摘要數(shù)學小實驗開啟了學生動手做、動腦思的新路徑，讓學生在動手操作過程中掌握思考路徑、懂得思考步驟、學會思考方法，賦予學生數(shù)學思維力生長的力量。在實驗過程中可以通過問題，在解疑證惑中推進數(shù)學小實驗；通過方法，以邏輯推理引領數(shù)學小實驗；通過反思，讓理性審視反哺數(shù)學小實驗。關

鍵

詞數(shù)學小實驗；教學思維力；數(shù)學問題；邏輯推理；理性反思心理學研究表明：兒童的思維是從動手開始的，切斷活動與思維的聯(lián)系，思維就得不到發(fā)展[1]。在數(shù)學教學中，動手操作是解決數(shù)學知識抽象性和學生思維形象性之間矛盾的關鍵要素?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出：學生的學習應是一個主動的過程，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數(shù)學的重要方式。數(shù)學小實驗作為一種能夠充分體現(xiàn)學生動手操作、探究交流能力的重要學習方式悄然走進小學數(shù)學課堂[2]。數(shù)學小實驗是讓學生自己動手操作，通過探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析和歸納等思維活動，最后獲得概念理解或解決問題的一種教學方式。在數(shù)學實驗過程中，學生經(jīng)歷數(shù)學知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)，感悟數(shù)學思想方法，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，進而實現(xiàn)數(shù)學思維力的生長。一、提煉問題：讓解疑證惑推進數(shù)學小實驗，凸顯有層次的“思”數(shù)學思維力是指用數(shù)學觀念思考問題和解決問題的能力，因此，數(shù)學問題是發(fā)展學生數(shù)學思維力的重要載體。數(shù)學小實驗活動的開展不是機械的、盲目的，而是具有一定的針對性。教師應以數(shù)學問題為引領，使之貫穿整個實驗過程，這不僅能讓數(shù)學實驗有的放矢，而且能為學生創(chuàng)造獨立的思考時空，引發(fā)學生的實驗期待，點燃學生的實驗興趣，從而積極參與到解決問題的思維活動中[3]。如蘇教版《數(shù)學》四年級下冊第七單元的“多邊形的內角和”，要求學生探索發(fā)現(xiàn)多邊形內角和與邊數(shù)之間的關系，經(jīng)歷和體驗探索數(shù)學規(guī)律的實驗過程。結合該內容，筆者設計了“探索多邊形的內角和”數(shù)學小實驗，并以問題為驅動，引導學生通過實驗解疑證惑，體現(xiàn)有層次的思考。問題1：四年級我們學習了角的度量，測量了不同形狀三角形的內角。隨著三角形形狀的變化，各個內角的度數(shù)也隨之發(fā)生變化。那么，任意三角形的內角和都是一個固定值嗎？任意多邊形的內角和呢？在問題的驅動下，學生以小組為單位進行數(shù)學實驗，考慮到學生學情，為降低探究難度，筆者進一步結合問題1進行提問，幫助學生細化實驗任務。問題2：任意三角形的內角和都是180°，四邊形的內角和會是一個固定值嗎？學生自主實驗，通過拼角和測量的方法，猜測四邊形的內角和是360°，為進一步驗證實驗結果的準確性，學生分享了多種計算方法（如圖1）。問題3：對以上四種方法進行對比分析，你們能發(fā)現(xiàn)什么？對以上四種方法進行對比分析后發(fā)現(xiàn)，求四邊形內角和可以轉化成三角形內角和計算。問題4：看來，“分一分”是個好方法。你會用這樣的方法繼續(xù)探究五邊形、六邊形……的內角和嗎？學生各自操作、計算和實驗，嘗試運用多種方法將五邊形、六邊形……等分成三角形，再計算多邊形的內角和。接著，筆者繼續(xù)提問：從以上的研究中，你們發(fā)現(xiàn)多邊形的內角和與什么有關系？是否存在一定的規(guī)律呢？學生按序整理多邊形內角和的情況并填寫在表格中，發(fā)現(xiàn)它們的度數(shù)都是180的倍數(shù)，且分成的三角形個數(shù)比邊數(shù)少2（見表1）。照這樣，當多邊形的邊數(shù)是n時，它的內角和可以表示為（n－2）×180°。在實驗過程中，筆者以“任意多邊形的內角和是否為固定值”這一問題，引領學生將求多邊形的內角和問題轉化為三角形的內角和加以解決，學生動手操做和數(shù)學思考處于挑戰(zhàn)、思考、再挑戰(zhàn)、再思考的螺旋上升過程中，進而促進學生思維的層層深入，教會學生如何思考問題。二、開展類比：以邏輯推理引領數(shù)學小實驗，探索有路徑的“思”類比是一種嚴謹?shù)倪壿嬐评碚撟C方法，追求的是過程的嚴謹、結論的可靠，強調的是幫助學生借助熟悉的事物理解新知識。類比包含概念與操作的類比、結論的類比、方法的類比等。小學數(shù)學課堂中的數(shù)學小實驗是“再發(fā)現(xiàn)”的過程，而很多知識和結論對小學生而言，都是未知的，也是陌生的，能否借助已經(jīng)掌握的知識進行類比推理得到新知識呢？這是數(shù)學小實驗探究的一種有效思路。因此，在教學過程中需要教師巧妙地將新舊知識聯(lián)系起來，以邏輯推理引領數(shù)學小實驗，幫助學生掌握研究問題的一般方法，從而獲得思考、解決問題的一般規(guī)律，發(fā)展學生思維力[4]。