(biāo)的點也組成一個點集，上述定義中【方法技巧與總結(jié)】一．直接法求動點的軌跡方程利用直接法求動點的軌跡方程的步驟如下：（1）建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（2）設(shè)點：設(shè)軌跡上的任一點（3）列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式（4）代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為的方程式化簡（5）證明（一般省略）：證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程（對某些特殊值應(yīng)另外補(bǔ)充檢驗）．簡記為：建設(shè)現(xiàn)代化，補(bǔ)充說明．注：若求動點的軌跡，則不但要求出動點的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線．二．定義法求動點的軌跡方程回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動點和滿足焦點標(biāo)志的定點連起來判斷．熟記焦點的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點；（2）標(biāo)記為的點；（3）圓心；（4）題目提到的定點等等．當(dāng)看到以上的標(biāo)志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結(jié)合曲線定義求解軌跡方程．三．相關(guān)點法求動點的軌跡方程如果動點的運(yùn)動是由另外某一點的運(yùn)動引發(fā)的，而該點的運(yùn)動規(guī)律已知，（該點坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程．四．交軌法求動點的軌跡方程在求動點的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常常可以先解方程組得出交點（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等為參數(shù)．五．參數(shù)方程法求動點的軌跡方程動點的運(yùn)動主要是由于某個參數(shù)的變化引起的，可以選參、設(shè)參，然后用這個參數(shù)表示動點的坐標(biāo)，即，再消參.六．點差法求動點的軌跡方程圓錐曲線中涉及與弦的中點有關(guān)的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點的坐標(biāo)滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點的軌跡方程．【題型歸納目錄】題型一：直接法題型二：定義法題型三：相關(guān)點法題型四：交軌法題型五：參數(shù)法題型六：點差法題型七：立體幾何與圓錐曲線的軌跡題型八：復(fù)數(shù)與圓錐曲線的軌跡題型九：向量與圓錐曲線的軌跡題型十：利用韋達(dá)定理求軌跡方程【典例例題】題型一：直接法例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點P是橢圓上任意一點，過點P作x軸的垂線，垂足為M，則線段PM的中點的軌跡方程為______．答案：【解析】因為軸，垂足為M，且PM的中點為，所以，又因為P是橢圓上任意一點，所以，即.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系且這些幾何簡單明了且易于表達(dá)，那么只需把這些關(guān)系“翻譯”成含的等式，就可得到曲線的軌跡方程，由于這種求軌跡方程的過程不需要其他步驟，也不需要特殊的技巧，所以被稱為直接法．例2．（2023·河南河南·模擬預(yù)測（理））已知平面上的動點到點和的距離之比為，則點到軸的距離最大值為_____.答案：【解析】設(shè)，因為動點到點和的距離之比為，所以，，，，所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以點到軸的距離最大值為，故答案為：例3．（2023·全國·高三課時練習(xí)）已知點到定點的距離比它到x軸的距離大．(1)求點P的軌跡C的方程；【解析】依題意①，，兩邊平方得，②，兩邊平方得，整理得，可得或，當(dāng)時，②轉(zhuǎn)化為，所以，此時①轉(zhuǎn)化為，所以.所以點的軌跡的方程為或.例4．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知平面直角坐標(biāo)系中有兩點，且曲線上的任意一點P都滿足．求曲線的軌跡方程并畫出草圖；【解析】設(shè)，由題設(shè)有，整理得到，故，其草圖如下圖所示：例5．（2023·湖南湘潭·高三開學(xué)考試）已知兩點的坐標(biāo)分別為，直線的交點為，且它們的斜率之積．求點的軌跡的方程;【解析】設(shè)點P的坐標(biāo)為，由題設(shè)得，故所求的點P的軌跡的方程為．題型二：定義法例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定點A（1，1）和直線L：x+y-2=0，那么到定點A和到定直線L距離相等的點的軌跡為（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．直線答案：D【解析】點A（1，1）在直線L上，所以到定點A和到定直線L距離相等的點的軌跡為過A（1，1）且與直線L垂直的直線.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】若動點的軌跡符合某一已知曲線（圓，橢圓，雙曲線，拋物線）的定義，則可根據(jù)定義直接求出方程中的待定系數(shù)，故稱待定系數(shù)法．例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，動圓與圓外切，且與定直線相切，設(shè)動點的軌跡為．求的方程；【解析】設(shè)，圓的半徑為，由題可知，點在直線右側(cè)，因為圓與定直線相切，所以．又圓與圓外切，所以，所以，化簡得，即的方程為．例8．