正態(tài)分布總體均值和方差的區(qū)間估計(jì)主要研究?jī)?nèi)容:均值的區(qū)間估計(jì)對(duì)區(qū)間估計(jì)的合理要求(1)盡可能大(可靠性)(2)盡可能小(精度)二者同時(shí)小不可能,在保證可靠性的條件下,盡量提高精度.方差的區(qū)間估計(jì)一：均值EX的區(qū)間估計(jì)(1)

方差DX已知,對(duì)EX進(jìn)行區(qū)間估計(jì)

設(shè)總體

其中已知.為來自于總體的樣本。對(duì)于給定的可以找到一個(gè)數(shù)

使即落在區(qū)間內(nèi)的概率為

區(qū)間

為的置信區(qū)間,

為在置信度下的臨界值，或稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位點(diǎn)。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的置信區(qū)間是的置信區(qū)間是時(shí)，時(shí)，比較可知越大,則越小,置信區(qū)間越小,因此,在實(shí)際應(yīng)用中,要適當(dāng)選取落在區(qū)間內(nèi)的把握也就越小。常取值:例1：已知某種滾珠的直徑服從正態(tài)分布,且方差為0.06，現(xiàn)從某日生產(chǎn)的一批滾珠中隨機(jī)地抽取6只,測(cè)得直徑的數(shù)據(jù)（單位mm）為14.615.114.914.815.215.1試求該批滾珠平均直徑的95％置信區(qū)間。解當(dāng)時(shí)，查表得

故所求置信區(qū)間為注對(duì)于不是服從正態(tài)分布的總體，只要足夠大，則由中心極限定理，隨機(jī)變量近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，因此仍然可以用作為的置信區(qū)間，但此時(shí)仍然又多了一次誤差。(2)

方差DX未知,對(duì)EX進(jìn)行區(qū)間估計(jì)設(shè)總體其中未知.為來自于總體的樣本。用樣本方差來代替總體方差統(tǒng)計(jì)量

對(duì)于給定的查t分布表可得臨界值使得得均值的置信區(qū)間為

的置信區(qū)間是在方差未知的情況下，當(dāng)時(shí),查t分布表得臨界值例2

設(shè)有某種產(chǎn)品，其長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，現(xiàn)從該種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取9件，得樣本均值樣本標(biāo)準(zhǔn)差試求該產(chǎn)品平均長(zhǎng)度的90％置信區(qū)間.當(dāng)時(shí),解置信區(qū)間為[9.06，9.50]

查t分布表得例3

設(shè)燈泡的壽命服從正態(tài)分布,現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)地抽取6只,測(cè)得壽命的數(shù)值(單位:h)為1020,1010,1050,1040,1050，1030求燈泡壽命平均值的置信度為0.95的單側(cè)置信下限.解由于總體方差未知，故統(tǒng)計(jì)量對(duì)給定的

查t分布表可得臨界值使得由此得到

即的置信度為的單側(cè)置信區(qū)間代入得單側(cè)置信下限為的置信度為的單側(cè)置信下限為總結(jié)解決此問題的一般步驟:(1)找一個(gè)的點(diǎn)估計(jì)(2)選取適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量(3)選取適當(dāng)?shù)某?shù)a,b,對(duì)于給定的使得(4)將變形就是所求置信區(qū)間。例4隨機(jī)從一批零件中抽取16件測(cè)其長(zhǎng)度(cm):2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.14,2.112.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,設(shè)該零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布.試求總體均值的90％置信區(qū)間.(1)

已知(2)未知解:(1)的置信度為的置信區(qū)間為因?yàn)樗詫=16,代入得所以,所求置信區(qū)間為[2.121,2.129](2)未知,的置信度為的置信區(qū)間為代入得當(dāng)n=16時(shí),所求置信區(qū)間為[2.1175,2.1325]二.方差的區(qū)間估計(jì)設(shè)總體為來自于總體的樣本.考慮統(tǒng)計(jì)量

對(duì)于給定的查分布表，可得臨界值及使得即則因此，當(dāng)總體中的參數(shù)為未知的情況下，方差的置信區(qū)間為注臨界值不是唯一的。

可以選取例5：某自動(dòng)車床生產(chǎn)的零件，其長(zhǎng)度X服從正態(tài)分布，現(xiàn)抽取16個(gè)零件，測(cè)得長(zhǎng)度（單位：mm）如下：12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.08,12.01,12.03,12.01,12.06,12.06,12.13,12.07,12.11,12.03的置信度為95%的置信區(qū)間。試求

解：經(jīng)計(jì)算可得查分布表得的置信度為95%的置信區(qū)間§8.4二正態(tài)總體均值差和方差比的區(qū)間估計(jì)設(shè)和分別來自于正態(tài)總體和的兩獨(dú)立樣本,

相應(yīng)的樣本均值和樣本方差分別記為和求的置信區(qū)間二正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì)1：方差和都已知如同上節(jié)一樣討論，可得的置信區(qū)間為2：方差和都未知

只要m,n足夠大，就以分別代替并用作為的近似置信區(qū)間。3:方差且為未知統(tǒng)計(jì)量

可得的置信區(qū)間為二正態(tài)總體