§6.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

【2014高考會(huì)這樣考】1.以等比數(shù)列的定義及等比中項(xiàng)為背景，考查等比數(shù)列的判定；2.運(yùn)用

基本量法求解等比數(shù)列問(wèn)題；3.考查等比數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題.

【復(fù)習(xí)備考要這樣做】1.注意方程思想在解題中的應(yīng)用；2.使用公式要注意公比q=l的情況;

3.結(jié)合等比數(shù)列的定義、公式，掌握通性通法.

基礎(chǔ)知識(shí)?自主學(xué)習(xí)

I要點(diǎn)梳理I

1.等比數(shù)列的定義

如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零),那么這個(gè)

數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母_g_表示.

2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

設(shè)等比數(shù)列｛髭｝的首項(xiàng)為%,公比為q,則它的通項(xiàng)-1.

3.等比中項(xiàng)

若G2=a-b(abWO),那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).

4.等比數(shù)列的常用性質(zhì)

⑴通項(xiàng)公式的推廣：=(m機(jī)GN*).

(2)若｛aj為等比數(shù)列，且左+/=wi+w(左，I,m,”GN*),貝U

(3)若｛<｝,｛々｝(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，貝。｛加JQWO),｛a?｛a鴻｝，樹(shù)仍是等

比數(shù)列.

5.等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式

等比數(shù)列｛%｝的公比為q(qWO),其前n項(xiàng)和為S“,

當(dāng)g=l時(shí)，S=na-,

n1

當(dāng)qWl時(shí),

?1—q1—q'

6.等比數(shù)列前"項(xiàng)和的性質(zhì)

公比不為一1的等比數(shù)列｛an｝的前w項(xiàng)和為Sn,則Sn,S2,n—Sn,S5,n一S2n,仍成等比數(shù)列,

其公比為乎.

［難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源］

1.等比數(shù)列的特征

從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項(xiàng)都是非零的，公比q也是非零常數(shù).

2.等比數(shù)列中的函數(shù)觀(guān)點(diǎn)

利用函數(shù)、方程的觀(guān)點(diǎn)和方法，揭示等比數(shù)列的特征及基本量之間的關(guān)系.在借用指數(shù)

函數(shù)討論單調(diào)性時(shí)，要特別注意首項(xiàng)和公比的大小.

3.兩個(gè)防范

⑴由a,1.“，戶(hù)。并不能立即斷言⑷為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證

(2)在運(yùn)用等比數(shù)列的前”項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q=1與qWl分類(lèi)討論，防止因忽略

4=1這一特殊情形導(dǎo)致解題失誤.

I基礎(chǔ)自測(cè)I

1.(2012?遼寧)已知等比數(shù)列｛”｝為遞增數(shù)列，且a|=aio,2(a+a!+2)=5ai+f則數(shù)列｛aj

的通項(xiàng)公式an=.

答案2"

解析先判斷數(shù)列的項(xiàng)是正數(shù)，再求出公比和首項(xiàng).

噲=*>0,根據(jù)已知條件得2。+J=5,解得q=2.

所以華8=。在)，所以4=2,所以a=2?.

2.在等比數(shù)列｛”“｝中，各項(xiàng)均為正值，且3a5=41a4as=5,則。4+°8=

答案痂

解析由V10+4%=41及V10=i'a3a5=a4'

得〃2+〃2=41.因?yàn)閍〃=5,

4848

所以（。+〃）2=。2+2〃〃+12=41+2X5=51.

4874488

又\>0,所以

3.已知a,b,c成等比數(shù)列，如果a,x,b和6,y,c都成等差數(shù)列，則:+；=-

答案2

解析令〃=l,/?=3,c=9,則由題意，有x=2,y=6.

此時(shí)4+?=l+9=2.

xy26

4.（2011?廣東）已知｛4｝是遞增等比數(shù)列，a=2,%—4=4，則此數(shù)列的公比4=

答案2

a-2,

解析由a、=2,a-a=4,得方程組<-

2

一a2q'?2（?=4,

q2-q-2-0,

解得q=2或q=-1.又｛a“｝是遞增等比數(shù)列，故q=2.

