2023-2024學(xué)年天津市耀華中學(xué)高一數(shù)學(xué)下學(xué)期調(diào)研考試卷

2024.4

一、選擇題（本題共有14個(gè)小題，每小題3分，請(qǐng)將正確答案填涂到答題卡相應(yīng)位置上，答在試卷上

的無(wú)效）

1.已知球0的表面積為12萬(wàn)，則它的體積為（）

A.4君乃B.473C.8A/3TTD.8石

2.已知z=,則z-z=()

2+2i

A.-iB.iC.0D.1

3.已知機(jī)，〃為兩條不同的直線，名￡為兩個(gè)不同的平面，對(duì)于下列四個(gè)命題

①inua,nua,mll/3naH/3；②nIlm,nua=>m/la；

③e///?,〃zuu#=%//〃；（4）m//a,nc?=>?7//?.

其中正確命題的個(gè)數(shù)有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

4.在△ABC中，"ABBC<0”是"△ABC為鈍角三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

已知a=(1,2),b=(x,-3),若Q則％=()

1B.-1

2

在-ABC中，BD+2CD=0則()

1-4—

AD=-AB+-ACB.AD=-AB+-AC

3355

AD=-AB+-ACD.AD=AB--AC

333

7.已知q?是兩個(gè)不共線的向量，若2q+雞與〃q+e2是共線向量，則（）

A.—=-2B.2//=-2C.一=2D.切=2

8.已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,。為邊A5的中點(diǎn)，石是邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，則E4.石。的取值范圍

為（）

A.[—1,6]B.[—1,12]C.[0,6]D.—

1

9.棱長(zhǎng)為。的正方體ABC。-A瓦6。的8個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，點(diǎn)E、下分別是棱朋、。。的中

點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)E、尸的直線被球0截得的線段長(zhǎng)為（）

A.yfiaB.2aC.叵aD.a

10.已知。是:ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA+OB+OC=D，AB-AC=2^/35.ZBAC=30°,則△O3C的面積為（）

A.73B.立C.1D.-

33

11.清初著名數(shù)學(xué)家孔林宗曾提出一種“蓑藜形多面體”，其可由相同的兩個(gè)正交的正四面體組合而成（如

圖1）,也可由正方體切割而成（如圖2）.在“茨藜形多面體”中，若正四面體的棱長(zhǎng)為2,則該幾何體

的體積為（）

D

H

圖2

A.V2B.2C.272D.4

12.已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球。的球面上，該圓錐的底面半徑為2,側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角

為莖2兀的扇形，則球。的表面積等于（）

12171「8171—12171c8171

A.------B.——C.-------D.——

2288

13.如圖，實(shí)心正方體A3C。-4月GA的棱長(zhǎng)為2,其中上、下底面的中心分別為0H.若從該正方體

中挖去兩個(gè)圓錐，且其中一個(gè)圓錐以H為頂點(diǎn)，以正方形A^iGA的內(nèi)切圓為底面，另一個(gè)圓錐以。為

頂點(diǎn)，以正方形A3CD的內(nèi)切圓為底面，則該正方體剩余部分的體積為（）

14.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A3CO-4與GA中，點(diǎn)E、尸分別是棱3C,CG的中點(diǎn)，P是側(cè)面BCQ用

內(nèi)一點(diǎn)，若AP〃平面皿，則線段4。長(zhǎng)度的取值范圍是（）

2

A.7B.］乎與

二、填空題（本題共有8個(gè)小題，每題3分，請(qǐng)將答案填在答題卡相應(yīng)位置上答在試卷上的無(wú)效）

15.在&ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若aV=&，則角B的大小為—

16.如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂。在西偏北30的

方向上，行駛600m后到達(dá)8處，測(cè)得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30,則此山的高度8=.

m.

1\

rT>(

17.圓錐軸截面頂角為120。，母線長(zhǎng)為3,過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐，則截面三角形面積的最大值

為.

18.若復(fù)數(shù)z滿足（1+后,=|石-“，貝心的虛部為.

19.設(shè)°,方為不重合的兩條直線a,B為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：

①若qua,bg,a,6是異面直線，那么力//a；

②若qua,b//a,a,b共面，那么a///?；

③若a//p,aua,則a//p.

上面命題中，所有真命題的序號(hào)是—.

20.如圖，在四邊形A5CD中，ZB=60°,AB=4,BC=6,且=ADAB=-2,則實(shí)數(shù)丸的

值為,若M,N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且|九=1,則DMDN的最小值為.

