6.3與圓有關(guān)的計(jì)算

一.選擇題

1.（2023?遼寧大連）圓心角為90°,半徑為3的扇形弧長為（）

31

A.2nB.3ITC.FD.—IT

22

2.（2023?湖南湘潭）如圖，圓錐底面圓的半徑為4,則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖中篇'的長為（）

A.4nB.6nC.8irD.16n

3.（2023?湖北鄂州）如圖，在△ABC中，90°,ZACB=30°，AB=4,點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，以

。為圓心，05長為半徑作半圓，交AC于點(diǎn)。，則圖中陰影部分的面積是（）

A.5百-孚nB.5V3-4TT

C.5V3-2TTD.10V3-2TT

4.（2023?湖南張家界）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形.如圖,

分別以等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”.若

等邊aABC的邊長為3,則該“萊洛三角形”的周長等于（)

C.2TTD.2Tt—V3

5.（2023?山東濱州）如圖，某玩具品牌的標(biāo)志由半徑為1c機(jī)的三個(gè)等圓構(gòu)成，且三個(gè)等圓OOi,QO2,003

相互經(jīng)過彼此的圓心，則圖中三個(gè)陰影部分的面積之和為（）

1212

B.-^icmC.-ncmD.item

2

6.（2023?四川廣元）如圖，半徑為5的扇形A03中，ZAOB=90°,C是油上一點(diǎn)，CD_LO4,CELOB,

垂足分別為。，E,若CD=CE,則圖中陰影部分面積為（)

257r

D.

4

7.（2023?四川宜賓）《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計(jì)算圓弧長度的“會(huì)圓術(shù)”.如圖,

麗是以點(diǎn)。為圓心、0A為半徑的圓弧，N是A8的中點(diǎn).“會(huì)圓術(shù)”給出殖的弧長》的近似

2

值計(jì)算公式：l=AB+*.當(dāng)。4=4,NAO8=60°時(shí)，貝心的值為（）

A.11-2V3B.11-4V3C.8-2V3D.8-4V3

8.（2023?江蘇連云港）如圖，矩形ABC。內(nèi)接于OO,分別以A3、BC、CD、為直徑向外作半圓.若

AB=4,BC=5,則陰影部分的面積是（）

4141

A.——IT-20B.—IT-20C.20nD.20

42

9.（2023?山西）蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形.如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中7

個(gè)全等的正六邊形不重疊且無縫隙，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P,Q,〃均為正六邊形的頂點(diǎn).若

點(diǎn)、P,。的坐標(biāo)分別為（一2g，3）,（0,-3）,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）

A.(3V3,-2)B.(3V3,2)C.(2,-3V3)D.(-2,-3V3)

10.（2023?四川內(nèi)江）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于OO,點(diǎn)尸在而上，點(diǎn)。是屈的中點(diǎn)，則NCPQ

的度數(shù)為（）

C.36°D.60°

11.（2022?四川綿陽）在2022年北京冬奧會(huì)開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、

天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫.如圖，將“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形ABCDEQ

放在平面直角坐標(biāo)系中，若與x軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,-3）,則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

C.(2-V3,3)D.(2-2?2+V3)

12.（2022?山東泰安）如圖，四邊形ABC。中，NA=60°，AB//CD,OELAD交AB于點(diǎn)E,以點(diǎn)E為

圓心，DE為半徑,且?！?6的圓交C。于點(diǎn)E則陰影部分的面積為（）

C.6廣孥D.12n-孥

A.6TT-9V3B.12H-9V3

13.（2022?山西）如圖，扇形紙片AOB的半徑為3,沿AB折疊扇形紙片，點(diǎn)。恰好落在而上的點(diǎn)C處,

)

B.3n一竽

A.3n-3V3C.2n-3V3D.6TT一竽

14.(2022?廣西)如圖，在△ABC中，CA=CB=4,ZBAC^a,將aABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a,得到△

AB'C',連接夕C并延長交A2于點(diǎn)。，當(dāng)D±AB^i,的長是（）

2V34V38V310V3

A.-----nB.-----TTC.-----nD.-------Tl

3399

15.（2022?貴州遵義）如圖，在正方形A8CD中，AC和8。交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。的直線所交A8于點(diǎn)E（E

