教師公開招聘考試中學(xué)數(shù)學(xué)（證明題）模擬試卷4一、證明題(本題共28題，每題1.0分，共28分。)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓=1(a＞b＞0)上，x0=acosβ，y0=bsinβ，0＜β＜，直線l2與直線l1：=1垂直，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP的傾斜角為α，直線l2的傾斜角為γ．1、證明：點(diǎn)P是橢圓=1與直線l1的唯一交點(diǎn)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由(a2一x0x)，代入橢圓方程=1，得代入，得x2－2acosβx＋a2cos2β=0，從而x=cosβ因此，方程組，即l1與橢圓有唯一交點(diǎn)P．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、證明：tanα，tanβ，tanγ構(gòu)成等比數(shù)列．標(biāo)準(zhǔn)答案：x0=acosβ，y0=bsinβ，，直線OP的傾斜角為α，tanα=，設(shè)直線l1的斜率為k1，l2的斜率為k2，k1=，由l1⊥l2得k1．k2=一1，k2=，tanγ==tan2β即證得tanα，tanβ，tanγ構(gòu)成等比數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=(x3+3x2+ax+b)e－x．3、若a=b=一3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a=b=一3時(shí)，f(x)=(x3+3x2一3x一3)e－x，故f’(x)=一(x3+3x2一3x一3)e－x+(3x2+6x－3)e－x=一e－c(x3一9x)=－x(x－3)(x+3)e－x．當(dāng)x＜一3或0＜x＜3時(shí)，f’(x)＞0；當(dāng)一3＜x＜0或x＞3時(shí)，f’(x)＜0．從而f(x)在(一∞，一3)，(0，3)單調(diào)遞增，在(一3，0)，(3，+∞)單調(diào)遞減．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、若f(x)在(一∞，α)，(2，β)單調(diào)增加，在(α，2)，(β，+∞)單調(diào)減少，證明β－α＞6．標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)=一(x3+3x2+ax+b)e－x+(3x2+6x+a)e－x=一e－x[x3+(a－6)x+b一a]．由條件得：f’(2)=0，即23+2(a－6)+b－a=0，故b=4－a，從而f’(x)=一e－x[x3+(a一6)x+4—2a]．因?yàn)閒’(α)=f’(β)=0，所以x3+(a－6)x+4—2a=(x一2)(x一α)(x—β)=(x一2)[x2一(α+β)x+αβ]．將右邊展開，與左邊比較系數(shù)得，α+β=一2，αβ=a一2．故β—α=．又因?yàn)?β一2)(α－2)＜0，即αβ一2(α+β)+4＜0，由此可得a＜一6．于是β一α＞6．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知雙曲線C：一y2=1，設(shè)過點(diǎn)A(，0)的直線l的方向向量e=(1，k)．5、當(dāng)直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時(shí)，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；標(biāo)準(zhǔn)答案：雙曲線C的漸近線m：=0．∴直線l的方程=0，∴直線l與m的距離d=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、證明：當(dāng)k＞時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為．標(biāo)準(zhǔn)答案：假設(shè)雙曲線C的右支上存在點(diǎn)Q(x0，y0)到直線l的距離為，由①得y0=kx0＋．＞0，將y0=kx0+t代入②得(1—2k2)x02一4ktx一2(t2+1)=0(*)∵k＞，t＞0，∴1—2k2＜0，一4kt＜0，一2(t2+1)＜0，∴方程(*)不存在正根，即假設(shè)不成立，故在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長(zhǎng)都是4，E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上，且不與點(diǎn)C重合．7、當(dāng)CF=1時(shí)，求證：EF⊥A1C；標(biāo)準(zhǔn)答案：證明：過E作EN⊥AC于N，連接EF．如圖1，連接NF、AC1，由直棱柱的性質(zhì)知，底面ABC⊥側(cè)面A1C，又因?yàn)榈酌鍭BC∩側(cè)面A1C=AC，且EN底面ABC，所以EN⊥側(cè)面A1C，NF為EF在側(cè)面A1C內(nèi)的射影，在Rt△CNE中，CN=CEcos60°=1．則由，得NF／／AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C．由三垂線定理知EF⊥A1C．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)二面角C—AF—E的大小為θ，求tanθ的最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖2，連接AF，過N作NM⊥AF于M，連接ME．由知EN⊥側(cè)面A1C，根據(jù)三垂線定理得EM⊥AF，所以∠EMN是二面角C—AF—E的平面角，即∠EMN=θ．設(shè)∠FAG=α，則0°＜α≤45°．