高中數(shù)學(xué)?橢圓離心率

22

rv

1.設(shè)橢圓C：j+2V=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、6，P是C上的點(diǎn)，PF2LFtF2,

ab

/P耳6=30,則C的離心率為（）A.I11

B.-C.-D.6

6323

2.如圖所示，耳，鳥(niǎo)分別為橢圓的左，右焦點(diǎn),橢圓上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)等于右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)等于短

半軸長(zhǎng)的I■，則橢圓的離心率為（）

4

ABV2c1D.-

-f335

3.若橢圓的短軸為A8,一個(gè)焦點(diǎn)為6,且A86為等邊三角形的橢圓的離心率是（）

11

A.RD6.--L■-----------D.-

4222

22

4.已知橢圓餐+%=1（。>匕>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、巴，點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，且

cos/^A居=N，則橢圓的離心率e=()A.-B.立C.』D.I

82244

22

5.已知"，鳥(niǎo)是橢圓C：鼻+方=l（a>〃〉0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)耳的直線與橢圓。交于A3兩點(diǎn)，且

|做卜3忸耳\AB\=\BF2\,則橢圓C的離心率為（）A.B.°C.2^^D."'3

6.已知月（一1,0）,6（1,0）是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)工且垂直于X軸的直線交C于A,5兩點(diǎn)，且|A@=3,則

22222

。的方程為()A.—+^-=1B.—4-y2=1C.三+二=1D

32343-?P

7.已知耳，耳是橢圓上的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)耳且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，若AB月是正三角形,

則這個(gè)橢圓的離心率是（）

C0D,正

A

-TB-T23

22

8.已知丹，鳥(niǎo)分別是橢圓三+}=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)，尸為橢圓上一點(diǎn)，且以「（06+02）=0,

0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若,耳卜倒叫，則橢圓的離心率為（）

A.76-73B.C.在一小D.

22

22

9.設(shè)耳、咒分別是橢圓二=i（a>力〉0）的左、右焦點(diǎn)，直線/過(guò)耳交橢圓于A8兩點(diǎn),交y軸于c點(diǎn)，若滿

ab

足￡。=^4片,且NC4鳥(niǎo)=30°,則橢圓的離心率為（）A.乎B.；C.D.|

10.設(shè)橢圓E的兩焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,以耳為圓心，忻工|為半徑的圓與E交于P,。兩點(diǎn)，若八/華瑪為直

角三角形，則E的離心率為（）A.避二1B.72-1C.—D.V2+1

22

11.已知耳，鳥(niǎo)是橢圓G￡+4=1（。>。>0）的左，右焦點(diǎn)，A是。的左頂點(diǎn)，點(diǎn)尸在過(guò)A且斜率為"的

ab-A

2111

直線上，△「￡鳥(niǎo)為等腰三角形，N耳名尸=120。，則。的離心率為（）A.§B.]C.-D.-

22

12.已知橢圓。：與+y

=1（a>b>0）的左，右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,以月為圓心的圓過(guò)桶圓。的中心,

a~

且與。在第一象限交于點(diǎn)P,若直線尸月恰好與圓鳥(niǎo)相切于點(diǎn)P,則。的離心率為（）

R6-1

A.V3-1￡>.-----------L?--------D.與1

22

9

兀Y~

13.傾斜角為二的直線經(jīng)過(guò)橢圓二十（a>b>0）的右焦點(diǎn)尸，與橢圓交于A,8兩點(diǎn)，且4尸=3F8,

6a2b~

則橢圓的離心率為（）B立

2

22

14.已知橢圓W+3=13>%>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為與，鳥(niǎo),P為橢圓上一點(diǎn)，/6。6=90。.若人^鳥(niǎo)的內(nèi)切

圓面積為土，則橢圓的離心率為（）

12D,縣

A.-R6C.一

2233

參考答案

1.D

【解析】

由題意可設(shè)|PF2|=〃L結(jié)合條件可知|PFI|=2〃?，/典=上in,

%士、-2cRF、下)tnx/3

故離心率e——=---------=-------=---選D.

2aPF}+PF22m+m3

點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于仇。的方程

或不等式，再根據(jù)a,上。的關(guān)系消掉b得到。，c的關(guān)系式，而建立關(guān)于a,的方程或不等

式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.

