第一講等差數(shù)列與等比數(shù)列——小題備考?？汲Ｓ媒Y(jié)論1．等差數(shù)列(1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)求和公式：Sn＝＝na1＋d；(3)性質(zhì)：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq；②an＝am＋(n－m)d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列．2．等比數(shù)列(1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1(q≠0)；(2)求和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝；(3)性質(zhì)：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；②an＝am·qn－m；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比數(shù)列．微專題1等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量計(jì)算1.[2024·江西贛州二模]已知等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，若a3＋S3＝22，a4－S4＝－15，則a5＝()A．7B．10C．11D．132．[2024·安徽合肥二模]已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a4＝－1，a1＋a5＝2，則S8的值為()A．－27B．－16C．－11D．－93．[2024·吉林長(zhǎng)春三模]已知等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0且q≠1)，若a6＋8a1＝a4＋8a3，則q的值為()A．B．C．2D．44．[2024·全國(guó)甲卷]已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn為{an}前n項(xiàng)和，S5＝5S3－4，則S4＝()A．7B．9C．15D．305．[2024·遼寧鞍山二模]天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支紀(jì)年法是按依次以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，其次年為“乙丑”，第三年為“丙寅”…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新起先，即“甲戌”“乙亥”之后地支回到“子”重新起先，即“丙子”，…，以此類推，2024年是癸卯年，請(qǐng)問(wèn)：在100年后的2123年為()A．壬午年B．癸未年C．己亥年D．戊戌年1.(1)[2024·山東濟(jì)南模擬](多選)已知等差數(shù)列{an}，前n項(xiàng)和為Sn，a1>0，<－1，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)2024>0B．Sn的最大值為S2024C．|an|的最小值為a2024D．S4044<0(2)[2024·湖南長(zhǎng)沙明德中學(xué)三模]中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初行健步不犯難，次日腳痛減一半，如此六日過(guò)其關(guān)．”則此人在第六天行走的路程是________里(用數(shù)字作答)．技法領(lǐng)悟1．在等差(比)數(shù)列中，a1，d(q)，n，an，Sn這五個(gè)量知道其中隨意三個(gè)，就可以求出其他兩個(gè)．求解這類問(wèn)題時(shí)，一般是轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)a1和公差d(公比q)這兩個(gè)基本量的有關(guān)運(yùn)算．2．對(duì)于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，應(yīng)依據(jù)公比q與1的關(guān)系分類探討．一般地，若涉及n較小的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題，為防止遺忘分類探討，可干脆利用通項(xiàng)公式寫(xiě)出，而不必運(yùn)用前n項(xiàng)和公式．[鞏固訓(xùn)練1](1)[2024·全國(guó)乙卷]記Sn為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若2S3＝3S2＋6，則公差d＝________.(2)[2024·河北正定中學(xué)模擬]已知等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)和為39，a6－6a5＋9a4＝0，則a5＝()A．81B．243C．27D．729微專題1等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量計(jì)算保分題1．解析：設(shè)公差為d，則a1＋2d＋3a1＋3d＝22，a1＋3d－4a1－6d＝－15，解得a1＝3，d＝2，故a5＝a1＋4d＝3＋8＝11.故選C.答案：C2．解析：因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，因?yàn)閍4＝－1，a1＋a5＝2，所以，則，因?yàn)閧an}的前n項(xiàng)和為Sn，所以S8＝8×5＋＝－16，故選B.答案：B3．解析：已知等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0且q≠1)，若a6＋8a1＝a4＋8a3，則a6－a4＝8a3－8a1，所以＝＝q3＝8，解得q＝2.故選C.答案：C4．解析：由題知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由題知q>0，所以q＝2.所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故選C.答案：C5．解析：由題意得：天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，由于100÷10＝10，余數(shù)為0，故100年后天干為癸；由于100÷12＝8…4，余數(shù)為4，故100年后地支為未；綜上：100年后的2123年為癸未年．故選B.答案：B提分題[例1](1)解析：∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1>0，<－1，∴數(shù)列{an}為遞減的等差數(shù)列，∴a2024<0，a2024>0，故A正確；∵數(shù)列{an}為遞減的等差數(shù)列，a2024<0，a2024>0，∴Sn的最大值為S2024，故B錯(cuò)；∵a2024<0，a2024>0，∴由<－1得a2024<－a2024，∴a2024＋a2024<0，∴|a2024|>|a2024|，∴|an|的最小值為|a2024|，即a2024，故C正確；S4044＝＝2024(a2024＋a2024)<0，故D正確．故選ACD.(2)解析：將這個(gè)人行走的路程依次排成一列得等比數(shù)列{an}，n∈N*，n≤6，其公比q＝，令數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S6＝378，而S6＝＝，因此＝378，解得a1＝192，所以此人在第六天行走的路程a6＝a1×＝6(里)．答案：ACD(2)6[鞏固訓(xùn)練1](1)解析：方法一設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d.因?yàn)?S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a1＋d＋a1＋2d)＝3(a1＋a1＋d)＋6，所以6a1＋6d＝6a1＋3d＋6，解得d＝2.方法二設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d.由2S3＝3S2＋6，可得2×3a2＝3(a1＋a2)＋