5.（2012.課標(biāo)全國(guó)）已知｛aj為等比數(shù)列，?4+a7=2,a5a6=-8,則%+a］。等于（

A.7B.5C.-5D.-7

答案D

a+。=aq3+aq6=2,

解析方法一由題意得47'1

%q4xa"=9=

a5a6=竿-8,

q3=-2,q3='2

L=1或；?4+”:中+⑻=-7.

a=-8,

a+Q=2,aC二一21=4,

u474/

方法二由1解得或,

4a6=?7=_8%=4%=-2.

q3=-2,

或，4；?4+”:中+⑻=-7.

d=l

a=-8,

題型分類(lèi)?深度剖析

題型一等比數(shù)列的基本量的計(jì)算

【例1】等比數(shù)列僅｝的前W項(xiàng)和為S.已知S,,S,S,成等差數(shù)歹!].

nn132

(1)求｛%｝的公比q；

(2)若見(jiàn)一見(jiàn)=3,求S.

13n

思維啟迪：(1)由S3,S,成等差數(shù)列，列方程求出必

⑵由a-a=3求出a,再由通項(xiàng)和公式求出S.

''j131n

解(1)依題意有4+(4+a⑼=2(4++a/).

由于,故2q2+q=0.

又q手。,從而4=-

⑵由已知可得412=3.故4-4.

4[1-

從而S=—和

n2)

1-4

探究提高等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題，數(shù)列中有五個(gè)量4,

n,q,an，S”,一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)可迎刃而解.

變式訓(xùn)練1等比數(shù)列儲(chǔ)｝滿(mǎn)足：ax+a=n,a3-a4=y,且公比產(chǎn)(0,1).

(1)求數(shù)列｛￡｝的通項(xiàng)公式；

⑵若該數(shù)列前n項(xiàng)和S=21,求n的值.

32

解⑴???4?%又。］+。6=11，

故q,〃可看作方程及-11%+芋=0的兩根，

I69

又H(O，1)，二￥，〃二！，

1563

/.Z75=^6=—,?二q二1，

q

ax32/2

⑵由⑴知曠算1-4)=21,解得"=6.

題型二等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

【例2】在等比數(shù)列｛矗｝中，

(1)若已知〃2=4，〃5=一；求?！?；

(2)若已知43a/5=8，求的值.

思維啟迪：注意巧用性質(zhì)，減少計(jì)算.如：對(duì)于等比數(shù)列巴｝,若加+〃=p+q(小幾、

p、qGN*)，則〃?〃=a-a；右根+〃=2PMt，幾，p￡N*)，則〃-a-a2.

mnPQmnp

解⑴設(shè)公比為q,則2=0,即分=］，

(2)V=8，又4a5=「=S,a=2.

WS44

.?.wm=a5=25=32.

探究提高在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性

質(zhì)“若7"+〃=p+q,則“.=a-a”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度.

ma11Pq

變式訓(xùn)練2(1)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛,｝中，°產(chǎn)2a3=5，a7a8。9=1°，則04a5綜

等于()

A.5啦B.7C.6D.46

(2)已知S“為等比數(shù)列｛與｝的前w項(xiàng)和，且$3=8,56=7,則3+%+…+°9=-

7

答案(1)A(2)—

解析(1)把a(bǔ)]4%,"4"5“6''唳'看成一個(gè)整體,則由題意,知它們分別是一個(gè)等比數(shù)

列的第1項(xiàng)，第4項(xiàng)和第7項(xiàng)，這里的第4項(xiàng)剛好是第1項(xiàng)與第7項(xiàng)的等比中項(xiàng),因?yàn)?/p>

(2)根據(jù)等比數(shù)歹I」的性質(zhì)，知名，S-SS-S成等比數(shù)歹I」，即8,7-8,S-7成等比數(shù)

歹U,所以(-1)2=8(\-7).解得$9=7：.所以%+%+…+。9=$9-$3=7；-8=-

題型三等比數(shù)列的判定“崛81一￡題I

【例3】已知數(shù)列｛a｝的前"項(xiàng)和為S,數(shù)列｛6｝中,b=a,6=a一二一(心2),且a+S

nnnlinnninn

=n.

⑴設(shè)C“=%—1,求證：｛c“｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛6J的通項(xiàng)公式.

思維啟迪：(1)由a+S=〃及a+S="+1轉(zhuǎn)化成。與a的遞推關(guān)系，再構(gòu)造數(shù)

列｛a-1｝.

n

(2)由c求。再求b.

