第1章函數(shù)、極限與連續(xù)第1章函數(shù)、極限與連續(xù)本章知識(shí)結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖教學(xué)要求在初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，加深對(duì)函數(shù)概念的理解和對(duì)函數(shù)幾何特性（單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性）的了解。理解反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義，會(huì)求函數(shù)的反函數(shù)，會(huì)進(jìn)行函數(shù)的復(fù)合與分解；了解基本初等函數(shù)的定義域、圖形與性質(zhì)。掌握常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)的含義、數(shù)學(xué)表達(dá)，會(huì)建立簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)問題的數(shù)學(xué)模型。理解數(shù)列極限、函數(shù)極限的描述性定義和性質(zhì)。理解無窮小的概念和基本性質(zhì)，會(huì)利用無窮小的性質(zhì)計(jì)算極限；理解高階無窮小、等價(jià)無窮小的概念，會(huì)比較無窮小。掌握極限的四則運(yùn)算法則；了解復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則；熟練掌握極限計(jì)算。了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則；熟練掌握利用兩個(gè)重要極限及無窮小等價(jià)替換定理計(jì)算極限。理解函數(shù)連續(xù)與間斷的概念，會(huì)判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型；理解函數(shù)的連續(xù)性；了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值定理、介值定理、零點(diǎn)定理）。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)、無窮小的比較、極限運(yùn)算法則、兩個(gè)重要極限、函數(shù)連續(xù)與間斷的概念、函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)難點(diǎn)：反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)、數(shù)列與函數(shù)的極限、極限的存在準(zhǔn)則、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)劃分1.1函數(shù)的概念和性質(zhì)2課時(shí)1.2反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)2課時(shí)1.3常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)介紹2課時(shí)1.4數(shù)列、函數(shù)的極限2課時(shí)1.5無窮小與無窮大1課時(shí)1.6極限運(yùn)算法則2課時(shí)1.7極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限3課時(shí)1.8函數(shù)的連續(xù)性2課時(shí)習(xí)題課2課時(shí)計(jì)18課時(shí)1.1函數(shù)的概念和性質(zhì)教學(xué)目的：理解函數(shù)的概念、函數(shù)的基本性質(zhì)教學(xué)重難點(diǎn)：1、教學(xué)重點(diǎn)：鄰域的概念、函數(shù)的基本性質(zhì)2.教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)的有界性教學(xué)課時(shí)：2教學(xué)過程：函數(shù)表示了變量之間的相依關(guān)系，是微積分的研究對(duì)象。本章從討論函數(shù)的概念開始,通過對(duì)一般函數(shù)特性的概括,引出初等函數(shù),為學(xué)習(xí)“經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)”打下基礎(chǔ).一、區(qū)間與鄰域區(qū)間分為有限區(qū)間與無限區(qū)間.有限區(qū)間有四個(gè):開區(qū)間;閉區(qū)間;半開半閉區(qū)間;;無限區(qū)間有五個(gè)：;;;;.鄰域是一種特殊的區(qū)間，是后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)極限、微分、積分等知識(shí)時(shí)常用一個(gè)重要概念。定義1.1設(shè),且,則集合稱為點(diǎn)的-鄰域,記作,也即,這是以點(diǎn)為中心,區(qū)間長(zhǎng)度為的開區(qū)間,正數(shù)叫做鄰域的半徑.在數(shù)軸上，表示到點(diǎn)的距離小于的所有點(diǎn)的集合。集合稱為點(diǎn)的去心鄰域,記作,也即.另外,點(diǎn)的左鄰域定義為，點(diǎn)的右鄰域定義為.當(dāng)不必指明鄰域半徑時(shí),上述記號(hào)中的正數(shù)可省略,即鄰域、空心鄰域、左鄰域和右鄰域可簡(jiǎn)記為,,和.【例1】利用區(qū)間表示不等式的全部解.【解】先對(duì)不等式左端分解因式,原不等式為,則或.故.二、函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義定義1.2設(shè)是兩個(gè)變量，是非空實(shí)數(shù)集,如果對(duì)于任意的,按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則,都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng),則稱這個(gè)對(duì)應(yīng)法則是定義在上的函數(shù)。其中叫做自變量,叫做因變量,的取值范圍叫做這個(gè)函數(shù)的定義域,通常將定義域記為.當(dāng)?shù)娜”閮?nèi)的所有實(shí)數(shù)時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的全體叫做這個(gè)函數(shù)的值域.習(xí)慣上常用表示函數(shù)。2.函數(shù)的幾點(diǎn)說明（1）函數(shù)的兩個(gè)要素定義域與對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的兩個(gè)要素.只有兩個(gè)函數(shù)具有相同的定義域和相同的對(duì)應(yīng)法則時(shí),它們才是相同的函數(shù),否則就不是相同函數(shù).（2）函數(shù)的定義域在求函數(shù)的自然定義域時(shí)應(yīng)遵守以下原則:偶次方根下被開方數(shù)非負(fù);分式中分母不能為零;（3）對(duì)數(shù)中的真數(shù)大于零;（4）三角函數(shù)中,中;（5）反三角函數(shù)與中;【例2】求函數(shù)的定義域.【解】欲使函數(shù)有意義，則應(yīng)有即故所求函數(shù)的定義域?yàn)?函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法主要有三種:表格法、圖形法和解析法（公式法）.4.幾種特殊的函數(shù)絕對(duì)值函數(shù)，。號(hào)函數(shù)，，。取整函數(shù)，表示不大于的最大整數(shù).[5.15]=5,[-7.8]=-8,.觀察這三個(gè)函數(shù)，易知在定義域的不同部分，函數(shù)分別用不同的算式表示。于是可給出分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)把定義域分成若干個(gè)區(qū)間,在不同的區(qū)間內(nèi)用不同的數(shù)學(xué)算式表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).三、函數(shù)的幾何特性研究函數(shù)的目的就是為了了解它所具有的性質(zhì),以便掌握它的變化規(guī)律.1.單調(diào)性定義1.3設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?，區(qū)間.如果對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任何兩點(diǎn)和，當(dāng),總有（或）,則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）,叫做單調(diào)增區(qū)間(或單調(diào)減區(qū)間).【例3】證明在內(nèi)是單調(diào)遞增的.【證明】任取且,則有,即,也就是說在內(nèi)單調(diào)遞增的.函數(shù)的單調(diào)性與自變量取值范圍有關(guān).例如函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的,在內(nèi)是單調(diào)遞增的，但在內(nèi)不單調(diào).2.奇偶性定義1.4設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.如果對(duì)于任意恒有,則稱為奇函數(shù);如果對(duì)任意的,恒有,則稱為偶函數(shù).例如在內(nèi)是偶函數(shù);在內(nèi)是奇函數(shù).而是非奇非偶函數(shù)。顯然偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.【例4】判定函數(shù)與函數(shù)的奇偶性.【解】因?yàn)?所以在定義域內(nèi)是偶函數(shù);又因?yàn)?所以在定義域內(nèi)是奇函數(shù).思考：任意一個(gè)函數(shù)都可表示為偶函數(shù)與奇函數(shù)之和？3.周期性定義1.5設(shè)的定義域?yàn)?如果存在非零常數(shù),使得對(duì)任意的,都有,則稱為周期函數(shù)，稱為函數(shù)的一個(gè)周期.通常所說的周期是指周期函數(shù)的最小正周期,同樣記為.例如正弦函數(shù)中,都是它的周期,其最小正周期.有界性引子：在上的圖像介于水平線與之間，故其為有界函數(shù).定義1.6設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?數(shù)集.如果存在正數(shù),使得對(duì)所有的,都有,則稱函數(shù)在上有界,或稱是上的有界函數(shù).否則稱在上無界,也就稱為上的無界函數(shù).顯然，如果函數(shù)在上有界，則存在無窮多個(gè)這樣的，使得.【例5】函數(shù)在內(nèi)無界,而在內(nèi)有界.可見函數(shù)的有界性同樣與自變量的取值范圍有關(guān).又如：四、作業(yè)習(xí)題1.12（2）（4）；4（1）（5）（6）；5（2）（3)1.2反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)教學(xué)目的：1.理解反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義，會(huì)求函數(shù)的反函數(shù)，會(huì)進(jìn)行函數(shù)的復(fù)合與分解.2.