2.A

【解析】

【分析】

設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距長(zhǎng)分別為a、b、c,可得|ft),利用勾股定理與

橢圓的定義建立關(guān)于氏C的等式，化簡(jiǎn)整理得b=從而得出C=，“2—已=導(dǎo),

即可算出該橢圓的離心率.

【詳解】

設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距長(zhǎng)分別為〃、仄C,

可得焦點(diǎn)為人一，?！?。)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為可刎

：RSMfi凡中，F(xiàn)xFiLMFi,

2222422

'.\FIF2\+\MF2\=\MFI\,即4c+-b=\MFi\,

根據(jù)橢圓的定義得|MFi|+|MF2|=2a,

22

可得|MQ|2=(2a-\MF2\)2=(2a--b),

248

:.(2a一一b)2=4i+一爐,整理得4c2=4〃2一一面,

393

2

可得3(a2-c2)—2ab,所以弘2=2ab,解得b=—a,

3

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：.c^y]a2-b2^-a,因此可得e=￡=好，

3a3

即該橢圓的離心率等于好.

3

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題已知橢圓滿足的條件，求橢圓的離心率的大小，著重考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)

單幾何性質(zhì)等知識(shí)，考查了勾股定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

3.B

【解析】

【詳解】

試題分析：因?yàn)锳86為等邊三角形，所以￡=COS30=—.

a2

考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì).

點(diǎn)評(píng)：橢圓圖形當(dāng)中有一個(gè)特征三角形，它的三邊分別為a,b,c.因而可據(jù)此求出離心率.

4.C

【解析】

【分析】

7

畫(huà)出圖象，根據(jù)cos/6,求出c之間的關(guān)系，即可求得答案.

O

【詳解】

根據(jù)題意，畫(huà)出圖形

A是橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn),

心是以A頂點(diǎn)的等腰三角形

可得|A凰=|A周

根據(jù)橢圓定義可知：|A耳|+|A聞=2a

|*=|伍|=。

△4月K根據(jù)余弦定理可得：|耳工『=|A6尼『一2a司|A行|cosN耳Ag

222

4c②=a+a-2a?cosZ.FXAF2

即4c2=2a2-2a2--河得—=—

8a216

c1?,c1

r.—=一，即e=-=一

a4a4

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求橢圓的離心率，解題關(guān)鍵是掌握橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)和余弦定理,考查了分析能

力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

5.B

【解析】

【分析】

由已知條件和橢圓定義，將|AB條8瑪|JA4|,|伍|用a表示,在AB"中求出cosA,

在百心用余弦定理，建立。等量關(guān)系，即可求解.

【詳解】

設(shè)|86|=%,則|MI=3X,|ABH%I=4X,

而|BFt|+|BF21=5x=2a,x=^a,:.\AFtl=《a，?'」A居|=,

16

a2

在班中‘"。

R；源產(chǎn)6424

25

在△人耳工中，|丹6|2=4。2=|4用2+|伍|2-2|筋||你|854,

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C210Vw

儲(chǔ)255

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，涉及到橢圓的定義、余弦定理，意在考查直觀想象、邏輯推理和

數(shù)學(xué)計(jì)算，屬于中檔題.

6.C

【解析】

【分析】

在直角三角形A6K利用勾股定理求IAf；|,再由橢圓的定義求。的值.

【詳解】

3

因?yàn)閨AB|=3,所以|同6|=5,又1661=2,

所以在直角三角形Af；鳥(niǎo)中，|AK|=J|EK|2+|A3|2=p+g)2=|，

53

因?yàn)閨A耳|+|伍|=尹］4=2。，所以。=2,c=l"=g,

22

所以橢圓的方程為：工+匕=1.

43

【點(diǎn)睛】

本題考查焦半徑、橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.

7.B

【解析】

【分析】

由△ABF2是正三角形可知A耳=44E,即O=、5.2C，由此推導(dǎo)出這個(gè)橢圓的離心

3a3

率.

【詳解】

耳，耳是橢圓上的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)耳且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，若ABE

是正：角形，可得/坨=;

耳鳥(niǎo),即—=?2c,,即\/3b2=2ac，

a3

G(a?-c?)=2ac,

即：V3(l-e2)=2e,

解得e=@.

3

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，解題要注意公式的合理選取.

8.A

【解析】

【分析】

由向量加法的平行四邊形法則及尸耳?（。6+。尸）=0可證得PF^LF.P^從而在APf；鳥(niǎo)

中易得到a,c的關(guān)系.得離心率.

