§13.2參數(shù)方程考試要求1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.2.能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程．知識梳理1．參數(shù)方程和普通方程的互化(1)一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt，))并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么此方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程．(2)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式．一般地，可以通過________________而從參數(shù)方程得到普通方程．2．常見曲線的參數(shù)方程和普通方程點的軌跡普通方程參數(shù)方程直線y－y0＝tanα·(x－x0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))圓eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ，,y＝rsinθ))(θ為參數(shù))橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝asecφ，,y＝btanφ))(φ為參數(shù))拋物線y2＝2px(p>0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t為參數(shù))思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt))中的x，y都是參數(shù)t的函數(shù)．()(2)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝1＋2sinθ))(θ為參數(shù))表示以點(0,1)為圓心，以2為半徑的圓．()(3)已知橢圓的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cost，,y＝4sint))(t為參數(shù))，點M在橢圓上，對應參數(shù)t＝eq\f(π,3)，點O為原點，則直線OM的斜率為eq\r(3).()(4)參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝5sinθ))(θ為參數(shù)且θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))))表示的曲線為橢圓．()教材改編題1．參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1－t，,y＝2＋3t))(t為參數(shù))的圖象是()A．離散的點 B．拋物線C．圓 D．直線2．參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))化為普通方程為()A．x2＋eq\f(y2,4)＝1 B．x2＋eq\f(y2,2)＝1C．y2＋eq\f(x2,4)＝1 D．y2＋eq\f(x2,2)＝13．已知直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù))，若l與圓x2＋y2－4x＋3＝0交于A，B兩點，且|AB|＝eq\r(3)，則直線l的斜率為________．題型一參數(shù)方程與普通方程的互化例1已知曲線C1，C2的參數(shù)方程為C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋cosθ，,y＝1＋sinθ))(θ為參數(shù))，C2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－t，,y＝\r(3)t))(t為參數(shù))．(1)將C1，C2的參數(shù)方程化為普通方程；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若點P是曲線C1上的動點，求點P到C2的距離的最小值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華消去方程中的參數(shù)一般有三種方法(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表達式，然后代入消去參數(shù)．(2)利用三角恒等式消去參數(shù)．(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結構特征，靈活地選用一些方法從整體上消去參數(shù)．跟蹤訓練1(2022·全國甲卷)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2＋t,6)，,y＝\r(t)))(t為參數(shù))，曲線C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2＋s,6)，,y＝－\r(s)))(s為參數(shù))．(1)寫出C1的普通方程；＝0，求C3與C1交點的直角坐標，及C3與C2交點的直角坐標．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二參數(shù)方程的應用例2在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,λ)))，,y＝\f(\r(3),2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,λ)))))(λ為參數(shù))．(1)求曲線C的普通方程；(2)已知點M(2,0)，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝t))(t為參數(shù))，且直線l與曲線C交于A，B兩點，求eq\f(1,|MA|)＋eq\f(1,|MB|)的值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)解決直線與曲線的參數(shù)方程的應用問題時，一般是先化為普通方程，再根據(jù)直線與曲線的位置關系來解決．(2)對于形如eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y(tǒng)0＋bt))(t為參數(shù))的方程，當a2＋b2≠1時，應先化為標準形式后才能利用t的幾何意義解題．跟蹤訓練2(2022·萍鄉(xiāng)模擬)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝t＋\f(1,t)，,y＝t－\f(1,t)))(t為參數(shù))，以直角坐標的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．(1)求曲線C的極坐標方程；(2)若A，B是曲線C上的兩點，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，求|eq\o(AB,\s\up6(→))|的最小值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三極坐標方程和參數(shù)方程的綜合應用例3(2022·全國乙卷)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cos2t，,y＝2sint))(t為參數(shù))．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的極坐標方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＋m＝0.(1)寫出l的直角坐標方程；(2)若l與C有公共點，求m的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華解決參數(shù)方程和極坐標的綜合問題的方法涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解．當然，還要結合題目本身特點，確定選擇何種方程．跟蹤訓練3在平面直角坐標系xOy中，曲線C2的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋cosα，,y＝－1＋sinα))(α為參數(shù))，在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點為極點，以x軸正半軸為極軸)中，曲線C1的極坐標方程是ρcosθ－3＝0，點P是曲線C2上的動點．(1)求點P到曲線C1的距離的最大值；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若曲線C3：θ＝eq\f(π,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ∈R))交曲線C2于A，B兩點，求△ABC2的面積．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________§13.2參數(shù)方程考試要求1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.2.能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程．知識梳理1．參數(shù)方程和普通方程的互化(1)一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt，))并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么此方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程．(2)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式．