期末復習材料

?？贾R點及相應習題匯總

（一）、空間幾何

一、棱錐

1、正三棱錐：正三棱錐是錐體中底面是正三角形，三個側(cè)面是全等的等腰三角形的三棱

錐。

'性質(zhì)：1.底面是等邊三角形。

2.側(cè)面是三個全等的等腰三角形。

3.頂點在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、內(nèi)心）。

4.常構造以下四個直角三角形〔見圖〕：

說明：上述直角三角形集中了正三棱錐幾乎所有元素。在正三棱錐計算題中，常常取上述直角三角

形。其實質(zhì)是，不僅使空間問題平面化，而且使平面問題三角化，還使元素與未知元素集中于一個直

角三角形中，利于解出。

練習1：

1、三棱錐A—8C。的棱長全相等,E是中點，那么直線CE與直線B。所成角的余弦值為（）

（A出（B）3（C）畫（D）l

6262

2、正三棱錐的底面邊長為2,側(cè)面均為直角三角形，那么此三棱錐的體積為（）

2%B.V2C.

A.

3、側(cè)棱長為2a的正三棱錐其底面周長為9a,那么棱錐的高為U

V373

——a----

A、aB、2aC、2D、27a

4、如圖為正三棱柱的平面展開圖，該正三棱柱的各側(cè)面都是正方形，對這

個正三棱柱有如下判斷：①ABJ/BG；②AG與BC是異面直線；

③AB1與BC所成的角的余弦為字；④3G與4。垂直.

其中正確的判斷是.

5、在正三棱錐尸―A5c中，AB=6,PA=5?[1）求此三棱錐的體積V；[2）求二面角尸—A5—C的

正弦值。

6、正三棱錐V-ABC的底面邊長是a,側(cè)面與底面成60°的二面角。

求（1）棱錐的側(cè)棱長〔2）側(cè)棱與底面所成的角的正切值。X

2、正四面體\\

定義：正四面體是由四個全等正三角形圍成的空間封閉圖形，//二1——所有

棱長都相等。P

它有4個面，6條棱，4個頂點。正四面體是最簡單的正多面

體。

正四面體與正三棱錐的關系：正四面體屬于正三棱錐，但是正三棱錐只需要底面為正三角

形，其他三個面是全等的等腰三角形且頂點在底面的投影是底面三角形的中心，不需要四個面全等且

都是等邊三角形。

因此，正四面體又是特殊的正三棱錐。

性質(zhì)：

練習2：

1、在正四面體尸—A5c中，如果E、/分別為PC、AB的中點，那么異面直線跖與75A所成的角為

（）

（A）90°（B）60°（c）45°（D）30°

3、正四棱錐

定義：底面是正方形，側(cè)面為4個全等的等腰三角形且有公共頂點，頂點在底面的投影是底面的中心。

三角形的底邊就是正方形的邊。

'性質(zhì)：（1）正四棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它

叫做正棱錐的斜高）；

〔2〕正四棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面

內(nèi)的射影也組成一個直角三角形；

〔3〕正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角都相等；正棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等；

〔4〕正四棱錐的側(cè)面積：如果正棱錐的底面周長為c,斜高為h’,那么它的側(cè)面積是s=1/2ch'

練習3：

1、正四棱錐的一個對角面與一個側(cè)面的面積之比為布：2,那么側(cè)面與底面的夾角為〔）。

⑷%⑻％?%⑴）%

2、四棱錐成為正棱錐的一個充分但不必要條件是（）

（A）各側(cè)面是正三角形（C）各側(cè)面三角形的頂角為45度

（B）底面是正方形（D）頂點到底面的射影在底面對角線的交點上

3、如果正四棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍，那么側(cè)面與底面所成的角等于〔）

A.30°B.45C.60°D.75

4、在正四棱錐PTBC。中，假設側(cè)面與底面所成二面角的大小為60°,那么異面直線R4與BC所成角

的正切值為；

5、假設正四棱錐所有棱長與底面邊長均相等，求①斜高與棱錐高之比②相鄰兩個側(cè)面所成二面角的大

小。

4、棱錐

定義：一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面

所圍成的多面體叫做棱錐。

概念：棱錐的底面、棱錐的側(cè)面、棱錐的側(cè)棱、棱錐的頂點、棱錐的高、棱錐的對角面；

〔棱錐中過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做對角面)

