《專題07空間直線與平面、平面與平面的平行》重難點突破一、考清分析二、考點梳理考點一直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(線面平行?線線平行)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b考點二平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(線面平行?面面平行)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b四、題型分析重難點題型突破1線面平行例1.（1）若直線l不平行于平面α，且l?α，則()A.α內(nèi)的所有直線與l異面B.α內(nèi)不存在與l平行的直線C.α與直線l至少有兩個公共點D.α內(nèi)的直線與l都相交（2）.如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關(guān)系是()A.異面 B.平行C.相交 D.以上均有可能【變式訓(xùn)練1-1】、如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AF∥DE，DE＝2AF.求證：AC∥平面BEF.例2.如圖，ABCD與ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點.求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.【變式訓(xùn)練2-1】、已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，側(cè)面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中點.(1)求證：PC∥平面BDE；(2)平面BDE分此棱錐為兩部分，求這兩部分的體積比.重難點題型突破2面面平行例3、如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.【變式訓(xùn)練3-1】、如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.【變式訓(xùn)練3-2】、如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，F(xiàn)是AB的中點，E是PD的中點．(1)證明：PB∥平面AEC；(2)在PC上求一點G，使FG∥平面AEC，并證明你的結(jié)論．《專題07空間直線與平面、平面與平面的平行》重難點突破答案解析四、題型分析重難點題型突破1線面平行例1.（1）若直線l不平行于平面α，且l?α，則()A.α內(nèi)的所有直線與l異面B.α內(nèi)不存在與l平行的直線C.α與直線l至少有兩個公共點D.α內(nèi)的直線與l都相交【答案】B【解析】因為l?α，直線l不平行于平面α，所以直線l只能與平面α相交，于是直線l與平面α只有一個公共點，所以平面α內(nèi)不存在與l平行的直線.（2）.如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關(guān)系是()A.異面 B.平行C.相交 D.以上均有可能【答案】B【解析】在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵過A1B1的平面與平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.【變式訓(xùn)練1-1】、如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AF∥DE，DE＝2AF.求證：AC∥平面BEF.【證明】設(shè)AC∩BD＝O，取BE中點G，連結(jié)FG，OG，∴OG∥DE且OG＝eq\f(1,2)DE.∵AF∥DE，DE＝2AF，∴AF∥OG且AF＝OG，∴四邊形AFGO是平行四邊形，F(xiàn)G∥AO.∵FG?平面BEF，AO?平面BEF，∴AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF.例2.如圖，ABCD與ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點.求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.證明(1)連接AE，則AE必過DF與GN的交點O，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO.又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥GN，又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M為AB的中點，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又MN?平面MNG，BD?