第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年福建省泉州市泉州一中、泉港一中、廈外石獅分校三校聯盟高一下學期5月期中聯考數學試題一、選擇題（共55分）1.已知z=2?i，則zz+A.6?2i B.4?2i C.6+2i2.已知向量a=(2,0),b=(?1,?1),則下列結論正確的是A.a·b=2 B.a/?/b 3.如圖，這是一件西周晚期的青銅器，其盛酒的部分可近似視為一個圓臺(設上、下底面的半徑分別為a厘米，b厘米，高為c厘米)，則該青銅器的容積約為(取π=3)(

)

A.ca2+ac+b2立方厘米 B.ca2?ac+b4.已知向量a=(2,1),b=(11,3)，則向量b在向量a上的投影向量cA.(10,5) B.(5,10) C.175130,755.下列說法正確的是(

)①已知a,b,c為三條直線，若a,b異面，b,c異面，則a,c異面；②若a不平行于平面α，且a?α，則α內的所有直線與a異面；③兩兩相交且不公點的三條直線確定一個平面；④若?ABC在平面α外，它的三條邊所在的直線分別交α于P、Q、R，則P、Q、R，三點共線．A.①② B.③④ C.①③ D.②④6.在某次軍事演習中紅方為了準確分析戰(zhàn)場形勢，在兩個相距為3a2的軍事基地C和D，測得藍方兩支精銳部隊分別在A處和B處，且∠ADB=30°,∠BDC=30°A.a B.64a C.7.已知a,b,c為單位向量，且3a?5b=7A.2 B.23 C.4 8.我國南北朝時期的著名數學家祖晅提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異．”意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意一個平面所截，若截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等．運用祖暅原理計算球的體積時，構造一個底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球(如圖1)放置在同一平面上，然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體(如圖2)，用任何一個平行于底面的平面去截它們時，可證得所截得的兩個截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積12V1相等，即12V1=πR2?R?13πR2?R=23πR3.圖3A.8π3 B.16π3 C.1639.下列四個選項中正確的是(

)A.有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱

B.圓臺O1O上下底面圓的半徑分別為1,3，母線長為4，則該圓臺的側面積為16π

C.正四棱柱的底面邊長為2，側棱長為4，且它的所有頂點在球O的表面上，則球O的表面積為24π

D.某圓柱下底面圓直徑為AB，其軸截面ABCD是邊長為2的正方形，P,Q分別為線段BC,AC上的兩個動點，E為AB?上一點，且BE=1，則10.在?ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，下列命題中正確的是

(

)A.若A>B，則sinA>sinB

B.若?ABC為銳角三角形，則sinA>cosB

C.若tanA+tanB+tanC>0，則11.直角ΔABC中，斜邊AB=2，P為ΔABC所在平面內一點，AP=12sin2θ?AB+A.AB?AC的取值范圍是(0,4)

B.點P經過ΔABC的外心

C.點P所在軌跡的長度為2

D.PC二、非選擇題（共75分）12.若復數z滿足3+4iz=2+i(i為虛數單位)，則z=

．13.如圖所示，Rt?A′O′B′表示水平放置的?AOB的直觀圖，∠A′O′B′=90°，點B′在xx軸上，且A′O′=1，則?AOB的邊OA=

．

14.在△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90°，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若PA=mPB+32?mPC(m為常數)，則15.如圖所示，在△ABC中，D，F分別是BC，AC的中點，AE=23AD，AB=(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；(2)求證：B，E，F三點共線．16.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M

(1)求證：BD1//(2)求證：平面NBD1//平面17.蜀繡又名“川繡”，與蘇繡，湘繡，粵繡齊名，為中國四大名繡之一，蜀繡以其明麗清秀的色彩和精湛細膩的針法形成了自身的獨特的韻味，豐富程度居四大名繡之首.1915年，蜀繡在國際巴拿馬賽中榮獲巴拿馬國際金獎，在繡品中有一類具有特殊比例的手巾呈如圖所示的三角形狀，點D為邊BC上靠近B點的三等分點，∠ADC=60°，AD=2．

