1.集合的差集定義：由所有屬于集合A但不屬于集合B的全體元素組成的集合叫做集合A對(duì)B的差集。記作（或），即且}。由此可以看出：補(bǔ)集只是差集的一種特殊情況。2.抽屜原理的基本形式①若有個(gè)元素放進(jìn)個(gè)集合，則必存在一個(gè)集合至少放2個(gè)元素。②若把個(gè)元素放進(jìn)個(gè)集合，則必存在一個(gè)集合至少放有個(gè)元素。③若把個(gè)元素放進(jìn)個(gè)集合，則必存在一個(gè)集合至少放有個(gè)元素。④若，且，則必存在，（），使，。⑤若，則必存在；若，則必存在。⑥若把無(wú)窮集合分成有限個(gè)集合，則必存在一個(gè)子集合含有無(wú)窮個(gè)元素。⑦若把個(gè)元素放進(jìn)個(gè)集合，則至少有2個(gè)集合的元素一樣多。⑧若把個(gè)元素放進(jìn)個(gè)集合，則至少有個(gè)集合的元素一樣多。⑨若把個(gè)元素放進(jìn)個(gè)集合，則必有一個(gè)集合至多含有個(gè)元素。⑩若把個(gè)面積為的平面圖形放到面積為的平面圖形上，并且，則至少存在兩個(gè)圖形有公共點(diǎn)。3.容斥原理定理1設(shè)A,B都是有限集，則定理2設(shè)A,B,C都是有限集，則4.極端原理最小數(shù)原理1：設(shè)M是自然數(shù)集的一個(gè)非空子集，則M中必有最小數(shù)；最小數(shù)原理2：設(shè)M是實(shí)數(shù)集的一個(gè)有限的非空子集，則M中必有最小數(shù)；推論：設(shè)M是實(shí)數(shù)集的一個(gè)有限的非空子集，則M中必有最大數(shù)；5.集合的拆分、計(jì)數(shù)及運(yùn)算例1.(2019清華)4.若集合、是正整數(shù)集的一個(gè)二劃分，則（）A.集合中不存在三項(xiàng)等差，集合中不存在無(wú)窮項(xiàng)等差B.集合中不存在三項(xiàng)等比，集合中不存在無(wú)窮項(xiàng)等比C.集合中不存在三項(xiàng)等差，集合中存在無(wú)窮項(xiàng)等差D.集合中存在三項(xiàng)等比，集合中不存在無(wú)窮項(xiàng)等比解析：，取，則有無(wú)窮項(xiàng)等差、也有無(wú)窮項(xiàng)等比。故AB錯(cuò)，C對(duì)；對(duì)D，取，則有無(wú)窮項(xiàng)等比。故D錯(cuò)；綜上選C。例2.(2019清華)10.，，是到的映射，若滿足，則稱有序?qū)椤昂脤?duì)”，求“好對(duì)”的個(gè)數(shù)最小值.解析：情形一：當(dāng)只對(duì)應(yīng)中1個(gè)元素時(shí)，此時(shí)“好對(duì)”有對(duì)，情形二：當(dāng)只對(duì)應(yīng)中2個(gè)元素時(shí)，設(shè)有組，組，則此時(shí)“好對(duì)”有對(duì)，且，則由柯西不等式可知：，情形三：當(dāng)只對(duì)應(yīng)中3個(gè)元素時(shí)，設(shè)有組，組，組，則此時(shí)“好對(duì)”有對(duì)，且，則由柯西不等式可知：，依次可得：易知當(dāng)對(duì)應(yīng)中5個(gè)元素時(shí)，此時(shí)“好對(duì)”的最小值為45，當(dāng)且僅當(dāng)中每3個(gè)元素對(duì)應(yīng)中一個(gè)元素時(shí)，等號(hào)成立，則“好對(duì)”的個(gè)數(shù)的最小值為45.例3.（2019中科大）8.已知，且，則_____解析：不妨設(shè)，由題意，知，知，故;同理，即，由于，知，,因此，進(jìn)而;故第一式僅有一組解：，,將其代入第二式，得,利用第三式檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)上解符合題意,故.另：同上解得（設(shè)），代入其中一個(gè)式子得，由于都是整數(shù)，顯然，代回即得各值。例4.（2018中科大）4.