題型過關(guān)練

題型01判斷分式方程

1.關(guān)于％的方程①/一2%=工；②與藝一1==］；③%4一2%2=o；(4)|x2-1=0.其中是分式方程是

x4x32

()

A.①②③B.①②C.①③D.①②④

【答案】B

【分析】根據(jù)分式方程的定義對各方程進行逐一分析即可.

【詳解】解：方程①是分式方程，符合題意；

方程②分母中含有未知數(shù)，符合題意；

方程③是整式方程，不符合題意；

方程④是整式方程，不符合題意；

故其中是分式方程的有：①②，

故選：B.

【點睛】本題考查的是分式方程的定義，熟知分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程是解答此題的關(guān)鍵.

2.給出以下方程：早=1,三=2,凳=1,3—5=1，其中分式方程的個數(shù)是()

4xx+5232

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程，進行逐一判斷即可.

【詳解】解：與=1中分母不含未知數(shù)，不是分式方程；

4

三=2中分母含有未知數(shù)，是分式方程；

X

上1=9中分母含有未知數(shù)，是分式方程；

2-1=1中分母不含未知數(shù)，不是分式方程，

共有兩個是分式方程，故B正確.

故選：B.

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【點睛】本題主要考查的是分式方程的定義，掌握定義并進行準確判斷是解題的關(guān)鍵.

題型02分式方程的一般解法

1.(2022.廣東廣州.統(tǒng)考中考真題)分式方程工=左的解是

2xx+1

【答案】x=3

【分析】先去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程求解，再檢驗即可求解；

【詳解】解：方程兩邊同時乘以2尤。+1),得

3(x+l)=4x

3尤+3=4x

x=3,

檢驗：把43代入2x(x+l)=2x3(3+l尸24邦，

原分式方程的解為：x=3.

故答案為：x=3.

【點睛】本題考查解分式方程，解分式方程的基本思想是將分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程求解，注意：解分式

方程一定要驗根.

2.(2023廣州市一模)分式產(chǎn)的值比分式上的值大3,則x為

【答案】1

【分析】先根據(jù)題意得出方程，求出方程的解，再進行檢驗，最后得出答案即可.

【詳解】根據(jù)題意得：尹-上=3,

2-xx-2

方程兩邊都乘以x-2得：-(3-x)-1=3(x-2),

解得：x=l,

檢驗：把x=l代入x-2^0,

所以x=l是所列方程的解，

所以當(dāng)x=l時，P的值比分式上的值大3.

2-xx-2

【點睛】本題考查了解分式方程，能求出分式方程的解是解此題的關(guān)鍵.

3.(2022?廣西梧州?統(tǒng)考中考真題)解方程：1-匕=吃

3-xx-3

【答案】X=5

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【分析】先方程兩邊同時乘以(％-3),化成整式方程求解，然后再檢驗分母是否為0即可.

【詳解】解：方程兩邊同時乘以(刀一3)得到：％-3+2=4,

解出：x=5,

當(dāng)x=5時分式方程的分母不為0,

二分式方程的解為：%=5.

【點睛】本題考查了分式方程的解法，屬于基礎(chǔ)題，計算過程中細心即可.

4.(2011?河北?統(tǒng)考中考模擬)解分式方程：三—卷=；.

2x-4X-22

【答案】X.

【分析】根據(jù)解分式方程的步驟，因式分解、去分母、移項、合并同類項、系數(shù)化“1”、驗根、下結(jié)論即

可.

【詳解】解:3x1

2x-4x-22

整理得3x1

2(%-2)X—22’

方程兩邊同乘最簡公分母2(x-2)得3-2久=%-2,

移項得3+2=x+2x,

合并同類項得3久=5,

系數(shù)化T得x=|,

檢驗：當(dāng)x=|時，2(K-2)=2X(|-2)H0,

x=|是原分式方程的解.

【點睛】本題考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟，不要忘記驗根是解決問題的關(guān)鍵.

5.(2023渭南市一模)解分式方程：￡一1=』

【答案】x=4

【分析】先將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方

程的解.

【詳解】解：卷一1=丁三，

X-2X2-4X+4

方程兩邊乘(％-2)2得：%(%-2)--2)2=4,

角軍得：x=4,

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.2

檢驗：當(dāng)x=4時，（x-2）*0.

所以原方程的解為戶4.

【點睛】本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗.

題型03錯看或錯解分式方程問題

1.（2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的分式方程受=1,對于方程的解，甲、乙兩人有以下說法：

x+6

甲：當(dāng)爪<4時，方程的解是負數(shù)；乙：當(dāng)爪>6時，方程的解是正數(shù).下列判斷正確的是（）

A.只有甲對B.只有乙對C.甲、乙都對D.甲、乙都錯

【答案】B

【分析】首先解方程表示出分式方程的解，然后根據(jù)參數(shù)的取值范圍求解即可.