(1)若∠ACD=45°，求三角形手巾的面積；

(2)當ACAB取最小值時，請幫設計師計算BD的長．

18.在通用技術課上，老師給同學們提供了一個如圖所示的木質四棱錐模型E?ABCD，?ABD為正三角形，BC=CD=2，∠BCD=120°，M為線段AE(1)求證：DM//平面BCE；(2)過點M,D,C的平面α交EB于點N，沿平面α將木質四棱錐模型切割成兩部分，在實施過程中為了方便切割，請你完成以下兩件事情：①在木料表面應該怎樣畫線？(在答題卡的圖上畫線要保留輔助線，并寫出作圖步驟)；②在木質四棱錐模型中確定N點的位置，求BNBE的值．19.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且ab=(1)求C．(2)若b=1，點M，N是邊AB上的兩個動點，當∠MCN=π3時，求(3)若點M，N是直線AB上的兩個動點，記∠MCN=θ(0<θ≤π2)，∠CMN=α，∠CNM=β.若cosβ(sin答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了復數的乘法及共軛復數，屬于基礎題．

利用復數的乘法和共軛復數的定義可求得結果．【解答】

解：因為z=2?i，故z=2+i，故zz+i=2?i2.【答案】C

【解析】【分析】本題考查向量的數量積的運算，向量的坐標運算，向量的模，向量共線的充要條件，考查計算能力，屬于基礎題．根據向量的數量積的運算，向量的坐標運算，向量的模，向量共線的充要條件，依次分析選項可得結果．【解答】解：根據題意，向量a→=(2,0)，依次分析選項：對于A，?a?b對于B，0×(?1)≠2×(?1)，a→與b→不平行，對于C，a→+b→=(1,?1)，b→?對于D，|a→|=2，|故選：C．3.【答案】C

【解析】【分析】本題考查中國古代數學文化與圓臺的體積，考查應用意識.屬于基礎題；

利用圓臺體積公式求解即可；【解答】解：該青銅器的容積約為

π3c(a2+ab+b4.【答案】A

【解析】【分析】由投影向量的計算公式計算可得．【詳解】由題意得，向量b在向量a上的投影向量為a?故選：A．5.【答案】B

【解析】【分析】利用空間中直線、平面的位置關系一一判定即可．【詳解】對于①，直線a、b異面，b、c異面，則a、c可能平行、相交或異面，所以①錯誤；對于②，由題設知，a與α相交，設a∩α=P，在α內過點P的直線l與a共面，所以②錯誤；對于③，兩條相交直線確定一個平面，第三條直線與前面兩條直線的交點在此平面內，所以③正確；對于④，設平面α∩平面ABC=l，因為P∈α,P∈平面ABC，所以P∈l，同理Q∈l,R∈l，故P、Q、R三點共線，④正確．故選：B．6.【答案】B

【解析】【分析】在?BCD中，利用正弦定理求出BC，再在?ABC中，利用余弦定理即可得解．【詳解】由題意知∠ADC=60°，又因為∠ACD=60所以AD=CD=AC=在?BCD中，∠BCD=105由正弦定理得BCsin∠BDC=在?ABC中，由余弦定理得A=3所以AB=故選：B．7.【答案】B

【解析】【分析】由3a?5b=7，得a?【詳解】a,b,c為單位向量，有由3a?5b有a?b=?a?b=c=1，b則2a當且僅當2a?c與2如取a=1,0,所以2a故選：B．【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點是由已知條件得b?2c=8.【答案】D

【解析】【分析】由圖利用幾何關系先求截面為A′B′C′D′的面積為24??2，再求四邊形A【詳解】設截面與底面的距離為?，在帳篷中的截面為A′B′C′D′，設底面中心為O，截面A′B′C′D′中心為O′，則O所以B′C′=2?4?設截面截正四棱柱得四邊形為A1B1底面中心O與截面A2B2C2在正四棱柱中，底面正方形邊長為22，高為所以∠AOA2=∠CO所以A2C2=2?，所以四邊形A2B2所以圖2中陰影部分的面積為SA1B由祖暅原理知帳篷體積為正四棱柱的體積減去正四棱錐的體積，即V帳篷故選：D．【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是理解祖暅原理，結合圖形帳篷體積為正四棱柱的體積減去正四棱錐的體積計算．9.【答案】BCD