設(shè)，則滿足的映射的個(gè)數(shù)為【解析】①若的解只有一個(gè)時(shí)，此時(shí)映射有個(gè)；②若的解只有三個(gè)時(shí)，此時(shí)映射有個(gè)；③若的解只有五個(gè)時(shí)，此時(shí)映射有個(gè)；綜上，共有個(gè)。例5.（2018上海交大）6.設(shè)為全集，，定義，對(duì)的真子集，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.B.C.解析：,,,顯然，當(dāng)，時(shí)，，，，不滿足。故選C。例6.(2018復(fù)旦)23.設(shè)是平面上不同的點(diǎn)，則是為的重心的條件。解析：①若，記中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則，即，同理可證，，即為的重心。②若為的重心，逆用①即可證得。所以是為的重心的充要條件。例7.(2018清華)21.英國(guó)、法國(guó)、意大利、巴西、西班牙和德國(guó)六個(gè)國(guó)家參加足球比賽，甲乙丙對(duì)話：甲說(shuō)：意大利和西班牙肯定不是冠軍；乙說(shuō)：冠軍肯定出自法國(guó)或德國(guó)；丙說(shuō)：巴西肯定不是冠軍；已知這三人說(shuō)的話，恰有兩人正確一人錯(cuò)誤，問(wèn)冠軍隊(duì)是（）A.巴西B.德國(guó)或法國(guó)C.英國(guó)D.意大利或西班牙解析：利用假設(shè)分析法甲與丙說(shuō)真話，乙說(shuō)假話，故冠軍隊(duì)為英國(guó)，選C。例8.(2017北大博雅)10.有（）種方式可以將正整數(shù)集合分成兩個(gè)不相交的子集的并，使得每個(gè)子集都不包含無(wú)窮等差數(shù)列.A. B. C.無(wú)窮多 D.前三個(gè)答案都不對(duì)解析：記（），則正整數(shù)集合，可以取，，或，，或，，等都滿足題意，選C。例9.(2017北大博雅)12.一群學(xué)生參加學(xué)科夏令營(yíng)，每名同學(xué)至少參加一個(gè)學(xué)科考試.已知有名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)考試，名學(xué)生參加了物理考試，名學(xué)生參加了化學(xué)考試.學(xué)生總數(shù)是參加至少兩門考試學(xué)生數(shù)的兩倍，也是參加三門考試學(xué)生數(shù)的三倍.則學(xué)生總數(shù)為（）.A. B. C. D.前三個(gè)答案都不對(duì)解析：列出韋恩圖可知：，即，代入得，所以為，故選A。例10.(2016中科大)3．用表示集合的所有元素之和，且，能被3整除，但不能被5整除，則符合條件的非空集合的個(gè)數(shù)是.解析：將集合劃分為,,,于是使得能被3整除的非空集合的個(gè)數(shù)有.接下來(lái)考慮能被15整除的非空集合的個(gè)數(shù)有，此時(shí)或者。①若，則此時(shí)按最大元素分別為分類，分別有個(gè)，共個(gè)。②若，此時(shí)只需考慮的情況，共個(gè)。綜上所述，所求非空集合的個(gè)數(shù)為個(gè)。例11.(2016北大自招)8.54張撲克牌，將第1張扔掉，第2張放到最后，第3張扔掉，第4張放到最后，依次下去，最后只剩下一張牌，則這張牌在原來(lái)的牌中從上面數(shù)的第（）張。A.B.C.D.前三個(gè)答案都不對(duì)解析：將撲克牌編號(hào),則第1輪后余下所有的牌：，（共27張牌）由于第2輪規(guī)律：去掉括號(hào)左邊的數(shù)，所以，第2輪后余下所有的牌：，由于第3輪規(guī)律：去掉括號(hào)左邊的數(shù)，所以，第3輪后余下所有的牌：，由于第4輪規(guī)律：去掉括號(hào)左邊的數(shù)，所以，第4輪后余下所有的牌：，由于第5輪規(guī)律：去掉括號(hào)左邊的數(shù)，所以，第5輪后余下所有的牌：，第6輪后余下所有的牌：，故選C。例12.(2015北大自招)10.