【詳解】與=1

x+6

去分母得，m=%4-6,

解得％=m-6,

要使分式方程有解，％+6。0,

?**in-6+6H0,

二?mW0,

當(dāng)zn<4時，m—6<4—6,

Ax<—2,

...當(dāng)爪<4,且6聲0時，方程的解是負數(shù)，故甲說法錯誤；

當(dāng)m>6時，m—6>6—6,

>0,

乙說法正確.

故選：B.

【點睛】本題考查分式方程含參數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程的增根的定義：使分式方程的最

簡公分母等于0的根叫做分式方程的增根.

2.（2023?河北滄州??？寄M預(yù)測）“若關(guān)于久的方程R=無解，求a的值.“尖尖和丹丹的做法如

3x-93X-9

下（如圖1和圖2）：

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尖尖：丹丹：

去分母得：ax=12+3x-9,去分母得：ax=12+3x-9,

移項得：ax-3x=12-9,移項，合并同類項得：

合并同類項得：3

,解得：x=~

(a-3)x=3,(<7-3)X=3

???原方程無解，???原方程無解，為增根,

，。-3=0,3x-9=0,解得x=3,

.,.<7=3.3

—7=3,解得67=4.

(7-3

圖1圖2

下列說法正確的是()

A.尖尖對，丹丹錯B.尖尖錯，丹丹對

C.兩人都錯D.兩人的答案合起來才對

【答案】D

【分析】根據(jù)分式方程無解情況①去分母后方程無解，②解出的解是增根，兩類討論即可得到答案;

【詳解】解：由題意可得,

去分母可得，ax=12+3久—9,

移項合并同類項得，

(a—3)%=3,

當(dāng)a—3=。時，即a=3時方程無解,

當(dāng)a—3H0時，即aW3時，x=

Q—3

???方程急=趨+1無解，

即％=六是方程的增根，可得：3-9=。，解得：“3,

.,.3=/—,解得：a=4,

a—3

故選D；

【點睛】本題考查分式方程無解的情況，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程無解情況①去分母后方程無解,

②解出的解是增根.

3.(2023上河北邢臺?八年級校聯(lián)考階段練習(xí))已知關(guān)于久的分式方程累-署=1無解，石的值.

甲同學(xué)的結(jié)果：爪=0.

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乙同學(xué)的結(jié)果：m=-8

關(guān)于甲、乙兩位同學(xué)計算的結(jié)果，下列說法正確的是()

A.甲同學(xué)的結(jié)果正確B.乙同學(xué)的結(jié)果正確

C.甲、乙同學(xué)的結(jié)果合在一起正確D.甲、乙同學(xué)的結(jié)果合在一起也不正確

【答案】D

【分析】解分式方程，用含機的代數(shù)式表示出尤，當(dāng)分式方程無解時，求出的尤的值無意義或為增根，由

此可解.

【詳解】解：三mx

X2-4

去分母，得(％—2)2—mx=x2—4,

解得“白

???關(guān)于久的分式方程滴-惡=1無解,

X=無意義或使X=々為增根，

當(dāng)x=—9一無意義時，m+4=0,

m+4

解得m=-4,

當(dāng)％=—日—為增根時，X2—4=(X+2)(%—2)=0

m+4

—=2或上=-2

m+4m+4

解得TH=0或zn=-8,

綜上可知，m——4或m--0或m=-8,

因此甲、乙同學(xué)的結(jié)果合在一起也不正確,

故選：D.

【點睛】本題考查根據(jù)分式方程解的情況求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程無解的條件.

4.已知分式方程二；+冬=?有解，其中“■”表示一個數(shù).

x-11-X

(1)若“■”表示的數(shù)為4,求分式方程的解；

(2)小馬虎回憶說：由于抄題時等號右邊的數(shù)值抄錯，導(dǎo)致找不到原題目，但可以肯定的是“■”是-1或0,

試確定“■”表示的數(shù).

【答案】(1)久=：

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(2)0

【分析】（1）根據(jù)題意列出分式方程，求出解即可；

（2）把-1和。分別代入方程，求出解判斷即可.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：2+2=4,

x-11-X

去分母得：2-%=4%-4,

解得：x=l，

檢驗：把x代入得：x—10,

二分式方程的解為久=/

（2）解：當(dāng)、”是一1時，三+白=—1,解得0%=—1,此時方程無解；

x-11-X

當(dāng)“■”是。時，三+F=0,解得x=2,經(jīng)檢驗：x=2是分式方程的解，符合題意，

x-11-X

表示的數(shù)是0.

【點睛】本題考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法是解本題的關(guān)鍵.