（2023·江西南昌·三模（理））已知兩條直線：，：，有一動圓（圓心和半徑都在變動）與，都相交，并且，被截在圓內(nèi)的兩條線段的長度分別是定值，，則動圓圓心的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．直線答案：C【解析】設(shè)動圓圓心的坐標(biāo)為，半徑為，圓心到，的距離分別是，，則，，所以，又因為，，即，得，即.所以動圓圓心的軌跡方程為，由方程可知，動圓圓心的軌跡為雙曲線.故選：C例9．（2023·上海市大同中學(xué)高三開學(xué)考試）已知定點和定圓，動圓和圓外切，且經(jīng)過點，求圓心的軌跡方程_______答案：雙曲線的左支【解析】結(jié)合圖象可得，|MQ|﹣|MP|=4，可得a=2，c=4，則b=，M的軌跡為雙曲線的左支．故答案為雙曲線的左支．例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)動圓與軸相切且與圓:相外切,則動圓圓心的軌跡方程為______.答案：或【解析】設(shè)，即軌跡方程為或例11．（2023·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期末）已知圓：和圓：，動圓M同時與圓及圓外切，則動圓的圓心M的軌跡方程為______.答案：【解析】由題，設(shè)動圓的半徑為，圓的半徑為，圓的半徑為,當(dāng)動圓與圓，圓外切時,,,所以,因為圓心,，即，又根據(jù)雙曲線的定義，得動點的軌跡為雙曲線的上支，其中，，所以,則動圓圓心的軌跡方程是；故答案為：例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））設(shè)圓的圓心為A，直線過點且與軸不重合，交圓A于兩點，過作的平行線交于點．證明為定值，并寫出點E的軌跡方程；【解析】由題意可知，故，又，故,故,所以，故,又圓A標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而，所以．由題設(shè)得，由橢圓的定義可得點的軌跡方程為，()例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是圓上的動點，是線段上一點，，且，求點的軌跡的方程【解析】由題意知,.因為，所以,所以點M的軌跡C是以A,B為左、右焦點,長軸長為4的橢圓.設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則a=2,c=1,所以，所以點M的軌跡C的方程為.例14．（2023·河南鄭州·高三階段練習(xí)（理））如圖，已知圓的方程為，圓的方程為，若動圓與圓內(nèi)切與圓外切．求動圓圓心的軌跡的方程；【解析】設(shè)動圓的半徑為，∵動圓與圓內(nèi)切，與圓外切，∴，且.于是，，所以動圓圓心的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓.從而，，所以.故動圓圓心的軌跡的方程為．例15．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測）已知圓與圓：外切，同時與圓：內(nèi)切.說明動點的軌跡是何種曲線，并求其軌跡方程；【解析】設(shè)圓M的半徑為r，由圓M與圓:外切，得:,由圓M與圓：內(nèi)切，得:，故，則動點M的軌跡是，為焦點，長軸長為8的橢圓，故橢圓的短半軸長為，故橢圓的方程為.例16．設(shè)圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，交圓于，兩點，過作的平行線交于點，求點的軌跡方程．【解析】因為，，故，所以，故，又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而，所以由題設(shè)得，，，由橢圓定義可得點的軌跡方程為：題型三：相關(guān)點法例17．（2023·全國·高三課時練習(xí)）設(shè)分別是直線和上的動點，且滿足，則的中點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．答案：A【解析】設(shè)，，，因為為的中點，則，故，，又因為，所以，即，所以點M的軌跡方程為．故選:A.【方法技巧與總結(jié)】有些問題中，所求軌跡上點的幾何條件是與另一個已知方程的曲線上點相關(guān)聯(lián)的，這時要通過建立這兩點之間關(guān)系，并用表示，再將代入已知曲線方程，即得關(guān)系式．例18．（2023·全國·高三課時練習(xí)）已知的頂點，，頂點A在拋物線上運(yùn)動，則的重心G的軌跡方程為______．答案：【解析】設(shè)，．由點G為的重心，得，所以．又在拋物線上，所以，即．又點A不在直線BC上，所以，即，所以所求軌跡方程為．故答案為：例19．（2023·全國·高三課時練習(xí)）當(dāng)點P在圓上變動時，它與定點的連線PQ的中點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】設(shè)，PQ的中點M的坐標(biāo)為，∵，∴∴又∵點P在圓上，∴，即，故選：C．例20．（2023·全國·高三課時練習(xí)）已知A、B分別是直線和上的兩個動點，線段AB的長為，P是AB的中點．求動點P的軌跡C的方程．【解析】設(shè)、、．∵P是線段AB的中點，∴，∵A、B分別是直線和上的點，∴，，∴，∵，∴，∴，∴動點P的軌跡C的方程為．題型四：交軌法例21．（2023·四川涼山·高三期末（理））設(shè)橢圓的上、下頂點分別為A、B，直線與橢圓交于兩點M、N，則直線AM與直線BN的交點F一定在下列哪種曲線上（