⑴證明?；a+S=",①

nn

「+S—n+1.②

n+1n+1

②-①得a+—+°+「1

n+Inn+1

：.2a-a+1,2(a-l)=a-1,

n+1nn+1n

a-1i

.?.噎/.{?-i}是等比數(shù)列.

a-12”

n

又。+a=1,=1

iii2

,:首項(xiàng)q二4t,\=-21公比q二;.

又。~a-\,

nn

｛c｝是以-1為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列?

n22

又b=a=I代入上式也符合,：.b

11zn\2J

探究提高注意判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的方法，另外第(2)問(wèn)中要注意驗(yàn)證〃=1時(shí)是

否符合時(shí)的通項(xiàng)公式，能合并的必須合并.

變式訓(xùn)練3已知數(shù)列｛0｝的前”項(xiàng)和s=24+1,求證：｛a｝是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)

nnnn

公式.

證明VS=2a+1,'S-la+1.

nnn+in+1

,\a=S-S=(2a+1)-(2a+l)=2a-2a.

n+1n+1nn+1nn+1n

：.a=2a，又-la+\-a,

n+1n111

：.a~TWO.又由a=2〃知〃#o

1n+1nn

a

???亡皿二二二匕｝是以一i為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

n

：.a=TX2N-I=-2”一i.

n

答題模板系列9

等差與等比數(shù)列綜合性問(wèn)題的求解

典例：(14分)(2011?湖北)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15,并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、

13后成為等比數(shù)列｛々J中的％、與、b5.

(1)求數(shù)列｛々｝的通項(xiàng)公式；

⑵數(shù)列也,｝的前，項(xiàng)和為S“，求證：數(shù)列是等比數(shù)列.

審題視角設(shè)等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)解出公差d，從而求出數(shù)列應(yīng),｝

的首項(xiàng)、公比；利用等比數(shù)列的定義可解決第(2)問(wèn).

規(guī)范解答

⑴解設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為a-d,a.a+d.

依題意，得a-d+〃+〃+d=15,解得a=5.[2分]

所以｛幺｝中的%々.依次為7-41。18+d.

依題意，有(7-<7)(18+d)=100,

解得公2或公-13(舍去).[4分]

故論｝的第3項(xiàng)為5,公比為2.

由仆=122，即5=.22,解得4=：.

所以｛4｝是以制首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為2,=Q—=5-2?-3,[7分]

4（!-2"）55

⑵證明數(shù)列仍｝的前〃項(xiàng)和S=-=52一2-＞即S+廣52一2.[9分]

nn1-24

5-2?-i

所以『常--------=2.

+52-2

sn4!

因此卜“+》是以:為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.[14分]

答題模板

求解等差和等比數(shù)列綜合性問(wèn)題的一般步驟：

第一步：設(shè)等比數(shù)列、等差數(shù)列的基本量；

第二步：根據(jù)條件列方程，解出基本量；

第三步：根據(jù)公式求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和；

第四步：根據(jù)定義證明等差、等比數(shù)列；對(duì)于等比數(shù)列，一定要說(shuō)明首項(xiàng)非零.

溫馨提醒關(guān)于等差（比）數(shù)列的基本運(yùn)算，其實(shí)質(zhì)就是解方程或方程組，需要認(rèn)真計(jì)算,

靈活處理已知條件.容易出現(xiàn)的問(wèn)題主要有兩個(gè)方面：一是計(jì)算出現(xiàn)失誤，特別是利用

因式分解求解方程的根時(shí)，不注意對(duì)根的符號(hào)進(jìn)行判斷；二是不能靈活運(yùn)用等差（比）數(shù)

列的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件，導(dǎo)致列出的方程或方程組較為復(fù)雜，增大運(yùn)算量.

思想方法?感悟提高

方法與技巧

1.等比數(shù)列的判定方法有以下幾種：

⑴定義：—=q（q是不為零的常數(shù)，"eN*）=｛a｝是等比數(shù)列.

Clnn

⑵通項(xiàng)公式：a=cqn-1（Cvq均是不為零的常數(shù)，〃GN*）O｛%｝是等比數(shù)列.

⑶等比中項(xiàng)法：拌=。-a+（a-a+-a+7^0,”GN*）o｛a｝是等比數(shù)列.

2.方程觀(guān)點(diǎn)以及基本量（首項(xiàng)和公比4,4）思想仍然是求解等比數(shù)列問(wèn)題的基本方法:在力，

q,n,a，S五個(gè)量中，知三求二.