21.如圖，用一邊長(zhǎng)2為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將半徑為0

3

的雞蛋(視為球)放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋最高點(diǎn)與蛋巢底面的距離為

7T

22.在等腰梯形中，AB//CD,AB=2,AD=1,=§,點(diǎn)/是線段48上的一點(diǎn)，M為邊

9

上的動(dòng)點(diǎn)，若2(j=2CE，AF=ZAB,且=則的最小值為.

O

三、解答題(本題共有3個(gè)小題，總分34分，請(qǐng)將答案填在答題卡相應(yīng)位置上，答在試卷上的無(wú)效)

23.在4ABe中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為.滿足(2a-c)cos3=bcosC.

⑴求角8的大小；

⑵設(shè)。=4,b=2^7.

(i)求c的值；

(ii)求cos(2C+3)的值.

24.已知正方體A8CD-A與6。的棱長(zhǎng)為1,P為AC的中點(diǎn).

(1)在平面A4G2內(nèi)找一點(diǎn)。，使平面ABG，并證明；

(2)求三棱錐P-A.C.B的體積和表面積.

25.已矢口/(x)=6cos2x+2sin[g+x]sin(兀一x),xeR.

(1)求/(x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)已知銳角ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且“A)=-石，a=4,求ABC面積的最

大值.

1.A

4

【分析】根據(jù)給定條件，求出球。的半徑，再利用球的體積公式計(jì)算作答.

【詳解】球。的表面積為12兀，設(shè)球。的半徑為R,則有4萬(wàn)&=12萬(wàn)，解得R=6,

所以球0的體積為丫=F&=弓*（石）3=4岳.

故選：A

2.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z,再由共軌復(fù)數(shù)的概念得到》,從而解出.

(l-i)(l-i)_-2i1.-I

【詳解】因?yàn)閦=，—i所以z己i即z—z=-i-

2(l+i)(l-i)-42

故選：A.

3.A

【分析】根據(jù)線、面位置關(guān)系結(jié)合線、面平行的判定定理分析判斷.

【詳解】對(duì)于①：因?yàn)槊婷嫫叫械呐卸ǘɡ硪笠浴ㄏ嘟?，若沒(méi)有，則a,6可能相交，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②：因?yàn)榫€面平行的判定定理要求We,若沒(méi)有，則可能“ua,故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③：根據(jù)線、面位置關(guān)系可知：man,或孤〃異面，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④：根據(jù)線、面位置關(guān)系可知：機(jī)〃〃，或加，〃異面，故④錯(cuò)誤；

故選：A.

4.D

【分析】利用充分、必要性的定義，結(jié)合向量數(shù)量積的定義及鈍角三角形的性質(zhì)判斷題設(shè)條件間的推出

關(guān)系，即可知答案.

【詳解】由AB-8C=-BA-BC=-|8A||3C|cosB<0,即cosB>0,又0<3<%，

TT

所以不能推出△ABC為鈍角三角形，充分性不成立；

JT

△ABC為鈍角三角形時(shí)，若貝!JAR8C=—B4BC=-|BA||BC|cosB>0,不能推出

ABBC<Q^必要性不成立.

所以“”是“AABC為鈍角三角形”的既不充分也不必要條件.

故選：D

5.A

【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.

5

【詳解】a+b=（x+l,-l）,由Q_L（Q+Z?）得0（q+b）=lx（x+l）+2x（-1）=0,

解得x=l.

故選：A.

6.C

【分析】根據(jù)。點(diǎn)所在位置，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?a5=0,所以。為線段3C上靠近C的三等分點(diǎn)，如下圖所示:

BDC

^AD=AB+BD=AB+^BC=AB+-（AC-AB^=-AB+-AC.

故選：C.

7.D

【分析】根據(jù)題意，由平面向量共線定理，列出方程，即可得到結(jié)果.

【詳解】依題意，設(shè)2q+&2=?〃q+Z）,又色勺是兩個(gè)不共線的向量，

所以〃/=2,幾=，，所以”/=2.

故選：D

8.D

【分析】取線段AC的中點(diǎn)。，連接。B,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，OA,。3所在的直線分別為無(wú)、丁軸建立平面

直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)E（x,0）,則-2（xW2,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可

求得及VED的取值范圍.

