1.1.2集合基本關(guān)系集合與慣用邏輯用語第1頁第2頁一二三四知識點(diǎn)一、維恩圖1.思索集合能用直觀圖形來表示嗎?提醒:能,能夠用封閉曲線表示集合,處理問題愈加直觀.2.填空.假如用平面上一條封閉曲線內(nèi)部來表示集合,那么我們就可作出示意圖來形象地表示集合之間關(guān)系,這種示意圖通常稱為維恩圖.第3頁一二三四知識點(diǎn)二、子集、真子集、集合相等概念1.思索以下寫法哪些是正確?①0={0};②{0}?{0};③0∈{0};④0?{0}.提醒:只有②③寫法是正確,普通地,元素與集合之間是屬于關(guān)系,而反應(yīng)兩個集合間關(guān)系普通用子集、真子集或相等.第4頁一二三四2.填寫下表:第5頁一二三四3.做一做用適當(dāng)符號填空(?,=,?).(1){0,1}

N;

(2){2}

{x|x2=x};

(3){2,1}

{x|x2-3x+2=0}.

答案:(1)?

(2)?

(3)=第6頁一二三四知識點(diǎn)三、子集、真子集性質(zhì)1.思索?與{?}關(guān)系怎樣?提醒:??{?}與?∈{?}寫法都是正確,前者是從兩個集合間關(guān)系來考慮,后者則把?看成集合{?}中元素來考慮.2.填空.(1)要求:空集是任意一個集合子集.也就是說,對任意集合A,都有??A.(2)任何一個集合A都是它本身子集,即A?A.(3)對于集合A,B,C,假如A?B,B?C,則A?C.(4)對于集合A,B,C,假如A?B,B?C,則A?C.第7頁一二三四知識點(diǎn)四、集合關(guān)系與其特征性質(zhì)之間關(guān)系1.思索試從集合特征性質(zhì)角度來了解集合A={x|x是6約數(shù)},與集合B={x|x是12約數(shù)}關(guān)系.提醒:集合A特征性質(zhì)p(x)是:x是6約數(shù);集合B特征性質(zhì)q(x)是:x是12約數(shù).而6約數(shù)是1,2,3,6;12約數(shù)是1,2,3,4,6,12,由此得知,“假如p(x),那么q(x)”是正確命題,則有“假如x是6約數(shù),那么x是12約數(shù)”,即x∈A?x∈B,所以A?B.2.填寫下表:設(shè)A={x|p(x)},B={x|q(x)},則有第8頁探究一探究二探究三探究四思維辨析判斷集合之間關(guān)系例1

(1)設(shè)M={菱形},N={平行四邊形},P={四邊形},Q={正方形},則這些集合之間關(guān)系為(

)A.P?N?M?QB.Q?M?N?PC.P?M?N?QD.Q?N?M?P(2)有以下關(guān)系:①0∈{0};②??{0};③{0,1}?{(0,1)};④{(a,b)}={(b,a)}.其中正確個數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.4當(dāng)堂檢測第9頁探究一探究二探究三探究四思維辨析解析:(1)因?yàn)樗倪呅伟叫?、菱形、平行四邊?故集合M,N,Q均為P子集,再結(jié)合正方形、菱形、平行四邊形概念易知Q?M?N?P.(2)①中依據(jù)元素與集合關(guān)系可知0∈{0}正確;②中由空集是任意非空集合真子集可知??{0}正確;③中集合{0,1}元素是數(shù),而集合{(0,1)}元素是點(diǎn),所以沒有包含關(guān)系,故③錯誤;④中集合中元素是點(diǎn),而點(diǎn)坐標(biāo)有次序性,所以{(a,b)}≠{(b,a)},故④錯誤.綜上,應(yīng)選B.答案:(1)B