【詳解】

如圖，取P片中點(diǎn)A,連接04,則204=04+OP,QA=；gP,

：.OFI+OP=F2P,

V^-（OF；+OP）=0.：.PF}F2P=0,-.PF11F2P，

；|p耳卜夜|尸鳥(niǎo)］,不妨設(shè),居卜機(jī)，則卜J%,

2a

：.\PF\\PF\=2a=m+41mm==2(a-l)a,

}+21+V2

又田用=2c,

??4ca=nr+2"/=3M=3x4(V2—I)2a2=12(3—2\/2)a2>

2

A—=3(^-l)2,Ae=^x(V2-l)=V6->/3.

a

故選：A.

【點(diǎn)睛】

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本題考查求橢圓的離心率，解題關(guān)鍵是由尸耳-（?！?。尸卜。得出尸耳從而可快

速得到a,c的關(guān)系.

9.B

【解析】

【分析】

根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，可得a,b,c,結(jié)合定義及余弦定理可求得歸耳卜|尸居|值，由

ZFtPF2=60及三角形面積公式即可求解.

【詳解】

則/=25,廿=9,所以/=16,

則|西|+|尸引=2a=10,|%|=2c=8

由余弦定理可知cosZFtPF2=附?:吧用=-

'22|尸￡卜|尸月|2

代入化簡(jiǎn)可得忙4Hp周=12,

則=；附|忖研新/耳次=IX12XT=3^,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，正弦定理與余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，三角

形面積公式的用法，屬于基礎(chǔ)題.

10.A

【解析】

【分析】

根據(jù)橢圓中線段關(guān)系，表示出恒娟=3叵，忻弓=2c,|AK|=2a—3叵.由余弦定

99

理即可求得。與c的關(guān)系，進(jìn)而求得離心率.

【詳解】

22

因?yàn)镼是橢圓C:=l(a＞》＞0)的左焦點(diǎn)，直線/過(guò)向交y軸于C點(diǎn)

筋+5

所以耳(―c,0),即|04|=c,

因?yàn)镹C6E=30,所以|c用=2年，

3

又因?yàn)?c二萬(wàn)4耳，

所以|A4卜警，

在AA￡鳥(niǎo)中，|A6|=勺a，忻閭=2c,|AK|=2a—也,

99

根據(jù)余弦定理可得COS/4GE」AK|:由,I―,亮1,

2河片用

所以離心率為e=￡=3.

a3

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查橢圓離心率的相關(guān)問(wèn)題，在巴中利用余弦定理，是解決此題的關(guān)鍵，考

查學(xué)生的分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.

11.B

【解析】

【分析】

由AP￡鳥(niǎo)為直角三角形，得NP/"=90。，可得|P4|=2c,|P聞=2&c,利用橢圓的定

義和離心率的概念，即可求解.

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【詳解】

如圖所示，因?yàn)?6工為直角三角形，所以瑪=90°,

所以歸用=2c,|P段=20c,則2c+2夜c=2a，解得e=?=V^-l,故選B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中合理利用橢圓的定

義和離心率的概念求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.D

【解析】

【詳解】

分析：先根據(jù)條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關(guān)系，即得離心率.

詳解：因?yàn)椤鞯匕蜑榈妊切危?耳用？=12()。，所以PF2=FE=2C,

由AP斜率為立得，lanZPAF2也，sinNF4K=3,cosNP4E,=2

2

66V132至

由正弦定理得景sinZPAF2

sinZAPF2

11

2c=1_H~.\a=4c,e=故選D.

所以=

a+csin^-ZPAFJ也近一l一154

32V132713

點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a,b,c的方程

或不等式，再根據(jù)。，瓦c的關(guān)系消掉b得到。的關(guān)系式，而建立關(guān)于a,0,c的方程或不等

式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.

13.A

【解析】

【分析】

利用已知條件以及橢圓的性質(zhì)列出關(guān)系式，求解橢圓的離心率即可.

【詳解】

22

橢圓C：=+4=1（。>>>0）的左，右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn),以鳥(niǎo)為圓心的圓過(guò)橢圓

ab~2

。的中心，且與。在第一象限交于點(diǎn)尸，若直線恰好與圓月相切于點(diǎn)P,

可得(2a—cr+c2=4c2,可得=/

所以e2+2e—2=0,ew(0,l)

解得”守g

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查利用橢圓的定義以及性質(zhì)求離心率，屬于中檔題.

14.D