了解基本初等函數(shù)定義域、圖形與性質(zhì)教學(xué)重難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的概念教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的分解教學(xué)課時(shí)：2教學(xué)過程：反函數(shù)定義1.7設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?如果對(duì)中的任何一個(gè)實(shí)數(shù),有唯一的一個(gè),使成立.那么把看成自變量,看成因變量,由函數(shù)的定義,就成為的函數(shù),稱這個(gè)函數(shù)為的反函數(shù),記,其定義域是,值域是.按照習(xí)慣,函數(shù)的反函數(shù)就寫成:.定理1.1（反函數(shù)存在定理）單調(diào)函數(shù)必存在單調(diào)的反函數(shù)，且具有與相同的單調(diào)性．注：求解的反函數(shù)步驟：求出的值域；用表示，即寫出；對(duì)換與，得到反函數(shù)以及其定義域.【例1】求的反函數(shù).【解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，值域?yàn)?由，得即因此，所求的反函數(shù)為三角函數(shù)與反三角函數(shù)1.三角函數(shù)余切函數(shù)的定義域?yàn)?，以為周期，為奇函?shù)，且在其一個(gè)周期內(nèi)是單調(diào)遞減的.（2）正割函數(shù)的定義域?yàn)椋詾橹芷?，且為偶函?shù)（3）余割函數(shù)的定義域?yàn)椋詾橹芷?，且為奇函?shù).2.反三角函數(shù)反正弦函數(shù)正弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加，它的反函數(shù)稱為反正弦函數(shù)，記為，其定義域?yàn)?，值域?yàn)?在其定義域上單調(diào)增加.(如圖1.5）（2）反余弦函數(shù)余弦函數(shù)在[]上單調(diào)增加，它的反函數(shù)稱為反余弦函數(shù)，記為，其定義域?yàn)?值域?yàn)閇].（3）反正切函數(shù)正切函數(shù)在上單調(diào)增加，它的反函數(shù)稱為反正切函數(shù)，記為，其定義域?yàn)?值域?yàn)?（4）反余切函數(shù)余切函數(shù)在上單調(diào)遞增，它的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記為，其定義域?yàn)?值域?yàn)?注：正弦函數(shù)在除外其他單調(diào)區(qū)間上也具有反函數(shù)，只是此時(shí)的反函數(shù)不稱為反正弦函數(shù).顯然，余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)也如此.【例2】求下列各式的值（2）（3）【解】（1）（2）（3）復(fù)合函數(shù)【定義1.8】設(shè)函數(shù),定義域?yàn)椋?定義域?yàn)?值域?yàn)?如果,那么稱函數(shù)，為由函數(shù)和構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),其中為自變量，為因變量，稱為中間變量.就是復(fù)合函數(shù)的定義域.習(xí)慣上稱函數(shù)為內(nèi)函數(shù)，函數(shù)為外函數(shù).【例3】設(shè),,構(gòu)造復(fù)合函數(shù)并求其定義域.【解】因的定義域?yàn)?的定義域?yàn)?值域?yàn)?的定義域?yàn)?，值域?yàn)?由于，.故復(fù)合函數(shù)為，定義域?yàn)?【例4】分析下列函數(shù)由哪些簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成，并求復(fù)合函數(shù)的定義域.（1）（2）（3）【解】（1）由函數(shù)復(fù)合而成，定義域?yàn)?；?）由函數(shù)復(fù)合而成，定義域?yàn)?；?）由函數(shù)復(fù)合而成，定義域?yàn)?四、基本初等函數(shù)與初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)我們接觸到的函數(shù)大部分都是由幾種最常見、最基本的函數(shù)經(jīng)過一定的運(yùn)算而得到,這幾種函數(shù)就是我們已經(jīng)很熟悉的函數(shù),它們是常值函數(shù)（為常數(shù)）冪函數(shù)（為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)（為常數(shù)，且）對(duì)數(shù)函數(shù)（為常數(shù)，且）三角函數(shù)，，，，，反三角函數(shù)，，，這六種函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).作業(yè)：請(qǐng)將基本初等函數(shù)的名稱、表達(dá)式、定義域、圖形及性質(zhì)列表表示出來.2.初等函數(shù)初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算及有限次復(fù)合運(yùn)算所得到的，并可以用一個(gè)式子表示的函數(shù).注：一般來說，分段函數(shù)不是初等函數(shù).但絕對(duì)值函數(shù)例外，因?yàn)橛挚杀硎緸椋越^對(duì)值函數(shù)是初等函數(shù).函數(shù)的一般形式為，稱形如的函數(shù)為冪指函數(shù)，其中，均為初等函數(shù)，且，由恒等式因此，冪指函數(shù)是初等函數(shù).例如等都是初等函數(shù).作業(yè)習(xí)題1.21（4）；2（1）（5）（6）；3（2）；4（1）（4）.1.3常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)教學(xué)目的：掌握常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)的含義、數(shù)學(xué)表達(dá)，會(huì)建立簡(jiǎn)單實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型教學(xué)重難點(diǎn)：1、教學(xué)重點(diǎn)：常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)2、教學(xué)難點(diǎn)：建立簡(jiǎn)單實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型教學(xué)課時(shí)：2教學(xué)過程：在經(jīng)濟(jì)問題中，首先分析出問題的變量，然后建立變量之間的函數(shù)關(guān)系，即建立數(shù)學(xué)模型，最后進(jìn)行求解，達(dá)到對(duì)實(shí)際問題解決的目的.下面介紹幾個(gè)常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù).單利與復(fù)利公式1.單利公式單利是指僅對(duì)本金計(jì)息，利息不計(jì)息的增值方式.設(shè)現(xiàn)有本金,每期利率為,期數(shù)為，則第一期末的本利和為第二期末的本利和為第期末的本利和為2.復(fù)利公式設(shè)現(xiàn)有本金,每期利率為,期數(shù)為.若每期結(jié)算一次,則第一期末的本利和為:,將本利和再存入銀行,第二期末的本利和為:,再把本利和存入銀行,如此反復(fù),第期末的本利和為: , 例如設(shè)為本金，按年為期,年利率為,則第年末的本利和為:.二、需求函數(shù)與供給函數(shù)1.需求函數(shù)商品的需求量是該商品價(jià)格的函數(shù),稱為需求函數(shù).用表示對(duì)商品的需求量,表示商品的價(jià)格,則需示函數(shù)為:,鑒于實(shí)際情況,自變量,因變量都取非負(fù)值.一般地,需求函數(shù)是價(jià)格的遞減函數(shù).在直角坐標(biāo)系中作出它的圖形稱為需求曲線.實(shí)際中，常用以下函數(shù)來近似表示需求函數(shù)：線性需求函數(shù):,其中冪函數(shù)需求函數(shù):,其中指數(shù)需求函數(shù):,其中需求函數(shù)的反函數(shù),稱為價(jià)格函數(shù),記作:,也反映商品的需求量與價(jià)格的關(guān)系，有時(shí)也稱為需求函數(shù).2.供給函數(shù)商品的供給量是該商品價(jià)格的函數(shù),稱為供給函數(shù).用表示對(duì)商品的需求量,表示商品的價(jià)格,則需示函數(shù)為:,鑒于實(shí)際情況,自變量,因變量都取非負(fù)值.一般地,商品供給函數(shù)是價(jià)格的遞增函數(shù).在直角坐標(biāo)系中作出它的圖形稱為供給曲線.實(shí)際中，常用以下函數(shù)來近似表示供給函數(shù)：線性函數(shù)，其中冪函數(shù),其中指數(shù)函數(shù),其中將需求曲線和供給曲線畫在同一坐標(biāo)系中.由于需求函數(shù)是遞減函數(shù),供給函數(shù)是遞增函數(shù),它們的圖形必相交于一點(diǎn),該點(diǎn)叫做均衡點(diǎn),該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的價(jià)格就是供、需平衡的價(jià)格,也叫均衡價(jià)格;這一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的需求量或供給量就叫做均衡需求量或均衡供給量.稱為均衡條件.【例1】某商品每天的需求函數(shù)與供給函數(shù)分別為，試求市場(chǎng)達(dá)到供需平衡時(shí)的均衡價(jià)格和均衡需求量.【解】由均衡條件，得解得從而.故市場(chǎng)供需均衡時(shí)的均衡價(jià)格為單位,均衡需求量為個(gè)單位.三、成本函數(shù)與平均成本函數(shù)1.成本函數(shù)成本是指生產(chǎn)某種一定數(shù)量產(chǎn)品需要的費(fèi)用,它包括固定成本和可變成本.如果記總成本為,固定成本為,可變成本為,設(shè)為產(chǎn)品數(shù)量，那么總成本函數(shù)其中.顯然成本函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù),它隨產(chǎn)量的增加而增加.2.平均成本函數(shù)平均成本是指生產(chǎn)單位產(chǎn)品所花費(fèi)的成本,記為,設(shè)為產(chǎn)品數(shù)量，則平均成本函數(shù)其中稱為平均不變成本，記為；稱為平均可變成本，記為.因此，有四、收益函數(shù)與利潤(rùn)函數(shù)1.收益函數(shù)生產(chǎn)者銷售一定數(shù)量的產(chǎn)品或勞務(wù)所獲得的全部收入，稱為總收益，記為.生產(chǎn)者出售一定數(shù)量的產(chǎn)品時(shí),單位產(chǎn)品的平均收入,即單位產(chǎn)品的平均售價(jià)，稱為平均收益,記為.如果記為總收益,為平均收益,為銷售量,則,都是的函數(shù),其中,取正值.如果產(chǎn)品的銷售價(jià)格保持不變，銷售量為，則,2.利潤(rùn)函數(shù)利潤(rùn)是指收益與成本之差,記為，是銷售量的函數(shù)，則有利潤(rùn)函數(shù)可能會(huì)出現(xiàn)下列三種情形:（1）,表示有盈余；（2）,表示出現(xiàn)虧損；（3）,表示盈虧平衡.我們把盈虧平衡時(shí)的產(chǎn)量（銷量）稱為盈虧平衡點(diǎn)（又稱為保本點(diǎn)）.