5.（1）以下是小明同學(xué)解方程三=白一2的過程.

x-33-x

【解析】方程兩邊同時乘（久-3）,得1-x=-1—2.第一■步

解得久=4.第二步

檢驗：當(dāng)x=4時，x-3=4-3=1^0.第三步

所以，原分式方程的解為x=4.第四步

①小明的解法從第步開始出現(xiàn)錯誤；出錯的原因是.

②解分式方程的思想是利用的數(shù)學(xué)思想，把分式方程化為整式方程.

A.數(shù)形結(jié)合B.特殊到一般C.轉(zhuǎn)化D.類比

③寫出解方程二=2一2的正確過程.

x-33-x

⑵化簡：，+（一￡）?

【答案】（1）①一；去分母時整數(shù)漏乘；②C；③見解析；（2）—

a

【分析】（1）①第一步去分母時整數(shù)漏乘；②解分式方程的思想是利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，把分式方程化為

整式方程；③根據(jù)解分式方程的步驟，先確定最簡公分母，然后去分母，解整式方程，檢驗，得出解.

（2）先將括號內(nèi)的進行通分后，把除法轉(zhuǎn)換為乘法，再進行約分即可得到答案.

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【詳解】(1)①小明的解法從第一步開始出現(xiàn)錯誤.錯誤的原因是去分母時整數(shù)項漏乘;

故答案為：一，去分母時整數(shù)項漏乘；

②解分式方程的思想是利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，把分式方程化為整式方程,

故選：C；

③方程兩邊同時乘(％—3),得1—x=—1—2(%—3).

解得，x=4.

檢驗：當(dāng)久=4時，％—3=4—3=1。0.

所以，原分式方程的解為％=4；

_6a+9.Q—3

a2-2aa—2

--(-a--—--3-)-2----c-i-—-2-.

a(a-2)a-3

a-3

=—

【點睛】本題考查了分式的混合運算以及解分式方程的問題，解分式方程時確定最簡公分母，然后去分母

是解分式方程的首要步驟，在去分母時不要漏乘，注意解分式方程要檢驗.

6.在解分式方程丫="-2時，小亮的解法如下：

x-22-x

解：方程兩邊同時乘久—2,得1—乂=一1—2(第一■步)

解這個整式方程得：x=4(第二步)

任務(wù)一：填空

在上述小亮所解方程中，第一步有錯，錯誤的原因是：

任務(wù)二：請寫出解這個方程的正確過程.

任務(wù)三：請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，針對解分式方程的注意事項給其他同學(xué)再提出一條建議.

【答案】任務(wù)一：一，在去分母時整數(shù)項沒有乘力-2；任務(wù)二：過程見解析，原方程無解；任務(wù)三：解分

式方程一定要檢驗或在去括號時，要注意括號前面的負號

【分析】任務(wù)一：根據(jù)解分式方程的步驟即可得出答案；

任務(wù)二：根據(jù)解分式方程的步驟即可得出答案；

任務(wù)三：根據(jù)解分式方程的步驟即可得出答案.

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【詳解】任務(wù)一：第一步有錯，錯誤的原因是：在去分母時整數(shù)項沒有乘％-2,

任務(wù)二：去分母得：1-x--1-2（%-2）,

解得x=2,

經(jīng)檢驗x=2是原方程的增根，

所以原方程無解；

任務(wù)三：解分式方程一定要檢驗或在去括號時，要注意括號前面的負號.

【點睛】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟正確計算是解題的關(guān)鍵.

題型04解分式方程的運用（新定義運算）

1.（2023西安鐵一中一模）定義一種新運算：n-xn~1dx=an—bn,例如：2-xdx=k2—h2,若

售1一%—=—2,則m=（）

22

A.-2B.--C.2D.-

55

【答案】B

【分析】根據(jù)新定義運算得到一個分式方程，求解即可.

【詳解】根據(jù)題意得，

亡—x~2dx=m-1—（5m）-1=————=—2,

J5m'）m5m

o

則772=

經(jīng)檢驗，加=-|是方程的解，

故選B.

【點睛】此題考查了解分式方程，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.

2.（2023?山東荷澤??？既＃τ趯崝?shù)a和b,定義一種新運算“⑤”為：a③b=鼻，這里等式右邊是實

l-bz

數(shù)運算.例如：5（8）3=2=—則方程x（8）2=J—1的解是（）

1-328X-4

A.x=4B.x=5C.x=7D.x=6

【答案】c

【分析】根據(jù)題中的新定義化簡，轉(zhuǎn)化為分式方程，解分式方程即可.

【詳解】由題意化簡：%02=^=-|,

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解得：

x-4■—1=-3X=1,

經(jīng)檢驗：x=7是原分式方程的解，

故選：C.

【點睛】此題考查了解分式方程，以及實數(shù)的運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.