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD?平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.【變式訓(xùn)練2-1】、已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，側(cè)面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中點.(1)求證：PC∥平面BDE；(2)平面BDE分此棱錐為兩部分，求這兩部分的體積比.(1)證明在平行四邊形ABCD中，連接AC，設(shè)AC，BD的交點為O，則O是AC的中點.又E是PA的中點，連接EO，則EO是△PAC的中位線，所以PC∥EO，又EO?平面EBD，PC?平面EBD，所以PC∥平面EBD.(2)解設(shè)三棱錐E－ABD的體積為V1，高為h，四棱錐P－ABCD的體積為V，則三棱錐E－ABD的體積V1＝eq\f(1,3)×S△ABD×h，因為E是PA的中點，所以四棱錐P－ABCD的高為2h，所以四棱錐P－ABCD的體積V＝eq\f(1,3)×S四邊形ABCD×2h＝4×eq\f(1,3)S△ABD×h＝4V1，所以(V－V1)∶V1＝3∶1，所以平面BDE分此棱錐得到的兩部分的體積比為3∶1或1∶3.重難點題型突破2面面平行例3、如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.【證明】(1)∵在△A1B1C1中，G，H分別是A1B1，A1C1的中點，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴GH與BC確定一個平面α，∴G，H，B，C∈α，∴B，C，H，G四點共面．(2)∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.易證A1GEB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，且A1E?平面EFA1，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.【變式訓(xùn)練3-1】、如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.【解析】(1)如圖所示，設(shè)DF與GN交于點O，連結(jié)AE，在平行四邊形ADEF中，G，N分別為EF，AD的中點，所以AE必過點O，且O為AE的中點．連結(jié)MO，因為M為AB的中點，所以MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO.因為BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥GN.因為DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.因為M為AB的中點，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN.因為BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG.因為DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG.【變式訓(xùn)練3-2】、如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，F(xiàn)是AB的中點，E是PD的中點．(1)證明：PB∥平面AEC；(2)在PC上求一點G，使FG∥平面AEC，并證明你的結(jié)論．【解析】(1)連結(jié)BD，交AC于點O，連結(jié)EO.因為四邊形ABCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點．又E為PD的中點，所以EO∥PB.因為EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)PC的中點G即為所求的點．證明如下：連結(jié)GE，F(xiàn)G.因為E為PD的中點，所以GE∥CD，GE＝eq\f(1,2)CD.又F為AB的中點，且四邊形ABCD為矩形，所以FA∥CD，F(xiàn)A＝eq\f(1,2)CD，所以FA＝GE，F(xiàn)A∥GE，所以四邊形AFGE為平行四邊形，所以FG∥AE.又FG?平面AEC，AE?平面AEC，所以FG∥平面AEC.《專題07空間直線與平面、平面與平面的平行》同步訓(xùn)練A組基礎(chǔ)鞏固1．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，與平面ACC1A1平行的棱共有（）A．2條 B．3條 C．4條 D．6條2．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的“芻甍”是指底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體．如圖，五面體是一個芻甍，其中是正三角形，，則以下兩個結(jié)論：①；②，（）A．