盈虧平衡點(diǎn)在分析企業(yè)經(jīng)營(yíng)管理、產(chǎn)品定價(jià)和生產(chǎn)決策時(shí)具有重要意義.【例2】設(shè)每月生產(chǎn)某種商品件時(shí)的總成本為:(萬元),每售出一件該商品時(shí)的收入是萬元.求總利潤(rùn)函數(shù)和平均利潤(rùn)函數(shù).（2）求每月生產(chǎn)件（并售出）的總利潤(rùn)和平均利潤(rùn).【解】（1）由題意銷售價(jià)格為，故總收益函數(shù)，又總成本函數(shù)，故總利潤(rùn)函數(shù)平均利潤(rùn)函數(shù)（2）由（1）當(dāng)件時(shí)，該商品的總利潤(rùn)（萬元）平均利潤(rùn)為:(萬元).【例3】某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，據(jù)調(diào)查其需求函數(shù)為，生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本是元，而單位產(chǎn)品的變動(dòng)成本為元，為獲得最大利潤(rùn)，出廠價(jià)格應(yīng)為多少？【解】成本函數(shù)，需求函數(shù)為于是收益函數(shù)利潤(rùn)函數(shù)當(dāng)時(shí)，取得最大利潤(rùn)元所以該產(chǎn)品的出廠價(jià)應(yīng)定為元.作業(yè)習(xí)題1.31；3；4；5；61.4數(shù)列、函數(shù)的極限教學(xué)目的：了解中國(guó)古代的極限思想；理解數(shù)列極限、函數(shù)極限的描述性定義和性質(zhì)教學(xué)重難點(diǎn)：1、教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列極限、函數(shù)極限的描述性定義2、教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限的性質(zhì)解釋教學(xué)課時(shí)：2教學(xué)過程：一、中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的極限思想劉徽的割圓術(shù)“割圓術(shù)”就是用圓的內(nèi)接正六邊形、正十二邊形、…、正邊形去逼近圓,即用正多邊形的面積（周長(zhǎng)）代替圓面積（周長(zhǎng)）.隨著正多邊形邊數(shù)的增加，正多邊形的面積（周長(zhǎng)）越來越接近于圓面積（周長(zhǎng)）.如果設(shè)正六邊形、正十二邊形、……、正邊形的面積分別為,,,…,,如此下去，就構(gòu)成一個(gè)無窮數(shù)列,,,…,,…其中.隨著內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)的增加,正多邊形面積也越來越趨向于一個(gè)穩(wěn)定的值,這個(gè)穩(wěn)定值就是圓的面積.同樣若設(shè)正六邊形,正十二邊形,…,正邊形的周長(zhǎng)分別為,,,…,,于是得另一數(shù)列,,,…,,…其中隨著內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)（這里為）的增加,正多邊形周長(zhǎng)也越來越趨向于一個(gè)穩(wěn)定的值,這個(gè)穩(wěn)定值就是圓的周長(zhǎng).2.截杖問題一尺之棰,日取其半,萬世不竭.這是一個(gè)無窮數(shù)列，通項(xiàng)為，當(dāng)無限增大時(shí)，會(huì)無限地變小，并且無限地接近常數(shù)0.“萬世不竭”表示的意思是，雖然每次取下的長(zhǎng)度越來越小，但永遠(yuǎn)不等于.二、數(shù)列的極限1.數(shù)列極限的定義在“割圓術(shù)”和“截杖問題”中，均涉及到對(duì)于一個(gè)無窮數(shù)列，當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí)，通項(xiàng)的變化情況.當(dāng)無限增大時(shí)，數(shù)列,,,…,,…的通項(xiàng)無限趨近于；數(shù)列,,,…,,…的通項(xiàng)無限趨近于；數(shù)列的通項(xiàng)為無限趨近于0.下面再看幾個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)在無限增大時(shí)的變化趨勢(shì)：（1）數(shù)列，其通項(xiàng)隨的增大而逐漸減小,越來越趨近于；（2）數(shù)列，其通項(xiàng)隨的增大而增大,越來越趨近于；（3）數(shù)列，其通項(xiàng)隨的增大而增大,且無限增大；（4）數(shù)列，其通項(xiàng)隨著的變化在的兩側(cè)跳動(dòng),并隨著的增大而趨近于；（5）數(shù)列，其通項(xiàng)隨著的增大始終交替取值和,而不趨向于某一個(gè)確定的常數(shù)；（6）數(shù)列的各項(xiàng)都是同一個(gè)數(shù),故當(dāng)越來越大時(shí),該數(shù)列的項(xiàng)也總是確定的常數(shù).定義1.9當(dāng)無限增大時(shí),如果數(shù)列的通項(xiàng)無限趨近于某個(gè)常數(shù),那么就稱數(shù)列收斂,常數(shù)稱為數(shù)列的極限,記為或否則稱數(shù)列發(fā)散.根據(jù)定義，數(shù)列（1），（2），（4），（6）為收斂的數(shù)列,它們的極限分別是,,,.也即,,,.而數(shù)列（3），（5）為發(fā)散的數(shù)列.下面給出以后常用的一些數(shù)列極限：（1）（為常數(shù)）（2）（為常數(shù)且）（3）（為常數(shù)且） （4）（為常數(shù)且）（5）2.收斂數(shù)列的重要性質(zhì)一般地，收斂數(shù)列具有如下性質(zhì).性質(zhì)1收斂數(shù)列是有界的.性質(zhì)2收斂數(shù)列的極限是唯一的.函數(shù)的極限1.自變量趨于無窮時(shí)的極限（即當(dāng)時(shí),函數(shù)）自變量趨于無窮（記）可分為兩種情況:自變量趨于正無窮（記）和自變量趨于負(fù)無窮（記）.【例1】考察下列函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)（1）（2）（3）【解】（1）當(dāng)時(shí)有,當(dāng)時(shí)也有,所以當(dāng)時(shí)有.（2）當(dāng)時(shí)有,當(dāng)時(shí)有,所以當(dāng)時(shí)不能趨向于一個(gè)確定的常數(shù).（3）無論是還是時(shí),都不能趨向于一個(gè)確定的常數(shù),所以當(dāng)時(shí)也不能趨向于一個(gè)確定的常數(shù).定義1.10設(shè)函數(shù)在自變量充分大時(shí)總有定義，如果當(dāng)自變量無限增大時(shí),函數(shù)值無限趨近某個(gè)確定的常數(shù),那么稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,記作或否則，稱函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限不存在.定義1.11設(shè)函數(shù)在自變量充分小時(shí)總有定義，如果當(dāng)自變量無限減小時(shí),函數(shù)值無限趨近某個(gè)確定的常數(shù),那么稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,記為或否則，稱函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限不存在.例如，，，【定義】設(shè)函數(shù)在自變量充分大時(shí)總有定義，如果自變量無限增大時(shí),函數(shù)值無限接近一個(gè)確定的常數(shù),則稱為函數(shù)當(dāng)趨于無窮（）時(shí)的極限,記為或由于包含了和兩種情況，因此可以得到：定理1.2函數(shù)當(dāng)時(shí)極限存在的充分必要條件是函數(shù)當(dāng)時(shí)和時(shí)極限都存在且相等.即2.自變量趨于有限值時(shí)的極限（即當(dāng)時(shí),函數(shù)）【例2】討論當(dāng)逐漸靠近時(shí),函數(shù)值的變化情況.【解】我們列出自變量時(shí)的某些值,考察對(duì)應(yīng)函數(shù)值的變化趨勢(shì)0.90.990.999…1…1.0011.011.101.111.01011.001001…1…0.9990010.99010.91從表中可看出,當(dāng)越靠近,對(duì)應(yīng)函數(shù)值越靠近常數(shù),即時(shí),.【例3】討論當(dāng)趨于時(shí),函數(shù)值的變化趨勢(shì).【解】列出自變量時(shí)的某些值,考察對(duì)應(yīng)函數(shù)值的變化趨勢(shì)0.750.90.990.9999…1…1.0000011.011.251.51.751.91.991.9999……2.0000012.012.252.5當(dāng)時(shí),【例4】討論當(dāng)趨于時(shí),函數(shù)的變化趨勢(shì).當(dāng)趨于時(shí)，無限地增大，不趨近于某個(gè)確定的常數(shù).【例5】討論當(dāng)趨于時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì).將函數(shù)的值列表如下…-1010-1…10-101當(dāng)無限趨近于時(shí)，函數(shù)的圖形在與之間無限次地?cái)[動(dòng)，即不趨近于某個(gè)確定的常數(shù).定義1.12設(shè)函數(shù)在的某去心鄰域內(nèi)有定義,如果當(dāng)無限趨向于時(shí),函數(shù)值無限趨近某個(gè)確定的常數(shù),那么稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,記為或否則，稱函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限不存在.例如，，，不存在，不存在.【例6】求.【解】從正弦函數(shù)的圖形中可看出,當(dāng)時(shí),,即定義1.13設(shè)函數(shù)在的左鄰域（可除外）內(nèi)有定義,如果當(dāng)自變量從的左側(cè)趨于（記作）時(shí),函數(shù)值趨于一個(gè)確定的常數(shù),那么稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的左極限,記為或.設(shè)函數(shù)在的右鄰域（可除外）內(nèi)有定義,如果當(dāng)自變量從的右側(cè)趨于（記作）時(shí),函數(shù)值趨于一個(gè)確定的常數(shù),那么稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的右極限,記為或.左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.由定義1.12和定義1.13，可以得出：定理1.3函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限存在的充分必要條件是函數(shù)當(dāng)時(shí)的左極限、右極限都存在且相等.即【例7】設(shè)函數(shù),求.【解】函數(shù)的圖像如圖1.16所示.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;根據(jù)定理1.3有.【例8】試討論函數(shù),在處的左、右極限.【解】函數(shù)的圖形如圖1.17所示,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.