3.(2023?廣東深學(xué)?？级?對于實數(shù)a,b,定義一種新運算“貨為：aBb=鼻例

a+bz

如：192=貝卜8(-2)=三-2的解是____.

1+2/x+4

【答案】x=—1/x=-3,5

【分析】利用題中的新定義化簡，計算即可求出解.

【詳解】解：；。劭=展，

a+bz

x0(-2)=------2,即—=-----2,

x+4x+4x+4

去分母得：1=2—2(%+4),

解得：

檢驗：當(dāng)x=—：時，尤+4力0,

...分式方程的解是x=—%

故答案為：x=-l

【點睛】此題考查了解分式方程，以及實數(shù)的運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.

,a>b

4.(2022?北京海淀?人大附中校考模擬預(yù)測)定義運算“※”：a0fo=V.若5回％=2,則x的值可

—,a<b

^b-a

能為()

A.jB.5C.yD.10或|

【答案】D

【分析】根據(jù)公式分兩種情況列方程解答.

【詳解】解：當(dāng)5>x時，得六=2,解得％

5-x2

經(jīng)檢驗X=|是方程的解；

當(dāng)5<x時，得三=2,解得X=1O,

x-5

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經(jīng)檢驗，X=10是分式方程的解；

故選：D.

【點睛】此題考查了解分式方程，正確理解題意得到分式方程并掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

題型05根據(jù)分式方程解的情況求值

1.(2021?四川雅安?統(tǒng)考中考真題)若關(guān)于x的分式方程2-二=4的解是正數(shù)，則人的取值范圍

x-22-x

是.

【答案】k<4且k豐0

【分析】根據(jù)題意，將分式方程的解x用含k的表達式進行表示，進而令x>0,再因分式方程要有意義則

x豐2,進而計算出k的取值范圍即可.

【詳解】解：2(2-x)+l-k=l

4—2x—k=0

4-k

X=^~

根據(jù)題意%>0且久H2

*>0

-2

"\—^2

k2

.(k<4

■,tfc0

???的取值范圍是k<4且k豐0.

【點睛】本題主要考查了分式方程的解及分式方程有意義的條件、一元一次不等式組的求解，熟練掌握相

關(guān)計算方法是解決本題的關(guān)鍵.

2.(2023慈溪市二模)如果方程4-1=」的解是正數(shù)，那么k的取值范圍為

X-l1-X

【答案】k<4且后3

【分析】先將分式方程的解用關(guān)于人的代數(shù)式表示出來，再結(jié)合題意和分式有意義的條件求解即可.

【詳解】解:斗-1=2

X-l1-X

l-fc-(x-l)=-2

x=4-fc,

???該分式方程解為正數(shù)和使分式有意義的條件，

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.?.4-k>0且

；.k<4且k力3.

故答案為：k<4且k力3.

【點睛】本題考查了分時方程的解，解決本題的關(guān)鍵是注意分式有意義的條件.

3.(2023齊齊哈爾市模擬)若關(guān)于x的方程"；+普=3的解為正數(shù)，則根的取值范圍是.

【答案】m且加工|

【分析】根據(jù)解分式方程的方法求出題目中分式方程的解，然后根據(jù)關(guān)于1的方程二+普=3的解為正

x-33-x

數(shù)和x-3#0可以求得m的取值范圍.

【詳解】解：二+普=3，

x-33-x

方程兩邊同乘以X-3,得

x+m-3m—3(x-3)

去括號，得

x+m-3Mt=3尤-9

移項及合并同類項，得

2x=-2/77+9

系數(shù)化為1,得

-2m+9

X=-----

2

V關(guān)于X的方程可+產(chǎn)=3的解為正數(shù)且X-3知，

x-33-x

?,^-2m+9'

2

解得，根<1且m豐|.

【點睛】本題考查分式方程的解，解一元一次不等式組，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的計算方法.

4.(2022.湖北黃石.統(tǒng)考中考真題)已知關(guān)于x的方程工+2=^^的解為負數(shù)，則，的取值范圍

XX+1%(%+1)

是.

【答案】a<1且a豐0

【分析】把a看作常數(shù)，去分母得到一元一次方程，求出X的表達式，再根據(jù)方程的解是負數(shù)及分母不為0

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列不等式并求解即可.

【詳解】解：由三+二=壬得％=?！?,

xx+17x(x+l)

???關(guān)于X的方程工+2=三臬的解為負數(shù)，

xx+1x(x+l)

fx<0(a—1<0(a<1

??%W0，即a—1W0，解得aW1,即a<1且aW0,

—1CL—1W—1a。。

故答案為：aVI且aWO.

【點睛】本題考查解分式方程，根據(jù)題意及分式的分母不等于零列出不等式組是解決問題的關(guān)鍵.