）A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓答案：B【解析】設(shè)，則，又，連結(jié)則，即由橢圓的對稱性可得又所以，即所以點F在雙曲線上.故選：B【方法技巧與總結(jié)】在求動點的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常?？梢韵冉夥匠探M得出交點（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等為參數(shù)．例22．（多選題）（2023·江蘇·南京市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓C：（）的離心率為，過點P（1，1）的直線與橢圓C交于A，B兩點，且滿足.動點Q滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．動點Q的軌跡方程為C．線段OQ（O為坐標(biāo)原點）長度的最小值為D．線段OQ（O為坐標(biāo)原點）長度的最小值為答案：ABD【解析】對于A：由橢圓的離心率為，得，所以，故正確；對于B：設(shè)，由，得兩式相乘得，同理可得，由題意知且，否則與矛盾，動點的軌跡方程為，即直線，故正確；對于C、D：所以線段長度的最小值即為原點到直線的距離，min，故C錯誤，D正確.故選：ABD.例23．（2023·北京市朝陽區(qū)人大附中朝陽分校高三階段練習(xí)）在矩形中，，把邊分成等份，在的延長線上，以的分之一為單位長度連續(xù)取點.過邊上各分點和點作直線，過延長線上的對應(yīng)分點和點A作直線，這兩條直線的交點為，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則點滿足的方程是___________.答案：【解析】設(shè)第組對應(yīng)直線與交于點，與的延長交于點，作軸于點，作軸于點，設(shè)，則，，因為，所以，所以，即，①因為，所以，所以，即，②①②得，整理得，所以點滿足的方程是.故答案為：.例24．（河北省邢臺市名校聯(lián)盟2022屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）已知、為橢圓C：的左右頂點，直線與C交于兩點，直線和直線交于點.求點的軌跡方程.【解析】由題意得，，設(shè)，，，則，，即，，得，又∵點在C上，即，得，∴；例25．（2023·河南·新蔡縣第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知反比例函數(shù)的圖像C是以x軸與y軸為漸近線的等軸雙曲線.(1)求雙曲線C的頂點坐標(biāo)與焦點坐標(biāo)；(2)設(shè)?為雙曲線C的兩個頂點，點?是雙曲線C上不同的兩個動點.求直線與交點的軌跡E的方程；【解析】(1)根據(jù)題意可得，反比例函數(shù)的頂點和焦點均在上，聯(lián)立解得，故雙曲線C的頂點坐標(biāo)，.所以該等軸雙曲線的焦距為，所以焦點坐標(biāo)為，即，(2)因為點?是雙曲線C上不同的兩個動點，故.設(shè)，，根據(jù)，分別共線，且在雙曲線C上，，有，且，兩式相乘有，即，化簡得.即軌跡E的方程為例26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，，過直線l：左側(cè)且不在x軸上的動點P，作于點H，的角平分線交x軸于點M，且，記動點P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)已知曲線C與x軸正半軸交于點，過點的直線交C于A，B兩點，，點T滿足，其中，證明：.【解析】（1）設(shè)，因為軸，所以，因為PM為的角平分線，所以，所以，即，所以.即，化簡整理得，因為P不在x軸上，即曲線C的方程為（2）易知直線的斜率存在且不為0，設(shè)的方程為.聯(lián)立方程組，消x整理得，所以，得或，設(shè)，，則，.由得，所以，設(shè)，由，得，所以，所以，所以點在直線上，且，又因為與關(guān)于直線對稱，所以是等腰三角形，（或者證明直線TS與直線的斜率互為相反數(shù)）所以，因為，所以，綜上所述，.例27．（2023·全國·模擬預(yù)測（文））設(shè)拋物線C：，過點的直線l與C交于A，B兩點，分別過點A，B作拋物線的切線，兩切線相交于點P，求點P的軌跡方程；【解析】如圖，結(jié)合圖象可知，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l與C只有一個交點，不合題意；當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，聯(lián)立，化簡可得.設(shè)，，則有，，由，可得，所以，，從而結(jié)合點A在拋物線C上有，即①，同理得②，聯(lián)立①②可得交點，即，故點P的軌跡方程為y=-1.例28．（2023·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的離心率為2，，為雙曲線C的左、右焦點，是雙曲線C上的一個點．(1)求雙曲線C的方程；(2)若過點且不與漸近線平行的直線l（斜率不為0）與雙曲線C的兩個交點分別為M，N，記雙曲線C在點M，N處的切線分別為，，點P為直線與直線的交點，試求點P的軌跡方程（注：若雙曲線的方程為，則該雙曲線在點處的切線方程為）【解析】(1)據(jù)題意，則，點在雙曲線上，則，又，則，∴，，，∴雙曲線的方程為．(2)設(shè)，，直線l：，聯(lián)立，，，由題知，切線：，切線：，記，則，兩式相加得，將代入得③；兩式相減得得，由得④，聯(lián)立③和④得，故，又，所以，則，故點的軌跡方程為．例29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)點，為直線上一動點，過點作拋物線的兩條切線，，其中，為切點，求直線的方程，并證明直線過定點；(3)過（2）中的點的直線交拋物線于，兩點，過點，分別作拋物線的切線，，求，交點滿足的軌跡方程．【解析】(1)設(shè)拋物線的方程為，∵拋物線的焦點到直線的距離為，∴，解得或（舍去，∴，，∴拋物線的方程為．(2)設(shè)，，設(shè)切點為，曲線，，則切線的斜率為，化簡得，設(shè)，，，則，是以上方程的兩根，則，，，直線的方程為：，整理得，∵切線的方程為，整理得，且點，在切線上，∴，即直線的方程為：，化簡得，又∵，∴，故直線過定點．(3)設(shè)，，，過的切線，過的切線，則交點，設(shè)過點的直線為，聯(lián)立，得，∴，，∴，∴．∴點滿足的軌跡方程為．例30．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）雙曲線的實軸為，點是雙曲線上的一個動點，引，，與的交點為，求點的軌跡方程.【解析】設(shè)，，，，由題意可知，，否則點（或點）和點（或點）重合，不符合題意；，，利用垂直斜率關(guān)系可得，兩式相乘得①又點在雙曲線上，，即將其代入①式得，化簡整理得：所以點的軌跡方程為：例31．