第五章數(shù)列(選擇性必修第二冊)第1節(jié)數(shù)列的概念[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).1.數(shù)列的定義一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).2.數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an+1>an其中n∈N*遞減數(shù)列an+1<an常數(shù)列an+1=an擺動數(shù)列從第二項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法,它們分別是表格法、圖象法和解析式法.4.數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.5.數(shù)列的遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.1.(選擇性必修第二冊P8練習(xí)T3改編)數(shù)列{an}的前幾項(xiàng)為12,3,112,8,A.an=5n-42 C.an=6n-52 解析:數(shù)列為12,62,112,162,2122.在數(shù)列{an}中,a1=1,an=1+1an-A.32 B.53 C.743.數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則{an}的通項(xiàng)公式可以是下面的(A)A.an=-1n B.an=n2C.an=2-n D.an=(-n)n解析:f(x)=-1x在(0,+∞)上是增函數(shù),所以an=-1n是遞增數(shù)列,符合題意;an=n2-3n,則a1=a2=-2,{an}不是遞增數(shù)列,不合題意;an=2-n,有a1=12,a2=14,{an}不是遞增數(shù)列,不合題意;an=(-n)n,有a2=(-2)24.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=n2,則an=,若Sn=n2+1,則an=.

解析:若Sn=n2,則當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.當(dāng)n=1時(shí)滿足上式,所以an=2n-1.若Sn=n2+1,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1,當(dāng)n=1時(shí)不滿足上式,故an=2答案:2n-125.在數(shù)列{an}中,an=-n2+6n+7,當(dāng)其前n項(xiàng)和Sn取最大值時(shí),n=.

解析:由題可知n∈N*,令an=-n2+6n+7≥0,得1≤n≤7(n∈N*),所以該數(shù)列的第7項(xiàng)為零,且從第8項(xiàng)開始an<0,則S6=S7且最大.答案:6或7由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式1.(2022·安徽宿州期中)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an+Sn=2(n∈N+),則{an}的通項(xiàng)公式為an=.

解析:因?yàn)閍n+Sn=2(n∈N+),所以an-1+Sn-1=2,n≥2,兩式相減得an-an-1+an=0,n≥2,所以2an=an-1,n≥2.又a1+S1=2a1=2,所以a1=1.所以{an}是以1為首項(xiàng),12所以an=(12)n-1答案:(12)2.記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,an+1=2Sn(n為正整數(shù)),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.

解析:因?yàn)閍1=1,an+1=2Sn,①所以an=2Sn-1(n≥2),②①-②可得,3an=an+1(n≥2).當(dāng)n=1時(shí),a2=2S1=2,即當(dāng)n=1時(shí),不滿足3an=an+1,所以數(shù)列{an}從第二項(xiàng)開始是以3為公比的等比數(shù)列,所以an=1答案:an=13.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=.

解析:因?yàn)閍n+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,所以Sn+1-Sn=SnSn+1.因?yàn)镾n≠0,所以1Sn-1Sn+1又1S所以數(shù)列{1S所以1Sn=-1+(n-1)所以Sn=-1n答案:-14.(2022·河南鄭州月考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=a2=1,當(dāng)n≥2時(shí),Snan=Sn-1an+1,則Sn=,a12=.

解析:當(dāng)n≥2時(shí),Sn(Sn-Sn-1)=Sn-1(Sn+1-Sn),所以Sn2=Sn-1Sn+1.因?yàn)閍1=a2=1,所以{S所以Sn=2n-1,所以a12=S12-S11=210=1024.答案:2n-11024根據(jù)an=S1,n=1,Sn-S注意檢驗(yàn)a1的情況,若滿足an=f(n)(n≥2),則結(jié)果寫成an=f(n)(n∈N*),否則寫成分段形式,即an=S用累加法、累乘法求通項(xiàng)公式1.在數(shù)列{an}中,a1=0,an-an-1=2n-1(n≥2),則{an}的通項(xiàng)公式是.

解析:當(dāng)n≥2時(shí),an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=0+3+5+7+…+2n-1=(n-1又a1=0符合上式,所以an=n2-1.答案:an=n2-12.已知數(shù)列{an}滿足a1=3,an-an-1=2n-1(n≥2),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析:當(dāng)n≥2時(shí),an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=3+2+22+…+2n-1=3+2-2n-1·21-答案:an=2n+13.已知數(shù)列{bn}滿足b1=2,(n+2)bn=nbn+1,其中n∈N*,則{bn}的通項(xiàng)公式為.