【詳解】取線段AC的中點(diǎn)。，連接。3,則O3_LAC,

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，OA,所在的直線分別為x、＞軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則A（2,0）、百），設(shè)點(diǎn)E（x,0）,貝IJ-24XW2,

6

E4=（2-x,0）,

因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=(x-￡|一:在-2,|］上為減函數(shù)，在(1,2上為增函數(shù),

所以，1mli=/0=1,

又因?yàn)?(一2)=12,42)=0,所以，/(%)_=12,

因此，的取值范圍是_gl2.

故選：D.

9.C

【分析】先求球的半徑，再求弦長(zhǎng)OR即可.

【詳解】因?yàn)檎襟w內(nèi)接于球，所以2尺=，標(biāo)+。2+/,R=^-a,

過(guò)球心。和點(diǎn)E、尸的大圓的截面圖如圖所示，

則直線被球截得的線段為2R,過(guò)點(diǎn)。作。尸，0R于點(diǎn)尸，

10.D

【分析】由題意判斷O為一/RC的重心，W5AOBC=|SAABC,結(jié)合AB-AC=2如，求出k胤Ac|,可

求得SMC，即可求得答案.

【詳解】由題意知。是ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA+OB+OC=D^

設(shè)。為BC的中點(diǎn)，則OA=-(O2+OC)=-2OD,

7

故。為ABC的重心,則SAOBC=_S&ABC,

又4B?AC=2指且ABAC=30°,則|AB||AC|-COSABAC=2A/3,.-.|AB||AC|=4,

故5Ase=JA@|AC卜in/BAC=；x4x；=l,

KJOBC=ABC=,

故選：D

11.A

【分析】利用割補(bǔ)法，結(jié)合體積公式求出即可.

【詳解】因?yàn)锳H=2,所以=AE-BE-1,

設(shè)ACBD=O,貝U。至I]AB的距離為正，

2

所以痍藜形多面體體積為正方體體積減去12%_ABE，

BP（V2）3-12x|x|xlxlx^=V2.

故選：A

12.B

【分析】借助圓錐的性質(zhì)可計(jì)算出母線、高，由圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球。的球面上，可得。在圓

錐的高所在直線上，且到圓錐頂點(diǎn)與底面圓周的距離相等，即可得僅-尺）2+/=尺2,代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可

得球的半徑，借助球的表面積公式計(jì)算即可得解.

C=4K=

【詳解】底面周長(zhǎng)為C=2仃=4兀，則母線長(zhǎng)度a一”一，

T

則圓錐的高為/?=〃—/=40，

由圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球。的球面上，

故。在圓錐的高所在直線上，且到圓錐頂點(diǎn)與底面圓周的距離相等，

設(shè)球。的半徑為R,則有（/7-尺）2+/=尺2,即卜行-R）'+4=R2,

8

解得R=逑，故球0的表面積等于5=4兀&=4兀x（迪］=—.

4I4J2

故選：B.

13.D

【分析】計(jì)算出正方體體積、兩圓錐的體積及其公共部分的體積即可得.

112

【詳解】?jī)蓤A錐的體積都為K=-nr2/z=-XTixl2x2=jK,

貝U其公共部分為％=2x^x兀*仕］xl=-,

236

故該正方體剩余部分的體積為V=23-2XX+匕=8-孚+￡=8-?.

366

故選：D.

14.C

【分析】分別取棱8月、的中點(diǎn)M、N,連接MN,易證平面AMN〃平面A肝，由題意知點(diǎn)P必

在線段MN上，由此可判斷P在/或N處時(shí)4尸最長(zhǎng)，位于線段中點(diǎn)處時(shí)最短，通過(guò)解直角三角形

即可求得.

【詳解】如下圖所示，分別取棱B與，的中點(diǎn)M、N,連MN,BQ,

M,N,E,歹分別為所在棱的中點(diǎn)，則MN〃BG，EF//BQ,

:.MNHEF,又MNu平面AEF,跖u平面AEF,

:.MN//^^AEF.

AA^IINE,AAt=NE,

二.四邊形A硒A為平行四邊形,

\NHAE,

又AN<Z平面4卯，AEU平面AEE,

?-?ANU平面AEF,

9

又AMMN=N,

..平面\MNII平面AEF.

尸是側(cè)面8CC4內(nèi)一點(diǎn)，且4尸〃平面AEF,

點(diǎn)尸必在線段跖V上.

在Rt^B.M中,A"=JAB：+4/=,2?+1=75.