【解析】【分析】利用反例結合棱柱的定義可判定A，利用圓臺的側面積公式可判定B，利用多面體的外接球及球表面積公式可判定C，利用圓柱的展開圖計算可判定D．【詳解】對于A中，有兩個面平行，其他各個面都是平行四邊形的兩個扣在一起的斜棱柱組成的多面體就不是棱柱，所以A錯誤；對于B，圓臺側面積S=l22π對于C，球O的直徑2r=22則球O的表面積為4πr2=24π對于D，如圖，連接EC，將?BCE沿直線BC旋轉到?BCE′的位置，且E′在AB的延長PE=PE′，由于圓柱的軸截面ABCD是邊長為2故∠BAC=∠BCA=π則PQ+PE=PQ+PE′≥E′Q，當Q,P,E′三點共線時取等號，當E′Q⊥AC時，E′Q最小，最小值為AE′sin即PQ+PE的最小值為322故選：BCD10.【答案】ABD

【解析】【分析】本題A選項根據三角形的邊角關系結合正弦定理即可解決；B選項根據銳角三角形中任意兩個角的和大于π2，再由誘導公式即可解決；C選項根據三角形內角和定理、誘導公式化簡并結合已知條件討論確定符號，從而確定角的情況；D選項已知兩邊和其中一邊的對角，根據有兩解畫圖分析列出不等式即可得出a【詳解】A選項：根據大角對大邊，A>B?a>b，根據正弦定理可得2RsinA=a>b=2RsinB，其中R為三角形外接圓半徑，于是B選項：若?ABC為鈍角三角形，則A+B>π2，所以π2>A>πC選項：因為tanC=所以tanC?(tanA?因為tanA+tanB+tanC>0，所以tan又因為A,B,C中最多一個為鈍角，所以tanA>0,即A,B,C都是銳角，所以?ABC為銳角三角形，C錯誤．D選項：因為三角形有兩解，所以bsinA<a<b所以a的取值范圍為(1,2)，D正確．故選：ABD．11.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查了平面向量數量積的運算和性質的應用，屬于中檔題．

由向量數量積的幾何意義有AB?AC=AC2，結合已知即可判斷A；若O為AB中點，根據已知有O，P，C共線，即可判斷B、C【解答】

解：由AB?AC=AC2，又斜邊AB=2，則|AC|∈(0,2)，則AB?AC∈(0,4)，A正確；

若O為AB中點，則AO=12AB，故AP=sin2θ?AO+cos2θ?AC，又sin2θ+cos2θ=1，

所以O，P，C共線，故P在線段OC上，軌跡長為1，又O是△ABC的外心，B正確，C12.【答案】5【解析】【分析】根據復數除法運算結合復數模的公式即可得到答案．【詳解】由題意得z=2+i則z=故答案為：513.【答案】3

【解析】【分析】在直觀圖中，作A′D′//B′O′，交y′軸于點D′，求出O′D′和A′D′的值，在原圖中，由斜二測畫法求出OD和AD的長，由勾股定理計算可得答案．【詳解】根據題意，如圖①，在直觀圖中，作A′D′//B′O′，交y′軸于點D′，易得∠A′O′D′=45°，A′O′=1，則O′D′=如圖②，在原圖中，OD=2O′D′=2則OA=故答案為：3．

14.【答案】0/18【解析】【分析】本題考查向量的概念與向量的模，考查運算求解能力，利用坐標法求解是關鍵，屬于較難題．

以A為坐標原點，分別以AB，AC所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系，求得B與C的坐標，再把PA的坐標用m表示．由AP=9列式求得m值，然后分類求得D的坐標，則CD的長度可求．【解答】