在Rt△CNE中，NE=EC．sin60°=，在Rt△AMN中，MN=AN．sinα=3sinα，故tanθ=，又∵0°＜α≤45°，∴0＜sinα≤，即當(dāng)α=45°時(shí)，tanθ達(dá)到最小值，tanθ=，此時(shí)F與C1重合．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖所示，在錐體P—ABCD中，ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．9、證明：AD⊥平面DEF；標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接PO、BO，∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，連接BD，∴△ABD為等邊三角形，∴BO⊥AD，又∵PA=PD=，∴PO⊥AD，又∵PO∩BO=O．∴AD⊥平面POB，又∵E、F分別為BC、PC的中點(diǎn)，∴EF／／BP，而O為AD的中點(diǎn)，得DE／／OB，EF∩ED=E，∴平面POB／／平面DEF，∴AD⊥平面DEF．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、求二面角P—AD—B的余弦值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知PO⊥AD，BO⊥AD，則∠POB為所求二面角的平面角，在等邊三角形ABD中，可得OB=，在△PAD中，可得PO=．又∵PB=2，在△POB中，由余弦定理得cos∠POB=，∴二面角P—AD—B的余弦值為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知ABCD—A1B1C1D1是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，O1為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．11、設(shè)AB1與底面A1B1C1D1所成角的大小為α，二面角A—B1D1一A1的大小為β，求證：tanβ=tanα；標(biāo)準(zhǔn)答案：證明：設(shè)正四棱枉的高為h．連結(jié)AO1，∵AA1⊥底面A1B1C1D1，∴∠AB1A1是AB1與底面A1B1C1D1所成角，∴∠AB1A1=α，∵在等腰△AB1D1中，AO1⊥B1D1．又∵A1C1⊥B1D1，∴∠AO1A1是二面角A—B1D1一A1的一個(gè)平面角，∴∠AO1A1=β，在Rt△AB1A1中，tanα==h；在Rt△AO1A1中，tanβ=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為，求正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，有A(0，0，h)，B1(1，0，0)，D1(0，1，0)，C(1，1，h)，令ω=1，得n=(h，h，1)．由點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為d=．解得高h(yuǎn)=2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF／／AC，AB=，CE=EF=1．13、求證：AF／／平面BDE；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)AC與BD交干點(diǎn)G．因?yàn)镋F／／AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四邊形AGEF為平行四邊形，所以AF／／EG．因?yàn)镋G平面BDE，AF平面BDE，所以AF／／平面BDE．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、求證：CF⊥平面BDE；標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD．如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C—xyz．則C(0，0，0)，所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、求二面角A—BE—D的大?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：已知，是平面BDE的一個(gè)法向量．設(shè)平面ABE的法向量n=(x，y，z)，則，所以x=0，且z=，所以．因?yàn)槎娼茿—BE—D為銳角，所以二面角A—BE—D的大小為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，AB⊥AC，D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，DE⊥平面BCC1．16、證明：AB=AC；標(biāo)準(zhǔn)答案：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的正半軸，AC為y軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz．設(shè)B(1，0，0)，C(0，b，0)，D(0，0，c)，則B1(1，0，2c)，．由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC，=0，求得b=1，所以AB=AC．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)二面角A—BD—C為60°，求B1C與平面BCD所成的角的大?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：所以B1C與平面BCD所成的角為30°．