(2)B當(dāng)堂檢測第10頁探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟判斷兩個集合A,B之間是否存在包含關(guān)系有以下幾個步驟:第一步:明確集合A,B中元素特征.第二步:分析集合A,B中元素之間關(guān)系.(1)當(dāng)集合A中元素都屬于集合B時,有A?B.(2)當(dāng)集合A中元素都屬于集合B,但集合B中最少有一個元素不屬于集合A時,有A?B.(3)當(dāng)集合A中元素都屬于集合B,而且集合B中元素都屬于集合A時,有A=B.(4)當(dāng)集合A中最少有一個元素不屬于集合B,而且集合B中最少也有一個元素不屬于集合A時,有A?B,且B?A,即集合A,B互不包含.當(dāng)堂檢測第11頁探究一探究二探究三探究四思維辨析A.M?N B.M?NC.N?M D.N?M答案:B當(dāng)堂檢測第12頁探究一探究二探究三探究四思維辨析確定集合子集、真子集例2

集合A={x|0≤x<3,且x∈N}真子集個數(shù)是(

)A.16 B.8 C.7 D.4解析:因?yàn)?≤x<3,x∈N,所以x=0,1,2,即A={0,1,2},所以A真子集個數(shù)為23-1=7.答案:C例3

求滿足條件{x|x2+5=0}?M?{x|x2-1=0}集合M.分析:M是集合{x|x2-1=0}子集,又{x|x2+5=0}是空集,它是M真子集,所以M不是空集.所以問題歸結(jié)為求{x|x2-1=0}非空子集.解:因?yàn)閧x|x2+5=0}=?,{x|x2-1=0}={-1,1},其非空子集為{-1},{1},{-1,1},所以M為{-1}或{1}或{-1,1}.當(dāng)堂檢測第13頁探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟1.(1)集合A是集合B真子集,需要滿足以下兩個條件:①集合A是集合B子集;②存在元素x∈B,但x?A.所以,假如集合A是集合B真子集,那么集合A一定是集合B子集,反之,不成立.(2)若集合A={1,2},B={1,2,3},則A是B子集,也是真子集,用符號A?B與A?B均可,但用A?B更準(zhǔn)確.2.與子集、真子集個數(shù)相關(guān)四個結(jié)論假設(shè)集合A中含有n個元素,則有:(1)A子集個數(shù)為2n;(2)A真子集個數(shù)為2n-1;(3)A非空子集個數(shù)為2n-1;(4)A非空真子集個數(shù)為2n-2.當(dāng)堂檢測第14頁探究一探究二探究三探究四思維辨析變式訓(xùn)練2寫出集合M={x|x(x-1)2(x-2)=0}全部子集,并指明哪些是集合M真子集.解:解方程x(x-1)2(x-2)=0,可得x=0或x=1或x=2,故集合M={0,1,2}.由0個元素組成子集為:?;由1個元素組成子集為:{0},{1},{2};由2個元素組成子集為:{0,1},{0,2},{1,2};由3個元素組成子集為:{0,1,2}.所以集合M全部子集為:?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.其中除集合{0,1,2}以外,其余子集全是集合M真子集.當(dāng)堂檢測第15頁探究一探究二探究三探究四思維辨析兩個集合相等及其應(yīng)用【例4】

已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},若A=B,求x,y值.當(dāng)堂檢測第16頁探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟1.判斷兩個集合相等能夠看兩個集合中元素是否相同,有兩種方法:(1)將兩個集合元素一一列舉出來,進(jìn)行比較;(2)看集合中代表元素是否一致且代表元素滿足條件是否一致,若均一致,則兩個集合相等.2.兩個集合相等問題普通轉(zhuǎn)化為解方程(組),但要注意最終需檢驗(yàn),看是否滿足集合元素互異性.3.找好問題切入點(diǎn)是處理集合相等問題關(guān)鍵.當(dāng)堂檢測第17頁探究一探究二探究三探究四思維辨析延伸探究

當(dāng)堂檢測第18頁探究一探究二探究三探究四思維辨析依據(jù)子集關(guān)系,確定參數(shù)值例5已知集合P={x|x2+x-6=0},Q={x|ax+1=0},滿足Q?P,求a取值.分析:先明確集合P,再結(jié)合Q?P對Q中a分兩種情況討論.解:P={x|x2+x-6=0}={2,-3}.當(dāng)a=0時,Q={x|ax+1=0}=?,Q?P成立.當(dāng)堂檢測第19頁探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟

處理已知兩個集合間關(guān)系,求參數(shù)范圍問題時,通常要借助數(shù)軸;利用數(shù)軸分析法,將各個集合在數(shù)軸上表示出來,以形定數(shù),還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值,做到準(zhǔn)確無誤.在用數(shù)軸表示集合時,含“=”端點(diǎn)用實(shí)心點(diǎn)表示,不含“=”端點(diǎn)用空心圓圈表示.對于本題而言易遺漏當(dāng)a=0時情況,要清楚當(dāng)a=0時,ax+1=0是無解,即此時Q為空集.當(dāng)堂檢測第20頁探究一探究二探究三探究四思維辨析延伸探究已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|(m-1)x-1=0},且B?A,則以實(shí)數(shù)m為元素集合M為

.

