功與能

利用圖象求功之方法適用于當(dāng)力對(duì)位移的關(guān)系為線性時(shí);或在表示力對(duì)位移關(guān)系的F-s示功圖中F(s)圖線與s軸圍成的圖形“面積”有公式可依時(shí);因?yàn)樵贔-s示功圖中，這種“面積”的物理意義就是功的大?。?/p>

方法A利用圖象—示功圖sF0變力求功方法ABCxW

錘子打木樁，錘每次從同一高度落下，每次均有80%的能量傳給木樁，且木樁所受阻力f與插入深度x成正比，試求木樁每次打入的深度比．若第一次打擊使木樁插入了全長(zhǎng)的1/3，全部插入須錘擊多少次？

專(zhuān)題8-例1解:本題中的阻力f為一與位移x成正比的變力，即f=kx示功圖xF0x1x2x3……lW0W0W0圖中各陰影“面積”

表示第1、2、3……次錘擊中，木樁克服阻力做的功，數(shù)值上等于錘傳給木樁的能量，設(shè)為W0．

由圖當(dāng)xn=l時(shí)，由

某質(zhì)點(diǎn)受到F=6x2的力的作用，從x=0處移到x=2.0m處，試求力F做了多少功？專(zhuān)題8-例2解:本題中的變力力F與位移x成F=6x2關(guān)系，F(xiàn)-x圖線為拋物線示功圖24x/mF/N02W圖中“面積”

表示F力做的功“面積”

由阿基米德公式由示功圖得F力做的功

如圖所示，一質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的柔軟繩索，一部分平直地放在桌面上，另一部分跨過(guò)桌面邊緣的光滑定滑輪下垂，柔繩與桌面間的摩擦因數(shù)為μ．⑴柔繩能由靜止開(kāi)始下滑，求下垂部分長(zhǎng)度至少多長(zhǎng)？⑵由這一位置開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，柔繩剛離開(kāi)桌面時(shí)的速度多大？小試身手題2解:⑴設(shè)柔繩恰由靜止開(kāi)始下滑時(shí)下垂部分長(zhǎng)度為x0，則由

⑵柔繩恰由靜止開(kāi)始下滑至以v離開(kāi)桌面，由動(dòng)能定理其中，重力功等于繩重力勢(shì)能減少摩擦力為線性變力：示功圖xFf0l-x0Wfx

一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，被固定中心排斥，斥力的大小F=μmr，其中r為質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)此中心的距離．在開(kāi)始時(shí)，r0=a，v=0，求質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)位移a時(shí)所達(dá)到的速度大?。≡嚿硎诸}5解:斥力為線性變化力！

示功圖rF0aaWF對(duì)示功圖求梯形陰影“面積”對(duì)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)位移a的過(guò)程，由動(dòng)能定理

跳水運(yùn)動(dòng)員從高于水面H＝10m的跳臺(tái)自由落下，運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量m＝60kg，其體形可等效為長(zhǎng)度l＝1.0m、直徑d＝0.30m的圓柱體，略去空氣阻力，運(yùn)動(dòng)員入水后水的等效阻力F作用于圓柱體下端面，F(xiàn)量值隨入水深度y變化如圖，該曲線近似為橢圓的一部分，長(zhǎng)軸和短軸分別與OY和OF重合，為了確保運(yùn)動(dòng)員絕對(duì)安全，試計(jì)算水池中水的h至少應(yīng)等于多少？小試身手題8解:5mg/2YF0h對(duì)全過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理:其中阻力功根據(jù)示功圖為四分之一個(gè)橢圓“面積”:示功圖入水過(guò)程中，浮力隨入水深度y作線性變化示功圖YF浮0l

如果在某一位移區(qū)間，力隨位移變化的關(guān)系為F=f(s)，求該變力的功通常用微元法，即將位移區(qū)間分成n（n→∞）個(gè)小區(qū)間s/n，在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)將力視為恒定，求其元功Fi·s/n

，由于功是標(biāo)量，具有“可加性”，那么總功等于每個(gè)小區(qū)間內(nèi)元功之代數(shù)和的極限，即變力在這段位移中所做的功為：

方法B用微元法在數(shù)學(xué)上，確定元功相當(dāng)于給出數(shù)列通項(xiàng)式，求總功即求數(shù)列n項(xiàng)和當(dāng)n→∞時(shí)的極限．

將板沿板長(zhǎng)均分為n（n→∞）等份

將木板在水平地面上繞其一端轉(zhuǎn)動(dòng)角α，求所需要做的功．木板長(zhǎng)度為L(zhǎng)，質(zhì)量為M，木板與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．