性質(zhì)：1.棱錐截面性質(zhì)定理及推論

定理：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與

底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比。

推論1：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么棱錐的側(cè)棱和高被截面分成的線段

比相等。

推論2：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么截得的小棱錐與原棱錐的側(cè)面積之

比也等于它們對應高的平方比，或它們的底面積之比。

2.一些特殊棱錐的性質(zhì)

側(cè)棱長都相等的棱錐，它的頂點在底面內(nèi)的射影是底面多邊形的外接圓的圓心(外

心)，同時側(cè)棱與底面所成的角都相等。

側(cè)面與底面的交角都相等的棱錐，它的二面角都是銳二面角，所以頂點在底面內(nèi)的射

影在底多邊形的內(nèi)部，并且它到各邊的距離相等即為底多邊形的內(nèi)切圓的圓心〔內(nèi)心)，

且各側(cè)面上的斜高相等。如果側(cè)面與底面所成角為a,那么有S底=$側(cè)cosao

練習4

1、三棱錐P-A5c中，尸底面ABC,AANC是直角三角形，那么三棱錐的三個側(cè)面中直角三角

形有()

(A)2個(B)3個(C)至多2個(D)2個或3個

2、正”棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，那么側(cè)面與底面所成二面角的度數(shù)為()

7/7/7/

(A)-(B)-(C)-(D)與"的取值有關

326

3、如果一個棱錐被平行于底面的兩個平面所截后得到的三局部體積〔自上而下)為1:8:27,那么這時

棱錐的高被分成上、中、下三段之比為。

(A)1:(V2-1):(V3-V2)(B)l:V2:V3(C)1::-(D)1:1:1

23

4、棱錐被平行于底面的截面分成上、下體積相等的兩局部，那么截面把棱錐的側(cè)棱分成上、下兩線段的

比為()

A.2：1B,72：1C.1：(V2-1)D.1：(V2-1)

5、三棱錐V-ABC的三條側(cè)棱兩兩為30。角，在VA上取兩點M、N,VM=6,VN=8,用線

繩由自M向N環(huán)繞一周，線繩的最短距離是,

6.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD_L底面ABCD,PD=DC,E為PC中點.⑴求證：

PA〃平面EDB.〔2)求EB和底面ABCD成角正切值.

P

7.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA_L底面AE^aPA=AD=2a,AB=a,Z

ABC=60°(1)求證平面PDC_L平面PAC.

12)求異面直線PC與BD所成的角的余弦值.P

8、AB為圓。的直徑，圓0在平面a內(nèi)，SA_La,/ABS=30°,P在圓周上s

移動〔異于A、B),M為A在SP上的射影，卜、x

(I)求證：三棱錐S—ABP的各面均是直角三角形；/；

〔II〕求證：AM,平面SPB；/.

9、三棱錐V—ABC的底面是腰長為5底邊長為6的等腰三角形，名BZ二

側(cè)面都和底面成450的二面角，求三棱錐的高.二

習題答案:

練習1：l,A2.C3,A4.(2)@5.3^39,41%

6、解：⑴過V點作于點0,VEJ_AB于點E

三棱錐V—ABC是正三棱錐0為△ABC的中心

那么OA二一x--a-----Cl,OE=—xa----d又側(cè)面與底面成60。角NVEO=60。

323326

6a

那么在RtZWEO中；VO=OE?tan60°=—axg=-

62

在Rt^VAO中，VA=JVO?+AO?=+—=JZj='即側(cè)棱長為

練習2：

練習3：1.D2.A3.C4.2_5、〔1〕有：亞；［2)71-arccos—；

練習4：1、D2、A3、D4、D5.106、⑵arctan孚7.(2)arccos-8、略

9、解：過點V作底面ABC的垂線，垂足為0

:各個側(cè)面和底面成45°的二面角

...點。為三角形ABC的內(nèi)心

設0D=x,那么有

3

；.三棱錐的高V0為一

2

二、棱柱

定義：有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個平行四邊形的公

共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。

兩個互相平行的平面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的側(cè)面。

兩個側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱。

側(cè)面與底的公共頂點叫做棱柱的頂點,不在同一個面上的兩個頂點的連線叫做棱柱的

對角線,兩個底面的距離叫做棱柱的高。

棱柱中過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做棱柱的對角面O

分類：

斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，畫斜棱柱時，一般將側(cè)棱畫成不與底

面垂直。

直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。畫直棱柱時，應將側(cè)棱畫成與底面垂

直。

正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。

平行六面體:底面是平行四邊形的棱柱。

直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體叫直平行六面體。

長方體：底面是矩形的直棱柱叫做長方體。

對角線的求法：由棱柱的三條棱長的平方的和的開方。

性質(zhì)：1〕棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都平行且相等；直棱柱的

各個側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形。

2）棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應邊互相平行的全等多邊形。

3〕過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形。

4〕直棱柱的側(cè)棱長與高相等；直棱柱的側(cè)面及經(jīng)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是矩形。

練習題：1.如圖：在正三棱柱ABC—A與G中，Ee,截面AEC，側(cè)面①求證：

BE=EB1；②假設44]=4用，求平面AEC與平面451G所成銳二面角的度數(shù).

2.三棱柱ABC-agG的底面是邊長為1的正三角形,

B1

NAA§1=NAAG=45°，頂點A到底面A^iG和側(cè)面3]C的距離相

等，求此三棱柱的側(cè)棱長及側(cè)面積.

3、在正三棱柱AiBC—ABC中，AAi=AB=a,D是CC的中點，F(xiàn)

是AB的中點.(I)求證：DFII平面ABC；[II)求證：AFXBD；

4.：如圖，直棱柱ABC—AEU的各棱長都相等，D為BC中

點，CE_LCD于E

⑴求證：CE_L平面ADC'(2)求二面角D—AU-C的平面角

的大小

5、如圖，直三棱柱ABC-AiBiCi的底面ABC為等腰直角三角形，

V3

ZACB=90°,AC=1,C點到AB1的距離為CE=—,D為

2

AB的中點.(1)求證：ABi_L平面CED；

〔2〕求異面直線ABi與CD之間的距離；[3)求二面角Bl—AC—B的平面角.

6、在直三棱柱ABC-AiBiCi中，A1B：BC=AiCi，ACiXAiB,M,N分別是A&,

AB的中點。

⑴求證：面ABBiA」面AQM；⑵求證：AiBXAM；(3)求證：面AM3〃面NBiC

答案:Ai

M

1.解：①在截面AEC內(nèi)，過E作AAD

BEGLAXC,G

是垂足

?.?面A|EC_L側(cè)面AC],；.EG_L側(cè)面AC取AC的中點F,連結BF,FG,由

A

AB=BC,得BF±AC???面ABC±側(cè)面AC,BF_1側(cè)面AC,得BF

〃EG

BF、EG確定一個平面，交側(cè)面AC】于FG「BE〃側(cè)面AC,

；.BE〃FG,四邊形BEGF是平行四邊形，；.BE=FG'：BEHAA{,：.FGHAA{,AAA^C~AFGC；V

AF=FC,==1^1,即=故BE=BB1

②分別延長CE、G^i交于點D,連結A。

EB\//CC[,EBi=^BBl=gcG；?DB]=^DC,=Bg,又4用=B?,

ZDAlCl=90°,BPDAX±A1Cl

CQ±面AGg，即AG是A。在平面AG。上的射影，根據(jù)三垂線定理，得Ac：.

???DA{±t

NC41G是二面角的平面角

*/CG=AGNAG。=90°NC41cl=45°,即所求二面角為45。

2.解：作AO_L平面AiBiG,0為垂足

(12)VZAAiBi=ZAAiCi=45°

...0在/C1A1B1的平分線上

連結AiO并延長交BiCi于Di點

VAiCi=AiBiAAiDiXBiCi

.'.AiAXBiCi

.'.BBiXBiCi

四邊形BB1GC為矩形

取BC中點D,連結ADDDi

VDD1//BB1

BiCi_LDDi又又CiJ?AiDi

平面AiDiDA

平面人次?？赱_1_平面BiCiCB

過A作AN_LDDi,那么AN_L平面BBiJC

.1.AN=AO

:四邊形AAiDiD為口

V3

.?.AiDi=DDi.\DD]=—

4、(2)arcsin半5、(1)略；(2)工；(3)arctanV2；

52

6、證明：(1)?三棱柱ABC—ABC是直三棱柱/.AAiXffiAiBiCiAAAiXCiM

；BC=AC,M是AB的中點.\CIMXAIBI

又AA1nAJBJ=A,A4ju面AA[BB]