5.(2022?山東日照?日照市新營中學(xué)?？家荒?已知關(guān)于x的分式方程片=1的解不大于2,則他的取值

2x-l

范圍是.

［答案］m<0,且m^-3

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出整式方程的解，根據(jù)解不大于2且最簡公分母不為0,

求出m的范圍即可.

【詳解】解：整=1

2x-l

去分母得：m+3=2x-l,

解得：,且2尤-1知，即方^,

根據(jù)題意得：等W2,且今：

解得：m<Q,且m^-3,

故答案為：m<0,且》#-3.

【點睛】此題考查了分式方程的解，需注意在任何時候都要考慮分母不為0.

6.(2022?四川南充?統(tǒng)考二模)已知關(guān)于尤的分式方程」7=J三+3的解是非負數(shù)，則比的取值范圍

X-l2X-2

是.

【答案】m<6且m豐2

【分析】首先去分母，將分式方程表示為整式方程，用小表示出方程的解，然后根據(jù)方程的解為非負數(shù)求

出小的取值范圍即可.

【詳解八.七=墨+3，

?，?去分母得：2汽=m+3(2%—2),

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6-771

.?.x=-----,

4

V%為非負數(shù)，

???竺”>0,得TH<6,

4

%W1,

...6-m。1,得血工2,

4

故答案為：爪36且小力2.

【點睛】本題考查分式方程的解以及分式有意義的條件，根據(jù)題意求解即可.

題型06根據(jù)分式方程有解或無解求參數(shù)

1.（2021?四川巴中?統(tǒng)考中考真題）關(guān)于尤的分式方程產(chǎn)-3=0有解，則實數(shù)相應(yīng)滿足的條件是（）

2-X

A.m--2B.-2C.m=2D.m^2

【答案】B

【分析】解分式方程得：m+x=6—3%即4x=m—6,由題意可知乂力2,即可得到6—m力8.

【詳解】解：--3=0

2-X

方程兩邊同時乘以2—%得：771+%—6+3%=0,

4%=m—6,

??,分式方程有解，

?\2—%W0,

二?xH2,

:?6—znH8,

.,.mH—2,

故選B.

【點睛】本題主要考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，理解分式方程有意義的條件是解題的

關(guān)鍵.

2.（2020黃岡市模擬）關(guān)于光的分式方程三=號有解，則字母a的取值范圍是（）

xx-2

A.a=2或a=0B.aHOC.D.a。5且aW0

【答案】D

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【分析】先解關(guān)于X的分式方程，求得X的值，然后再依據(jù)“關(guān)于x的分式方程合合有解”，即。。且中2

建立不等式即可求。的取值范圍.

【詳解】解：

xx-2

去分母得：5(x-2)=ax,

去括號得：5x-10=ax,

移項，合并同類項得：

(5-〃)了=10,

???關(guān)于X的分式方程三=?有解，

xx-2

5-〃，0,#0且/2,

即存5,

系數(shù)化為1得：X=#，

5-a

.?.盧K0且盧力2,

5—(15—(1

即葉5,〃邦，

綜上所述：關(guān)于X的分式方程三=號有解，則字母。的取值范圍是存5,存0,

故選：D.

【點睛】此題考查了求分式方程的解，由于我們的目的是求a的取值范圍，根據(jù)方程的解列出關(guān)于。的不

等式.另外，解答本題時，容易漏掉5-存0,這應(yīng)引起同學(xué)們的足夠重視.

3.(2021?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?統(tǒng)考中考真題)若關(guān)于x的分式方程三+當(dāng)=2無解，則a的值為()

x-33-x

A.3B.0C.-1D.0或3

【答案】C

【分析】直接解分式方程，再根據(jù)分母為0列方程即可.

【詳解】解：三+歲=2,

x-33-x

去分母得：2-x-a—2(%-3),

解得：戶等，

當(dāng)?shù)?3時，方程無解，

解得Q=-1.

資料整理

故選：c.

【點睛】本題考查了分式方程無解，解題關(guān)鍵是明確分式方程無解的條件，解方程，再根據(jù)分母為0列方

程.

4.(2。22?黑龍江?統(tǒng)考三模)關(guān)于x的分式方程野+2=±有解,則a的取值范圍是——

【答案】a豐1且a力2

【分析】先求出使分式方程無意義時，。的取值范圍，再用逆向思維求出當(dāng)分式方程有解時。的取值范

圍.

【詳解】解：：上竽+2=」,

.2%—2

??CL------

x

???詈+2=￡有解,

則％—2W0或2一第H0,

H2,

2x—22x2—24

當(dāng)x=2時,a=---=--------=1，

x2

故4的取值是b

l-ax,1

當(dāng)久W2時，-------FnZ=----，

X—22—X

兩邊同乘(％—2),1—ax+2(%—2)=-1,

??x=—,

2.-(1

當(dāng)2-〃=0時，方程無解，此時a=2,

故答案為：aW1且aW2.