當(dāng)堂檢測第21頁探究一探究二探究三探究四思維辨析處理集合中含參數(shù)問題方法對于兩個集合A與B,A或B中含有待確定參數(shù)(字母),若A?B或A=B,則集合B中元素與集合A中元素含有“包含關(guān)系”,處理這類問題時常采取分類討論和數(shù)形結(jié)合方法.(1)分類討論是指:①A?B在未指明集合A非空時,應(yīng)分A=?和A≠?兩種情況來討論.②因?yàn)榧现性厥菬o序,由A?B或A=B得到兩集合中元素對應(yīng)相等情況可能有各種,所以需要分類討論.(2)數(shù)形結(jié)合是指對A≠?這種情況,在確定參數(shù)時,需要借助數(shù)軸來完成,將兩個集合在數(shù)軸上表示出來,分清實(shí)心點(diǎn)與空心圈,確定兩個集合之間包含關(guān)系,列不等式(組)將參數(shù)確定出來.當(dāng)堂檢測第22頁探究一探究二探究三探究四思維辨析關(guān)鍵點(diǎn)提醒:這類問題易錯點(diǎn)有三個地方:(1)忽略A=?情況;(2)在數(shù)軸上表示兩個集合時,沒有分清實(shí)心點(diǎn)與空心圈;(3)沒有搞清包含關(guān)系,沒有正確地列出不等式或不等式組.(3)處理集合中含參數(shù)問題時,最終結(jié)果要注意驗(yàn)證.驗(yàn)證是指:①分類討論求得參數(shù)值,還需要代入原集合中看是否滿足互異性;②所求參數(shù)能否取到端點(diǎn)值.當(dāng)堂檢測第23頁探究一探究二探究三探究四思維辨析典例

已知集合A={x|x2-3x-10≤0}.(1)若B?A,B={x|m+1≤x≤2m-1,m為常數(shù)},求實(shí)數(shù)m取值范圍;(2)若A?B,B={x|m-6≤x≤2m-1,m為常數(shù)},求實(shí)數(shù)m取值范圍;(3)若A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1,m為常數(shù)},求實(shí)數(shù)m取值范圍.分析:求出集合A元素,利用A,B關(guān)系列不等式(組)求m范圍.當(dāng)堂檢測第24頁探究一探究二探究三探究四思維辨析解:(1)由A={x|x2-3x-10≤0},得A={x|-2≤x≤5}.∵B?A,∴①若B=?,則m+1>2m-1,即m<2,此時滿足B?A.②若B≠?,解得2≤m≤3.由①②得m≤3.當(dāng)堂檢測第25頁探究一探究二探究三探究四思維辨析方法點(diǎn)睛

處理“A?B”或“A?B且B≠?”問題時,一定要分A=?和A≠?兩種情況進(jìn)行討論,其中A=?情況易被忽略,應(yīng)引發(fā)足夠重視.當(dāng)堂檢測第26頁1.設(shè)集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,則2x+y等于

(

)A.0 B.1 C.2 D.-1答案:C探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測第27頁2.設(shè)集合A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A?B,則a滿足條件是(

)A.a≥2 B.a≤1 C.a≥1 D.a≤2解析:結(jié)合數(shù)軸(以下列圖).

∵A?B,∴a≥2.答案:A探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測第28頁3.已知集合U=R,則正確表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}關(guān)系維恩圖是(

)

解析:N={x|x2+x=0}={-1,0},對照維恩圖可知A符合題意,即N?M?U.答案:A探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測第29頁4.集合{a,b,c,d}非空子集個數(shù)為

,非空真子集個數(shù)為

.

答案:15

14探究一