不與A,8重合），交。于點(diǎn)尸.以點(diǎn)。為圓心，OC為半徑的圓交直線EF于點(diǎn)M,N.若AB=1,則

圖中陰影部分的面積為（）

7T1711n1n1

A.---B.---C.---D.---

88842824

16.（2022?江蘇連云港）如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)相鄰刻度間的弧長均相等，過9點(diǎn)

和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（）

2732=4廠4

A.—TT——yB.—TT--\/3C.—TT-2^3D.-Ti—V3

3233

17.（2023?四川）如圖，半徑為5的扇形4。8中，^AOB=90°C是至上一點(diǎn)，CD1OA,CE1OB,垂足

分別為。，E,若CD=CE,則圖中陰影部分面積為（）

.257r257rr257T

A.—B?等C.----D.—

1664

18.（2022?貴州安順）如圖，邊長為魚的正方形A8CD內(nèi)接于O。，PA,PD分別與O。相切于點(diǎn)4和點(diǎn)。，PD

的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面積為（）

5715Tt

A.5—7TB.5*c.D.

224

二.填空題

19.（2023?吉林）如圖①，A,8表示某游樂場摩天輪上的兩個(gè)轎廂.圖②是其示意圖，點(diǎn)。是圓心，半徑

廠為15機(jī)，點(diǎn)A,8是圓上的兩點(diǎn)，圓心角乙4。8=120°,則近的長為機(jī).（結(jié)果保留IT）

20.（2023?江蘇徐州）如圖,沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)扇形.若母線長/為6cm,扇形

的圓心角。為120°,則圓錐的底面圓的半徑，為____cm.

21.（2023?內(nèi)蒙古）如圖，正方形48C。的邊長為2,對角線AC,8。相交于點(diǎn)O,以點(diǎn)8為圓心，對角

線3。的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面積為

22.（2023?黑龍江齊齊哈爾）若圓錐的底面半徑長2c〃z,母線長3c〃z,則該圓錐的側(cè)面積為（結(jié)

果保留幾）

23.（2023?湖南邵陽）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組用一張半徑為30c機(jī)的扇形紙板做成一個(gè)圓錐形帽子（接縫忽

略不計(jì)），如果做成的圓錐形帽子的底面半徑為8cm,那么這張扇形紙板的面積為—cwA（結(jié)果保留

TT）

24.（2023?江蘇揚(yáng)州）用半徑為24cv〃，面積為的扇形紙片，圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的

底面圓的半徑為cm.

25.（2023?浙江金華）如圖，在AABC中，AB=AC=6cm,ZBAC=50°,以AB為直徑作半圓，交BC

于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E,則弧。E的長為

26.（2023?云南）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某同學(xué)制作了一頂圓錐形紙帽.若圓錐的底面圓的半徑為1分米，母線

長為4分米，則該圓錐的高為一分米.

27.（2023?重慶）如圖，在矩形A8C。中，AB=2,BC=4,E為8c的中點(diǎn)，連接AE.DE.以E為圓心,

匹長為半徑畫弧，分別與AE,DE交于點(diǎn)M,N.則圖中陰影部分的面積為—（結(jié)果保留TT）.

28.（2023?重慶）如圖，。。是矩形ABCD的外接圓，若AB=4,AZ）=3,則圖中陰影部分的面積

為.（結(jié)果保留TT）

O

29.（2022?重慶）如圖，菱形A3C。中，分別以點(diǎn)A,C為圓心，AD,長為半徑畫弧，分別交對角線

AC于點(diǎn)E,F.若AB=2,ZBA￡）=60°,則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)果不取近似值）

30.（2022?廣州）如圖，在△ABC中，AB^AC,點(diǎn)。在邊AC上，以。為圓心，4為半徑的圓恰好過點(diǎn)C,

且與邊相切于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)、E,則劣弧力的長是.（結(jié)果保留it）

31.（2022?重慶）如圖，在矩形ABC。中，AB=1,BC=2,以8為圓心，BC的長為半徑畫弧，交于

點(diǎn)￡.則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)果保留TT）

32.（2023?陜西）如圖，正八邊形的邊長為2,對角線A3、C。相交于點(diǎn)E.則線段BE的長為

33.（2023?浙江杭州）如圖，六邊形ABC。斯是。。的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形ABCDEF的面積為Si,

△ACE的面積為S2,

A

34.（2023?內(nèi)蒙古）如圖，正方形4BCD的邊長為2,對角線力C,BD相交于點(diǎn)。，以點(diǎn)B為圓心，對角線BD的

長為半徑畫弧，交BC的延長線于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面積為.