（2023·全國·高三課時練習(xí)）已知點、以及直線，設(shè)長為的線段在直線l上移動（如圖所示），求直線和的交點M的軌跡方程．【解析】如圖所示，∵點A、B在直線上，設(shè)點A、B、M的坐標(biāo)分別為，，，其中．當(dāng)時，由、、三點共線，得，解出a，得①，由、、三點共線，得，解出b，得．②由條件，得．∴．③，由①、②、③式得．整理得①．④，當(dāng)時，兩直線和的交點M與點或點重合，得點P和點Q的坐標(biāo)都滿足方程④．總之，④式就是點M的軌跡方程．④式可改寫成．∴軌跡的圖形是雙曲線，它的中心是點，焦點在直線上．題型五：參數(shù)法例32．（2023·新疆·皮山縣高級中學(xué)高三期末（文））已知，，當(dāng)時，線段的中點軌跡方程為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】中點坐標(biāo)為，即，，，，．故選：B【方法技巧與總結(jié)】有時不容易得出動點應(yīng)滿足的幾何條件，也無明顯的相關(guān)點，但卻較容易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）該動點常常受到另一個變量（角度，斜率，比值，解距或時間等）的制約，即動點坐標(biāo)中的分別隨另一變量的變化而變化，我們稱這個變量為參數(shù)，由此建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法．例33．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））已知曲線和直線l：y=kx(k≠0)，若C與l有兩個交點A和B，求線段AB中點的軌跡方程.【解析】依題意，由分別消去x，y得：(k2-1)x2+2x-2=0，①(k2-1)y2+2ky-2k2=0，②設(shè)AB的中點為P(x，y)，則在①②中分別有：，③，④又對②應(yīng)滿足，解得<k<1，結(jié)合③④，消去k得x2-y2-x=0且有x>2，y>，所以所求軌跡方程是x2-y2-x=0(x>2，y>).例34．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高三期末（理））已知兩條動直線與（，為參數(shù)）的交點為.求點的軌跡的方程；【解析】設(shè)點，聯(lián)立，消去參數(shù)得，因此，點的軌跡的方程為；例35．（2023·北京市第五十七中學(xué)高三期中）P是圓上的動點，P點在x軸上的射影是D，點M滿足.(1)求動點M的軌跡C的方程；(2)過作弦且弦被Q平分，求此弦所在的直線方程及弦長；(3)過點的直線l與動點M的軌跡C交于不同的兩點A，B，求以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點E的軌跡方程.【解析】(1)設(shè)，則，由，得，因為點P在圓上，所以，故點M的軌跡C的方程為：；(2)設(shè)該弦所在的直線為，且與橢圓交于點，則①，②；又點是弦長的中點，則，，由①-②得，即，又該直線過點，所以直線方程為：，即，聯(lián)立橢圓方程，得，解得，所以弦長為；(3)設(shè)，由題意知直線l的斜率存在，設(shè)l：，代入方程，得，，得，設(shè)，則，所以，又四邊形OAEB為平行四邊形，所以，又，所以，消k得，，又，所以，所以頂點E的軌跡方程為：().例36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l1：y＝k1x和l2：y＝k2x與拋物線y2＝2px（p＞0）分別相交于A，B兩點（異于原點O）與直線l：y＝2x+p分別相交于P，Q兩點，且．求線段AB的中點M的軌跡方程；【解析】聯(lián)立，解得：，把代入得：，所以，同理可得：，則線段AB的中點M的坐標(biāo)為，因為，所以，消去得：所以線段AB的中點M的軌跡方程為例37．（2023·江蘇·周市高級中學(xué)高三階段練習(xí)）已知直線與坐標(biāo)軸的交點分別為A，B，則線段的中點C的軌跡與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】不妨設(shè)為直線與的軸的交點，為直線與的軸的交點，則，故，設(shè)，則且，故C的軌跡與坐標(biāo)軸為，故選：D.例38．（2023·全國·高三課時練習(xí)）已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓的半徑為，記是以曲線與坐標(biāo)軸的交點為頂點的橢圓．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)AB是過橢圓中心的任意弦，l是線段AB的垂直平分線，M是l上異于橢圓中心的點，(O為坐標(biāo)原點，)，當(dāng)點A在橢圓上運(yùn)動時，求點M的軌跡方程．答案：(1);(2).【解析】（1）,的軌跡為對角線長分別為，邊長為，原點為內(nèi)切圓圓心的菱形，其頂點分別為，所以由題意得所以，，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，當(dāng)AB所在直線的斜率存在且不為0時，設(shè)AB所在直線的方程為，由可得，，所以，設(shè)，由題意得，即，又因為直線l的方程為，即，所以，又因為，所以．易得當(dāng)AB所在直線的斜率不存在時，且；AB所在直線斜率為0時，且，上式仍然成立．綜上所述，點M的軌跡方程為．題型六：點差法例39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點的軌跡方程為_________________．答案：【解析】設(shè)斜率為的直線方程為，與橢圓的交點為，設(shè)中點坐標(biāo)為，則，所以，兩式相減可得，，即，由于在橢圓內(nèi)部，由得，所以時，即直線與橢圓相切，此時由解得或，所以，所求得軌跡方程為．故答案為：．【方法技巧與總結(jié)】圓錐曲線中涉及與弦的中點有關(guān)的軌跡問題可用點差法．例40．（2023·全國·高三課時練習(xí)）斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點的軌跡方程是______．