由定理1.3有在處不存在極限.3.函數(shù)極限的性質(zhì)性質(zhì)1（唯一性）若,則是唯一的.性質(zhì)2（局部有界性）如果,那么函數(shù)在某個(gè)內(nèi)有界.性質(zhì)3（局部保號(hào)性）如果（或）,那么函數(shù)在某個(gè)內(nèi)恒有（或）.由性質(zhì)3還可得到下面的推論.推論1如果在某個(gè)內(nèi),恒有（或）,且,那么有（或）.推論2如果在某個(gè)內(nèi),恒有（或）,且,,那么有（或）.對(duì)于性質(zhì)2和性質(zhì)3，自變量的趨近方式為其他形式時(shí)，也可以得到類似的局部有界性和局部保號(hào)性以及推論.作業(yè)習(xí)題1.41（1）（3）；2（1）（2）（5）；3(2);41.5無窮小與無窮大教學(xué)目的：1.理解無窮小的概念與基本性質(zhì)；2.利用無窮小的性質(zhì)計(jì)算極限；3.理解高階無窮小和等價(jià)無窮小的概念，掌握無窮小階的比較方法.教學(xué)重難點(diǎn)：1、教學(xué)重點(diǎn)：無窮小的概念與性質(zhì)，無窮小階的比較，利用等價(jià)無窮小求極限2、教學(xué)難點(diǎn)：無窮小階的比較教學(xué)課時(shí)：1教學(xué)過程：本節(jié)討論兩類極限值很特殊的極限,即極限值為零與極限值趨向無窮大的兩類.一、無窮小與無窮大的概念先觀察,,共同特點(diǎn)是:極限值為零.定義1.14如果當(dāng)（）時(shí),函數(shù)極限值為零,即，則稱函數(shù)為（）時(shí)的無窮小.再觀察觀察共同特點(diǎn)是：極限為無窮大.定義1.15在自變量的某個(gè)變化過程中，如果函數(shù)的絕對(duì)值無限增大,那么稱函數(shù)為該過程中的無窮大，記為；如果函數(shù)為正且絕對(duì)值無限增大，那么則稱函數(shù)為該過程中的正無窮大，記為；如果函數(shù)為負(fù)且絕對(duì)值無限增大，那么稱函數(shù)為該過程中的負(fù)無窮大，記為.例如，,,定理1.4在自變量同一變化過程中，如果為無窮小，且，那么為無窮大；如果為無窮大，那么為無窮小.為了敘述方便,本書中可表示自變量的六種變化過程中任意一種情況下的極限：，，，，，.無窮小與函數(shù)極限有著密切的關(guān)系：定理1.5的充分必要條件是,其中.【證】必要性設(shè)，則由極限的定義有令,則即是同一變化過程中的無窮小.充分性如果,其中，則由極限定義有證畢.二、無窮小的性質(zhì)性質(zhì)1有限個(gè)無窮小的和或差仍為無窮??；性質(zhì)2有限個(gè)無窮小之積仍為無窮??；性質(zhì)3無窮小與有界量之積為無窮小.【例1】求極限.【解】當(dāng)時(shí),，為有界函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為無窮小量，由無窮小的性質(zhì)3可知類似地可得無窮小階的比較考慮變量,,，當(dāng)時(shí),變量,,都是無窮小,即當(dāng)時(shí),它們都趨于零.但很明顯,三者趨于的快慢程度不同,最快,最慢.為比較這種快慢程度,我們引進(jìn)無窮小“階”的概念.定義1.16設(shè),,且（1）如果,那么稱是比高階的無窮小,記為；（2）如果（為常數(shù)）,那么稱和是同階無窮小；特別地,如果,那么稱與是等價(jià)無窮小,記為；（3）如果,那么稱是比低階的無窮小.定理1.6（無窮小等價(jià)替換定理）設(shè)為同一過程中的無窮小，，，且極限存在，那么=【證】由，得，于是=定理1.6表明，求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子或分母可以用等價(jià)無窮小來替換.該定理在極限計(jì)算中可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.關(guān)于該定理在極限計(jì)算中的應(yīng)用將在本章第七節(jié)詳細(xì)介紹.作業(yè)習(xí)題1.51（1）（3）；2（1）（5）；3；5（2）（4）.1.6極限的運(yùn)算法則教學(xué)目的：1.掌握極限的四則運(yùn)算法則；了解復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則2.熟練掌握極限的計(jì)算教學(xué)重難點(diǎn)：1、教學(xué)重點(diǎn)：極限的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則2、教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)極限的不同情形，采取相應(yīng)的計(jì)算方法教學(xué)課時(shí)：2教學(xué)過程：一、極限的四則運(yùn)算在下列同一命題中，考慮的是的同一變化過程.定理1.7如果,,其中為常數(shù)，那么（1）（為常數(shù)）（3）（4）（）下面只證（1）和（4），（2）、（3）可類似證明.【證】由,及定理1.5，有,其中為同一變化過程中的無窮小.于是有由無窮小的性質(zhì)可知，，為同一過程中的無窮小.因此，由定理1.5可得（）定理中的式子推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形,即若,,,,則有;.我們稱定理為極限的四則運(yùn)算法則.下面舉例介紹幾種類型極限的計(jì)算.1、（其中為多項(xiàng)式）一般地,用極限四則運(yùn)算法則可得到,對(duì)于任一個(gè)次多項(xiàng)式函數(shù),都有.而關(guān)于有理函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，當(dāng)時(shí)，根據(jù)定理1.7（4）有而當(dāng)時(shí)，需根據(jù)情況選擇適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法【例2】求【解】因?yàn)榉帜傅臉O限,由定理1.7的（4）式得,.【例3】求（1）（2）【解】（1），因?yàn)?但當(dāng),而時(shí),有，從而得到.例3的求解方法可推廣到一般情形.設(shè)（1）若則 ；（2）若則必有公因子，將因式分解，并將分解后的的公因子約去，然后再利用定理1.7的（4）式求解.思考：求2、（其中表示次多項(xiàng)式，表示次多項(xiàng)式）【例4】求（1）（2）【解】（1）因?yàn)?所以（2）一般地,當(dāng)時(shí)，有.【例5】求【解】【例6】已知，求常數(shù).【解】由于所以，，即思考：已知，求常數(shù).3.需經(jīng)適當(dāng)變形再求極限【例7】求【解】從而有思考：求【例8】求【解】而,所以有二、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理1.8（復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則或變量替換定理）設(shè)與構(gòu)成復(fù)合函數(shù).如果，，那么有【例9】求【解】令，由于，所以推論（冪指函數(shù)的極限）如果，，那么有作業(yè)習(xí)題1.61（1）（3）（4）；2（6）（8）（11）；31.7極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限教學(xué)目的：1.了解極限存在準(zhǔn)則2.熟練掌握利用兩個(gè)重要極限、無窮小替換定理進(jìn)行極限計(jì)算教學(xué)重難點(diǎn)：1、教學(xué)重點(diǎn)：兩個(gè)重要極限、利用無窮小替換定理計(jì)算極限2、教學(xué)難點(diǎn)：利用第二個(gè)重要極限進(jìn)行極限計(jì)算教學(xué)課時(shí)：3教學(xué)過程：一、極限存在準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則Ⅰ（數(shù)列收斂的夾逼準(zhǔn)則）如果數(shù)列滿足下列條件:(1)(2)那么數(shù)列的極限存在，且.【例1.30】求【解】由于而，由夾逼準(zhǔn)則得注：此例也說明無限個(gè)無窮小的代數(shù)和不一定是無窮小.【例1】求【解】而，由夾逼準(zhǔn)則得準(zhǔn)則（函數(shù)收斂的夾逼準(zhǔn)則）如果函數(shù)滿足下列條件：（1）當(dāng)（或）時(shí),有（2）那么存在，且等于.2.單調(diào)有界準(zhǔn)則如果數(shù)列滿足，那么稱數(shù)列是單調(diào)增加的；如果數(shù)列滿足，則稱數(shù)列是單調(diào)減少的；單調(diào)增加和單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.準(zhǔn)則Ⅱ單調(diào)有界數(shù)列必有極限.二、兩個(gè)重要極限1.（屬于型）【證明】因?yàn)槭且粋€(gè)偶函數(shù),所以只要能證明成立即可.另外,由,不妨限制在內(nèi)取值.如圖1.18所示,設(shè)單位圓心為,在圓周上取一定點(diǎn),在圓周上任取一點(diǎn)使.過點(diǎn)作圓周的切線交的延長(zhǎng)線于,連結(jié),則得、扇形、三個(gè)圖形,設(shè)其面積分別為,則有關(guān)系.即,.因?yàn)?所以,得,即.因?yàn)?,于是由夾逼準(zhǔn)則得,從而.當(dāng)，該極限可以推廣：為自變量某一變化過程中的無窮小。如【例2】求【解】（方法一）令,則當(dāng)時(shí),,所以（方法二）方法一，采用了變量替換法；方法二，直接將待求極限“湊”成第一個(gè)重要極限的形式.一般地,.【例3】求【解】因?yàn)?所以.【例4】求圓的內(nèi)接正邊形周長(zhǎng)所構(gòu)成數(shù)列的極限值【解】我們已計(jì)算出:,令,則當(dāng)時(shí),,所以.2.（屬于型）這里僅從數(shù)列各項(xiàng)數(shù)值的變化趨勢(shì)來說明.當(dāng)時(shí)的情況:從以上表可看出,當(dāng)時(shí),數(shù)列是數(shù)值不超過3的單調(diào)增加數(shù)列.由極限存在準(zhǔn)則Ⅱ可知，該數(shù)列存在極限，其極限就是無理數(shù),于是有在基礎(chǔ)上，可以證明當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的極限存在且等于，即有.若令，當(dāng)時(shí)，，則有該極限的推廣形式其中為自變量某個(gè)變化過程中的同一個(gè)無窮大量.【例5】求【解】【例6】求【解】.觀察例1.35與例1.36發(fā)現(xiàn)兩者本質(zhì)上是相同的.【例7】求【解】【例8】求【解】方法一：因?yàn)?所以有方法二：.三、利用無窮小等價(jià)替換定理進(jìn)行極限計(jì)算常用的等價(jià)無窮小有：當(dāng)時(shí)，，，為常數(shù)【例9】證明當(dāng)時(shí)，（1）（2）（3）（4）為常數(shù).【證】（1）（2）令，當(dāng)時(shí)，，則有（3）令，即，當(dāng)時(shí)，，則有，由本例（2）所以（4），由本例（2）、（3）可得【例10】求【解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以一般地，思考：求【例11】求【解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以【例12】求【解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以【例13】求【解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以思考：求利用等價(jià)無窮小替換計(jì)算極限需要注意，它適用于乘除法，一般不適用于加減.