【點睛】本題考查分式方程的解，以及分式方程無意義的解，能夠熟練掌握解分式方程的方法是解決本題

的關(guān)鍵.

5.關(guān)于彳的分式方程二+嬰；=三無解，則，〃的值為

【答案】1或6或-4

【分析】方程兩邊都乘以(x+2)(%-2),把方程化為整式方程，再分兩種情況討論即可得到結(jié)論.

【詳解】解：??二+mx3

X2-4x+2

2,mx3

-----r7----77----T=----，

x-2(x+2)(x-2)x+2

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???2(x+2)+mx=3(x—2),

(m—l)x=-10,

當(dāng)m=1時，顯然方程無解，

又原方程的增根為：%=±2,

當(dāng)％=2時，m—1=—5,

???m=—4,

當(dāng)％=—2時，m—1=5,

???m=6,

綜上當(dāng)m=1或m=-4或m=6時，原方程無解.

故答案為：1或6或-4.

【點睛】本題考查的是分式方程無解的知識，掌握分式方程無解時的分類討論是解題的關(guān)鍵.

題型07已知分式方程有增根求參數(shù)

1.(2022?湖北襄陽?統(tǒng)考一模)關(guān)于x的方程也=旦有增根，則小的值及增根x的值分別為()

x+3x+3

A.-1,-3B.1,-3C.-1,3D.1,3

【答案】A

【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根，所以先確定增根的可能值，讓最簡公分母

x+3=0,得到％=-3,然后代入化為整式方程的方程求出m的值.

【詳解】解：原分式方程兩邊都乘以x+3,得：x+2=m,

?.?原方程有增根，

二最簡公分母工+3=0,

解得：x=-3,

將％=—3代入x+2=m,得：—3+2=zn,

解得：m=-1,

.vm的值及增根x的值分別為-1,-3,

故選：A.

【點睛】本題考查分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進行：讓最簡公分母為0；化分式方程為整式

方程；把增根代入整式方程即可求得相關(guān)未知數(shù)的值.

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2.（2。22?山東濰坊?統(tǒng)考二模）如果解關(guān)于x的分式方程氏+西餐時出現(xiàn)增根，則機的值可能

為（）

A.-6或-3B.-3C.-2D.1

【答案】A

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根求出尤的值，代入整式方程計算即可求出加

的值.

m

【詳解】解::分式方程2+1

(%—1)(%+2)x+2

去分母整理，得2%+4+m=x—1,

m=—x—5；

??,原分式方程有增根，則％=1或%=-2,

Am=-6或TH=—3；

故選：A.

【點睛】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增

根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

3.（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考三模）關(guān)于x的方程且節(jié)=9+1有增根，則根的值是.

x-33-X----

【答案】-7

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程計算即可求出

m的值.

【詳解】解：去分母得：2%4-1=-m+%-3,

解得％=—m—4,

由分式方程有增根，得到％-3=0,即％=3,

???—771—4=3,

解得：m=-7.

故答案為：-7.

【點睛】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增

根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

4.（2022綏寧縣一模）若去分母解分式方程三+1=三會產(chǎn)生增根，則機的值為.

x-3x-3

【答案】1

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【分析】首先解分式方程，再根據(jù)方程產(chǎn)生增根，列方程，即可求解.

【詳解】解：去分母，得：x-2+x-3-m,

移項、合并同類項，得：2x=5+zn,

解得：x=等，

,?,方程有增根，

.以

,?--J,

2

解得m=1,

故答案為：1.

【點睛】本題考查了利用分式方程根的情況求參數(shù)，熟練掌握解分式方程是解決本題的關(guān)鍵.

5.（2022?江蘇徐州?統(tǒng)考二模）如果關(guān)于x的方程三=1-4有增根，那么k=.

x-33-x

【答案】2

【分析】根據(jù)分式方程的增根是使分式方程無意義的根來分析解題.