小試身手題1解:元摩擦力做功的位移為摩擦力對(duì)i段做的元功為則對(duì)木板的功

各元段摩擦力為

半徑等于r的半球形水池，其中充滿(mǎn)了水，把池內(nèi)的水完全吸盡，至少要做多少功？

專(zhuān)題8-例3解:rri沿著容器的豎直直徑，我們將水池內(nèi)的水均勻細(xì)分成n層，每一元層水的高度r1i2每一層水均可看作一個(gè)薄圓柱，水面下第i層水柱底面的半徑這層水的質(zhì)量將這層水吸出至少應(yīng)做的元功是

將池水吸盡至少要做的功是

一個(gè)質(zhì)量為m的機(jī)動(dòng)小車(chē)，以恒定速度v在半徑為R的豎直圓軌道繞“死圈”運(yùn)動(dòng)．已知?jiǎng)幽Σ烈驍?shù)為μ，問(wèn)在小車(chē)從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)過(guò)程中，摩擦力做了多少功？

專(zhuān)題8-例4解:小車(chē)沿豎直圓內(nèi)軌勻速率運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，由于軌道支持力是變力，故而摩擦力為一隨位置變化的力！xyOAB當(dāng)小車(chē)運(yùn)動(dòng)在A處元圓弧段時(shí)

mgNA摩擦力在A處元功為當(dāng)小車(chē)運(yùn)動(dòng)在與A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的B處元圓弧段時(shí)

mgNB續(xù)解摩擦力在B處元功為小車(chē)在關(guān)于水平直徑對(duì)稱(chēng)的軌道兩元段上摩擦力元功之和為摩擦力在半圓周軌道上的總功

這種求功方法依據(jù)功對(duì)能量變化的量度關(guān)系，只須了解初、未能量狀態(tài)，得到能量的增量便是相應(yīng)的功量．

方法C從能量變化反觀功如圖所示,一質(zhì)量分布均勻的粗繩長(zhǎng)2a，質(zhì)量為2m，兩端懸于水平天花板上相距為a的兩點(diǎn)而懸垂靜止，其重心位于天花板下方b處.現(xiàn)施一力于繩之最低點(diǎn)C并將繩拉直至D點(diǎn)，求拉力所做的功．D由幾何關(guān)系拉直后兩段繩的重心位置距天花

重力勢(shì)能增加了由功能原理，拉力功為

解：專(zhuān)題8-例5由于拉力做功，使繩之重心高度變化因而重力勢(shì)能變化，重力勢(shì)能的增量即為所求拉力功量．Chh

一質(zhì)量為m的皮球，從高為h處自由下落（不計(jì)空氣阻力），反彈起來(lái)的高度為原來(lái)的3/4，要皮球反彈回h高處，求每次拍球需對(duì)球做的功

專(zhuān)題8-例6解:

在球與地面接觸期間，地面對(duì)球的彈力對(duì)球做負(fù)功，使球的動(dòng)能減少．地面對(duì)球的彈力功是變力功!牛頓碰撞定律：若兩球碰撞前速度依次為v10、v20，碰撞后速度為v1、v2，則碰撞后兩者的分離速度v2－v1與碰撞前兩者的接近速度v20－v10成正比，比值e稱(chēng)恢復(fù)系數(shù)（或反彈系數(shù)），比值由兩者的質(zhì)料決定，即從h高度自由下落再反彈的全過(guò)程,地面彈力功W1:從h高度拍下再反彈原高的全過(guò)程,地面彈力功W2:續(xù)解從h高下落未速度即與地接近速度:從地面反彈的起跳速度即與地分離速度:同一球與同一地面碰撞,恢復(fù)系數(shù)相同:功能關(guān)系面面觀

功是力的空間積累作用，能是對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的一種量度．功的作用效應(yīng)是使物體的能量狀態(tài)發(fā)生變化，做功的過(guò)程就是物體能量轉(zhuǎn)化的過(guò)程，轉(zhuǎn)化了的能量都可以由做功的多少來(lái)量度，這是我們對(duì)功與能之間關(guān)系的基本認(rèn)識(shí)，是我們從能量角度解決運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的依據(jù)．

功能關(guān)系基本認(rèn)識(shí)

功能關(guān)系的具體認(rèn)識(shí)

功能對(duì)應(yīng)規(guī)律借助功與能的具體對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)運(yùn)動(dòng)的功的量度問(wèn)題作出正確的操作.⑵確定有哪些力對(duì)研究對(duì)象做了正功或負(fù)功，以代數(shù)和的形式完成定理中等號(hào)左邊對(duì)合外力的功的表述；⑶分析所研究過(guò)程的初、未兩狀態(tài)的動(dòng)能，完成等號(hào)右邊對(duì)動(dòng)能變化的表述；動(dòng)能定理的應(yīng)用⑴選定研究的對(duì)象與過(guò)程;

示例一定的能量變化由相應(yīng)的功來(lái)量度

※重力功量度重力勢(shì)能的變化：※外力（可以是重力、彈力、摩擦力、電場(chǎng)力、磁場(chǎng)力或其它力）做的總功量度動(dòng)能的變化：※彈力功量度彈性勢(shì)能的變化：