【例14】求【解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以連續(xù)復(fù)利設(shè)一筆貸款（稱本金,也稱現(xiàn)值），年利率為，由復(fù)利公式可知,年末的本利和（也稱未來值）為如果一年分期計(jì)息，年利率為，那么每期利率為，于是一年末的本利和為年末的本利和為該公式稱為離散復(fù)利公式.如果計(jì)息期數(shù)，即每時(shí)每刻計(jì)息（也稱為連續(xù)復(fù)利），年利率為，那么年末的本利和為該公式稱為連續(xù)復(fù)利公式.【例15】某人為孩子準(zhǔn)備教育基金，希望10年后價(jià)值20萬元，如果按年利率6%的連續(xù)復(fù)利計(jì)息，問現(xiàn)在大約需要存入多少錢？如果以6%的年利率按年復(fù)利計(jì)息，問現(xiàn)在大約需要存入多少錢？【解】設(shè)按連續(xù)復(fù)利計(jì)息，現(xiàn)在大約需存入元，按年復(fù)利計(jì)息，現(xiàn)在大約需存入元.本題中兩個(gè)問題都是貼現(xiàn)問題，據(jù)題意，有，，得，，得所以，按連續(xù)復(fù)利計(jì)息，現(xiàn)在大約需存入10976.32元，按年復(fù)利利息，現(xiàn)在大約需存入111678.99元.作業(yè)習(xí)題1.71（4）（5）（8）；2（3）（4）；4（2）；5（5）（8）.1.8函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)目的：1.理解函數(shù)連續(xù)、間斷的概念；2.會(huì)判斷間斷點(diǎn)的類型；3.了解初等函數(shù)的連續(xù)性；4.了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值定理、介值定理、零點(diǎn)定理）教學(xué)重難點(diǎn)：1、教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)連續(xù)、間斷的概念；會(huì)判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型2、教學(xué)難點(diǎn)：間斷點(diǎn)類型的判斷，初等函數(shù)的連續(xù)性與閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)課時(shí)：2教學(xué)過程：函數(shù)的連續(xù)與間斷1.連續(xù)與間斷的定義定義1.17設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義,且則稱函數(shù)在處連續(xù),稱為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)，否則，稱為函數(shù)的間斷點(diǎn).定義1.17說明，函數(shù)在處連續(xù)就是函數(shù)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：（1）函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義；（2）函數(shù)在處的極限存在，即；（3）函數(shù)在處的極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值，即.設(shè)，稱為自變量在處的增量（增量可正可負(fù)），這時(shí)，則稱為函數(shù)在處的對(duì)應(yīng)增量.圖1.19圖1.19定義1.18設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義,若或則稱函數(shù)在處連續(xù).【例1】證明：函數(shù)在處連續(xù)。證明:而在處連續(xù)又如函數(shù),因?yàn)?所以該函數(shù)在處連續(xù).2、左右連續(xù)定義1.19如果函數(shù)在內(nèi)有定義，且,則稱函數(shù)在處左連續(xù)；如果函數(shù)在內(nèi)有定義，且,則稱函數(shù)在處右連續(xù).定理1.9函數(shù)在處連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)在處既左連續(xù)又右連續(xù)，即【例2】判斷函數(shù)在處是否連續(xù).【解】因?yàn)樗?，函?shù)在處既左連續(xù)又右連續(xù)，由定理1.9，函數(shù)在處連續(xù).可以證明絕對(duì)值函數(shù)在處連續(xù),符號(hào)函數(shù)在處不連續(xù).3．區(qū)間上連續(xù)如果函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)處都連續(xù)，那么稱函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，或稱函數(shù)是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).如果函數(shù)在內(nèi)任一點(diǎn)處連續(xù)，且在點(diǎn)右連續(xù)，在點(diǎn)左連續(xù)，那么稱函數(shù)在上連續(xù).【例3】證明在上連續(xù).【證】任取，則由，得又于是，當(dāng)時(shí)，由夾逼準(zhǔn)則得，即所以函數(shù)在處連續(xù)，由的任意性，得到在上連續(xù).可以證明，基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的.4.間斷點(diǎn)的分類間斷點(diǎn)的分類表示如下圖：例如是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)，是符號(hào)函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn).又如就是函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)，就是函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn).注：函數(shù)的可去間斷點(diǎn)有兩種情況：（1）函數(shù)在該點(diǎn)處左右極限存在且相等，但函數(shù)在該點(diǎn)無定義；（2）函數(shù)在該點(diǎn)的極限值不等于函數(shù)值.【例4】討論函數(shù)在和處的連續(xù)性，并判別間斷點(diǎn)的類型.【解】在處，因?yàn)?所以但函數(shù)定義域中不含,在處無定義.可采取補(bǔ)充定義的方式，令，使函數(shù)在處連續(xù)，所以是函數(shù)的可去間斷點(diǎn).在處，因?yàn)?，所以不存?因此，函數(shù)在處間斷.由于函數(shù)在的左極限和右極限不相等，所以是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn).【例5】設(shè)，求的間斷點(diǎn)并判別其類型.【解】根據(jù)的定義域可知，函數(shù)僅在和處無定義，所以和是函數(shù)的間斷點(diǎn).在處，有所以，是函數(shù)的可去間斷點(diǎn).在處，有所以，是函數(shù)的無窮間斷點(diǎn).二、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)函數(shù)在其連續(xù)點(diǎn)上的性質(zhì)定理1.10（1）連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零處）是連續(xù)函數(shù)；（2）連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)函數(shù).設(shè)函數(shù)在處連續(xù),而函數(shù)在處也連續(xù),則復(fù)合函數(shù)在處連續(xù),即有【例6】求【解】2.初等函數(shù)的連續(xù)性定理1.11一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)的.【例7】求【解】.【例8】求下列極限：（1）（2）【解】（1）令，則觀察例1.53（2），發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，就得到得到，即.三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義1.20設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義,如果存在,使得對(duì)任意的,有那么稱分別為函數(shù)在上的最大值和最小值,最大值與最小值統(tǒng)稱為最值.點(diǎn)分別稱為的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn).定理1.12（最值定理）如果函數(shù)在上連續(xù),那么在上必取得最大值和最小值.由定理1.12可得出下面的推論推論1（閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理）若函數(shù)在上連續(xù),則函數(shù)在上有界.定理1.13（介值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且，,則對(duì)于與之間任意實(shí)數(shù)，至少存在一點(diǎn),使得定理1.14（零點(diǎn)定理）如果函數(shù)在上連續(xù),且,那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.用方程的觀點(diǎn)來表述零點(diǎn)定理,即：如果在上連續(xù),且異號(hào),那么方程在至少有一個(gè)根.【例9】證明方程至少有一個(gè)根介于和之間.【證明】設(shè),則在在連續(xù),且,,即,由零點(diǎn)定理知,在上至少有一個(gè)根,使得,即方程至少有一個(gè)根介于和之間.四、經(jīng)濟(jì)和管理中的函數(shù)的連續(xù)性在經(jīng)濟(jì)理論中,為了簡(jiǎn)化所討論的問題,通常假設(shè)所討論的函數(shù)是連續(xù)的.需求函數(shù),當(dāng)價(jià)格有微小變動(dòng)時(shí),對(duì)應(yīng)的需求函數(shù)的變動(dòng)也是微小的.因此,需求函數(shù)是連續(xù)函數(shù).我們還假定國(guó)民經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)是連續(xù)的,供給函數(shù)、成本函數(shù)、收益函數(shù)等都是連續(xù)函數(shù).作業(yè)習(xí)題1.81（1）；2（1）；3（1）（3）；4；5（3）；6習(xí)題課知識(shí)總結(jié)1.函數(shù)的概念和性質(zhì)2.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)、基本初等函數(shù)與初等函數(shù)3.常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)4.極限（1）數(shù)列極限:.（2）函數(shù)極限:（其中）;（其中）.（3）極限的性質(zhì):唯一性,局部有界性,局部保號(hào)性,夾逼準(zhǔn)則以及四則運(yùn)算等.（4）兩個(gè)重要的極限:與.（5）無窮小與無窮大:與;以及無窮小的性質(zhì).5.函數(shù)的連續(xù)性（1）連續(xù)概念:.