答案：(或).【解析】設(shè)直線為，與雙曲線交點為，聯(lián)立雙曲線可得：，則，即或，所以，故，則弦中點為，所以弦的中點的軌跡方程為(或).故答案為：(或)例41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的弦所在直線過點，求弦中點的軌跡方程.【解析】設(shè)，弦的中點，則，將代入橢圓方程得，兩式相減得，所以，當(dāng)時，，因為，所以，則，整理得；當(dāng)時，則直線方程為，代入橢圓方程解得所以滿足上述方程，故點的軌跡方程.例42．（2023·上海市行知中學(xué)高三開學(xué)考試）已知曲線上一動點到兩定點，的距離之和為，過點的直線與曲線相交于點，．(1)求曲線的方程；(2)動弦滿足：，求點的軌跡方程；【解析】（1）因為動點到兩定點，的距離之和為，所以曲線是以，為焦點的橢圓，，，所以，，所以曲線的方程為；（2）因為，所以為中點，設(shè)，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇也粸?時，將，代入橢圓方程中得：兩式相減得，故故得，所以，所以，整理得；當(dāng)?shù)男甭什淮嬖诨驗?時，或，出滿足；所以點的軌跡方程是；例43．（2023·全國·高三期中）（1）若雙曲線的一條漸近線方程為，且兩頂點間的距離為6，求該雙曲線方程．（2）一組平行直線與橢圓相交，求弦的中點的軌跡方程．【解析】（1）若焦點在軸上，漸近線方程為，所以，又，所以所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為若焦點在軸上，漸近線方程為，所以，又，所以所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)與橢圓的兩交點，，，的中點為，則，兩式相減得：，即即，又，消去得，解得，所以弦的中點的軌跡方程為．例44．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知橢圓，，是橢圓上的兩個不同的點.（1）若點滿足，求直線的方程；（2）若，的坐標(biāo)滿足，動點滿足(其中為坐標(biāo)原點)，求動點的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；【解析】（1）由已知可得，是線段中點，由已知兩式相減化簡整理得所以直線的方程是（2）設(shè)，，由，可得由②結(jié)合①②可得，又，是橢圓上的點，故所以，即根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，軌跡是以，為左右焦點，長軸長為的橢圓.題型七：立體幾何與圓錐曲線的軌跡例45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，E為的中點，F(xiàn)為底面ABCD上一動點，且EF與底面ABCD所成的角為．若該正方體外接球的表面積為，則動點F的軌跡長度為（

）．A． B． C． D．答案：A【解析】如圖1，取AD的中點H，連接EH，則.在正方體中，底面ABCD，所以底面ABCD.所以為EF與底面ABCD所成的角，則．設(shè)正方體的棱長為a，因為該正方體外接球的表面積為，所以，解得，所以，從而，所以F的軌跡為以H為圓心，為半徑的圓在正方形ABCD區(qū)域內(nèi)的部分，如圖2．在圖2中，，所以，則，根據(jù)對稱性可知，所以，故動點F的軌跡周長為．故選：A【方法技巧與總結(jié)】利用坐標(biāo)法解決．例46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，點是平面外一定點，過作平面的斜線斜線與平面所成角為．若點在平面內(nèi)運(yùn)動，并使直線與所成角為則動點的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線的一支答案：B【解析】用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當(dāng)平面再傾斜一些就可以得到雙曲線．故可知動點P的軌跡是橢圓的一部分．故選：B．例47．（2023·北京市第十三中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，正方體中，為底面上的動點，且于，且，則點的軌跡是（

）A．線段 B．圓弧C．拋物線的一部分 D．以上答案都不對答案：A【解析】連接、，如下圖所示：因為平面，平面，，因為，，，所以，，，所以，為定點，取線段的中點，連接，因為，則，所以點在過點且垂直于線段的垂面上，而此垂面與底面相交于一條線段，故點的軌跡為線段.故選：A.例48．（多選題）（2023·廣東·大埔縣虎山中學(xué)模擬預(yù)測）如圖所示，在棱長為2的正六面體中，O為線段的中點（圖中未標(biāo)出），以下說法正確的有（

）．A．線段CD中點為E，則直線OE與平面所成角的正弦值為．B．在線段上取靠近B點的三等分點F，則直線與直線不共面．C．在平面上存在一動點P，滿足，則P點軌跡為一橢圓．D．在平面上存在一動點Q，點Q到點O的距離和點Q到直線AB的距離相等，則點Q的軌跡為拋物線，其準(zhǔn)線到焦點的距離為．答案：AD【解析】選項A：取中點H，連接正六面體中，則平面，則為直線與平面所成角，中，則，即直線與平面所成角的正弦值為．由O為線段的中點，E為線段CD中點，可得則直線OE與平面所成角的正弦值為．判斷正確；選項B：在線段上取靠近點的三等分點H，連接正六面體中，則四邊形為平行四邊形，則相交且互相平分，則又，則四邊形為平行四邊形，則相交且互相平分，則又四邊形為平行四邊形，則則直線與直線共面．判斷錯誤；選項C：在平面上一動點P，滿足，又正六面體的棱長為2，則P點軌跡為線段．判斷錯誤；選項D：連接則正六面體中，則O點為矩形的中心.在平面上一動點Q，點Q到點O的距離和點Q到直線的距離相等，則點Q的軌跡是以O(shè)為焦點以直線AB為準(zhǔn)線的拋物線，焦點O到準(zhǔn)線AB的距離為．判斷正確.故選：AD題型八：復(fù)數(shù)與圓錐曲線的軌跡例49．（2023·河南開封·高三階段練習(xí)（文））已知為虛數(shù)單位，且，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】，表示點，故復(fù)數(shù)的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓.故選：C【方法技巧與總結(jié)】（1）利用坐標(biāo)法解決．（2）利用復(fù)數(shù)幾何意義例50．（多選題）（2023·重慶一中高一期末）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對應(yīng)的點為Z，則下來說法正確的有（