①和②都不成立 B．①成立，但②不成立C．①不成立，但②成立 D．①和②都成立3．如圖，是正方體的棱上的一點（不與端點重合），平面，則（）A． B． C． D．4．平面與平面平行的條件可以是（）A．內(nèi)有無窮多條直線與平行B．內(nèi)的任何直線都與平行C．直線在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，且，D．直線，直線5．不同的直線和，不同的平面，，，下列條件中能推出的是（）A．，， B．，C．，， D．，，6．?是兩個不重合的平面，在下列條件下，可判定的是（）A．?都平行于直線?B．內(nèi)有三個不共線的點到的距離相等C．?是內(nèi)的兩條直線且，D．?是兩條異面直線且，，，7．已知兩條不同的直線和兩個不同的平面，有如下的命題：①若，則；②若，，，則；③若，，則，其中正確命題的個數(shù)是（）A．3 B．2C．1 D．08．如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點M是AD的中點，動點P在底面正方形ABCD內(nèi)（不包括邊界），若B1P//平面A1BM，則C1P長度的取值范圍是____．9．如圖所示，在三棱柱中，過，，的平面與平面的交線為，則與直線的位置關(guān)系為__．10．如圖，為正方體，下面結(jié)論中正確的結(jié)論是___________.(把你認為正確的結(jié)論都填上)①平面；②平面；③過點與異面直線和成角的直線有2條.B組能力提升11．(多選題)如圖，在棱長為1的正方體中，P為棱CC1上的動點(點P不與點C，C1重合)，過點P作平面分別與棱BC，CD交于M，N兩點，若CP＝CM＝CN，則下列說法正確的是（）A．A1C⊥平面B．存在點P，使得AC1∥平面C．存在點P，使得點A1到平面的距離為D．用過點P，M，D1的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形12．（多選題）如圖，正方體的棱長為，線段上有兩個動點、，且，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．B．平面C．三棱錐的體積為定值D．的面積與的面積相等13．(多選題）如圖，在棱長為1的正方體中，點在線段上運動，則下列判斷中正確的是（）A．三棱錐的體積為B．面C．平面與平面所成二面角為D．異面直線與所成角的范圍是14．(多選題）已知直線平面，直線平面，有下列四個命題：其中正確命題的選項是（）．A．若，則； B．若，則；C．若，則； D．若，則．15．如圖，已知正方體，點分別是的中點，與平面________（填“平行”或“不平行”）；在正方體的條面對角線中，與平面平行的面對角線有________條．16．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝，AD＝2AB＝2BC＝2PA＝4，M，N分別為AD，PB的中點．（1）求證：PM//平面ACN；（2）求直線DN與平面PAB所成角的正弦值．17．如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點，AA1=AB=2，BC=3.（1）求證：AB1平面BC1D；（2）求AB1與BD所成角的余弦值.18．如圖，在三棱柱中，，，，分別是，，，的中點，求證：（1），，，四點共面；（2）平面平面.19．如圖所示，在四棱錐中，，，平面，，，設(shè)、分別為、的中點.（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐的側(cè)面積.20．在如圖所示的多面體中，，四邊形為矩形，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)平面平面，再從條件①?條件②?條件③這三個條件中選擇若干個作為已知，使二面角的大小確定，并求此二面角的余弦值.條件①：；條件②：平面；條件③：平面平面.《專題07空間直線與平面、平面與平面的平行》同步訓(xùn)練答案解析A組基礎(chǔ)鞏固1．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，與平面ACC1A1平行的棱共有（）A．2條 B．3條 C．4條 D．6條【答案】A【分析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)可得選項.【詳解】如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，與平面ACC1A1平行的棱是BB1和DD1，共有2條.故選：A.2．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的“芻甍”是指底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體．如圖，五面體是一個芻甍，其中是正三角形，，則以下兩個結(jié)論：①；②，（）A．①和②都不成立 B．①成立，但②不成立C．①不成立，但②成立 D．