設(shè)都是元集合的子集，已知為奇數(shù)，（）,為偶數(shù)，，其中表示集合中的元素個(gè)數(shù)，則的最大值為____________解析：每個(gè)元素當(dāng)做一個(gè)子集如（）就滿足要求；填的最大值為。事實(shí)上，我們可以用表示集合中的元素是否在子集中（不在，不在），如，則記為向量，那么。顯然，當(dāng)時(shí)，比然存在個(gè)向量線性相關(guān)，不妨設(shè)，其中,，此時(shí)考慮，，那么根據(jù)題意有為奇數(shù)，而為偶數(shù)（），這就推出了矛盾。因此，所求的的最大值為。例13.(2010華約)9．欲將正六邊形的各邊和各條對(duì)角線都染為種顏色之一，使得以正六邊形的任何3個(gè)頂點(diǎn)作為頂點(diǎn)的三角形有3種不同顏色的邊，并且不同的三角形使用不同的3色組合，則的最小值為（）（A）6（B）7（C）8（D）9解析：注意到正六邊形的任何3個(gè)頂點(diǎn)作為頂點(diǎn)的三角形有個(gè)，顯然種顏色的3種組合有種，所以，，即。當(dāng)時(shí)，由抽屜原理，正六邊形的各邊中至少有條邊同色，而以這三條邊為邊的三角形有個(gè)，且各不相同，所以，得，矛盾。當(dāng)時(shí)，不妨記顏色分別為，則正六邊形的染色方案如右圖時(shí)恰好滿足，所以的最小值為。例14.(2010華約)10．設(shè)定點(diǎn)是以點(diǎn)為中心的正四面體的頂點(diǎn)，用表示空間以直線為軸滿足條件的旋轉(zhuǎn)，用表示空間關(guān)于所在平面的鏡面反射，設(shè)為過(guò)中點(diǎn)與中點(diǎn)的直線，用表示空間以為軸的180°旋轉(zhuǎn)．設(shè)表示變換的復(fù)合，先作，再作。則可以表示為（）（A）（B）（C）（D）解析：由題意知：①用表示空間以直線為軸滿足條件的旋轉(zhuǎn)，則,,；②用表示空間關(guān)于所在平面的鏡面反射，則,,,;③表示空間以為軸的180°旋轉(zhuǎn),則.所以，對(duì)點(diǎn)作變換，有：對(duì)A，，A錯(cuò)；對(duì)B,，B錯(cuò)；對(duì)C，,C錯(cuò)；對(duì)D，，符合題意。對(duì)同理變換可得，所以選D。例15.(2016北大自招)10.設(shè)為有限集合，為的子集，且對(duì)每個(gè)，都有，若一定有中某個(gè)元素在至少個(gè)中出現(xiàn)，則的值為（）A.B.C.D.前三個(gè)答案都不對(duì)解析：由于，由抽屜原理知中至少有一個(gè)元素出現(xiàn)了次。選B。可以這樣理解：取，則其子集至少有1個(gè)元素，不妨取，由于至少有1個(gè)元素，顯然這5個(gè)元素中至少有1個(gè)元素出現(xiàn)了次。例16.設(shè)集合的元素都是正整數(shù)，滿足如下條件：①的元素個(gè)數(shù)不小于3；②若，則的所有因素都屬于；③若，，，則。請(qǐng)回答下列問(wèn)題：⑴證明：都是集合中的元素；⑵問(wèn)：，是不是集合中的元素。證明：首先，1是任何正整數(shù)的因素，故;由③若，，，則，知若至少有一個(gè)偶數(shù)，則2是其中那個(gè)偶數(shù)的因素，有；若都是奇數(shù)，則為偶數(shù)，同理。由，，若,，則,,,，若為偶數(shù)，則為4的倍數(shù)，顯然；若為奇數(shù)，則繼續(xù)可得，由，顯然為4的倍數(shù)，故。綜上，,則,3是9的因素，故所以由，，得，，因?yàn)?是15的因素，故。⑵,,,,,同理，，，，，所以。例17.已知為非空集合，對(duì)于1，2，3的任意一個(gè)排列，若，則。證明：三個(gè)集合中至少有兩個(gè)相等。三個(gè)集合中是否可能有兩個(gè)集無(wú)公共元素？證明：（1）若，則，所以每個(gè)集合中均有非負(fù)元素。當(dāng)三個(gè)集合中的元素都為零時(shí)，命題顯然成立。否則，設(shè)中的最小正元素為，不妨設(shè)，設(shè)為中最小的非負(fù)元素，不妨設(shè)則－∈。若＞0,則0≤－＜，與的取法矛盾。所以=0。任取因0∈,故－0＝∈。所以，同理。所以=?？赡?。