1nn

3.在求解與等比數(shù)列有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，除了要靈活地運(yùn)用定義和公式外，還要注意性質(zhì)的應(yīng)

用，以減少運(yùn)算量而提高解題速度.

失誤與防范

1.特別注意夕=1時(shí)，S=嗎這一特殊情況.

n1

2.由a~qaIqNO,并不能立即斷言｛〃｝為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證

n+1nn1

3.在運(yùn)用等比數(shù)列的前，項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q=l與戶(hù)1分類(lèi)討論，防止因忽略q

=1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.

練出高分

A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練

（時(shí)間：35分鐘，滿(mǎn)分:57分）

一、選擇題（每小題5分，共20分）

1.（2011?遼寧）若等比數(shù)列｛3｝滿(mǎn)足盤(pán)與+=16",則公比為（）

A.2B.4C.8D.16

答案B

=

解析由a。,,16”,知a,心=16,aa=I62,

nn+11223

后式除以前式得衣=16,4=±4.

=a

Va1a2^q=16>0,q>0,.\q=4.

2.等比數(shù)列｛%｝中，kzj=l,a=-Sa.a>a則〃等于（）

n152529n

A.（一2）〃-1B.

C.（一2）〃D.-（-2）?

答案A

解析???|%l=l,??.4=1或4=-I.

?.?〃5=-8a^=a^.q3,:q=-8,:?q=-2.

又a>a,gpaqi>a,：.a<0.而a=aq-a-（-2）<0,：.a=1.故a=a-2）"-1=（-

522^222P1v7'\n1v7

2）〃-L

3.在等比數(shù)列｛aj中，％=2,前w項(xiàng)和為S“，若數(shù)歹（］｛a“+l｝也是等比數(shù)列，則S"等于（）

A.2"+i-2B.3〃

C.2nD.3?—1

答案C

解析由已知得數(shù)列｛4｝的前三項(xiàng)分別為2,2q,2q2又Qq+1）2=3（2伏+1）,整理得2-

4q+2=0,解得q=l,S,：2〃.

4.在等比數(shù)列｛%｝中，％=7，前3項(xiàng)之和邑=21，則公比q的值為（）

A.1B.—2

C.1或一5D.-1或:

答案c

%q2=7,\+q+q2

解析根據(jù)已知條件得=3.

、4+a、q+%乎=21.1

整理得2q2-q-1=0,解得q=1或4=-1.

二、填空題(每小題5分，共15分)

5.在等比數(shù)列｛%｝中，4+4=3°，％+°4=6。，則。7+嘎=_

答案240

解析?."+4=4(1+4)=30,%+04="1斗(1+4)=60,

：.q2=2,：.a^+a^=a^｝+q)=[al+q]-(^2)3

=30X8=240.

6.在數(shù)列｛a｝中，已知a,=l,a=2(a+aH-----Fa+a)(H^2,n^N*),這個(gè)數(shù)列的

1nJ1nn-1n-221

通項(xiàng)公式是.

1,n=l

答案

an=

2X3"-2,n22

解析由已知G2時(shí)，a=2S①

nn-1

當(dāng)九23時(shí)，。=2S②

①-②整理得烏-=3(〃23),

1,n-\,

一

???〃-V

"[2X3"-2,

7.設(shè)等比數(shù)列｛aj的公比為q,前"項(xiàng)和為S“，若S〃+1,Sn，*+?成等差數(shù)列，則4的值為

答案一2

解析由已知條件得2S=S+S

nn+1n+2

即2s=2S+2a+a,即5=-2.

nnn+1n+2〃

n+1

三、解答題(共22分)

8.(10分)已知等差數(shù)列｛a“｝滿(mǎn)足。。=2,05=8.

(1)求｛,｝的通項(xiàng)公式；

(2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛々｝中，b=l,么+%=%，求｛々｝的前w項(xiàng)和9

解⑴設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

a+d-2

貝岫已知得「,：.a=0,d=2.

%+4d=81

：.a-a+(〃T)d=2〃-2.

n1

(2)設(shè)等比數(shù)歹的公比為q,貝！I由已知得q+q2=〃4，

,.,<24=6,；應(yīng)=2或4=-3.

;等比數(shù)列仍“｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，，q=2.

b(1-1X(1-2?)