（2）間斷點(diǎn)的分類:第一類間斷點(diǎn)（可去間斷點(diǎn)與跳躍間斷點(diǎn)）、第二類間斷點(diǎn).（3）初等函數(shù)的連續(xù)性:在其定義域內(nèi)是連續(xù).（4）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):（最值定理）若函數(shù)在上連續(xù),則在上必取得最大值和最小值.（介值定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且，,則對(duì)于與之間任意實(shí)數(shù)，至少存在一點(diǎn),使得（零點(diǎn)定理）若函數(shù)在上連續(xù),且,則存在,使得.習(xí)題講解1.求函數(shù)定義域；判別函數(shù)的性質(zhì)；掌握函數(shù)的復(fù)合與分解；求供需均衡點(diǎn).【例1】求函數(shù)的定義域.【解】欲使函數(shù)有意義，則，即，解得.【例2】判別函數(shù)的奇偶性.【解】該函數(shù)為奇函數(shù).【例3】分解下列復(fù)合函數(shù)（2）【解】（1）（2）【例4】某商品需求函數(shù)為，供給函數(shù)為(價(jià)格單位：元，商品單位：萬件），求市場(chǎng)供需均衡時(shí)該商品均衡價(jià)格與均衡需求量.【解】由題設(shè)，由均衡條件,則，解得(元），（萬件）.2、求極限的基本方法（1）用極限運(yùn)算法則及函數(shù)的連續(xù)性注意：1)參加運(yùn)算的函數(shù)的極限必須都存在2)常用函數(shù)的極限【例5】求【解】原式=【例6】求【解】=【例7】求【解】=【例8】求【解】=（2）利用“有界函數(shù)與無窮小之積為無窮小”【例9】解：=（3）利用兩個(gè)重要極限與等價(jià)無窮小替換【例10】求解：（法一）（法二）（4）利用“夾逼準(zhǔn)則”、“單調(diào)有界準(zhǔn)則”【例11】求解：而，由“夾逼準(zhǔn)則”，3、無窮小的比較【例12】當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)哪些是的高階無窮小，哪些是的同階無窮小或等價(jià)無窮?。浚?）；（2）；（3）解：（1），該函數(shù)為的高階無窮小。（2），該函數(shù)為的同階無窮小。（3），該函數(shù)為的等階無窮小。4、求分段函數(shù)的極限【例13】設(shè)求【解】，5、含參數(shù)的函數(shù)的極限【例14】設(shè)，求的表達(dá)式【解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則【例15】試確定，使（1）（2）【解】（1）由可知，即代入原式得，（2）由，得，得6、連續(xù)性的判定、間斷點(diǎn)及其類型【例16】研究函數(shù)在處的連續(xù)性，并判定間斷點(diǎn)的類型【解】所以函數(shù)在不連續(xù)。為跳躍間斷點(diǎn)。【例17】討論的連續(xù)性，如有間斷點(diǎn)，指出其類型，若是可去間斷點(diǎn)，則補(bǔ)充定義，使其在該點(diǎn)連續(xù)?！窘狻亢瘮?shù)在處無定義，所以為間斷點(diǎn)，函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為，為跳躍間斷點(diǎn)，為無窮間斷點(diǎn)，為可去間斷點(diǎn)，補(bǔ)充定義令，可使函數(shù)在連續(xù)7、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)【例18】試證方程，在內(nèi)至少有一個(gè)根．證：設(shè)，則在上連續(xù).且，，故由零點(diǎn)定理在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得.【例19】證明：若在上連續(xù)，且，則在內(nèi)至少有一點(diǎn)使得．證明：設(shè).由在上連續(xù)，則在上連續(xù).且故由零點(diǎn)定理在至少存在一點(diǎn)，使得，即，也即．【例20】試證方程至少有一個(gè)正根且不超過．【解】設(shè)，則在上連續(xù)，且，若，則，且.若，則由零點(diǎn)定理至少，使得，即.故至少有一個(gè)正根且不超過．第2章一元函數(shù)微分學(xué)——導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用本章知識(shí)結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖一、教學(xué)要求1.理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義和經(jīng)濟(jì)意義，了解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系.2.掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式；掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、隱函數(shù)的求導(dǎo)方法與對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法；了解反函數(shù)的求導(dǎo)法則.3.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握初等函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法.了解幾個(gè)常見的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的一般表達(dá)式.4.理解導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，如邊際分析與彈性分析.5.了解微分的概念及其幾何意義，導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系.6.掌握微分的運(yùn)算法則與公式.7.會(huì)用微分進(jìn)行簡(jiǎn)單的近似計(jì)算.8.理解羅爾定理、拉格朗日中值定理，會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中指定理進(jìn)行相關(guān)問題的證明；了解可惜中值定理.9.掌握洛必達(dá)法則，會(huì)靈活運(yùn)用它解決未定式極限.10.掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法，會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；了解函數(shù)極值的概念，掌握求極值的方法；掌握函數(shù)最值的求法及其應(yīng)用.11.理解函數(shù)凹凸性，會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性；會(huì)求函數(shù)曲線的拐點(diǎn)，會(huì)求曲線的漸近線；會(huì)用導(dǎo)數(shù)綜合研究的單調(diào)性、凹凸性、極值、拐點(diǎn)與漸近線，描繪一些簡(jiǎn)單函數(shù)的圖形.教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)、微分的概念；導(dǎo)數(shù)、微分的運(yùn)算；微分中值定理；洛必達(dá)法則；函數(shù)的單調(diào)性，極值與最值；函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)2.教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；運(yùn)用洛必達(dá)法則求解未定式極限；函數(shù)極值的判別，最值的求解；曲線凹凸性的判別教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)劃分2.1導(dǎo)數(shù)的概念2課時(shí)2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則2課時(shí)2.3特殊形式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4課時(shí)2.4導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用2課時(shí)2.5函數(shù)的微分2課時(shí)2.6微分中值定理2課時(shí)2.7洛必達(dá)法則2課時(shí)2.8函數(shù)單調(diào)性、極值與最值3課時(shí)2.9曲線的凹凸性、拐點(diǎn)及函數(shù)作圖3課時(shí)習(xí)題課4課時(shí)計(jì)26課時(shí)2.1導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)目的：1.理解導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義與經(jīng)濟(jì)意義2.了解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系3.熟練掌握幾個(gè)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式教學(xué)重難點(diǎn)：1.教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義與經(jīng)濟(jì)意義2.教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系教學(xué)課時(shí)：2教學(xué)過程：一、問題的引入1．曲線的切線斜率問題設(shè)平面曲線的方程為,如圖2.1所示，和為曲線上的兩個(gè)點(diǎn),連接與得割線,當(dāng)點(diǎn)沿曲線趨向于點(diǎn)時(shí),割線的極限位置就是曲線在點(diǎn)處的切線.圖2.1設(shè)為割線的傾斜角,當(dāng)點(diǎn)沿曲線趨向于點(diǎn)時(shí),割線的極限就是切線,因此，切線的斜率為圖2.1圖2.1圖2.12．變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題設(shè)一質(zhì)點(diǎn)作變速直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為.求這質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻的速度.圖2.2圖2.2現(xiàn)考慮時(shí)間從到這一段時(shí)間內(nèi),質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程為:,平均速度為:,若存在,則極限值就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的速度,即.3.產(chǎn)品總成本的變化率設(shè)，求產(chǎn)量為時(shí)的總成本的變化率.如果給產(chǎn)量一個(gè)增量，則總成本相應(yīng)的改變量為總成本的平均變化率為當(dāng)時(shí)，二、導(dǎo)數(shù)的定義定義2.1設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且，相應(yīng)地，函數(shù)取得增量，如果當(dāng)時(shí)，極限存在,那么稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),并稱該極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),記為，，或如果定義中極限不存在,那么稱函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)，稱為的不可導(dǎo)點(diǎn).