例如=={奇數(shù)}，={偶數(shù)}顯然滿足條件，和與都無(wú)公共元素。1.(2018復(fù)旦)22.已知正數(shù)，則是的條件。解析：注意到的特殊情況，顯然時(shí)，不滿足；時(shí)有，但不滿足，所以是的既不充分也不必要條件。2.(2017清華)4.已知集合，,設(shè)映射滿足：對(duì)任意的，是奇數(shù)，這樣的映射的個(gè)數(shù)為（）A.B.C.D.解析：為奇數(shù)，則為偶數(shù)，則為奇數(shù)或?yàn)槠鏀?shù)，所以只需為奇數(shù)即可，共有種，選C。3.(2017清華)22.一道四選項(xiàng)的選擇題，趙、錢、孫、李各選了一個(gè)選項(xiàng)，且選的恰好各不相同。趙說(shuō)：我選的是A;錢說(shuō)：我選的是B、C、D之一；孫說(shuō)：我選的是C；李說(shuō)：我選的是D；已知四人中只有一人說(shuō)了假話，則說(shuō)假話的人可能是（）A.趙B.錢C.孫D.李解析：①若趙說(shuō)了假話，則錢孫李說(shuō)的是真話，即選的是B,C,D，這時(shí)趙選的是A，是真話，矛盾，所以趙是真話；②若錢說(shuō)的是假話，則錢選的是A，與趙選A是真話產(chǎn)生矛盾；③若孫說(shuō)了假話，則趙錢孫李的選擇可能為A,C,B,D，可以；④若李說(shuō)了假話，則趙錢孫李的選擇可能為A,D,C,B，可以；故選CD。4.(2016清華)12.甲、乙、丙、丁四人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，四人在成績(jī)公布前做出如下預(yù)測(cè):甲預(yù)測(cè)說(shuō)：獲獎(jiǎng)?wù)咴谝?、丙、丁三人中；乙預(yù)測(cè)說(shuō)：我不會(huì)獲獎(jiǎng)，丙獲獎(jiǎng)；丙預(yù)測(cè)說(shuō)：甲和乙中有一人獲獎(jiǎng)；丁預(yù)測(cè)說(shuō)：乙的猜測(cè)是對(duì)的。成績(jī)公布后表明，四人的猜測(cè)中有兩人的預(yù)測(cè)與結(jié)果相符，另外兩人的預(yù)測(cè)與結(jié)果不相符，已知有兩人獲獎(jiǎng)，則獲獎(jiǎng)?wù)呤牵ǎ〢.甲和丁B.乙和丁C.乙和丙D.甲和丙解析：注意到乙和丁的預(yù)測(cè)一樣，所以①若乙和丁預(yù)測(cè)與結(jié)果相符，則甲和丙不相符，所以丙和乙獲獎(jiǎng)，與假設(shè)矛盾；②若乙和丁的預(yù)測(cè)不相符，可得，甲和丙的預(yù)測(cè)相符，所以乙獲獎(jiǎng)，丁獲獎(jiǎng)，故選B。5.(2015清華)11、運(yùn)動(dòng)會(huì)上，有名選手參加米比賽，觀眾甲猜測(cè)：第道或第道的選手得第一名；觀眾乙猜測(cè)：第道的選手不可能得第一名；觀眾丙猜測(cè)：第道選手中的一位獲得第一名；觀眾丁猜測(cè)：第道的選手都不可能獲得第一名。比賽后發(fā)現(xiàn)沒(méi)有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有人猜對(duì)比賽結(jié)果，此人是（）A.甲B.乙C.丙D.丁解析：若甲對(duì)，則乙也對(duì)，故甲錯(cuò)；若甲錯(cuò)乙對(duì)，則丙也對(duì)，故乙錯(cuò)，所以甲乙丙錯(cuò)丁對(duì)。選D6.(2015清華)28、對(duì)于個(gè)黑球和個(gè)白球的任意排列（從左到右排成一行），則（）A.存在一個(gè)黑球，它右側(cè)的白球和黑球一樣多B.存在一個(gè)白球，它右側(cè)的白球和黑球一樣多C.存在一個(gè)黑球，它右側(cè)的白球比黑球少一個(gè)D.存在一個(gè)白球，它右側(cè)的白球比黑球少一個(gè)解析：當(dāng)49個(gè)白球放左側(cè)，50個(gè)黑球放右側(cè)時(shí)，BD錯(cuò)；當(dāng)49個(gè)白球放右側(cè)，50個(gè)黑球放左側(cè)時(shí)，C錯(cuò)；故選A。7.