①和②都成立【答案】B【分析】利用線面平行的性質(zhì)可判斷①的正誤；取的中點，證明四邊形為平行四邊形，可得出，利用勾股定理可判斷②，由此可得出合適的選項.【詳解】對于①，，平面，平面，平面，平面，平面平面，，①成立；對于②，如圖，取中點，連接、，，，，即，由，為的中點，則，所以，四邊形為平行四邊形，則，不妨設(shè)，則，假設(shè)，則，則，即，即，但的長度不定，故假設(shè)不一定成立，即②不一定成立．故選：B．【點睛】方法點睛：直線與直線平行的證明方法：（1）平面幾何中：內(nèi)錯角相等、同位角相等、同旁內(nèi)角互補，都可以證明兩條直線平行；（2）三角形、平行四邊形、梯形中：對應(yīng)邊成比例，兩直線平行（尤其注意中位線、相似三角形的構(gòu)造）；（3）平行線的傳遞性（公理4）：，；（4）直線與平面垂直的性質(zhì)：垂直于同一平面的兩條直線平行，即，；（5）直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與這條直線垂直，即，，，應(yīng)用口訣“遇線面平行找平面與平面的交線；（6）平面與平面平行的性質(zhì)定理：若兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行，即，，，應(yīng)用口訣“遇面面平行找第三個平面與兩平面的交線；（7）向量法：證明可轉(zhuǎn)化為證明與共線，即證明存在使得，且說明、、、不共線.3．如圖，是正方體的棱上的一點（不與端點重合），平面，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，可得平面平面，由于平面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，即可得到結(jié)果．【詳解】如圖，設(shè)，可得面面，∵平面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，∵為的中點，∴為中點，∴．故選：D．4．平面與平面平行的條件可以是（）A．內(nèi)有無窮多條直線與平行B．內(nèi)的任何直線都與平行C．直線在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，且，D．直線，直線【答案】B【分析】利用平面與平面的位置關(guān)系判斷.【詳解】若內(nèi)有無窮多條直線與平行，則平面與平面相交或平行，故不正確；若內(nèi)的任何直線都與平行，則，故B正確；若直線在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，且，，則平面與平面相交或平行，故C不正確；若直線，直線，則平面與平面相交或平行，故D不正確.故選：B5．不同的直線和，不同的平面，，，下列條件中能推出的是（）A．，， B．，C．，， D．，，【答案】C【分析】利用平面與平面的位置關(guān)系判斷.【詳解】由不同的直線和，不同的平面，，，知：若，，，則與相交或平行，故不正確；若，，則與相交或平行，故B不正確；若，，，則由平面平行的判定定理知，故C正確；若，，，則與相交或平行，故D不正確.故選：C.6．?是兩個不重合的平面，在下列條件下，可判定的是（）A．?都平行于直線?B．內(nèi)有三個不共線的點到的距離相等C．?是內(nèi)的兩條直線且，D．?是兩條異面直線且，，，【答案】D【分析】根據(jù)面面平行的判定和性質(zhì)，對選項逐個分析判斷即可得解.【詳解】對于A，當(dāng)，時，不能推出；對于B，當(dāng)，且在內(nèi)，在交線的一側(cè)有兩點，另一側(cè)一個點，三點到的距離相等時，不能推出；對于C，當(dāng)與平行時，不能推出；對于D，，是兩條異面直線，且，，，，內(nèi)存在兩條相交直線與平面平行，根據(jù)面面平行的判定，可得，故選：D.7．已知兩條不同的直線和兩個不同的平面，有如下的命題：①若，則；②若，，，則；③若，，則，其中正確命題的個數(shù)是（）A．3 B．2C．1 D．0【答案】B【分析】由面面平行得①錯誤，由線面平行的性質(zhì)定理可得②正確，由空間線面關(guān)系得③正確，得解．【詳解】解：對于①，若，，，，則；①錯誤，還需，故①錯誤，對于②，若，，，由線面平行的性質(zhì)定理得：；故②正確，對于③，若，，則，故③正確.故選：B.8．如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點M是AD的中點，動點P在底面正方形ABCD內(nèi)（不包括邊界），若B1P//平面A1BM，則C1P長度的取值范圍是____．【答案】【分析】由面面平行找到點P在底面ABCD內(nèi)的軌跡為線段DN，再找出點P的位置，使C1P取得最小值和最大值，由此能求出C1P長度的取值范圍．【詳解】取BC中點N，連結(jié)B1D，B1N，DN，作CO⊥DN，連結(jié)C1O，因為平面B1DN∥平面A1BM，所以點P在底面ABCD內(nèi)的軌跡是線段DN（動點P在底面正方形ABCD內(nèi)，不包括邊界，故不含點N和點D），在中，，所以，過C1O⊥DN，則當(dāng)P與O重合時，C1P長度取最小值，所以C1P長度的最小值為，當(dāng)P與D重合時，C1P長度取最大值，∴C1P長度的最大值為C1D＝，∵P與D不重合，∴C1P長度的取值范圍是．