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，MN分別為AB、DF的中點(diǎn)．18、若平面ABCD⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值；標(biāo)準(zhǔn)答案：取CD的中點(diǎn)G，連結(jié)MG，NG，設(shè)正方形ABCD，DCEF的邊長(zhǎng)為2a．則MG⊥CD，MG=2a，NG=，∵平面ABCD⊥平面DCEF．∴MG⊥平面DCEF，∠MNG是MN與平面DCEF所成的角．∵M(jìn)N=，為MN與平面DCEF所成角的正弦值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．標(biāo)準(zhǔn)答案：假設(shè)直線ME與BN共面，則AB平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN．由已知，兩正方形不共面，故AB平面DCEF．又因?yàn)锳B／／CD，所以AB／／平面DCEF．而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，所以AB／／EN．又因?yàn)锳B／／CD／／EF，所以EN／／EF，這與EN∩EF=E矛盾，故假設(shè)不成立．所以ME與BN不共面，它們是異面直線．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E、F、O分別為PA、PB、AC的中點(diǎn)，AC=16，PA=PC=10．20、設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG／／平面BOE；標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖，取PE的中點(diǎn)為H，連結(jié)HG，HF．因?yàn)辄c(diǎn)E，O，G，H分別是PA，AC，OC，PE的中點(diǎn)，所以HG／／OE，HF／／EB．因此平面FGH／／平面BOE．因?yàn)镕G在平面FGH內(nèi)，所以FG／／平面BOE．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、證明：在△ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM⊥平面BOE，并求點(diǎn)M到OA，OB的距離．標(biāo)準(zhǔn)答案：在平面OAP內(nèi)，過點(diǎn)P作PN⊥OE，交OA于點(diǎn)N，交OE于點(diǎn)Q．連結(jié)BN，過點(diǎn)F作FM／／PN，交BN于點(diǎn)M．下證FM⊥平面BOE．由題意得OB⊥平面PAC，所以O(shè)B⊥PN，又因?yàn)镻N⊥OE，所以PN⊥平面BOE，因此FM⊥平面BOE．在Rt△OAP中，，＜OA，所以點(diǎn)N在線段OA上．因?yàn)镕點(diǎn)是PB的中點(diǎn)，所以M是BN的中點(diǎn)．因此點(diǎn)M在△AOB內(nèi)，點(diǎn)M到OA，0B的距離分別為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分別為AC、DC的中點(diǎn)．22、求證：EF⊥BC；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，易得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求二面角E—BF—C的正弦值．標(biāo)準(zhǔn)答案：在圖中，設(shè)平面BFC的一個(gè)法向量=(0，0，1)，平面BEF的法向量設(shè)二面角E—BF—C的大小為θ，由題意知θ為銳角，則cosθ=．即所求二面角正弦值為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于點(diǎn)F，F(xiàn)E／／CD，交PD于點(diǎn)E．24、證明：CF⊥平面ADF；標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PD⊥AD．因?yàn)樵谡叫蜛BCD中CD⊥AD，又因?yàn)镃D∩PD=D，所以AD⊥平面PCD．因?yàn)镃F平面PCD，所以AD⊥CF．因?yàn)锳F⊥CF，AF∩AD=A，所以CF⊥平面ADF．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、求二面角D—AF—E的余弦值．標(biāo)準(zhǔn)答案：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DP、DC、DA分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則D(0，0，0)，A(0，0，1)，C(0，1，0)，是平面ADF的一個(gè)法向量．設(shè)平面AEF的法向量為．令x=4，則y=0，是平面AEF的一個(gè)法向量．設(shè)二面角D—AF—E的平面角為θ，且θ∈(0，)，所以cosθ=，所以二面角D—AF—E的平面角的余弦值為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB／／DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．26、證明：BE⊥DC；標(biāo)準(zhǔn)答案：∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．∴B(1，0，O)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(1，1，1)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、求直線BE與平面PBD所成角的正弦值