【詳解】解：1=1—二，

x-33-x

方程兩邊同時乘以x-3,

2=x-3+k,

?-k=S—x,

???分式方程的增根是尸3,

k=2；

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查分式方程增根的意義，難度適中，熟練掌握解分式方程的步驟和分式方程的增根的

意義是解此題的關(guān)鍵

題型08列方式方程

1.（2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?統(tǒng)考一模）習(xí)近平總書記指出，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的“根''和"魂"、為

了大力弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校決定開展名著閱讀活動，用3600元購買“四大名著”若干套后，發(fā)現(xiàn)這

批圖書滿足不了學(xué)生的閱讀需求，圖書管理員在購買第二批時正趕上圖書城八折銷售該套書，于是用2400

元購買的套數(shù)只比第一批少4套，設(shè)第一批購買的“四大名著”每套的價格為尤元，則符合題意的方程是

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.36003600,「B.-36-0-0----24-0-0=4,

0.8xxx0.8x

―24003600八24002400,

C.--------------------=0D.---------=4

0.8xx0.8xx

【答案】B

【分析】設(shè)第一批購買的“四大名著”每套的價格為X元，則第一批購買了幽套，第二批購買了督套，根

x0.8x

據(jù)用2400元購買的套數(shù)只比第一批少4套列出方程即可

【詳解】解：設(shè)第一批購買的“四大名著”每套的價格為x元，由題意得，

-36-0-0----24-0-0=4./

x0.8x

故選:B

【點睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用，讀懂題意，找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?河南駐馬店?校考二模）某體育用品商店出售跳繩，售賣方式可批發(fā)可零售，班長打算為班級團

購跳繩，如果每位同學(xué)一根跳繩，就只能按零售價付款，共需800元；如果多購買5根跳繩，就可以享受

批發(fā)價，總價是720元，已知按零售價購買40根跳繩與按批發(fā)價購買50根跳繩付款相同，則班級共有多少

名學(xué)生？設(shè)班級共有尤名學(xué)生，依據(jù)題意列方程得（）

A.5lc0x—800_720X40B.40X720_800x50

Xx+5x-5X

C.40x800_720x50D.50x720_800X40

X%+5%—5X

【答案】C

［分析］根據(jù)“按零售價購買40根跳繩與按批發(fā)價購買50根跳繩付款相同”建立等量關(guān)系，分別找到零售價

與批發(fā)價即可列出方程.

【詳解】設(shè)班級共有x名學(xué)生，依據(jù)題意列方程有：

40x—800=5lc0x—720；

x%+5

故選C.

【點睛】本題主要考查列分式方程，讀懂題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）某家具廠要在開學(xué)前趕制540套桌凳，為了盡快完成任務(wù)，廠領(lǐng)導(dǎo)合

理調(diào)配，加強第一線人力，使每天完成的桌凳比原計劃多2套，結(jié)果提前3天完成任務(wù).問原計劃每天完

成多少套桌凳？設(shè)原計劃每天完成無套桌凳，則所列方程正確的是（）

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A5405403門540540-540540g一540540

A.------------=3B.-------------=3oC.-------------=3D.-------------=3o

x-2xx+2xxx+2xx-2

【答案】c

【分析】設(shè)原計劃每天完成X套桌凳，根據(jù)“提前3天完成任務(wù)”列出分式方程即可.

【詳解】解：設(shè)原計劃每天完成尤套桌凳，根據(jù)題意得，

-54-0----5-40=33.

xx+2

故選：C.

【點睛】本題考查了列分式方程，理解題意是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?廣東佛山?佛山市華英學(xué)校?？既＃〢,B兩地相距80千米，一輛大汽車從力地開出2小時后，又

從4地開出另一輛小汽車，已知小汽車的速度是大汽車速度的3倍，結(jié)果小汽車比大汽車早40分鐘到達B

地，求兩種汽車每小時各走多少千米.設(shè)大汽車的速度為xkm/h,則下面所列方程正確的是（）

AA.-80----8-0=440cBc.-80----8-0=2c.d4

x3xx3x

-80r80,2n80,r802

C.-----2=1--D.1-2=----

x3%3x3x3

【答案】c

【分析】設(shè)大汽車的速度為xkm/h,則小汽車的速度為3xkm/h,根據(jù)題意可得，同樣走80千米，小汽車

比大汽車少用（2+§小時，據(jù)此列方程.

【詳解】解：設(shè)大汽車的速度為xkm/h,則小汽車的速度為3xkm/h,

由題意得，叫—2=黑+|.

x3x3

故選C.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的

等量關(guān)系，列方程.

5.（2023福州文博中學(xué)模擬）某廠計劃加工120萬個醫(yī)用口罩，按原計劃的速度生產(chǎn)6天后，疫情期間因

為任務(wù)需要，生產(chǎn)速度提高到原來的1.5倍，結(jié)果比原計劃提前3天完成任務(wù).若設(shè)原計劃每天生產(chǎn)尤萬

個口罩，則可列方程為（）

A120120,3n120120c

A.—=----F3B.—=-------3

x1.5%x1.5%

-120-6X120-6X,c_120—6%120-6%

C.--------=-----------F3D.--------=------------3

x1.5xx1.5%

【答案】c

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【分析】根據(jù)6天之后，按原計劃的生產(chǎn)時間=提速后生產(chǎn)時間+3,可得方程.

120—6%120-6x仁

【詳解】解：若設(shè)原計劃每天生產(chǎn)x萬個口罩，由題知:-------------=—z--------F3

x1.5%

故選：C.