同理，在向AA再N中，可得4N=6,

.??AAMN為等腰三角形.

當(dāng)點(diǎn)P為跖V中點(diǎn)。時(shí)，^P.LMN,此時(shí)片尸最短；點(diǎn)P位于/、N處時(shí)，4P最長(zhǎng).

222

AtO=^M-OM=J(V5)-#=竽,AM=AN=下.

，線段AT長(zhǎng)度的取值范圍是斗，石.

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)、線、面間的距離問(wèn)題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力及推理轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題，解決本

題的關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造平行平面尋找p點(diǎn)位置.

15.-

4

【分析】利用余弦定理結(jié)合已知條件求B的余弦值即得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?2+°2一廿=夜收，所以cosB=/+c'一"=蟲(chóng)竺=也,

2ac2ac2

又4ABC中，3c(0,萬(wàn))，故8=?,

故答案為：---

4

16.100#

【詳解】試題分析:由題設(shè)可知在aisc中,_C拓=30：,N<8C=105°,由此可得0?靛卷=45’,由正

CB600「

弦定理可得-----T-=---------T,解之得小乩-與川科士，又因?yàn)樯细惶?hào)訶=,，所以

sm30'sin45'一一'"

CD=CBtan30。=100、歷，應(yīng)填ioo而.

10

考點(diǎn)：正弦定理及運(yùn)用.

9

17.

2

【分析】由題意可知任兩條母線的夾角6e[0,|兀,軸截面的面積S=gLsin。，根據(jù)。的范圍，求截面

面積的最大值.

【詳解】因?yàn)閳A錐軸截面頂角為手,

所以任兩條母線夾角的范圍是，,|兀

設(shè)母線長(zhǎng)為/,母線的夾角是

1O

所以圓錐頂點(diǎn)的軸截面面積S=5尸sin6>=-sin6>,

因?yàn)橄(0,|■兀,所以sinOe(O,l],

所以軸截面面積的最大值是方9

,Q

故答案為：—.

18.-3

2

【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,由虛部定義可得結(jié)果.

??.z的虛部為-3.

2

故答案為：-2.

2

19.②③

【分析】對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷，對(duì)①，若qua,beta,a,b是異面直線可得出相交平行異面，即可判斷正誤;

對(duì)②，由線面平行的性質(zhì)可判斷；對(duì)③由面面平行的性質(zhì)可判斷.

【詳解】。，6為不重合的兩條直線，a,p為不重合的兩個(gè)平面，

對(duì)于①，若aua,bCa,a,6是異面直線，那么b與a相交或平行或異面，故①錯(cuò)誤;

對(duì)于②，若aua,blla,a,6共面，那么由線面平行的性質(zhì)得a//b,故②正確；

對(duì)于③，若a//[3,aua,則由面面平行的性質(zhì)得故③正確.

故答案為：②③.

11

【分析】可得NBA。=120，利用平面向量數(shù)量積的定義求得2的值，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)〃（x,0）,

則點(diǎn)N（x+l,0）（其中0<x<5）,得出。ON關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得

斯.OV的最小值.

【詳解】因?yàn)锳D=/LBC，所以AD//3C,

又ZB=60。，所以NBAD=180-ZB=120，

所以ARA￡）=/l8C-AB=dBcHA@cosl20,

因?yàn)榫W(wǎng)=4,|fiC|=6,ADAB=-2

所以2x6x4xU=_122=-2,

解得八J,

6

以點(diǎn)8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系xBy,

因?yàn)?C=6,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6,0）,

因?yàn)閨AB|=4,/ABC=60。，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,2舊），

又40=：2.則以3,2相），

設(shè)M（x,0）,貝i]N（x+L0）（其中0WxW5）,

ZW=（x-3,-2⑹，DN=（X_2,-26）,

=（無(wú)一3）（x—2）+（2退『=》2—5尤+18=（x—|j+?,

所以，當(dāng)％5時(shí)，。加.ON取得最小值一47.

24

147

故答案為：—；——.

64

12

21+#

-2

【分析】由條件可求4個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑，結(jié)合球的截面性質(zhì)可求球心到截面圓的距離,

進(jìn)一步加上垂直折起的4個(gè)小直角三角形的高以及雞蛋（球）的半徑即可得解.