AiBic[IjAjABB),面ABB〕A]±面AC1M

[2)?.?A|B，AC，GM_L面AiABBpA]BJ_AM

三、正方體、長方體

練習題:

1.棱長為a的正方體ABCD-AiBiGDi中，異面直線DDi與BJ之間的距離為（）

A.aB.叵0c.41aD.6a

2

2.正方體的棱長為1,P為DD］的中點，。為底面A3CD的中心，那么"＞］與平面PAO所成角的正

切值為

(A)字(B)V2(C)2V2(D)以上皆非

3.設長方體的三條棱長分別為。力，C,假設其所有棱長之和為24,一條對角線的長度為5,體積為

2,那么—I-----1—為

abc

114112

(A)J(B)—(C)—(Di-

ll211

4.長方體的外表積為22m2,所有棱的總長度為24cm，那么長方體的對角線的長度是()

A.yj\AcmB.VlTcmC,-JV2cmD.y/13cm

5.如圖在正方形ABCD—AiBiCiDi中，M是棱DDi的中點，0為底面ABCD

的中點，P為棱AiBi上任意一點，那么直線OP與直線AM所成的角的大小

為()

A.一B.■—C.—D.與P點位置有關

432

6.如圖，在長方體ABCD—ABiG'中，

AB=6,AD=4,AAi=3,分別過BC、AXD,

的兩個平行截面將長方體分成三局部，其體積

分別記為匕=LEA-OFR'匕=VB[E[B=CIF1C°

假設匕：匕：匕=1:4:1,那么截面AEED]的面積為()

(A)4^/10(B)8A/3(C)4V13(D)16

7.如右圖，正方體ABC。-A31GA中，E、尸是異面線段A。和AC的

中點，那么E/和3D]的關系是

A.相交不垂直B.相交垂直C.平行直線D.異面直線

8.如圖在正方形ABCD—AiBiCiDi中，M是棱DDi的中點，0為底面ABCD

的中點，P為棱AiBi上任意一點，那么直線OP與直線AM所成的角的大小為。

A.—B.—C.—D.與P點位置有關

432

9.長方體全面積為24cm2,各棱長總和為24cm,那么其對角線長為cm.

10.正方體的外表積為m,那么正方體的對角線長為

11.長方體ABCD—A5G2中，AB=AD=1,BB、=2,E為的中點.

⑴求證：AE_L平面ARE；(2)求二面角E—A2-A的正切值;

⑶求三棱椎A-GAE的體積.

12.在正方體ABC?！狝BIGA中，（1）求證：平面45。，平面ACGA；

〔2〕求直線A3與平面ACGA所成的角。

13.如圖，在正方體ABCD—A4CA中，E、支分別是55]、CD

的中點.（1）證明：[2）求直線AE與功廠所成的角；

〔3〕證明：平面平面

14.如圖，在長方體ABC。-A4GA中，AB=AD=：AA,點G為

CG上的點，且CG=：CC1。11）求證：CR，平面ADG；12）求二面角C—AG—。的大小〔結果用

反余弦表示）。D[g

15.在正方體A8CD-4BCLDI中，E、F分別是。山、B。的中點，G在棱CD上，=%工'（1）求

4

證：EF_LBiC；12）求EF與QG所成角的余弦值；

[3）求二面角F—EG—Ci的大小〔用反三角函數(shù)表示）.Dc,

13）證明：平面人石。，平面4包＞].

l\f2rn

答案：1、A2.B3.A4.A5.C6.C7.D8.C9.2V310>-^―

11.解[1)：A[E=?AE=叵[12)AA1=2.*.A1E±AE

又AE_LAiDi；.AE_L平面A1D1E

(2)取AAi中點F,過F作FP_LADi：EF_L平面AAiDiDFPXADi.'.EPXADi

NFPE即為E-ADi-Ai的平面角

EFr-

在Rt^AAiDI中，可求tan/P￡=——=J5

FP

[3)VEF//C1D1???EF〃平面ACiDi

AVA-CiDiE=V-ACIDI=V-ACIDI=V-AFDi

EF5r

=|sAAFD1.C]D1=|x(lxlx2)xl=l

12.30°13.90°14.arccos-----15.------arctanV13

1017

16.解：①：ABCD—A5GD1是正方體，，面。G.又D/u面DG，，AD1D.F.

