第五章平面向量和復(fù)數(shù)專題5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1.了解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算考點(diǎn)三共向量共線的坐標(biāo)表示知識(shí)梳理1．平面向量基本定理如果平面內(nèi)兩個(gè)向量a與b不共線，則對(duì)該平面內(nèi)任意一個(gè)向量c，存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使得c＝xa＋yb.平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量a與b組成該平面上向量的一組基底，記為{a，b}．2．平面向量的正交分解如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就稱這組基底為正交基底；在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解．3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).4．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.第一部分核心典例題型一平面向量基本定理的應(yīng)用1．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿足，，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【詳解】因?yàn)椋瑒t，整理得，可得，所以.故選：A.2．已知為的邊所在直線上一點(diǎn)，且，點(diǎn)在直線上，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，而三點(diǎn)共線，故，即，故選：A3．在中，，邊上一點(diǎn)滿足，若，則()A． B． C． D．【答案】C【詳解】在中，由正弦定理可得．①在中，由正弦定理可得．②因?yàn)椋?，，由①②可得，則，即，解得，又因?yàn)?，且、不共線，所以，，所以．故選：C.4．如圖，在中，為上一點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，所以，，又，所以，?故選：D5．如圖，在平行四邊形中，，，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】在平行四邊形中，，，所以，若，則，則．故選：D．題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算6．已知向量，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【詳解】，，，.故選：D.7．若向量，，，則用表示為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，因?yàn)橄蛄?，，，所以，，解得，所以，故選：A.8．已知向量，若，則=（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意可得,所以解得,所以.故選:A.9．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，，所以，故選：B.10．已知，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由向量，，可得，因?yàn)?，可得，解得，所?故選：C.題型三共向量共線的坐標(biāo)表示11．若向量，且，則（

）A．1 B．5 C． D．【答案】D【詳解】由向量，可得，因?yàn)?，可得，解得，所以，可?故選：D.12．已知平面向量，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由向量，因?yàn)椋傻?，解?故選：A.13．設(shè)向量，且，則（

）A．3 B． C．1 D．【答案】D【詳解】由題意，，又，且，根據(jù)向量共線的條件可知，，解得.故選：D14．已知向量，，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．－1 C． D．【答案】D【詳解】，由于與共線，所以.故選：D15．已知向量，，，若與共線，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由向量，，，可得，因?yàn)榕c共線，可得，解得.故選：D.第二部分課堂達(dá)標(biāo)一、單選題1．已知向量，向量，若，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【詳解】由得，得，故選：A2．在下列各組向量中，可以作為基底的一組是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】對(duì)于A，，所以，共線，不能作為基底；對(duì)于B，，所以，共線，不能作為基底；對(duì)于C，，所以，共線，不能作為基底；對(duì)于D，，所以，不共線，可以作為基底．故選：D．3．已知向量，向量，若，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵，，，∴，解得.故選：B.4．已知向量，，，若B，C，D三點(diǎn)共線，則（

）A．－16 B．16 C． D．【答案】A【詳解】由題意得，，因?yàn)锽，C，D三點(diǎn)共線，所以，則，得.故選：A.5．已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)橄蛄?，所?故選：C6．已知向量，則與共線的單位向量為（）A． B．C．或 D．或【答案】D【詳解】,則與共線的單位向量為或.故選:D.7．已知點(diǎn)，則與向量方向相反的單位向量為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由點(diǎn)，可得，則所以與向量方向相反的單位向量為.故選：B.8．已知向量，．若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得.故選：C.二、多選題9．已知一平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，則第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)可以是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】分別設(shè)點(diǎn)，，，第四個(gè)頂點(diǎn)為，若，即，則，解得，即；若，即，則，解得，即；若，即，則，解得，即；故選：ACD10．在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則（

）A．若，則B．若點(diǎn)在上，則C．若，則D．若與共線，則【答案】AC【詳解】由題知，，所以．選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，即，A正確；選項(xiàng)B，，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，所以，即，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，，，，因?yàn)椋裕?，解得，所以，C正確；選項(xiàng)D，，，由與共線，得，整理得，D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題11．已知向量.若，則．【答案】【詳解】因?yàn)樗?，由題可知，解得．故答案為：12．已知，則等于.【答案】【詳解】，由于，所以.故答案為：四、解答題13．如圖，已知，，，，求向量，，，的坐標(biāo)．【答案】，，，【詳解】，，，．14．，求，的坐標(biāo).【答案】；.【詳解】因?yàn)?，所?.15．已知空間四點(diǎn),,和,求證:四邊形是梯形.【答案】證明見解析【詳解】依題意有,同理,,,因?yàn)?所以,則,且,又與不共線,所以四邊形是梯形.16．已知直角梯形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，