CE

35.（2022?重慶）如圖，菱形4BCD中，分別以點(diǎn)4,C為圓心，AD,長為半徑畫弧，分別交對角線4c于

點(diǎn)E,F.若AB=2,ABAD=60°,則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)果不取近似值）

36.（2023?山東濟(jì)南）如圖，正五邊形4BCDE的邊長為2,以4為圓心，以4B為半徑作弧BE,則陰影部分的

面積為（結(jié)果保留兀）.

CD

37.（2023?山東荷澤）如圖，正八邊形4BCDEFGH的邊長為4,以頂點(diǎn)A為圓心，48的長為半徑畫圓，則

陰影部分的面積為（結(jié)果保留兀）.

GF

38.（2022,遼寧朝陽）如圖，在矩形A8CD中，AD=2<3,DC=A?將線段。C繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊A8上時(shí)，圖中陰影部分的面積是—.

三.解答題

39.（2022?福建）如圖，△A8C內(nèi)接于OO,AD〃8c交。。于點(diǎn)。，DF〃AB交BC于點(diǎn)、E,交。。于點(diǎn)R

連接ARCF.

（1）求證：AC=AF；

（2）若OO的半徑為3,ZCAF=30°,求衣的長（結(jié)果保留n）.

40.（2022?湖南益陽）如圖，C是圓。被直徑A8分成的半圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的圓。的切線交的延長

線于點(diǎn)P,連接CA,CO,CB.

(1)求證：ZACO=ZBCP；

（2）若NABC=2/BCP,求/P的度數(shù)；

（3）在（2）的條件下，若48=4,求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留TT和根號(hào)）.

41.（2022?浙江衢州）如圖，C,。是以A8為直徑的半圓上的兩點(diǎn)，ZCAB=ZDBA,連結(jié)BC,CD.

（1）求證：CD//AB.

（2）若A2=4,ZACD=30°,求陰影部分的面積.

參考答案與解析

選擇題

1.（2023?遼寧大連）圓心角為90°,半徑為3的扇形弧長為（）

31

A.2nB.3itC.—TTD.—

22

【答案】C

【分析】根據(jù)弧長公式計(jì)算即可.

r、士癡,nnr90-TTX33

【詳解】解：^=i80=n^0-=2^

該扇形的弧長為F.

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查弧長的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握弧長的計(jì)算公式.

2.（2023?湖南湘潭）如圖，圓錐底面圓的半徑為4,則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖中44的長為（）

A

A.4nB.6nC.8nD.16n

【答案】c

【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖中弧的長等于圓錐底面周長即可得出答案.

【詳解】解：這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖中筋'的長為2TTX4=8TT.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算.圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，計(jì)算要體現(xiàn)兩個(gè)轉(zhuǎn)化：1.圓錐的母線長為

扇形的半徑，2.圓錐的底面圓周長為扇形的弧長.

3.（2023?湖北鄂州）如圖，在△ABC中，ZABC=90°，ZACB=30°，AB=4,點(diǎn)。為8c的中點(diǎn)，以

。為圓心，長為半徑作半圓，交AC于點(diǎn)。，則圖中陰影部分的面積是（）

A.5A/3-B.5V3-4TTC.5V3-2-rtD.10V3-2n

【答案】C

【分析】連接OD.解直角三角形求出/。。8=60°,BC=4V3,再根據(jù)S陰=5》0?-S^COD-S扇形ODB,

求解即可.