②取AB中點G,連結AG、FG.易證GED14是平行四邊形....AG〃。R.

設AG與AE交于點”，NA/Z411或其補角）是AE與。R所成的角.

E是BB］的中點，，RtZ\AAGgRt^ABE,ZGAXA=ZGAH,

ZAHA,=90°,即AE與所成的角為90°.

③由①知AD_LQF,由②得AE_LDiF,：ADcAE=A,.?.°F_L面AEO.

2Eu面AlFDl,面AEDL面AxFDy.

四、二面角

1.二面角a-1一1內(nèi)一點尸到平面名A和棱/的距離之比為1:6:2,那么這個二面角的平面角是

度.

2.E是正方體AG的棱3c的中點，那么二面角R-5]E-a的正切值是U

V3

B.----D.——

22

3.假設一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，那么這兩個二面角的大小關系

是（）

A相等B.互補C.相等或互補D.不能確定

4.等邊三角形A3C的邊長為1,沿BC邊上的高將它折成直二面角后，點A到直線3c的距離是（）

V146V3

A.1B.------C.—D.—

422

5.E是正方體AC1的棱3c的中點,那么二面角用石-G的正切值是。

B.無

A.

22

6.如圖，二面角（z-/一夕的平面角為120。，AC<za,BDJ3,AC±I,

BD±l,AC=BD=3,8=4。（1）求AB的長；[2）求直線AB與C￡>

所成的角。

7.如圖，四棱錐P——ABCD中，底面ABCD為正方形，

側(cè)面PDC為正三角形，且平面PDCJ_底面ABCD,E為PC的中點.（1）求

證：PA〃平面EDB；〔2）求證：平面EDB_L平面PBC；〔3）求二面角D—PB—

C的大小.

8.如圖，四棱錐P—ABCD中，PB_L底面ABCD,CO_LPD.底面ABCD為直角梯形，AD//BC,AB±BC,

AB=/W=PB=3.點E在棱R4上，且PE=2EA

（1）求異面直線必與C。所成的角;

（2）求證：PC〃平面EBD；

（3）求二面角A—BE—D的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）.

答案：1.90?；?50。2.B3.B4、B5、B6.灰

7.arctanV68.600arctan75

〔二）直線和圓的

一、直線方程

1、直線的方程知識點匯總；

（1）點斜式：直線過點（％,%）斜率為左，直線方程：y-穌=左（%-%）,它不包括垂直于x軸直線；

12）斜截式：直線在y軸上的截距為》和斜率左，直線方程：丁=丘+。,它不包括垂直于％軸直線；

（3）兩點式：直線經(jīng)過《（國,%）、￡（%,%）兩點，直線方程：上2」=上二工，它不包括垂直于

為一M無2一%

坐標軸的直線；

（4〕截距式：直線在x軸和y軸上的截距為。步,直線方程：二+上=1,它不包括垂直于坐標軸的直線

ab

和過原點的直線；

[5）一般式：任何直線均可寫成加+為+。=0//不同時為0）的形式.

提醒：（1）直線方程的各種形式都有局限性如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？）；

（2）直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.

直線兩截距相等O直線的斜率為-1或直線過原點；

直線兩截距互為相反數(shù)O直線的斜率為1或直線過原點；

直線兩截距絕對值相等O直線的斜率為±1或直線過原點.

如過點4（1,4）,且縱橫截距的絕對值相等的直線共有一條〔答：3）

2、解題方法指導：

設直線方程的一些常用技巧：

（1）知直線縱截距6,常設其方程為丁=履+人；

12）知直線橫截距與,常設其方程為x=+（它不適用于斜率為0的直線）；

13）知直線過點（%,為），當斜率左存在時，常設其方程為y=A（x-%）+%），當斜率左不存在時，那

么其方程為x=x（）；

14）與直線/:Av+5y+C=0平行的直線可表示為天+用v+C]=0；

〔5〕與直線/:Ac+5y+C=0垂直的直線可表示為&—Ay+G=O.

16)經(jīng)過兩條直線AX+BQ+G=0和4%+為丁+。2=0的交點的直線系方程為：

Axx+Bxy+Cx+2{A2x+B2y+C2)=0〔4為參數(shù)).