【詳解】由已知蛋巢的底面是邊長(zhǎng)為正的正方形，

所以蛋巢過(guò)原正方形的四個(gè)頂點(diǎn)的平面截雞蛋（球）所得的截面圓的直徑為0,

且蛋巢的高度為正，

2

又球的半徑為血，

故雞蛋最高點(diǎn)與蛋巢底面的距離為應(yīng)+如+交=逑境

222

故答案為：30+何

2

39

22.—

64

【分析】先建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出力=!，寫(xiě)出的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求其

最小值.

【詳解】以A為原點(diǎn)，所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

AE

￥

川FBx

,F(22,0),B(2,0),cg￥)；

由己知可得A。。）,咕,孝j

（16

設(shè)頤根,〃），則BC=,CE=m——,n——,

由3C=2CE1可得一不，虧=(2機(jī)-3,2〃-6),

1227

解得根=：,幾,所以七|’53勿

13

13上乖19

---------X--------=——

842428

解得2=;,此時(shí)尸］3,。

設(shè),則

AM=xADMB=AB-AM=AB-xAD=122J

MF=AF-AM=AF-xAD=[---,0-—%

(222

故答案為：--.

64

71

23.(1)8=§,

(2)(i)c=6,(ii)cos(2C+B)=-三.

【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)求解.

（2）（i）利用余弦定理求解即可；

（ii）利用二倍角公式，兩角和的余弦定理化簡(jiǎn)計(jì)算可得結(jié)論.

【詳解】（1）由正弦定理可得，一一=—"=—J=2R,R為ABC的外接圓半徑,

sinAsinBsinC

所以a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

因?yàn)椋?a-c）cosB=Z?cosC,

所以（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC,

可得2sinAcos=sin（5+C）=sinA,

因?yàn)?<A<7i,故sinAwO,貝!Jcos5=,，

2

又所以△=

14

（2）由（1）知，3=],且a=4,b=2V7,

（i）貝1"2=匕皂￡,

lac

即工=16+c--28,解得c=_2（舍），c=6.

22x4xc

故c=6.

（ii）由（2。一c）cos5=bcosC,

得（2x4-6）xg=2阮osC,

解得egg則sinC=M正=等,

貝Usin2C=2sinCcosC=-----，

14

13

cos2C=2cos9C—1=-----,

14

則cos（2C+B）=cos2CcosB-sin2csinB

(13\136百11

=-----x------------x----=------.

I14J214214

24.(1)當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)Q重合時(shí)，尸?！ㄆ矫鍭BC，證明見(jiàn)解析,

(2)三棱錐P-4GB的體積為3,表面積為26+后.

62

【分析】(1)觀察圖形確定Q,結(jié)合線面平行判定定理證明結(jié)論；

(2)由(1)結(jié)合錐體體積公式可得/.AGB二/1-AG8=%-4CQ,,由此可求結(jié)論.

【詳解】(1)當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)2重合時(shí)，PQ//平面asq,證明如下：

連接BD,由已知P為3。中點(diǎn)，連接8a交AG于點(diǎn)片，

由正方體性質(zhì)可得〃耳2，BD=BR,尸田分別為耳2的中點(diǎn)，

^BP//QPi,BP=QPi,

所以四邊形BP。［為平行四邊形，

所以尸?！?片,

15

又尸QO平面ABG，平面ABG，

所以尸。〃平面ABG；

(2)由(1)點(diǎn)尸,Q到平面ABC］的距離相等，

由錐體體積公式可得，Vp_AG5二％「AGs，又％1-4G5=匕-AGQ，

設(shè)點(diǎn)區(qū)到平面AC2的距離為d,則4=忸4|=1,

又SACQ=(xlxl=g,

=

所以匕FC*%1—A。/=匕—AG2=§xS,的xd=-x-xl=-9

所以三棱錐尸-AGB的體積為，,

6

由已知1PAi=|PB|=|PC六孝，|A1|=|CG|=1,

所以|「闔=|PG|=坐，又忸A(yù)|=|3Cj=|AG|=夜，

所以I網(wǎng)「=怛尸「+|必「，但G「=|即2+|pc/,即AP，8P，GP，8P,

所以SB%=；8尸.尸A=￥，SBPC、=*PCI當(dāng)

5LS=—x2=—,s,=—x5/2xl=—,

AiB”C。42C2P2

所以三棱錐尸-AC/的表面積為2立+?.

2

25.(l)〃x)的最小正周期為兀，單調(diào)遞減區(qū)間為際喉際+碧(心Z),

(2)ABC面積的最大值為4逝.

【分析】(1)化簡(jiǎn)得〃