【詳解】解：連接OD

在△ABC中，ZABC=90°，NACB=30°,A2=4,

：.BC=V3AB=4V3,

0C=0D=0B=2W,

...NOOB=2NC=60°,

，S陰=SAACB-SACOD-S扇形ODB=iX4X4V3-1x2V3x2V3X-60%2

乙乙乙DOU戶

=8V3-3A/3-2TT

=5A/3—2it.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用分割法求陰影

部分的面積.

4.（2023?湖南張家界）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形.如圖，

分別以等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”.若

等邊△ABC的邊長為3,則該“萊洛三角形”的周長等于（）

【答案】B

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得到油=配=公，由弧長公式求出油的長=n,即可求出“萊洛三角形”

的周長.

【詳解】解：:△ABC是等邊三角形，

：.AB=BC=AC=3,/A=/B=/C=60°,

：.AB=團(tuán)=衣，

.?.制勺長=筆含=加

該“萊洛三角形”的周長是3n.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查弧長的計(jì)算，等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由弧長公式求出油的長.

5.（2023?山東濱州）如圖，某玩具品牌的標(biāo)志由半徑為1c機(jī)的三個(gè)等圓構(gòu)成，且三個(gè)等圓002,003

相互經(jīng)過彼此的圓心，則圖中三個(gè)陰影部分的面積之和為（）

1212

B.-^icmC.-ncmD.item

2

【答案】C

【分析】根據(jù)扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，連接。14OiA,O\B,03B,O2C,O3C,O1O2,O1O3,O2O3,則△O1AO2,△01803,

△O2CO3,△。1。2。3是邊長為1的正三角形，

所以，S陰影部分=3S扇形os/

c607rxi2

=3x^-

=(cm2)、,

【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算，掌握扇形面積的計(jì)算方法是正確詳解的前提.

6.（2023?四川廣元）如圖，半徑為5的扇形AOB中，ZAOB=90°,。是才&上一點(diǎn)，CELOB,

垂足分別為。，E,若CD=CE,則圖中陰影部分面積為（

257r257r257r257r

A.——B.——C.D.

16864

【答案】B

【分析】先連接OC,然后根據(jù)正方形的性質(zhì)和圖形，可以得到陰影部分的面積等于扇形BOC的面積,

然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

【詳解】解：連接OC,如圖所示,

VZAOB=9Q°,CD1.OA,CE±OB,

ZAOB=ZODC=ZOEC=90°,

四邊形OEC。是矩形,

,:CD=CE,

二四邊形OECD是正方形,

：.ZCOE=9Q°,ZXDCE和△OEC全等,

S陰影=SADCE+S半弓形OCE

=S/^OCE+S半弓形DCE

=S扇形COB

457rx5?

360

25兀

~8~

【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算、正方形的性質(zhì)，詳解本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想

詳解.

7.（2023?四川宜賓）《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計(jì)算圓弧長度的“會(huì)圓術(shù)”.如圖,

麗是以點(diǎn)。為圓心、OA為半徑的圓弧，N是4B的中點(diǎn)..“會(huì)圓術(shù)”給出通的弧長/的近似

.當(dāng)。4=4,ZAOB=60°時(shí)，則/的值為（）

A.11-2V3B.11-473C.8-2V3D.8-4V3

【答案】B

【分析】連接ON,根據(jù)而是以。為圓心，。4為半徑的圓弧，N是的中點(diǎn)，MNLAB,知ON_LAB,

M,N,。共線，由0A=4,ZAOB^60°,知△AOB是等邊三角形，得ON=OA?sin60。=28，即得

4

MN=0M-ON=4-2次，故l=AB+=4+（?一衿=11-4V3.

tz/i4

【詳解】解：連接0N,如圖：

:油是以。為圓心，OA為半徑的圓弧，N是AB的中點(diǎn)，MNLAB,

：.ONLAB,

：.M,N,。共線，

VOA=4,ZAOB=60°,

.?.△AOB是等邊三角形，

：.OA=AB=4,ZOAN=60°,

.*.ON=ft4?sin60°=2^3,

：.MN=0M-0N=4-2V3,

.../=”+寓=4+紀(jì)察=11-4

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查弧長的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，作出輔助線求ON的長度.