3、范例剖析

11)直接法

4

例1、直線/在y軸上的截距為3,且傾斜角a的正弦值為二，求直線I的方程.

434

解：sin?=—,costt=±—,直線的斜率左=±—

553

故所求直線/的方程為y=±%x+3,即4x—3y+9=0或4x+3y—9=0

評注：由題意直接選擇直線方程五種形式中的任何一個，寫出形式適當?shù)姆匠碳礊橹苯臃?同時，求解本

例時不要混淆概念，傾斜角應在[°，])內(nèi)，從而cosa有兩個解.

12)待定系數(shù)法(公式法)

例2、過點P(2,1〕作直線/交羽y正半軸于4B兩點，當|PA|?|P8|取到最小值時，求直線/的方程.

解：設直線/的方程為：y—1=左(％—2),(左W0)

令y=0解得x=2-0；令x=0,解得y=l-2左，.，.A[2-—,0),B[0,1-2左〕，

kk

：.\PA\-\PB\=)J(l+-^)(4+k2)=18+4(42+J)NJ8+4X2=4

當且僅當左2=1即左=土1時，|24|?|/>8|取到最小值.又根據(jù)題意左<0,，左=—1

所以直線/的方程為：x+y—3=0

〔3〕直線系法：

直線系的定義：具有某種共同性質(zhì)的直線的集合，叫做直線系.它的方程叫做直線系方程.

例3.求過4：2x—3y+2=0與4：3x—4y—2=0交點且與直線4x+y—4=0平行的直線方程.解：

設乙與4交點的直線方程為：(2x—3y+2)+〃3x—4y—2)=0(*)

即(2+3A)x+(—3—4A)y+2—2A=0

2+32-3-4214

因為所求直線與4x+y—4=0平行，所以七2±二,解得2=——

4119

將彳=—歷代入（*）,得:所求直線方程為4x+y—66=0

⑷參數(shù)法

例4、直線/經(jīng)過M（0,1）,且被直線/]：x-3y+10=0和4：2x+y-8=0所截得的線段恰以M為中點，

求直線/的方程.

解：設/交4于A（3t-10,t）,/交4于Biu,8—2u）,利用中點坐標公式得：

3t—10+u=0

s=t=2,.,.A[-4,2）

f+8—2u=2

由直線方程的兩點式可得，直線/的方程為：2v——1=-x--—--0-,即x+4y-4=0.

2-1-4-0

[5）結構分析法：

例5、兩直線:。以+8y+l=0和4：〃加+辦2>1=0的交點為尸（2,3）,求過兩點Q（防，"）、Q2（。2，

歷）的直線方程.

分析：利用點斜式或直線與方程的概念進行解答.

解：VP[2,3）在直線上，/.2^1+3/71+1=0,2。2+3①+1=0.

/.2[的一怎）+3（"一=0,BP————.

/一%3

一2

???所求直線方程為y—仇二一1tx~a\],；.2x+3y—〔2。1+3濟）=0,即2x+3y+l=0.

4、穩(wěn)固練習題：

11）過點P[2,1）作直線/交x軸、y軸正方向于小B,求使AAOB的面積最小時的直線/的方程.

12）過點P[3,0）作一直線，使它夾在兩直線4：2x—y—2=0和/2：x+y+3=0之間的線段AB

恰被P點平分，求此直線方程.

〔3〕一直線被兩直線4x+y+6=Q,Z2：3x—5y—6=0截得的線段的中點恰好是坐標原點，求

該直線方程.

[4）求過點P[2,3）,并且在兩軸上的截距相等的直線方程.

（5）直線方程Ax+5y+C=0的系數(shù)A、B、C滿足什么關系時，這條直線有以下性質(zhì)？

（1）與兩條坐標軸都相交；（2）只與x軸相交;（3）只與y軸相交；（4）是x軸所在直線；（5）是y軸所在直線.

（6）求與直線Z：5x-12y+6=0平行且到I的距離為2的直線的方程.

（7）假設兩條直線乙：aYx+bxy=3,/2：/了+b2y=3相交于點P（1，2）,試求經(jīng)過點A（%,仇）與

B（a2,b2）的直線方程.