(2016清華)32.設(shè)集合.若中任意三個(gè)元素均不構(gòu)成等差數(shù)列，則中的元素最多有()A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)解析：一方面，設(shè)，其中.不妨假設(shè).若，由題意，，且，故.同理.又因?yàn)?，所以，矛盾！?另一方面，取，滿足題意.綜上所述，中元素個(gè)數(shù)的最大值為8.選B。8.（2014年卓越聯(lián)盟）已知,又,求總分配數(shù).解析：由已知得,分類討論所有情況:①若,則,矛盾;②若,則,且,共1種;③若,則,則這樣的構(gòu)成共有(以為標(biāo)準(zhǔn),隨機(jī)確定)種;④若,則,同理，這樣的構(gòu)成有種;⑤若,則,矛盾.故綜上可之,共有種.9.(2013華約)1.設(shè)，且中元素滿足：①任意一個(gè)元素的各數(shù)位的數(shù)字互不相同；②任意一個(gè)元素的任意兩個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和不等于9；（1）求中的兩位數(shù)和三位數(shù)的個(gè)數(shù)；（2）是否存在五位數(shù)，六位數(shù)？（3）若從小到大排列中元素，求第1081個(gè)元素.解析：將0，1，…，9這10個(gè)數(shù)字按照和為9進(jìn)行配對(duì)，考慮（0，9），（1，8），（2，7），（3，6），（4，5），中元素的每個(gè)數(shù)位只能從上面五對(duì)數(shù)中每對(duì)至多取一個(gè)數(shù)構(gòu)成.（1）兩位數(shù)有個(gè)；三位數(shù)有個(gè)；（2）存在五位數(shù)，只需從上述五個(gè)數(shù)對(duì)中每對(duì)取一個(gè)數(shù)即可構(gòu)成符合條件的五位數(shù)；不存在六位數(shù)，由抽屜原理易知，若存在，則至少要從一個(gè)數(shù)對(duì)中取出兩個(gè)數(shù)，則該兩個(gè)數(shù)字之和為9，與中任意一個(gè)元素的任意兩個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和不等于9矛盾，因此不存在六位數(shù).（3）四位數(shù)共有個(gè)，因此第1081個(gè)元素是四位數(shù)，且是第577個(gè)四位數(shù)，我們考慮千位，千位1，2，3的四位數(shù)有個(gè)，因此第1081個(gè)元素是4012.10.(2012北約)6、在中選出個(gè)數(shù)，使得任意兩數(shù)之和不能被其差整除，則的最大值為（）A.B.C.D.前三個(gè)答案都不對(duì)解析：將分成，共組，如取個(gè)數(shù)，則由抽屜原理知至少有2個(gè)數(shù)屬于同一組，不妨記為，則。若，則，舍去；若，則奇偶相同，為偶數(shù)，，不合要求，舍去；因此，最多取個(gè)數(shù)，如：，這671個(gè)數(shù)中的任兩數(shù)，則，而，∴不整除，從而可知，最多能取671個(gè)數(shù)，滿足要求。所以的最大值為，選A。11.(2013北大保送)4.對(duì)的某非空子集，若其中所有元素的和為奇數(shù)，則稱為奇子集，問(wèn)奇子集的個(gè)數(shù).解析：設(shè)，則奇子集由中的1個(gè)、3個(gè)或5個(gè)元素以及中的任意個(gè)元素組成.因此奇子集共有個(gè).12.(2011華約)10.將一個(gè)正邊形用對(duì)角線劃分為個(gè)三角形，這些對(duì)角線在正邊形內(nèi)兩兩不相交，則（）A.存在某種分法，所分出的三角形都不是銳角三角形B.存在某種分法，所分出的三角形恰有兩個(gè)銳角三角形C.存在某種分法，所分出的三角形至少有個(gè)銳角三角形D.任何一種分法所分出的三角形都恰有1個(gè)銳角三角形解析：我們先證明所分出的三角形中至多只有一個(gè)銳角三角形.如圖，假設(shè)是銳角三角形，我們證明另一個(gè)三角形(不妨設(shè)在的另一邊)的(其中的邊有可能與重合)的一定是鈍角.