?,?｛幺｝的前”項(xiàng)和T=i]q=]2=2"-1.

9.(12分)已知數(shù)列｛%,｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)和S“滿(mǎn)足S“=%a“+l)3"+2).若％，

豆，%成等比數(shù)列，求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

解因?yàn)镾=[(。+1)(。+2)，①

所以當(dāng)"=1時(shí)，有S]=%=：(%+1)(%+2),

解得a=1或a=2；

11

當(dāng)心2時(shí)，有S=Ka+D3+2).②

n-1O?-1n-1

①-②并整理，得m+a,)(a-?,-3)=0(G2).

nn-lnn-1

因?yàn)閿?shù)列｛q｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以%-=3(w22).

當(dāng)〃=1時(shí)，〃=1+3（n-1）=3幾-2,止匕時(shí)02=a成立.

1n429

當(dāng)〃=2時(shí)，〃=2+3（n-1）=3M-1,此時(shí)（n=aa不成立.

1n429

所以a=2舍去.故〃=3n-2.

1n

B組專(zhuān)項(xiàng)能力提升

（時(shí)間：25分鐘，滿(mǎn)分：43分）

一、選擇題（每小題5分，共15分）

1.已知網(wǎng),｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，若可是｛aj的前"項(xiàng)和，且2853=%,則數(shù)列的前

4項(xiàng)和為（）

A.標(biāo)或4B.罵或4C.罵D.午

答案C

解析設(shè)數(shù)列｛髭｝的公比為外

當(dāng)q=1時(shí)，由a=1,得28s=28X3=84.

13

而S=6,兩者不相等，因此不合題意.

6

當(dāng)產(chǎn)1時(shí)，由28s=S及首項(xiàng)為1,得遇上“）=1-"解得3.所以數(shù)列｛0｝的通項(xiàng)

36l-q1-q"

公式為a=3?-1.

n

所以數(shù)列仁）的前4項(xiàng)和為1+；+；+］啰

m

2.已知方程（承一“工+2）（*—依+2）=0的四個(gè)根組成以;1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，則,等于（）

332

A，2B.］或］

2

C.gD.以上都不對(duì)

答案B

解析設(shè)a,6,c,d是方程(/-mx+2)(x2-wx+2)=°的四個(gè)根，不妨設(shè)a<c<d<b，則

=od=2,a=：,故6=4,根據(jù)等比數(shù)歹ll的性質(zhì)，得至I」：c=1,1=2,貝U加=a+b

=9,n=c+d=3^,m=c+d=3,n=a+b=-,貝?。莞??或=-

22n2ny

3.設(shè)｛,｝是任意等比數(shù)列，它的前〃項(xiàng)和、前2”項(xiàng)和與前3〃項(xiàng)和分別為X,y,Z,則下

列等式中恒成立的是()

A.X+Z=1YB.Y(Y~X)=Z(Z~Y)

c.Y2=xzD.y(y—x)=x(z—x)

答案D

解析對(duì)于含有較多字母的選擇題，可以取滿(mǎn)足條件的數(shù)字代替字母，代入驗(yàn)證，若能

排除三個(gè)選項(xiàng)，則剩下的唯一選項(xiàng)就一定正確；若不能完全排除，則可以取其他數(shù)字繼

續(xù)驗(yàn)證排除.

取等比數(shù)列為1,22.23,24，…，令〃=1,得x=1,y=3,Z=7.代入驗(yàn)算，只有選項(xiàng)D

成立.

二、填空題(每小題5分，共15分)

4.已知等比數(shù)列｛”“｝滿(mǎn)足%+&+〃4=28，a“書(shū)>”“，且％+2是%與之的等差中項(xiàng)，則數(shù)

列｛aJ的通項(xiàng)公式是.

答案

an=2"

解析因?yàn)?+2是晨與％的等差中項(xiàng)'

所以2(〃+2)=a+a

324,

因?yàn)閍+a+a=28,所以2(a+2)+a=28.

23433

所以a=8,a+a=20.

324

設(shè)數(shù)列｛t｝的公比為q,

%二32,

貝,i_解得，1或<

1

因?yàn)閿?shù)列｛〃｝滿(mǎn)足〃>a，所以。=2tq=2.

nn+In1

所以數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為a=2”.

nn

a=fe

5.在等比數(shù)列｛%｝中，若%+/o=a(a#0),?19+20>則％9+%00