答案：

(1)解：設所求直線方程為土+2=1,那么由直線/過點P[2,1),得一+—=l(a>0,b>0)

abab

即b=，-,由6>0,得a>2,

〃一2

bi1j1aa?la2—4+414

所以S^=—ab=—a-----=-------=-----------=—(a+2-l-----)

MOOBB22a-22(a-2)2a-22a-2

4

當且僅當a—2=——，即a=4,人=2時，5AA取得最小值為4

此時所求直線方程為?+5=l,即x+2y—4=0

(2)解：設所求直線分別與4、4交于A、B,因為A在乙直線上，故可設A。，2Z-2)

又P(3,0)為AB的中點，由中點坐標公式，得—2-20

—,即4"，—)

由B在4上，得(6—，)+(2—21)+3=0,解得右

333

由兩點式得所求直線方程為8x-y-24=0.

(3)解：設所求直線與/一乙的交點分別是A、B,設4%,打)，那么B點坐標為(一%,一打)因為4、

4X()+%+6=0①

B分別在/「4上，所以<

一3%Q+5y0-6=0(2)

①+②得：Xo+6%=O,即點A在直線x+6y=0上，又直線x+6y=0過原點，所以直線/的

方程為x+6y=0.

(4)解：在兩軸上的截距都是0時符合題意，此時直線方程為3x—2y=0

假設截距不為0,那么設直線方程為二+1=1將點P(2,3)代入得一+3=1,解得a=5

aaaa

...直線方程為二+)=1,即x+y=5.

55

⑸答：⑴當AWO,B,0,直線與兩條坐標軸都相交.

(2)當A/),2=0時，直線只與x軸相交.

(3)當A=0,B9時，直線只與y軸相交.

(4)當A=0,B和,C=0,直線是x軸所在直線.

(5)當A/),2=0,C=0時，直線是y軸所在直線.

(6)解：設所求直線的方程為5x-12y+c=0.在直線5x-12y+6=0上取一點Po[0,g),點尸o到直線5

—12XFCI乙?Ii

2c—6\c—6r|

x-12y+c=0的距離為：d=/=」——L由題意得——^=2.所以『32或c=-20.所以所求直線

'752+(-12)21313

的方程為5xT2y+32=0和5X-12廠20=0.

⑺解:將與4的交點P11，2）代入乙與4的方程，得為+2仇=3,?2+2b2=3

根據(jù)以上兩式的結構特點易知：點/（馬，4）與3（出，打）的坐標都適合方程無+2y=3

故經(jīng)過點A、B的直線/的方程為x+2y=3

二、圓的方程

1.圓的標準方程與一般方程

①圓的標準方程為（X—a）?+（y—b￥=/，其中圓心為（凡加，半徑為「；

nFJn2+p2_Ap

②圓的一般方程為f+）；2+m+4+/=0,圓心坐標（_萬,_,），半徑為-------------。方程

表示圓的充要條件是。2+￡2—4。>0

2.假設圓（x-?）2+（y-6）2=/與％軸相切，那么?加=「；假設圓5,?）2+“一?2=/與丁軸相切,

那么|a|=廠

3.假設圓f+/+瓜+Ey+E=0關于x軸對稱，那么遇=0；

假設圓d+/+￡）x++歹=0關于y軸對稱，那么￡）=0；

假設圓好+/+瓜+4+尸=0關于y=》軸對稱，那么。=￡;

4、點M（%,%）與圓V+V+瓜+￡y+R=o的位置關系：

M在圓內(nèi)<^>Xg+%+DXQ+Ey^+廠<0

"在圓上o%（/+y（）2++￡%+F=0

2

M在圓外oXQ+y0+Dx0+Ey0+F>0

2、范例剖析

考點1圓的方程

題型1：對圓的方程的認識

[例1]設方程x°+y2—2（m+3）x+2（l—4m2）y+l6ml+9=0。

[1）當且僅當m在什么范圍內(nèi)，該方程表示一個圓。

[2）當m在以上范圍內(nèi)變化時，求半徑最大的圓的方程。

[3）求圓心的軌跡方程

解:⑴由。2+爐一4/>0得：40+3）2+4（1-4療y-4（16—+9）>0,

?11

化簡得：7根2—6m—1<0,解得：——<根<1,所以當——〈機<1時，該方程表示一個圓。

77

,、A/Z)12+￡2-4F

[2)=--------------(-7加2+6加+1，當機=■時，Qax=~~~

2

x=m+3。

[3)設圓心C(x,y),那么｛,消去加得y=4(x—3)2—1

y=4m-1

iof)170

,/——<m<l一<x<4:所求的軌跡方程為(x-3)2=—(y+1)(一<x<4)