解析:當(dāng)n≥2時(shí),bn=b1·b2b1·b3b2·…·bnbn-1=2×3又b1=2滿足上式,所以{bn}的通項(xiàng)公式bn=n(n+1).答案:bn=n(n+1)當(dāng)出現(xiàn)an+1-an=f(n)時(shí),用累加法求an,即利用an=(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)+a1(n≥2);當(dāng)出現(xiàn)an+1an=f(n)時(shí),用累乘法求an,即利用an=a1·a2a1數(shù)列性質(zhì)及其應(yīng)用數(shù)列的周期性[例1](1)數(shù)列{an}滿足a1=12,an+1=1-1anA.-1 B.12 C.2 (2)(多選題)若數(shù)列{an}滿足an+1=2an,0≤an≤A.13 B.2 C.23 解析:(1)數(shù)列{an}滿足a1=12,an+1=1-1當(dāng)n=1時(shí),解得a2=1-1a當(dāng)n=2時(shí),解得a3=1-1a當(dāng)n=3時(shí),解得a4=1-1a3=當(dāng)n=4時(shí),解得a5=1-1a故數(shù)列的周期為3.故a2024=a674×3+2=a2=-1.故選A.(2)由題意可得a2=2a1=23,a3=2a2-1=1a4=2a3=23,…,所以數(shù)列{an}是周期為2的數(shù)列,所以數(shù)列{an}中的項(xiàng)的值可能為13,解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng),確定數(shù)列的周期,再根據(jù)周期性求值.數(shù)列的單調(diào)性[例2](1)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n+kA.(3,+∞) B.(2,+∞)C.(1,+∞) D.(0,+∞)(2)已知數(shù)列{an}滿足an=(3-aA.(167,3) B.[16C.(1,3) D.(2,3)解析:(1)因?yàn)閍n+1-an=3n+3+k2n+1-3n+k2n=3所以k>3-3n對任意n∈N*恒成立,所以k∈(0,+∞).故選D.(2)若{an}是遞增數(shù)列,則3即a解得2<a<3.故選D.解決數(shù)列單調(diào)性問題的三種方法(1)用作差比較法,根據(jù)an+1-an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列.(2)用作商比較法,根據(jù)an+1an(a(3)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷.求數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)[例3](1)對于數(shù)列{12A.既有最大項(xiàng),又有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng),無最小項(xiàng)C.無最大項(xiàng),有最小項(xiàng)D.既無最大項(xiàng),又無最小項(xiàng)(2)已知數(shù)列{an},an=n-A.此數(shù)列沒有最大項(xiàng)B.此數(shù)列的最大項(xiàng)是a3C.此數(shù)列沒有最小項(xiàng)D.此數(shù)列的最小項(xiàng)是a2解析:(1)因?yàn)?10=1024,211=2048,所以根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知,{12n-(2)令t=n-1≥0,則n=t+1,則y=tt當(dāng)t>0時(shí),y=1t+4t+6所以數(shù)列{an}有最大項(xiàng)a3,有最小項(xiàng)a1.故選B.求數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)的三種方法(1)不等式組法:利用不等式組an利用不等式組an(2)單調(diào)性法:結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性,注意n∈N*.(3)基本不等式法:結(jié)合相應(yīng)的基本不等式,注意n∈N*.[針對訓(xùn)練]1.數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=-an,則S2023等于()A.4046 B.-4046 C.2 D.-2解析:因?yàn)閍1=2,an+1=-an,所以a2=-a1=-2,a3=-a2=2,a4=-2,…,所以an+2=an,所以{an}是周期為2的周期數(shù)列,所以S2023=a1+a2+…+a2023=2+(-2)+2+(-2)+…+2=2.故選C.2.已知數(shù)列{an}滿足an=(n+1)(20212022A.2020 B.2024 C.2022 D.2023解析:因?yàn)閍n+1an=所以當(dāng)n>2020時(shí),an+1an<1,即a當(dāng)n<2020時(shí),an+1an>1,即an=2020?an所以當(dāng)n=2020時(shí),an取得最大值.故選A.[例1]已知數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2anan+2(n∈N*),則數(shù)列{an解析:因?yàn)閍n+1=2anan+2所以1an+1=1即1an+1-1又a1=2,則1a1=所以數(shù)列{1an}是以12所以1an=1a1+(n-1)×12=n答案:2[例2]已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+2(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.

解析:因?yàn)閍n+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),所以an所以數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列,公比q=3.又a1+1=2,所以an+1=2·3n-1,所以an=2·3n-1-1.答案:an=2·3n-1-1[例3]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=mn-m+12n(n∈N*解析:根據(jù)題意,數(shù)列{an}中,an=mn-m+12n,則an-1則an-an-1=-mn若數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,則an-an-1=-mn+3m當(dāng)m=0時(shí),①式為0<1,恒成立,滿足題意;當(dāng)m<0時(shí),①式變形可得