動(dòng)能定理※引力功量度引力勢(shì)能的變化：

※非重力彈力功量度機(jī)械能的變化：

勢(shì)能定理功能原理※電場(chǎng)力功量度電勢(shì)能的變化：

（W非可以是摩擦力功、電場(chǎng)力功、安培力功或其它非重力、彈簧彈力的功）

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如圖示，一水塔的蓄水箱底離地面的高度H0=20m，其橫斷面是半徑R=2m的圓．儲(chǔ)水深h=1m，如果用裝在高H1=5m處、截面積為2cm2的水龍頭放水，問(wèn)需要多久才能將水放完？

專(zhuān)題8-例7解:根據(jù)題意，水箱中的水從底部截面積為s的小孔流出，若流速為vi，則時(shí)間ti內(nèi)的水流量Qi=vitiS；總儲(chǔ)水全部流盡的時(shí)間應(yīng)為每層水放出時(shí)間的通項(xiàng)式為

全部水箱儲(chǔ)水放盡的總需時(shí)為小孔流速續(xù)解1i2n一個(gè)常用近似示例P0+P水P0設(shè)小孔處一小片厚Δx、面積S的液片,在內(nèi)外壓力之合力作用下獲得速度v而離開(kāi)小孔，由動(dòng)能定理:小孔流速模型P0返回PP+P水R

一質(zhì)點(diǎn)在光滑的固定半球面上距球心高度為H的任意點(diǎn)P，在重力作用下由靜止開(kāi)始往下滑，從Q點(diǎn)離開(kāi)球面，求PQ兩點(diǎn)的高度差h．

專(zhuān)題8-例9解:本題除重力外無(wú)非保守力的功,機(jī)械能守恒!設(shè)球半徑為RPQHmgv由機(jī)械能守恒:Q點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程為:由幾何關(guān)系:若質(zhì)點(diǎn)從球頂部無(wú)初速滑下，則可沿球面滑下R/3的高度，釋放高度H越小，沿球面滑下的高度越短．這是一個(gè)有趣又有用的模型．

元功法

取元功作微元，以功能原理為基本依據(jù)求得一類(lèi)物理問(wèn)題解答的方法，我們稱(chēng)之為“元功法”.這種解法所循基本原理是分析力學(xué)中的“虛功原理”，由伯努利首先提出的．用元功法可以處理某些平衡問(wèn)題，且頗為簡(jiǎn)單．

元功法

元功法處理平衡問(wèn)題基本思路

取與原平衡狀態(tài)逼近的另一平衡狀態(tài)，從而虛設(shè)一個(gè)元過(guò)程，此過(guò)程中所有元功之和為零，以此為基本關(guān)系列出方程，通過(guò)極限處理，求得終解．

如圖所示，質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l的均勻柔軟粗繩，穿過(guò)半徑R的滑輪，繩的兩端吊在天花板上的兩個(gè)釘子上，兩鉤間距離為2R，滑輪軸上掛一重物，重物與滑輪總質(zhì)量為M，且相互間無(wú)摩擦，求繩上最低點(diǎn)C處的張力．

專(zhuān)題8-例10解:本題用元功法求解!分析粗繩、滑輪和重物構(gòu)成的系統(tǒng)的受力情況AOCRBTA(M+m)g分析繩之一半的受力情況TC設(shè)想在A處以力TA將ABC段繩豎直向上拉過(guò)一極小距離Δx由功能原理Δxab

如圖示，一輕三足支架每邊長(zhǎng)度均為l,每邊與豎直線成同一角度，三足置于一光滑水平面上,且恒成一正三角形，現(xiàn)用一繩圈套在三足支架的三足上,使其不能改變與豎直線間的夾角，設(shè)三足支架負(fù)重為G，試求繩中張力FT．

專(zhuān)題8-例11解:本題用元功法求解!分析支架的受力情況GFTFN設(shè)想支架各邊足部在繩合力作用下向正三角形中心移動(dòng)一極小位移

Δx:ΔxΔy支架每個(gè)足部繩合力元功負(fù)重重力勢(shì)能增量Δx與Δy幾何關(guān)系如示:θΔxΔy當(dāng)Δx→0,Δθ

→0,由功能原理BAβαC

如圖,所示的曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，設(shè)曲柄端A上所受的豎直力為Q，由活塞D上所受的水平力P維持平衡，試用元功法求P與Q的比值．圖中α、β為已知．小試身手題12解:CBAPαDβ設(shè)想設(shè)活塞D（即連桿的B端）以速度v通過(guò)一微小位移Δx，與此同時(shí)，連桿A端以速度vA繞C點(diǎn)通過(guò)一小段弧vnvvAvAvvα-βΔxvA

與v桿約束相關(guān)關(guān)系如示

vA方向與曲柄CA垂直，且是與B相同的水平速度v及對(duì)B點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度vn的矢量和QΔy在力P發(fā)生水平位移Δx的時(shí)