注：1.導(dǎo)數(shù)的定義可取不同的形式,如.2.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,上面所討論的三個(gè)問題可敘述為:(1)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為;(2)質(zhì)點(diǎn)作變速直線運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為.(3)產(chǎn)量為時(shí)的總成本的變化率,為.3.如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo),就稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).此時(shí)對(duì)的導(dǎo)數(shù)記為:、、或.4.函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)既有區(qū)別又有聯(lián)系,并且顯然有.三、幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般步驟為:（1）求函數(shù)的改變量；（2）求比值；（3）求極限.【例1】求函數(shù)（為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù).【解】因?yàn)?則,從而有即【例2】求冪函數(shù)(為實(shí)數(shù))的導(dǎo)數(shù).【解】因?yàn)?，從而有由于?dāng)時(shí)，有所以有即【例3】求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).【解】因?yàn)?從而有即特別地,當(dāng)時(shí)，有.【例4】求對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).【解】因?yàn)?，從而有即特別地,當(dāng)時(shí)，有.【例5】求余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．【解】因?yàn)?從而有，即四、左右導(dǎo)數(shù)定義2.2設(shè)函數(shù)在的某個(gè)左鄰域（或右鄰域）內(nèi)有定義，如果（或）存在，那么稱該極限為函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)（或右導(dǎo)數(shù)），記作或.左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)．定理2.1函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等.【例6】討論函數(shù)在處的可導(dǎo)性.【解】由，得因?yàn)椋院瘮?shù)在處不可導(dǎo).注：絕對(duì)值函數(shù)在處連續(xù)但不可導(dǎo).五、導(dǎo)數(shù)的幾何意義由前面的切線問題我們知道在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率,即.（如圖2.3）曲線在點(diǎn)處的切線方程為過切點(diǎn)且與切線垂直的直線稱為曲線在點(diǎn)處的法線.若,則法線的斜率為,從而法線的方程為若，則過的切線方程為，即切線平行于軸.若函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為無窮大,則表示曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸，切線方程為.【例7】求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程.【解】，由于，于是,所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即:;曲線在點(diǎn)處的法線方程為,即:.六、函數(shù)的可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系若函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則有,由于,則,說明函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)．于是函數(shù)的連續(xù)與可導(dǎo)有如下關(guān)系：定理2.2如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),那么函數(shù)在點(diǎn)處一定連續(xù).可導(dǎo)→連續(xù)，不連續(xù)→不可導(dǎo)，連續(xù)未必可導(dǎo)【例8】設(shè).討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.【解】在處，函數(shù)在處可導(dǎo)、連續(xù).思考：函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.【例9】確定常數(shù)使函數(shù)在處可導(dǎo).【解】由函數(shù)在可導(dǎo)，則函數(shù)在連續(xù).即有因?yàn)樗?又因?yàn)樗砸谔幙蓪?dǎo)，應(yīng)有.聯(lián)立與，解得.綜上，當(dāng)時(shí)函數(shù)在處可導(dǎo).作業(yè)習(xí)題2.11；3（1）（3）；4；5（2）（5）；7；9.2.2導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則教學(xué)目的：掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；教學(xué)重難點(diǎn)：1.教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則2.教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；隱函數(shù)求導(dǎo)方法教學(xué)課時(shí)：2教學(xué)過程：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則定理2.3如果函數(shù)，在點(diǎn)處可導(dǎo),那么它們的和、差、積、商（分母不為零）在點(diǎn)處也可導(dǎo)，且（1）；（2）；（3）；（4）（）.【證明】這里僅證（3），其余由讀者自己證明.定理2.3中的公式（3）,可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù).例如，注：欲證明定理2.3中的公式（4），則只需先證明，然后按照公式（3）即可證明公式（4）成立.【例1】設(shè),求.【解】【例2】設(shè),求.【解】【例3】設(shè),求,.【解】,.【例4】設(shè),求.【解】即類似可得【例5】設(shè),求.【解】即類似可得復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則假設(shè)鋼棒的長(zhǎng)度（單位：）受氣溫（單位：）的影響，而氣溫又是時(shí)間（單位：）的函數(shù)，如果氣溫每升高，鋼棒長(zhǎng)度增加，每隔１小時(shí)，氣溫上升，問鋼棒長(zhǎng)度隨時(shí)間變化的速度是多少？這里很容易得到答案．鋼棒隨氣溫變化的速度為，氣溫隨時(shí)間的變化速度為，所求鋼棒長(zhǎng)度隨時(shí)間的變化速度就是.這里與之間的函數(shù)關(guān)系，可以表示為那么對(duì)于一般情況下的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否有此結(jié)論？定理2.4如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),那么復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),且有或【證明】:給一個(gè)增量,由得,由得,所以,由于存在,則是連續(xù)函數(shù),因而當(dāng)時(shí)有,故有,即．設(shè),，都可導(dǎo),對(duì)于復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為．【例6】設(shè),求.【解】由,復(fù)合而成的,因此＝.【例7】設(shè),求.【解】由,復(fù)合而成,因而.【例8】設(shè),求.【解】由,,復(fù)合而成,所以.【例9】設(shè),求.【解】.【例10】設(shè),求.【解】.【例11】設(shè)(為常數(shù)),求.【解】.三、作業(yè)習(xí)題2.21（1）（3）（5）（7），2（1），3（1）（3）（5）（7）（9）2.3特殊形式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：1.掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法、反函數(shù)的求導(dǎo)法則和對(duì)數(shù)求導(dǎo)法；2.熟練掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式；3.會(huì)求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).教學(xué)重難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：隱函數(shù)求導(dǎo)方法與對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法；高階導(dǎo)數(shù)2.教學(xué)難點(diǎn)：隱函數(shù)求導(dǎo)方法一、隱函數(shù)的求導(dǎo)方法,等,因變量是用自變量的關(guān)系式來表示的,這種函數(shù)稱為顯函數(shù).但是有時(shí)會(huì)遇到另一類函數(shù)，例如，，等,變量，之間的函數(shù)關(guān)系是用方程來表示的,這種函數(shù)就稱為由方程所確定的隱函數(shù).【例1】求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).【解】將方程兩邊對(duì)求導(dǎo),即,得,故.【例2】求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).【解】將方程兩邊對(duì)求導(dǎo),即,得,即,得.隱函數(shù)的求導(dǎo)方法可分為如下兩步:（1）將方程兩邊對(duì)求導(dǎo)（注意是的函數(shù)）;（2）從已求得的等式中解出.【例3】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).【解】由可得方程，將方程兩邊對(duì)求導(dǎo),得由于，，，可得故即.類似可得,,.定理2.5如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，那么其反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且或【證】在方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得由，得或【例4】求的導(dǎo)數(shù).