8.（2023?江蘇連云港）如圖，矩形ABC。內(nèi)接于O。，分別以48、BC、CD、4。為直徑向外作半圓.若

AB=4,BC=5,則陰影部分的面積是（）

4141

A.——IT-20B.—IT-20C.20nD.20

42

【答案】。

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可求出BD,再根據(jù)圖形中各個(gè)部分面積之間的關(guān)系，即S陰影部分=5以AZ）為直徑的圓

+S以A3為直徑的圓+S矩形ABC。-S以為直徑的圓進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，連接則8。過點(diǎn)O,

在RtZXAB。中，AB=4,BC=5,

122

：.BD=AB+AD=419

S陰影部分=S以AO為直徑的圓+S以AB為直徑的圓+S矩形ABC。-S以3。為直徑的圓

4°50BDO

=71義(一)2+nX(-)2+4X5-IlX(—)2

222

—也+20一也

—4十”4

=20,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，矩形的性質(zhì)以及扇形面積的計(jì)算，掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理以及扇形面

積的計(jì)算方法是正確詳解的前提.

9.（2023?山西）蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形.如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中7

個(gè)全等的正六邊形不重疊且無縫隙，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸，Q,M均為正六邊形的頂點(diǎn).若

點(diǎn)、P,。的坐標(biāo)分別為（一2百，3）,（0,-3）,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（)

【答案】A

【分析】設(shè)中間正六邊形的中心為D連接。8.判斷出OC,CM的長，可得結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)中間正六邊形的中心為連接。2.

???點(diǎn)P,。的坐標(biāo)分別為（-2百，3）,（0,-3）,圖中是7個(gè)全等的正六邊形，

；.A2=BC=2后0。=3,

：.OA=OB^V3,

OC=3A/3,

,:DQ=DB=2OD,

：.OD=1,QD=DB=CM=2,

：.M（3V3,-2）,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解

決問題.

10.（2023?四川內(nèi)江）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。0,點(diǎn)尸在通上，點(diǎn)。是防的中點(diǎn)，則/CPQ

的度數(shù)為（)

【答案】B

【分析】先計(jì)算正六邊形的中心角，再利用同圓或等圓中，等弧對的圓心角相等，圓周角定理計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，連接OC,OD,OQ,0E,

正六邊形ABCDEF,Q是a的中點(diǎn)，

360°1

ZCOD=ZDOE==60°,ZDOQ=ZEOQ=^ZDOE=30°,

AZCOQ^ZCOD+ZDOQ^90°,

：.ZCPQ=^ZCOQ=45°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，熟練掌握正多邊形中心角計(jì)算，圓周角定理是解題的

關(guān)鍵.

11.（2022?四川綿陽）在2022年北京冬奧會(huì)開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、

天下一家”的主題,讓世界觀眾感受了中國人的浪漫.如圖,將“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形ABCDEF）

放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與無軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,-3）,則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

A.(2-2V3,3)B.(0,1+2V3)C.(2-V3,3)D.(2-2?2+V3)

【答案】A

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，連接8。交CF于點(diǎn)則點(diǎn)8(2,1),

1

在Rt^BCM中，BC=4,ZBCM=^xnO°=60°,

：.CM=^BC=2,BM=號(hào)8C=2痔

點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-(2V3-2)=2-2V3,縱坐標(biāo)為1+2=3,

.,.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2-2V3,3),

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，勾股定理，掌握正六邊形的性質(zhì)以及勾股定理是正確計(jì)算的前提，理

解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

12.(2022?山東泰安)如圖，四邊形ABC。中，ZA=60°,AB//CD,OE_LA￡)交A8于點(diǎn)E,以點(diǎn)E為

圓心，DE為半徑，且。E=6的圓交CD于點(diǎn)R則陰影部分的面積為()

A.6TT-9V3B.12TT-9V3C.6TT-等D.12n-嬰

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，扇形的面積公式，三角形面積公式詳解即可.

【詳解】解：過點(diǎn)E作EG，。尸交。產(chǎn)于點(diǎn)G,

VZA=60°,AB//CD,Z)E_L4。交AB于點(diǎn)E,

:./GDE=/DEA=30°,

?：DE=EF,

：.ZEDF=ZEFD=30°,

：.ZDEF=120°,

9：ZGDE=30°,DE=6,

：.GE=3,￡>G=3V3,

：.DF=6y/3,

陰影部分的面積=12繆36_13x3=12ir-9次,

3OUZx6V

【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形面積和平行線的性質(zhì)，熟練掌握扇形面積公式是解決本題的關(guān)鍵.