蘇教版《數(shù)學》五年級下冊第六單元“圓面積的計算”要求學生用數(shù)方格的方法算出圓的面積。同計算圓的周長類似，度量圓的面積與度量長方形、三角形、平行四邊形的面積有很大不同，學生一開始并沒有明確的度量方法，這就需要他們利用已有的經(jīng)驗去類比推理、驗證猜想。為此，筆者設計了“圓的面積探索”數(shù)學小實驗，引導學生將新舊知識聯(lián)系起來探索新知識?；顒右唬涸诨仡櫶骄块L方形面積公式方法（構造法：確定基準+平移變換）的基礎上思考：怎樣通過長方形面積公式推導出三角形、平行四邊形、梯形面積公式呢？通過活動一，引領學生回顧如何利用幾何變換進行二維封閉圖形面積的度量，為類比探究做鋪墊。活動二：如圖2，假設圓的半徑為1，兩幅圖中的正方形面積是多少？比一比兩幅圖中正方形面積的大小，你能做出怎樣的猜想？活動二的目的是通過勾通圓與正方形之間的關系，讓學生通過對正方形面積的計算，能夠對圓的面積進行類比推理，產(chǎn)生一個初步的猜想，從而為學生的實驗探究找到一條可行的思考路徑。將圓的半徑設為1，主要是便于學生計算。通過對比計算兩個正方形的面積，學生發(fā)現(xiàn)圓的面積應該大于半徑平方的2倍，小于半徑平方的4倍。回顧圓的周長推導方法，學生發(fā)現(xiàn)圓的周長大于直徑的2倍，小于直徑的4倍，最后得出圓的周長是直徑的π倍。那么，有部分學生就會類比推理得出：圓的面積與半徑的平方之間也會存在類似的關系。活動三：如圖3用數(shù)方格的方法計算圓的面積，想一想圓的面積與它的半徑之間有什么關系？學生通過數(shù)方格的方式發(fā)現(xiàn)：①圓的面積是它半徑平方的3倍多一些；②圓的面積大約等于半徑×半徑×3。但如何驗證呢？學生毫無思路。于是，筆者重點引導學生思考圓的周長公式推導過程中，我們還運用了化曲為直的數(shù)學思想方法。那么，在這里大家是否也可以運用化曲為直的方法呢？活動四：類比圓的周長推導方法，我們先把圓平均分成8份“小三角形”，看一看“小三角形”可以拼成一個什么圖形？如果把圓平均分成16份？32份呢？……拼成的圖形與前面的相比，有什么變化嗎？面對一個新的問題，借助已有經(jīng)驗去類比、猜想，這個過程是非常神奇的。我們通過數(shù)學小實驗，引領學生通過類比圓的周長探究方式推導圓的面積公式，可以促進學生邏輯思維能力的發(fā)展。三、加強反思：讓理性審視反哺數(shù)學小實驗，實現(xiàn)有深度的“思”反思是一個深度思考的過程，它并不是簡單地回顧自己的錯誤，而是冷靜客觀地審視問題、復盤問題、分析問題，理性審視自己的思維方式和行為模式。數(shù)學小實驗是以解決問題為導向的探究性活動，通過反思性學習，可以讓學生主動去觀察比較、尋找規(guī)律、歸納應用，從而使學生的數(shù)學操作活動成為一種有目標、有策略的主動行為，最重要的是讓學生學會有深度的思考，并養(yǎng)成良好的自我反思習慣[5]。蘇教版《數(shù)學》四年級上冊第八單元“垂線和平行線”的“動手做”部分，要求學生用一幅三角尺拼一拼、畫一畫、量一量，知道三角尺拼出的角的度數(shù)。結合該內容，筆者設計了“三角尺拼角”的數(shù)學小實驗，將學生的動手操做與反思性問題有機結合起來，引導學生邊操作、邊反思，鞏固對直角、銳角、鈍角的認識，進一步感悟數(shù)學中形與數(shù)的聯(lián)結與轉換。1.活動一：看一看，一副三角尺有幾個？分別是什么樣的？量一量，每塊三角尺中三個角的度數(shù)分別是多少。學生自主觀察，并用量角器量一量，得出結論：一幅三角尺有兩個，其中一個三角尺的度數(shù)為：90°、45°、45°，另一個三角尺的度數(shù)為：90°、60°、30°。2.活動二：用一副三角尺如圖4這樣拼一拼，再說說拼出的角各是多少度？學生自主拼角，把兩個三角尺像第一幅圖這樣拼，拼出的角是：90°+90°=180°；把兩個三角尺像第二幅圖這樣拼，拼出的角是：60°+45°=105°。3.活動三：試一試，如何用一副三角尺拼出直角？在動手前想一想打算用哪兩個角拼成直角，然后自主拼角，記錄在練習紙上，并與同桌交流，說一說你是怎么拼的，學生在此過程中領悟并獲得“怎樣有序地拼角”的學習經(jīng)驗。4.活動四：同桌合作，用一副三角尺拼出銳角和鈍角，并說一說你是怎么想的？動手前想一想打算用哪兩個角拼成銳角或鈍角，先嘗試拼銳角，然后嘗試拼鈍角，并和同桌交流，說一說你是怎么想的。有的學生把三角板上面的角做加法，畫出30°+45°=75°，45°+60°=105°，30°+90°=120°，45°+90°=135°，60°+90°=150°，90°+90°=180°這幾種不同的角；有的學生把45°角和30°角疊在一起做減法：先畫出45°的角，再在里面畫出一個30°的角，剩下的就是15°的角，45°-30°=15°。學生在有序拼角的基礎上，筆者引導他們通過說一說的形式，不斷反思自己的操作過程。有的提出拼鈍角可以用直角加任意一個銳角，如果選兩個銳角就要選較大的兩個；有的認為銳角和銳角可以拼出銳角，也能拼出直角；還有的將這些畫出的角從小到大進行排列：15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、180°。結果發(fā)現(xiàn)這些畫出的角的度數(shù)都是15°的倍