774-7

注：［1)圓的一般方程，要能熟練求出圓心坐標、半徑及掌握方程表示圓的條件；［2)第3問求圓心的

軌跡方程，使用了參數(shù)法，即把x,y都表示成m的函數(shù)，消去參數(shù)可得到方程，用此法要注意變量x,y

的范圍

題型2:求圓的方程

［例2］(1)求經(jīng)過點A(5,2),B(3,2),圓心在直線2x-y在=0上的圓的方程;

⑵求以0(0,0),A(2,0),B(0,4)為頂點的三角形0AB外接圓的方程。

【解題思路】根據(jù)條件，列方程組求參數(shù)

2a—b—3=0a=4

［解析］m設圓心c(a,。)，那么有《

(a—5尸+3—2尸=(a—3)2+3—2)

.??半徑r=廂，所求圓的方程為(x—4下+(y—5下=10

(2)采用一般式，設圓的方程為爐+產(chǎn)+瓜+份+/=0,將三個點的坐標代入得

>=0=-2

<2D+F+4=0，解得：<E=-4故所求圓的方程為爐+爐一2%一4丁=0

4E+F+14=0卜=0

注：(1)求圓的方程必須滿足三個獨立條件方可求解，選擇方程的形式，合理列出方程組是關鍵，(2)當

條件與圓心、半徑有關時常選擇標準方程，當條件是圓經(jīng)過三個點時，常選用一般方程

練習題：

1.假設ae{—2,0,l,2},方程/+/+。*+2。>+2/+。—1=0表示的圓的個數(shù)為〔).

4

A、0個B、1個C、2個D、3個

5

2.假設圓/—2x—4y=0的圓心到直線x—y+a=0的距離為己-，那么a的值為〔)

13

A.-2或2B.—或一C.2或0D.-2或0

22

3.與兩坐標軸都相切，且過點(2,1)的圓的方程為

4.動點P到點A(8,0)的距離是到點B(2,0)的距離的2倍，那么點的軌跡方程為()

A.x2+y2=32B.x2+y2=16C.(x-l)2+y2=16D.%2+(y-l)2=16

答案：1、解析:B

a2+(2a)2-4(2?2+?-l)>0得一2<。<§,滿足條件的a只有一個，方程

x2+y~+ux+2ay+2al+ci—1—0表示的圓的個數(shù)為1.

2、解析：C圓X?+y2—2x—4y=0的圓心為[1,2),1個—〔==>a=0或2

3、(x-l)2+(y-l)2=1或(x-5)2+(y_5)2=25

4、B設P(x,y),那么4[(x—2)2+/]=(%—8y+化簡得―+/=胎

三、直線與圓的位置關系

1.判斷直線與圓的位置關系有兩種方法：

①幾何法：通過圓心到直線的距離與半徑的大小比擬來判斷，設圓心到直線的距離為d,圓半徑為r,

假設直線與圓相離，那么d>r；假設直線與圓相切，那么d=r；假設直線與圓相交，那么d<r②代

數(shù)法：通過直線與圓的方程聯(lián)立的方程組的解的個數(shù)來判斷，即通過判別式來判斷，假設A>0,那么

直線與圓相離;假設A=0,那么直線與圓相切;假設A<0,那么直線與圓相交

2.兩圓的的位置關系

(1)設兩圓半徑分別為小g,圓心距為d

假設兩圓相外離，那么+r,公切線條數(shù)為4

假設兩圓相外切,那么d=R+r,公切線條數(shù)為3

假設兩圓相交R—r<d<R+r,那么，公切線條數(shù)為2

假設兩圓內(nèi)切，那么d=H-公切線條數(shù)為工

假設兩圓內(nèi)含，那么d<H—r,公切線條數(shù)為Q

(2)設兩圓G:+E1y+耳=0,C2:+y?+D?x+E2y+—0,假設兩圓相父,

那么兩圓的公共弦所在的直線方程是-2)x+(E]-E2)y+S-F,)=0

3.相切問題的解法：

①利用圓心到切線的距離等于半徑列方程求解

②利用圓心、切點連線的斜率與切線的斜率的乘積為T

③利用直線與圓的方程聯(lián)立的方程組的解只有一個，即A