）A．若，則Z在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為圓B．若，則Z在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為橢圓C．不可能存在復(fù)數(shù)z同時滿足和D．若，則的取值范圍為[8，10]答案：AD【解析】對于A，設(shè)，則有，可知Z在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為圓，故A正確；對于B，設(shè)且，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)的軌跡是以和為端點的線段，故B不正確；對于C，設(shè)且，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)的軌跡是以和為焦點，長軸為的橢圓，其方程為，若，則有，兩者聯(lián)立，有解，，所以存在復(fù)數(shù)z同時滿足和，故C不正確；對于D，設(shè)，若，則有，令則，（）令，可得，所以，于是得，故D正確.故選：AD例51．（2023·上海市徐匯中學(xué)高三期末）如果復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡是（

）A．直線 B．橢圓 C．線段 D．圓答案：B【解析】復(fù)數(shù)滿足條件，設(shè)，因為表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點到點的距離，同理表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點到點的距離，所以表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到點和到點的之和等于，因為，故點的軌跡是以、為焦點的橢圓，故選：B．例52．（2023·全國·高一課時練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡是___________．答案：圓【解析】由題意，復(fù)數(shù)z滿足，可得，解得或，因為，所以，所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡是以原點為圓心，3為半徑的圓．故答案為：圓.例53．（2023·江西贛州·高三期末（文））設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡方程為___________.答案：【解析】由題意，，故，故的軌跡方程為故答案為：題型九：向量與圓錐曲線的軌跡例54．（2023·全國·高三課時練習(xí)）已知，，O為坐標(biāo)原點，動點滿足，其中，且，則動點P的軌跡方程是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由題意得，∴，，∴，，∵，∴，即．故選：B【方法技巧與總結(jié)】（1）利用坐標(biāo)法解決．（2）利用向量幾何意義例55．（2023·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知向量，是單位向量，若，且，則的取值范圍是___________．答案：【解析】因為向量，是單位向量，且，所以不妨設(shè)，，設(shè)，，，，則由得，設(shè)，，則，所以表示的點在線段上．表示到的距離，如圖，，，直線方程為，即，到直線的距離為，所以的取值范圍是．故答案為：例56．（2023·全國·高三課時練習(xí)）設(shè)過點的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點，點Q與點P關(guān)于y軸對稱，O為坐標(biāo)原點．若，且，則點P的軌跡方程是______．答案：【解析】設(shè)點，則，設(shè)，，則，，，，，，又，，，，即.故答案為：.例57．（2023·陜西師大附中高一期中）已知向量，，，滿足，與的夾角為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，點在軸上，設(shè)點在第一象限，，設(shè)，則，則，整理得，所以點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，設(shè)圓心為，又，當(dāng)直線過點且垂直于軸時，取得最小值，最小值為，即的最小值為.故選：D.例58．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(1)設(shè)動點滿足：，其中，是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．(2)設(shè)動點滿足：，其中，是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在點，使得點到的距離與到直線的距離之比為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解析】(1)設(shè)橢圓上一點為，橢圓上的點，，令，橢圓的方程為，，可得是以為圓心，半徑為2的圓上的點，記仿射變換下，在圓上對應(yīng)的點為，，直線與的斜率之積為．可得.，四邊形為正方形，于是，則點的軌跡方程為，因此點的軌跡方程為，即.，由橢圓的定義可得，存在符合題意的點，坐標(biāo)為（即橢圓的兩個焦點）．(2)，由（1）可知，此時四邊形為矩形，于是，點的軌跡方程為，因此點的軌跡方程為，即.，，直線為橢圓的右準(zhǔn)線.由橢圓的定義可得，存在符合題意的點，坐標(biāo)為（即橢圓的右焦點）．例59．