事實(shí)上，，而四邊形是圓內(nèi)接四邊形，所以，所以為鈍角.這樣就排除了B，C.下面證明所分出的三角形中至少有一個(gè)銳角三角形.假設(shè)中是鈍角，在的另一側(cè)一定還有其他頂點(diǎn)，我們就找在的另一側(cè)的相鄰(指有公共邊)，則是銳角，這時(shí)如果或是鈍角，我們用同樣的方法繼續(xù)找下去，則最后可以找到一個(gè)銳角三角形.所以答案是D.13.以某些整數(shù)為元素的集合具有下列性質(zhì)：①中的元素有正數(shù)，有負(fù)數(shù)；②中的元素有奇數(shù),有偶數(shù)；③－1；④若，∈,則＋∈試判斷實(shí)數(shù)0和2與集合的關(guān)系。解：由④若，∈,則＋∈可知，若∈，則由①可設(shè)，∈，且＞0，＜0，則－＝||(||∈)故,－∈,由④,0＝(－)+∈。（2）2。若2∈，則中的負(fù)數(shù)全為偶數(shù)，不然的話，當(dāng)－（）∈（）時(shí)，－1＝（－）＋∈，與③矛盾。于是，由②知中必有正奇數(shù)。設(shè)，我們總可以取適當(dāng)正整數(shù)，使，則負(fù)奇數(shù)。前后矛盾。綜上可得14.設(shè)函數(shù)，集合，。⑴證明：；⑵當(dāng)時(shí)，求。⑶當(dāng)只有一個(gè)元素時(shí)，求證：．解：（1）設(shè)任意∈，則＝.而，故∈,所以.因，所以，解得故。由得解得，＝{。⑶不妨設(shè)，則，即代入得，即解得，故,即15.已知A與B是集合的兩個(gè)子集，滿足：A與B的元素個(gè)數(shù)相等，且為空集，若，總有，求集合的元素個(gè)數(shù)的最大值。解：注意到：知A中最大元素不超過(guò)49；是偶數(shù)，為了讓的元素個(gè)數(shù)的最大，必須讓奇數(shù)都在A中為好；列舉發(fā)現(xiàn)：不超過(guò)49的奇數(shù)有25個(gè)，都在A中，對(duì)應(yīng)的25個(gè)偶數(shù)在B中；余下2,6,10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98這些偶數(shù)中應(yīng)當(dāng)有盡可能多的在A中，繼續(xù)列舉可以發(fā)現(xiàn)最多有8個(gè)可以在A中，此時(shí)，，下面證：時(shí)，不滿足條件?，F(xiàn)從中找一個(gè)含34個(gè)元素的子集作為A，先將這個(gè)集合里的元素分成33組（依據(jù)：若，總有），如下：，，，…，；，，，；，，，…，；，，，；顯然，上述33組中每組湊一個(gè)數(shù)出來(lái)組成A，顯然沒(méi)有34個(gè)元素，必須從上述2元數(shù)組中再找一個(gè)數(shù)出來(lái)才能湊成34個(gè)元素，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，這34個(gè)元素中必然能找到2個(gè)數(shù)（抽屜原理），其中一個(gè)為，另一個(gè)為，不滿足要求，故不成立。所以，根據(jù)開始的分析，發(fā)現(xiàn)；滿足題意。所以集合的元素個(gè)數(shù)的最大值為66.16.對(duì)任意，若,，則稱集合對(duì)加減封閉，為的真子集。⑴寫出一個(gè)符合條件的；⑵證明：若為的兩個(gè)真子集，且對(duì)加減封閉，則必存在，使得。解：⑴顯然等⑵因?yàn)闉榈膬蓚€(gè)真子集，故存在，,若，則問(wèn)題顯然得證；若，則同理存在，,，若，則問(wèn)題顯然得證；若，不妨取,下面證。反證法得若，不妨設(shè)，即，而，由封閉性可得，矛盾！17.設(shè)且≥15，都是{1，2，3，…，}真子集，，且={1，2，3，…，}。證明：或者中必有兩個(gè)不同數(shù)的和為完全平方數(shù)。證明：由題設(shè)，{1，2，3，…，}的任何元素必屬于且只屬于它的真子集之一。假設(shè)結(jié)論不真，則存在如題設(shè)的{1，2，3，…，}的真子集，使得無(wú)論是還是中的任兩個(gè)不同的