13.（2022?山西）如圖，扇形紙片AOB的半徑為3,沿A8折疊扇形紙片，點(diǎn)。恰好落在而上的點(diǎn)C處,

A.3TT-3V3B.3it-芋C.2TT-3V3D.6TT一羊

【答案】B

【分析】根據(jù)折疊的想找得到AC=A。，BC=BO,推出四邊形AOBC是菱形，連接OC交于。，根

據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到/C4O=/AOC=60°,求得NAOB=120°,根據(jù)菱形和扇形的面積公式即可

得到結(jié)論.

【詳解】解：沿折疊扇形紙片，點(diǎn)。恰好落在血上的點(diǎn)C處，

：.AC=AO,BC=BO,

,JAO^BO,

四邊形AOBC是菱形,

連接0C交A3于。,

OC=OA,

???△AOC是等邊三角形，

：.ZCAO=ZAOC=60°,

AZAOB=120°,

VAC=3,

；.OC=3,AD=^AC=

：.AB=2AD=3>/3,

.,.圖中陰影部分的面積=S扇形AOB-S菱形AOBC=12：。置UU彳3----乙2義3X3A/3=3TT——乙

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算，菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助

線是解題的關(guān)鍵.

14.（2022?廣西）如圖，在△ABC中，CA=CB=4,ZBAC=a,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a,得到△

AB'C,連接8'C并延長交于點(diǎn)。，當(dāng)B'OLA2時(shí)，麗'的長是（）

【答案】B

【分析】證明a=30°,根據(jù)已知可算出的長度，根據(jù)弧長公式即可得出答案.

【詳解】解：：C4=CB,CDLAB,

：.AD=DB=^AB'.

：.ZAB'0=30°,

：.a=30°，

VAC=4,

F5

.*.AZ)=AC*cos30°=4x^=2V3,

：.AB=2AD=4V3,

???麗,的長度/=黑=*薩=竽，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長的計(jì)算及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握弧長的計(jì)算及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決

本題的關(guān)鍵.

15.（2022?貴州遵義）如圖，在正方形A8CZ）中，AC和8。交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。的直線所交A8于點(diǎn)E（E

不與A,2重合），交CZ）于點(diǎn)足以點(diǎn)。為圓心，OC為半徑的圓交直線E尸于點(diǎn)M,N.若AB=1,則

【分析】圖中陰影部分的面積等于扇形DOC的面積減去△AOC的面積.

【詳解】解：以。。為半徑作弧LW,

?..四邊形ABCO是正方形，

：.OB=OD=OC,ZDOC^90°,

'：ZEOB=ZFOD,

"?S扇形BOM=S扇彩DON,

.907rx（岸）21兀1

??S陰影=S扇形DOC-S^DOC=260-------X1X1=g—

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，扇形的面積，關(guān)鍵是求出陰影部分的面積等于扇形。0C的面積減去

△OOC的面積.

16.（2022?江蘇連云港）如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)相鄰刻度間的弧長均相等，過9點(diǎn)

和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（）

4廣

C.一IT-2v3

3

【答案】B

【分析】連接04OB,過點(diǎn)。作OCLAB根據(jù)等邊三角形的判定得出aAOB為等邊三角形，再根據(jù)

扇形面積公式求出S扇形AOB=|n,再根據(jù)三角形面積公式求出S^AOB=V3,進(jìn)而求出陰影部分的面積.

【詳解】解：連接04、OB,過點(diǎn)。作OCL43,

由題意可知：ZAOB=60°,

*：OA=OB,

???△A03為等邊三角形,

：.AB=AO=BO=2

607rx2

??S扇形

OCLAB,

：.ZOCA=90°,AC=X,

：.0C=V3,

S^AOB=X2XV3=V3,

2

，陰影部分的面積為：^TT-V3;

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查有關(guān)扇形面積、弧長的計(jì)算，熟練應(yīng)用面積公式，其中作出輔助線是解題關(guān)鍵.