故答案為：.【點睛】解題方法點撥：1、立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動角的范圍等問題；2、解答方法：一般時根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標(biāo)運算求出動點的軌跡方程；3、對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；4、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.9．如圖所示，在三棱柱中，過，，的平面與平面的交線為，則與直線的位置關(guān)系為__．【答案】平行【分析】利用線面平行的判定定理和線面平行的性質(zhì)定理，即可判斷出與直線平行．【詳解】在三棱柱中，，平面，平面，所以平面,又因為平面，且平面平面，所以．故答案為：平行10．如圖，為正方體，下面結(jié)論中正確的結(jié)論是___________.(把你認為正確的結(jié)論都填上)①平面；②平面；③過點與異面直線和成角的直線有2條.【答案】①②【分析】對于①，由正方體的性質(zhì)可得，再由線面平行的判定定理可得結(jié)論；對于②，由正方體的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得，，從而由線面垂直的判定定理可得結(jié)論，對于③，由線線垂直的判定方法判斷即可【詳解】如圖，正方體中，由于，由直線和平面平行的判定定理可得平面，故①正確.由正方體的性質(zhì)可得，，故平面，故.同理可得.再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可得，平面，故②正確.過點與異面直線成角的直線必和也垂直過點與直線成角的直線必和垂直則該直線必和平面垂直，滿足條件的只有直線，故③不正確.故答案為：①②.B組能力提升11．(多選題)如圖，在棱長為1的正方體中，P為棱CC1上的動點(點P不與點C，C1重合)，過點P作平面分別與棱BC，CD交于M，N兩點，若CP＝CM＝CN，則下列說法正確的是（）A．A1C⊥平面B．存在點P，使得AC1∥平面C．存在點P，使得點A1到平面的距離為D．用過點P，M，D1的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形【答案】ACD【分析】連接，首先證明平面，然后由⊥平面可判斷A，由平面可判斷B，由點A1到平面的距離的取值范圍為可判斷C，過點P，M，D1的平面去截正方體得到的截面是四邊形，可判斷D.【詳解】連接因為，所以＝，所以又平面，平面，所以平面同理可證，平面又，、平面，所以平面平面易證⊥平面，所以⊥平面，A正確又平面，所以與平面相交，不存在點P，使得∥平面，B不正確.因為，點到平面的距離為所以點A1到平面的距離的取值范圍為又，所以存在點P，使得點A1到平面的距離為，C正確.因為，所以，所以用過點P，M，D1的平面去截正方體得到的截面是四邊形又，且，所以截面為梯形，D正確故選：ACD12．（多選題）如圖，正方體的棱長為，線段上有兩個動點、，且，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．B．平面C．三棱錐的體積為定值D．的面積與的面積相等【答案】AD【分析】取與點重合，可判斷A選項的正誤；利用面面平行的性質(zhì)定理可判斷B選項的正誤；利用錐體的體積公式可判斷C選項的正誤；由三角形的面積公式可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，取與點重合，連接、，則，所以，為等邊三角形，則，此時，與不垂直，A選項錯誤；對于B選項，因為平面平面，平面，所以，平面，B選項正確；對于C選項，平面，平面，則，所以，（定值），且點到平面的距離為定值，因此，三棱錐的體積為定值，C選項正確；對于D選項，連接、，取的中點，連接，則，且為的中點，，且，所以，，D選項錯誤.故選：AD.【點睛】方法點睛：常見的線面平行的證明方法有：（1）通過面面平行得到線面平行；（2）通過線線平行得到線面平行，在證明線線平行中，經(jīng)常用到中位線定理或平行四邊形的性質(zhì).13．(多選題）如圖，在棱長為1的正方體中，點在線段上運動，則下列判斷中正確的是（）A．三棱錐的體積為B．面C．平面與平面所成二面角為D．異面直線與所成角的范圍是【答案】BCD【分析】A應(yīng)用等體積法，根據(jù)特殊點：與重合時求的體積；B利用面面平行的性質(zhì)證面；C根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征證面面即可；D由，根據(jù)在線段的位置，即可確定異面直線與所成角的范圍.【詳解】A：，因為到面的距離不變，且△的面積不變，所以三棱錐的體積不變，當(dāng)與重合時得，錯誤；B：連接，，，，易證面面，又面，所以面，正確；C：根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，有面，又面，則面面，正確；D：由知：當(dāng)與線段的兩端點重合時，與所成角取最小值，當(dāng)與線段的中點重合時，與所成角取最大值，故與所成角的范圍，正確.