【點睛】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用問題，根據(jù)題意列出方程式即可.

6.（2021?山東臨沂?統(tǒng)考中考真題）某工廠生產(chǎn)力、B兩種型號的掃地機器人.B型機器人比4型機器人每小

時的清掃面積多50%；清掃lOOn?所用的時間2型機器人比B型機器人多用40分鐘.兩種型號掃地機器人

每小時分別清掃多少面積？若設(shè)4型掃地機器人每小時清掃久m2,根據(jù)題意可列方程為（）

A100100,2n100,2100

A-=B.------1--=——

0.5比3x

-100,2100―100100,2

C.-----1--=-------D.——=------F-

x31.5%x1.5x3

【答案】D

【分析】根據(jù)清掃lOOn?所用的時間A型機器人比8型機器人多用40分鐘列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)A型掃地機器人每小時清掃m?,

由題意可得：—+

x1.5%3

故選D.

【點睛】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系.

7.（2023西峽縣三模）《九章算術(shù)》中有一道關(guān)于古代驛站送信的題目，其白話譯文為：一份文件，若用

慢馬送到900里遠的城市，所需時間比規(guī)定時間多1天；若改為快馬派送，則所需時間比規(guī)定時間少3

天，己知快馬的速度是慢馬的2倍，求規(guī)定時間，設(shè)規(guī)定時間為萬天，則可列出正確的方程為（）

A..—900=c2x—900B.—=2X—

%+3x-1x—3x+1

C.—=2X—D.—=2X—

x-1x+3x+1%—3

【答案】B

【分析】根據(jù)快、慢馬送到所需時間與規(guī)定時間之間的關(guān)系，可得出慢馬送到所需時間為（x+1）天，快馬

送到所需時間為（尤-3）天，再利用速度=路程+時間，結(jié)合快馬的速度是慢馬的2倍，即可得出關(guān)于x的分

式方程，此題得解.

【詳解】解：???規(guī)定時間為x天,

???慢馬送到所需時間為（％+1）天，快馬送到所需時間為（x-3）天,

又???快馬的速度是慢馬的2倍，兩地間的路程為900里,

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9000900

???口=2XQ

故選：B.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

8.（2022?浙江麗水?統(tǒng)考中考真題）某校購買了一批籃球和足球.已知購買足球的數(shù)量是籃球的2倍，購

買足球用了5000元，購買籃球用了4000元，籃球單價比足球貴30元.根據(jù)題意可列方程竽=理-

2xx

30,則方程中x表示（）

A.足球的單價B.籃球的單價C.足球的數(shù)量D.籃球的數(shù)量

【答案】D

【分析】由竽=理-30的含義表示的是籃球單價比足球貴30元，從而可以確定尤的含義.

2xx

【詳解】解：由咄=竺"一30可得：

2xx

由竽表示的是足球的單價，而竺”表示的是籃球的單價，

2xx

??.X表示的是購買籃球的數(shù)量，

故選D

【點睛】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，理解題意，理解方程中代數(shù)式的含義是解本題的關(guān)鍵.

題型09利用分式方程解決實際問題

1.（2021?山東泰安?統(tǒng)考中考真題）接種疫苗是阻斷新冠病毒傳播的有效途徑，針對疫苗急需問題，某制

藥廠緊急批量生產(chǎn)，計劃每天生產(chǎn)疫苗16萬劑，但受某些因素影響，有10名工人不能按時到廠.為了應(yīng)

對疫情，回廠的工人加班生產(chǎn)，由原來每天工作8小時增加到10小時，每人每小時完成的工作量不變，

這樣每天只能生產(chǎn)疫苗15萬劑.

（1）求該廠當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有多少人？

（2）生產(chǎn)4天后，未到的工人同時到崗加入生產(chǎn)，每天生產(chǎn)時間仍為10小時.若上級分配給該廠共760

萬劑的生產(chǎn)任務(wù)，問該廠共需要多少天才能完成任務(wù)？

【答案】（1）30人；（2）39天

【分析】（1）設(shè)當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有x人，根據(jù)每人每小時完成的工作量不變列出關(guān)于x的方程，求解即

可；

（2）設(shè)還需要生產(chǎn)y天才能完成任務(wù).根據(jù)前面4天完成的工作量+后面y天完成的工作量=760列出關(guān)于

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y的方程，求解即可.

【詳解】解：（1）設(shè)當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有x人,

依題意得:1615

8(x+10)Wx'

解得：x=30,

經(jīng)檢驗，尤=30是原方程的解，且符合題意.

答：當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有30人.

（2）每人每小時的數(shù)量為16+8-40=0.05（萬劑）.

設(shè)還需要生產(chǎn)y天