17.（2023?四川）如圖，半徑為5的扇形40B中，^AOB=90°,C是48上一點(diǎn)，CD1OA,CE1OB,垂足

分別為。，E,若CD=CE,則圖中陰影部分面積為（）

“257r257rr25兀

A.—B?等C.----D.—

1664

【答案】B

【分析】連接。C,證明四邊形CDOE是正方形，進(jìn)而得出SACDE=SA℃E，NCOE=45。，然后根據(jù)扇形面積

公式即可求解.

連接OC,

BCD1OA,CE10Bf^LAOB=90°,

團(tuán)四邊形CDOE是矩形，

BCD=CE,

團(tuán)四邊形CDOE是正方形，

回S^CDE=SAOCE，乙COE=45°,

團(tuán)圖中陰影部分面積=S扇形BOC=孤nX52=初,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，求扇形面積，證明四邊形CDOE是正方形是解題的關(guān)鍵.

18.（2022,貴州安順）如圖，邊長為迎的正方形力BCD內(nèi)接于。。，PA,PD分別與。。相切于點(diǎn)力和點(diǎn)。，PD

的延長線與的延長線交于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面積為（

“l(fā)_—7T_57Tr5兀

A.5—7TB.5——C.-------D.——,—

22224

【答案】c

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，求得的長，勾股定理求得AC的長，進(jìn)而根據(jù)

S陰影=S梯形4CEP-|$0。即可求解?

【詳解】如圖，連接AC,BD,

???邊長為企的正方形4BCD內(nèi)接于。0,即CD=V2,

AC=2,AC,BD為。。的直徑，NEC。=90。，

???PA,PD分另IJ與。。相切于點(diǎn)4和點(diǎn)D,

???EP1BD,

,??四邊形/BCD是正方形，

???乙EBD=45°,

.?.△BED是等腰直角三角形，

??.ED=BD=AC=2,

vAC1BD,PA1AO,PD1OD,

???四邊形04PD是矩形，

OA=OD,

???四邊形04PD是正方形，

.?.DP=0A=1,

??.EP=ED+P0=2+1=3,

_1

S陰影=S梯形4CEP-2S0°

11

=-（2+3）X1--TTX12

_571

~22,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)

是解題的關(guān)鍵.

二.填空題

19.（2023?吉林）如圖①，A,2表示某游樂場摩天輪上的兩個(gè)轎廂.圖②是其示意圖，點(diǎn)。是圓心，半徑

廠為15機(jī)，點(diǎn)A,8是圓上的兩點(diǎn)，圓心角NAO8=120°,則近的長為機(jī).（結(jié)果保留n）

圖①圖②

【答案】101T

【分析】由弧長公式：上黑（/是弧長，"是扇形圓心角的度數(shù)，r是扇形的半徑長），由此即可計(jì)算.

loU

【詳解】解：???NAO5=120°,。。半徑〃為15根，

的長=（）

ABI，*loU：*=10irm.

故答案為：lOm

【點(diǎn)睛】本題考查弧長的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握弧長公式.

20.（2023?江蘇徐州）如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)扇形.若母線長/為6cm扇形

的圓心角9為120°,則圓錐的底面圓的半徑r為cm.

【答案】2

【分析】首先求得展開之后扇形的弧長也就是圓錐的底面周長，進(jìn)一步利用弧長計(jì)算公式求得圓錐的底

面圓的半徑r.

【詳解】解：由題意得：母線/=6,0=120°,

「1207rx6

21Tr=^80~

??2(cm).

故答案為:2.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算及其應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或

詳解.

21.（2023?內(nèi)蒙古）如圖，正方形的邊長為2,對角線AC,8。相交于點(diǎn)O,以點(diǎn)8為圓心，對角

線8。的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面積為

【答案】n

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出陰影部分的面積為扇形BED的面積，然后由勾股定理得出BD=2五,

再由扇形面積公式求解即可.