故選：BCD．14．(多選題）已知直線平面，直線平面，有下列四個命題：其中正確命題的選項是（）．A．若，則； B．若，則；C．若，則； D．若，則．【答案】AC【分析】結(jié)合條件，利用線線，線面，面面的位置關(guān)系，判斷選項.【詳解】已知直線平面，直線平面，對于選項A，若，得到直線平面，所以，故A正確；對于選項B，若，直線在內(nèi)或者，則與的位置關(guān)系不確定，故B錯誤；對于選項C，若，則直線，由面面垂直的性質(zhì)定理，可得，故C正確；對于選項D，若，則與可能相交，故D錯誤．故選:AC.15．如圖，已知正方體，點分別是的中點，與平面________（填“平行”或“不平行”）；在正方體的條面對角線中，與平面平行的面對角線有________條．【答案】不平行6.【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令正方體的棱長為，則，，，，，，，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，，所以，，所以，所以與平面不平行，因為，所以，所以與平面平行，因為，所以與平面平行，同理可得，，，與平面平行，，，，，，與平面不平行，故與平面平行的面對角線有6條，故答案為：不平行，6；16．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝，AD＝2AB＝2BC＝2PA＝4，M，N分別為AD，PB的中點．（1）求證：PM//平面ACN；（2）求直線DN與平面PAB所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）連接BM，設(shè)AC∩BM＝Q，連接NQ，MC，推導(dǎo)出NQ∥PM，由此能證明PM∥平面ACN．（2）過點D作AB的垂線，交BA的延長線于點H，連接NH，取AB的中點E，連接NE，則NE∥PA，推導(dǎo)出∠DNH為直線DN與平面PAB所成角，由此能求出直線DN與平面PAB所成角的正弦值．【詳解】（1）證明：如圖，連接BM，設(shè)AC∩BM＝Q，連接NQ，MC，則AM∥BC，AM＝BC＝2，∴四邊形ABCM是平行四邊形，∴MQ＝BQ，∵N為BP的中點，∴在△BMP中，NQ為△BMP的中位線，∴NQ∥PM，∵NQ?平面ACN，PM?平面ACN，∴PM∥平面ACN．（2）如圖，過點D作AB的垂線，交BA的延長線于點H，連接NH，取AB的中點E，連接NE，則NE∥PA，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DH，PA⊥AB，∴NE⊥AB，∵AB⊥DH，PA∩BA＝A，∴DH⊥平面PAB，∴DN在平面PAB內(nèi)的射影為HN，∴∠DNH為直線DN與平面PAB所成角，在△ADH中，∠HAD＝＝，AD＝4，∴AH＝2，DH＝，在Rt△NEH中，NH2＝NE2+EH2＝1+9＝10，在Rt△NDH中，ND2＝NH2+DH2＝10+12＝22，∴sin∠HND＝．∴直線DN與平面PAB所成角的正弦值為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用非向量法求線面角時，根據(jù)線面角的定義找到或作出線面角是解題的關(guān)鍵，然后利用直角三角形求解即可，屬于中檔題.17．如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點，AA1=AB=2，BC=3.（1）求證：AB1平面BC1D；（2）求AB1與BD所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）利用三角形中位線定理證明ODAB1，再用線面平行的判定定理證明AB1平面BC1D；（2）先判斷出∠ODB（或其補角）為AB1與BD所成的角，再解三角形求出余弦值.【詳解】（1）證明：如圖，連接B1C，設(shè)B1C與BC1相交于點O，連接OD．∵四邊形BCC1B1是平行四邊形．∴點O為B1C的中點．∵D為AC的中點，∴OD為△AB1C的中位線，∴OD∥AB1．∵OD?平面BC1D，AB1?平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（2）解：由（1）可知，∠ODB為AB1與BD所成的角或其補角，∵AA1＝AB＝2，∴AB1＝2，OD，在Rt△ABC中，D為AC的中點，則BD，同理可得，OB，在△OBD中，cos∠ODB∴AB1與BD所成角的余弦值為．【點睛】立體幾何解答題的基本結(jié)構(gòu)：(1)第一問一般是幾何關(guān)系的證明，用判定定理；(2)第二問是計算，求角或求距離（求體積通常需要先求距離），通?？梢杂脦缀畏?，也可以用向量法計算．18．如圖，在三棱柱中，，，，分別是，，，的中點，求證：（1），，，四點共面；（2）平面平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)中位線定理證得，再由棱柱的性質(zhì)證得，根據(jù)平面公理可得證；（2）根據(jù)面面平行的