（2023·重慶八中高三階段練習(xí)）拋物線的焦點為F，P在拋物線C上，O是坐標(biāo)原點，當(dāng)與x軸垂直時，的面積為1.(1)求拋物線C的方程；(2)若A，B都在拋物線C上，且，過坐標(biāo)原點O作直線的垂線，垂足是G，求動點G的軌跡方程.【解析】(1)當(dāng)與x軸垂直時，，故，故，故拋物線的方程為：.(2)設(shè)，直線，因為，故，整理得到：，故.由可得，故即，故直線，此直線過定點.因為，故的軌跡為以為直徑的圓，其方程為：即.因為直線與軸不重合，故不為原點，故的軌跡方程為：.例60．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面上一定點和直線l：x=8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且·=0．求動點P的軌跡方程；【解析】設(shè)，則，由·=0，得，即化簡得，所以點P在橢圓上，即動點P的軌跡方程為．題型十：利用韋達(dá)定理求軌跡方程例61．（2023·全國·高三課時練習(xí)）設(shè)橢圓的方程為，斜率為1的動直線交橢圓于A，B兩點，以線段的中點為圓心，為直徑作圓，圓心的軌跡方程為______．答案：【解析】設(shè)動直線的方程為，聯(lián)立消去，得，則，即,設(shè)，，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，則，故，即，∴圓心C的軌跡方程為．故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】聯(lián)立直線與曲線方程得出兩根之和與之積關(guān)系，再進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例62．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)不同的兩點A，B在橢圓上運(yùn)動，以線段AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點O，過O作，M為垂足．求點M的軌跡方程.【解析】①若直線AB的斜率不存在，由已知得點M的坐標(biāo)為；②若直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB為，聯(lián)立橢圓，得：，設(shè)，，則，，以線段AB為直徑的圓過原點O，即，所以，所以，又，故O到AB的距離．綜合①②，點M的運(yùn)動軌跡為O以為圓心，以1為半徑的圓，軌跡方程為：．例63．（2023·浙江·杭州市富陽區(qū)場口中學(xué)高三期末）已知橢圓C的離心率為，其焦點是雙曲線的頂點.(1)寫出橢圓C的方程；(2)直線l：與橢圓C有唯一的公共點M，過點M作直線l的垂線分別交x軸?y軸于，兩點，當(dāng)點M運(yùn)動時，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.【解析】(1)設(shè)橢圓C的方程為，，由題意，雙曲線的頂點為，故.又，故，故，故橢圓C的方程為(2)由題意，直線l與橢圓C相切，聯(lián)立得，故，即.設(shè)，則，故，故.所以直線的方程為，即，當(dāng)時，，故，當(dāng)時，，故，故.又，故則，又在上，故，即，由題意可得，故點的軌跡方程為，為橢圓除去4個頂點例64．（2023·廣東·高三階段練習(xí)）已知橢圓的離心率是，其左、右頂點分別是、，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點、是橢圓上異于、的不同兩點，設(shè)點是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個交點，記線段的中點為，若，求動點的軌跡方程．【解析】(1)由題意可得，解得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、．聯(lián)立，整理得，，可得，則，，，因為，所以，則，且，則，，因為，所以，解得或（舍去）．則直線的方程為，所以直線過定點．當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，其中，將代入橢圓的方程可得，設(shè)點、，，，則，因為，解得，故直線過定點．因為為的中點，為的中點，所以過線段的中點．因為兩圓相交，則連心線垂直平分公共弦，所以，，線段的中點為，則，且點不能與點重合，所以點在以為直徑的圓上運(yùn)動，且該圓圓心為，半徑為.故動點的軌跡方程為．例65．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓上，且點A是橢圓短軸的一個端點（點A在y軸正半軸上）.（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點，試求直線BC的方程;（2）若角A為，AD垂直BC于D，試求點D的軌跡方程.【解析】（1）設(shè)，BC中點為()，F(xiàn)(2，0)，則有，，兩式相減，得，即，

①F(2，0)為三角形重心，所以由，得；由，得，代入①得，素以直線BC的方程為.（2）由AB⊥AC得，所以②設(shè)直線BC方程為，與橢圓方程聯(lián)立消元，得，所以，，，代入②式得，解得(舍)或，所以，所以直線過定點，設(shè)，則，即，所以所求點D的軌跡方程是.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·江蘇省木瀆高級中學(xué)模擬預(yù)測）復(fù)平面中有動點Z，Z所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足，則動點Z的軌跡為（

）A．直線 B．線段 C．兩條射線 D．圓答案：A【解析】設(shè)動點Z坐標(biāo)為，則，所以，即，化簡得：，故動點Z的軌跡為直線.故選：A2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正三角形OAB的邊長為1，動點C滿足，且，則點C的軌跡是（