【解】由的反函數(shù)在內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且由反函數(shù)的求導(dǎo)法則，有二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法在求形如的冪指函數(shù)、由若干個(gè)函數(shù)之積或商構(gòu)成的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),可以采取等式兩邊取自然對(duì)數(shù)的方法把它化為隱函數(shù)來求導(dǎo),這種方法就是對(duì)數(shù)求導(dǎo)法或取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.【例5】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).【解】?jī)蛇吶∽匀粚?duì)數(shù),得,兩邊對(duì)求導(dǎo),得,于是,即.【例6】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).【解】?jī)蛇吶∽匀粚?duì)數(shù),得兩邊對(duì)求導(dǎo),得,于是.三、基本導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）(12)（13）（14）（15）（16）2.四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則（1）（2）（3）（4）（）3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),函數(shù)在點(diǎn)處也可導(dǎo),那么復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),且有或4.反函數(shù)的求導(dǎo)法則如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，那么其反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且或四、高階導(dǎo)數(shù)設(shè)一作直線運(yùn)動(dòng)的物體其運(yùn)動(dòng)方程為,則運(yùn)動(dòng)的速度方程為,仍然是一個(gè)關(guān)于的函數(shù),其加速度或.所以加速度可以看作是的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱為對(duì)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或一般地,仍然是的函數(shù),如果仍可求導(dǎo),我們把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù),記作,或.一般地,如果的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在,則稱為的階導(dǎo)數(shù),它們分別記作,,,或,,,或,,,.二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).【例7】設(shè),求.【解】,.【例19】設(shè),求,,.【解】,,,.【例8】設(shè),求.【解】,,,……依次類推可得:.【例9】設(shè),求.【解】,,,……依次類推可得.同理可得【例10】設(shè)，求.【解】由于，而，故【例11】設(shè)由方程確定函數(shù),求.【解】?jī)蛇厡?duì)求導(dǎo),得,于是,所以,用=代入,得.作業(yè)習(xí)題2.31（1）（3）（5）；2（1）（3）；3；4（1）（3）；52.4導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用教學(xué)目的：1.理解邊際、彈性的經(jīng)濟(jì)含義；2.會(huì)計(jì)算經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際和彈性；3.會(huì)對(duì)經(jīng)濟(jì)函數(shù)進(jìn)行邊際分析和彈性分析.教學(xué)重難點(diǎn)：1.教學(xué)重點(diǎn)：邊際與彈性的經(jīng)濟(jì)含義；經(jīng)濟(jì)函數(shù)邊際與彈性的計(jì)算2.教學(xué)難點(diǎn)：經(jīng)濟(jì)函數(shù)邊際與彈性的計(jì)算教學(xué)課時(shí)：2教學(xué)過程：一、邊際與邊際分析設(shè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)可導(dǎo)，反映一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量相對(duì)于另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的變化率，即或稱為經(jīng)濟(jì)變量的邊際（函數(shù)）.是平均意義上的邊際，表示產(chǎn)生1個(gè)單位的變化時(shí)，將改變個(gè)單位.是自變量在處的邊際，由導(dǎo)數(shù)的定義可知在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，在處的值稱為邊際函數(shù)值.由于在實(shí)際的經(jīng)濟(jì)問題中，一般是一個(gè)比較大的量，而就可以看作一個(gè)相對(duì)較小的量，因此，可以用平均意義上的邊際近似地代替在處的邊際，即在實(shí)際應(yīng)用中邊際函數(shù)值表示自變量在處，當(dāng)產(chǎn)生1個(gè)單位的變化時(shí)，將改變個(gè)單位.【例1】解釋下列邊際函數(shù)值或函數(shù)值的實(shí)際意義.（1）生產(chǎn)件襯衫的總成本是元，，；（2）某鮮奶訂購(gòu)點(diǎn)在某個(gè)月新的預(yù)定份數(shù)是當(dāng)月廣告投入金額元的函數(shù)，.【解】（1）表示生產(chǎn)件襯衫共需成本元；表示生產(chǎn)量為300件時(shí)，再多生產(chǎn)一件襯衫，將追加的成本是元.（2）表示投入300元的廣告費(fèi)用時(shí)，新的預(yù)定份數(shù)為180份；表示投入300元的廣告費(fèi)用時(shí)，再多投入一元，新的預(yù)定份數(shù)將增加3份，即.下面給出經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見函數(shù)的邊際函數(shù).1.邊際成本總成本函數(shù)對(duì)產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)稱為邊際成本(函數(shù)),記作，即2.邊際收益總收益函數(shù)對(duì)產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)稱為邊際收益(函數(shù)).記作，即3.邊際利潤(rùn)總利潤(rùn)函數(shù)對(duì)產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)稱為邊際利潤(rùn)(函數(shù)).記作或由于,所以【例2】已知需求函數(shù)為:,其中為商品價(jià)格,求生產(chǎn)個(gè)單位時(shí)的總收益、平均收益和邊際收益.【解】先寫出總收益函數(shù)，由已知可得:，總收益函數(shù)為,所以生產(chǎn)個(gè)單位時(shí)的總收益為:.平均收益所以生產(chǎn)個(gè)單位時(shí)的平均收益為.由總收益函數(shù)得邊際收益函數(shù)為,所以生產(chǎn)個(gè)單位時(shí)的邊際收益為.【例3】已知某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為，而需求函數(shù)為，其中分別為產(chǎn)品售價(jià)和需求量，求邊際利潤(rùn)函數(shù)，以及時(shí)的邊際利潤(rùn)，并解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟(jì)意義.【解】由，得因此，有于是，邊際利潤(rùn)函數(shù)為所以，經(jīng)濟(jì)意義：表示當(dāng)銷售量為60個(gè)單位時(shí)，再多銷售1個(gè)單位產(chǎn)品，利潤(rùn)將增加48個(gè)單位；表示當(dāng)銷售量為80個(gè)單位時(shí)，再多銷售1個(gè)單位產(chǎn)品，利潤(rùn)將減少4個(gè)單位.彈性與彈性分析在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，彈性是用來描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變化的敏感程度，即一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變動(dòng)百分之一會(huì)使另一變量變動(dòng)百分之幾.1.函數(shù)的彈性定義2.3設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),且，則稱為函數(shù)在點(diǎn)與點(diǎn)之間的平均相對(duì)變化率，又稱為兩點(diǎn)間的彈性或弧彈性.如果極限存在,那么稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處的相對(duì)變化率，又稱為點(diǎn)彈性,記作,即如果函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，且，那么稱為函數(shù)在區(qū)間上的點(diǎn)彈性函數(shù)，簡(jiǎn)稱彈性函數(shù).【例4】求函數(shù)的彈性.【解】由于,所以.彈性的經(jīng)濟(jì)意義我們以需求函數(shù)的彈性來說明彈性的經(jīng)濟(jì)意義.定義2.4設(shè)某商品的需求函數(shù)可導(dǎo)，稱為需求函數(shù)在價(jià)格處的需求價(jià)格彈性,簡(jiǎn)稱為需求彈性.一般情況下因,,而,所以.在經(jīng)濟(jì)學(xué)上，常用表示價(jià)格變動(dòng)時(shí)需求量的變化幅度，即需求價(jià)格彈性的經(jīng)濟(jì)意義:在價(jià)格為時(shí),如果價(jià)格提高或降低,需求將減少或增加.當(dāng)時(shí),稱需求是低彈性的;當(dāng)時(shí),稱需求是高（強(qiáng)）彈性的;當(dāng)時(shí),稱需求是單位彈性的.【例5】設(shè)某商品的需求函數(shù)為,試求:（1）需求價(jià)格彈性;（2）當(dāng),,時(shí)的需求價(jià)格彈性,并作出經(jīng)濟(jì)解釋.【解】（1）因故;（2）當(dāng)時(shí),,需求是低彈性的.而當(dāng)時(shí),,這說明:在價(jià)格時(shí),若價(jià)格提高或降低,需求將由起減少或增加.這時(shí),需求下降或提高的幅度小于價(jià)格提高或降低的幅度.應(yīng)采取提高價(jià)格的方法，增加收益.當(dāng)時(shí),,需求是單位彈性的.而時(shí),,這說明:在價(jià)格時(shí),若價(jià)格提高或降低,需求將由起減少或增加.這時(shí),需求下降或提高的幅度等于價(jià)格提高或降低的幅度.表明提價(jià)與降價(jià)對(duì)總收益無明顯影響.當(dāng)時(shí),,需求是彈性的.而時(shí),,這說明:在價(jià)格時(shí),若價(jià)格提高或降低