解：如圖，以A為坐標原點，分別以AB，AC所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系，

則B(4,0)，C(0,3)，

由PA=mPB+(32?m)PC，

得PA=m(PA+AB)+(32?m)(PA+AC)，

整理得：PA=?2mAB+(2m?3)AC

=?2m(4,0)+(2m?3)(0,3)=(?8m,6m?9)．

由AP=9，得64m2+(6m?9)2=81，

解得m=2725或m=0．

當m=0時，PA=(0,?9)，此時C與D重合，|CD|=0；

當m=2725時，直線PA15.【答案】解：(1)如圖所示：解延長AD到G，使AD=12AG，

連接BG、CG，得到四邊形ABGC，

∵D是BC和AG的中點，

∴四邊形ABGC是平行四邊形，則AG=AB+AC=a+b，

∴AD=12AG=12(a+b)，AE=所以B、E、F三點共線．

【解析】本題考查向量的運算及向量共線的判斷與證明，屬中檔題．(1)本小題考查向量的線性運算，根據題意作出輔助線構成平行四邊形ABGC，由四邊形法則和D是AG的中點求出AD，根據題意求出AE，由F是AC的中點求出AF，再由向量減法的三角形法則求出BE和BF．

(2)本小題考查向量共線的判斷與證明，由(1)求出BE=23BF，故兩個向量共線，從而B、16.【答案】(1)連接BD，交AC于O，連接MO，

∵在平行六面體ABCD?A1B∴O為BD中點，∵M為DD1∵MO?平面MAC,BD1?∴BD1//(2)在平行六面體ABCD?A1B1C∵M為DD1的中點，N為∴CN//MD∴NCMD1為平行四邊形，從而∵MC?平面MAC,D1N?∴D1N//由(1)可知：BD1//∵D1N?平面NBD1∴平面NBD1//

【解析】(1)作出輔助線，利用三角形的中位線結合線面平行的判定定理，判定即可；(2)利用平行六面體的性質，結合兩個中點，易證平行四邊形，根據平行四邊形對邊平行的性質，從而證明線面平行，再利用(1)中結論，結合面面平行的判定定理，判定即可．17.【答案】解：(1)在△ACD中，∠ACD=45°，∠ADC=60°，

故∠DAC=75°，∠ADB=120°，

由正弦定理得DCsin∠DAC=ADsin∠ACD，

即DC=2×sin75°sin45°，

而sin75°=sin(30°+45°)=12×22+32×22=2+64，

故DC=2×2+6422=1+3，

故BD=12DC=12(1+3)，

故三角形手巾的面積為【解析】本題考查了正余弦定理以及基本不等式在解三角形中的應用問題，屬于中檔題．

(1)由正弦定理求得DC的長，即可得DB的長，由三角形面積公式即可求得答案．

(2)設CD=BD=2m，(m>0)，利用余弦定理表示出AC2，AB18.【答案】(1)記F為AB的中點，連接DF，MF，如圖，因為F,M分別為AB,AE的中點，所以MF為?ABE的中位線，所以MF//EB，因為MF??平面EBC,EB?平面所以MF//平面EBC；又因為?ADB為正三角形，所以∠DBA=60又F為AB中點，所以DF⊥AB，又?BCD為等腰三角形，∠BCD=120°，所以所以∠ABC=∠DBA+∠DBC=90°，即所以DF//BC，又DF?平面EBC,BC?平面EBC，所以DF//平面EBC；又DM∩MF=F，DM?平面DMF，MF?平面DMF，故平面DMF//平面EBC，又因為DM?平面EBC，故DM//平面BEC．(2)①延長DC、AB相交于點P，連接PM交BE于點N，連接CN，②過點N作NQ//AE交AB于點Q，如圖，因為DM//平面ECB，DM?平面PDM，平面PDM∩平面ECB=CN，所以DM//CN，此時D,M,N,C四點共面，由(1)可知：BC=CD=2，∠PCB=180°?∠BCD=得