）A．線段 B．直線 C．射線 D．圓答案：D【解析】方法一：由題可知：，又所以，即所以點C的軌跡是圓.方法二：由題可知：，如圖，以O(shè)為原點OB為x軸，過O點與OB垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，所以設(shè)，又所以整理得：所以點C的軌跡是圓.故選：D.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）四邊形為梯形，且，，，點是四邊形內(nèi)及其邊界上的點.若，則點的軌跡的長度是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，即.設(shè)向量與的夾角為，則，因為，所以，由向量投影定義得，向量在向量上的投影為2，即動點在過點且垂直于的直線上.在中，，，，由余弦定理得，所以；則，所以.因為是四邊形內(nèi)及其邊界上的點，所以點的軌跡為線段.所以點的軌跡的長度為.故選：B.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的軌跡為（

）A．線段 B．直線C．橢圓 D．橢圓的一部分答案：A【解析】，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義知表示點到定點與的距離之和為2，而，故點的軌跡為線段.故選：A5．（2023·河南安陽·高三開學(xué)考試（文））平面上到兩條相交直線的距離之和為常數(shù)的點的軌跡為平行四邊形，其中這兩條相交直線是該平行四邊形對角線所在的直線.若平面上到兩條直線，的距離之和為2的點P的軌跡為曲線，則曲線圍成的圖形面積為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由題意知，曲線圍成的圖形為平行四邊形，且，y＝0為兩條對角線所在直線，則曲線和，的交點即為平行四邊形的四個頂點；設(shè)曲線和的交點為，曲線和的交點為，則到直線的距離為0，到直線的距離為2，作軸于，則；同理可得到直線的距離為2，作于，則，又，則，則，則曲線圍成的圖形面積為.故選：A.6．（2023·河南·鄭州四中高三階段練習(xí)（理））下列四個命題中不正確的是（

）A．若動點P與定點、連線PA、PB的斜率之積為定值，則動點P的軌跡為雙曲線的一部分．B．設(shè)m，，常數(shù)，定義運(yùn)算“*”：，若，則動點的軌跡是拋物線的一部分．C．已知兩圓、圓，動圓M與圓A外切、與圓B內(nèi)切，則動圓的圓心M的軌跡是橢圓．D．已知，，，橢圓過A，B兩點且以C為其一個焦點，則橢圓的另一個焦點的軌跡為雙曲線．答案：D【解析】A，設(shè)，則，變形得：，即動點P的軌跡為雙曲線的一部分，A正確；B，設(shè)點縱坐標(biāo)為，則，即，即動點的軌跡是拋物線的一部分，B正確；C，兩圓心坐標(biāo)分別是，半徑分別為1,5，設(shè)動圓圓心，半徑為r，則，，動圓的圓心的軌跡是橢圓，故C正確；D，設(shè)另一焦點為，因為，由橢圓定義得，，即，所以，即橢圓的另一個焦點的軌跡為雙曲線的一支，故D錯誤.故選：D.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體的棱長為分別是棱?的中點，點為底面四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動點，若直線與平面無公共點，則點的軌跡長度為（

）A．2 B． C． D．答案：B【解析】取的中點，連接，如圖所示：分別是棱?的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面.因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以.又因為平面，平面，所以平面.因為，所以平面平面.因為點為底面四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動點，直線與平面無公共點，所以的軌跡為線段，則.故選：B8．（2023·安徽·合肥一中模擬預(yù)測（文））首鋼滑雪大跳臺是冬奧史上第一座與工業(yè)舊址結(jié)合再利用的競賽場館，它的設(shè)計創(chuàng)造性地融入了敦煌壁畫中飛天的元素，建筑外形優(yōu)美流暢，飄逸靈動，被形象地稱為雪飛天．中國選手谷愛凌和蘇翊鳴分別在此摘得女子自由式滑雪大跳臺和男子單板滑雪大跳臺比賽的金牌．雪飛天的助滑道可以看成一個線段和一段圓弧組成，如圖所示.假設(shè)圓弧所在圓的方程為，若某運(yùn)動員在起跳點以傾斜角為且與圓相切的直線方向起跳，起跳后的飛行軌跡是一個對稱軸在軸上的拋物線的一部分，如下圖所示，則該拋物線的軌跡方程為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】由于某運(yùn)動員在起跳點以傾斜角為且與圓相切的直線方向起跳，故,所以直線所在的方程為：，代入，解得或（舍，離y軸較遠(yuǎn)的點），所以點的坐標(biāo)為.由于起跳后的飛行軌跡是一個對稱軸在軸上的拋物線的一部分，故設(shè)拋物線方程為：，則，則由M點處切線斜率為1可得，，又，解得，所以該拋物線的軌跡方程為，即，故選：C.二、多選題9．（2023·福建省福州第一中學(xué)三模）已知曲線C是平面內(nèi)到定點和定直線的距離之和等于4的點的軌跡，若在曲線C上，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線C關(guān)于x軸對稱 B．曲線C關(guān)于y軸對稱C． D．答案：BD【解析】由題，曲線C上任意一點，則.當(dāng)時，即，化簡得，且；當(dāng)時，，化簡可得，且，畫出曲線C的圖象：對A,B，顯然圖象不關(guān)于軸對稱，關(guān)于軸對稱，故A錯誤，B正確；對C，當(dāng)時，解得，故，故C錯誤；對D，因為即的焦點為，故拋物線的焦點為，同理也是拋物線的焦點.故的最小值為到的距離1，最大值為方程左右端點到的距離，故，故D正確；故選：BD10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：(>0)的焦點F與圓的圓心重合，直線與C交于兩點，且滿足：(其中O為坐標(biāo)原點且A、B均不與O重合)，則(

)A． B．直線恒過定點C．A、B中點軌跡方程： D．面積的最小值為16答案：ABD【解析】圓可化為，則，半徑r=1，∴拋物線的焦點為，∴，，∴拋物線C的方程為，由題可知直線l斜率若存在，則斜率不為0，故設(shè)l為，由，得，則，即，