【詳解】解：：四邊形43。是正方形,

：.AO=CO,BO=DO,AD=CD,ZDBE=45°,

:.△AODW4COB(SSS),

正方形ABCD的邊長為2,

：.BD=722+22=272,

???陰影部分的面積為扇形口的面積，即鬻產(chǎn)=兀，

故答案為：n.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)以及扇形的面積，能夠理解題意，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形BE。

的面積是解題的關(guān)鍵.

22.（2023?黑龍江齊齊哈爾）若圓錐的底面半徑長2c〃z,母線長3a”，則該圓錐的側(cè)面積為c相2.（結(jié)

果保留TT）

【答案】6Tt

【分析】解析圓錐的側(cè)面積=底面周長x母線長+2,把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解.

【詳解】解：圓錐的側(cè)面積=2irX2X3+2=611（cm2）

故答案為：6Tt.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是弄清圓錐的側(cè)面積的計(jì)算方法，特別是圓錐的底面周長

等于圓錐的側(cè)面扇形的弧長.

23.（2023?湖南邵陽）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組用一張半徑為30c機(jī)的扇形紙板做成一個(gè)圓錐形帽子（接縫忽

略不計(jì)），如果做成的圓錐形帽子的底面半徑為8cm,那么這張扇形紙板的面積為—c12.（結(jié)果保留

【答案】2407r

【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐

的母線長和扇形的面積公式計(jì)算.

【詳解】解：這張扇形紙板的面積=}2ir?8?30=24（）Tt（cm2）.

故答案為：240n.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長,

扇形的半徑等于圓錐的母線長.

24.（2023?江蘇揚(yáng)州）用半徑為24c〃z,面積為IZOitcffi2的扇形紙片，圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的

底面圓的半徑為cm.

【答案】5

【分析】根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為W冽，

,1

貝卜x2TtrX24=120n,

2

解得：r=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的

關(guān)鍵.

25.（2023?浙江金華）如圖，在AABC中，AB=AC=6cm,ZBAC=50°,以AB為直徑作半圓，交BC

于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E,則弧DE的長為cm.

【答案】|ir

【分析】連接OE,OD,由等腰三角形的性質(zhì)推出NC=NO。'得至!JOO〃AC,推出NEOD=NAEO,

由OE=OA,ZOEA=ZBAC=50°,因此,由弧長公式即可求出爐的長.

【詳解】解：連接OE,OD,

?.*OD=OB,

:,/B=/ODB,

9

：AB=ACf

：./B=NC,

：.ZC=ZODB,

J.OD//AC,

：.ZEOD=ZAEO,

OE=OA,

：.ZOEA=ZBAC=50°,

：.ZEOD=ZBAC=50°,

*.*0D=^AB=x6=3(cm),

???加'的長=5,吃3="(cm),

ioUo

,,—5

故答案為t：-m

6

【點(diǎn)睛】本題考查弧長的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由等腰三角形的性質(zhì)推出O。

//AC,從而求出/EOD的度數(shù).

26.（2023?云南）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某同學(xué)制作了一頂圓錐形紙帽.若圓錐的底面圓的半徑為1分米，母線

長為4分米，則該圓錐的高為一分米.

【答案】V15

【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】解：由勾股定理得：圓錐的高為：=V15（分米），

故答案為：V15.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓錐的計(jì)算，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵.

27.（2023?重慶）如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=4,￡為2C的中點(diǎn)，連接AE.DE.以￡為圓心,

班長為半徑畫弧，分別與AE,DE交于點(diǎn)N.則圖中陰影部分的面積為—（結(jié)果保留TT）.

【答案】4-it

【分析】用三角形ADE的面積減去2個(gè)扇形的面積即可.

【詳解】解：：Ar>=2AB=4,E為BC的中點(diǎn)，

：.BE=CE=2,

，NBAE=NAEB=/CDE=Z￡>EC=45°,

???陰影部分的面積W*4X2-2X喑=4』.

故答案為：4-71.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了扇形面積求法以及等腰直角三角形的性質(zhì)，應(yīng)用扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行求解

是解決本題的關(guān)鍵.

28.（2023?重慶）如圖，。。是矩形ABCD的外接圓，若AB=4,AO=3,則圖中陰影部分的面積

為.（結(jié)果保留n）

25

【答案】丁72

o【分析】連接2D根據(jù)圓