一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程．2．常見曲線的參數(shù)方程和普通方程點的軌跡普通方程參數(shù)方程直線y－y0＝tanα·(x－x0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))圓x2＋y2＝r2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ，,y＝rsinθ))(θ為參數(shù))橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))(φ為參數(shù))雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝asecφ，,y＝btanφ))(φ為參數(shù))拋物線y2＝2px(p>0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t為參數(shù))思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt))中的x，y都是參數(shù)t的函數(shù)．(√)(2)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝1＋2sinθ))(θ為參數(shù))表示以點(0,1)為圓心，以2為半徑的圓．(√)(3)已知橢圓的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cost，,y＝4sint))(t為參數(shù))，點M在橢圓上，對應參數(shù)t＝eq\f(π,3)，點O為原點，則直線OM的斜率為eq\r(3).(×)(4)參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝5sinθ))(θ為參數(shù)且θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))))表示的曲線為橢圓．(×)教材改編題1．參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1－t，,y＝2＋3t))(t為參數(shù))的圖象是()A．離散的點 B．拋物線C．圓 D．直線答案D解析參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1－t，,y＝2＋3t))消去參數(shù)t，可得3x＋y＋1＝0，所以該參數(shù)方程的圖象為直線．2．參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))化為普通方程為()A．x2＋eq\f(y2,4)＝1 B．x2＋eq\f(y2,2)＝1C．y2＋eq\f(x2,4)＝1 D．y2＋eq\f(x2,2)＝1答案A解析易知cosθ＝x，sinθ＝eq\f(y,2)，則參數(shù)方程化成普通方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1.3．已知直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù))，若l與圓x2＋y2－4x＋3＝0交于A，B兩點，且|AB|＝eq\r(3)，則直線l的斜率為________．答案±eq\f(\r(15),15)解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù))，得y＝xtanα，設k＝tanα，得直線l的方程為y＝kx，由x2＋y2－4x＋3＝0，得(x－2)2＋y2＝1，圓心坐標為(2,0)，半徑為1，則圓心到直線y＝kx的距離為eq\r(12－\f(|AB|2,4))＝eq\f(1,2)＝eq\f(|2k|,\r(k2＋1))，得k＝±eq\f(\r(15),15).題型一參數(shù)方程與普通方程的互化例1已知曲線C1，C2的參數(shù)方程為C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋cosθ，,y＝1＋sinθ))(θ為參數(shù))，C2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－t，,y＝\r(3)t))(t為參數(shù))．(1)將C1，C2的參數(shù)方程化為普通方程；(2)若點P是曲線C1上的動點，求點P到C2的距離的最小值．解(1)已知曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋cosθ，,y＝1＋sinθ))(θ為參數(shù))，化為普通方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\r(3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－1))2＝1.曲線C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－t，,y＝\r(3)t))(t為參數(shù))，化為普通方程為eq\r(3)x＋y＝0.所以C1的普通方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\r(3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－1))2＝1，C2的普通方程為eq\r(3)x＋y＝0.(2)由(1)知C1是以(eq\r(3)，1)為圓心，1為半徑的圓，C2為直線，所以圓心C1(eq\r(3)，1)到直線C2的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(3)×\r(3)＋1)),2)＝2，所以點P到C2的距離的最小值為2－1＝1.所以點P到C2的距離的最小值為1.思維升華消去方程中的參數(shù)一般有三種方法(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表達式，然后代入消去參數(shù)．(2)利用三角恒等式消去參數(shù)．(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結構特征，靈活地選用一些方法從整體上消去參數(shù)．跟蹤訓練1(2022·全國甲卷)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2＋t,6)，,y＝\r(t)))(t為參數(shù))，曲線C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2＋s,6)，,y＝－\r(s)))(s為參數(shù))．(1)寫出C1的普通方程；＝0，求C3與C1交點的直角坐標，及C3與C2交點的直角坐標．解(1)由y＝eq\r(t)，得t＝y(tǒng)2(y≥0)，代入x＝eq\f(2＋t,6)，可得x＝eq\f(2＋y2,6)，即y2＝6x－2(y≥0)，所以曲線C1的普通方程為y2＝6x－2(y≥0)．(2)曲線C3的極坐標方程可化為2ρcosθ－ρsinθ＝0，所以C3的直角坐標方程為y＝2x.由y＝－eq\r(s)，得s＝y(tǒng)2(y≤0)，代入x＝－eq\f(2＋s,6)，可得x＝－eq\f(2＋y2,6)，即y2＝－6x－2(y≤0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝6x－2y≥0，,y＝2x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))所以C3與C1交點的直角坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，(1,2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝－6x－2y≤0，,y＝2x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))所以C3與C2交點的直角坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1))，(－1，－2)．題型二參數(shù)方程的應用例2在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,λ)))，,y＝\f(\r(3),2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,λ)))))(λ為參數(shù))．(1)求曲線C的普通方程；(2)已知點M(2,0)，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝t))(t為參數(shù))，且直線l與曲線C交于A，B兩點，求eq\f(1,|MA|)＋eq\f(1,|MB|)的值．解(1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ2＋2＋\f(1,λ2)))，,y2＝\f(3,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ2－2＋\f(1,λ2)))，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x2－2＝λ2＋\f(1,λ2)，,\f(4,3)y2＋2＝λ2＋\f(1,λ2)，))兩式相減，可得曲線C的普通方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.(2)直線l的方程可轉(zhuǎn)化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t，))代入x2－eq\f(y2,3)＝1，得t2＋6eq\r(2)t＋9＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t1＋t2＝－6\r(2)，,t1·t2＝9，))所以eq\f(1,|MA|)＋eq\f(1,|MB|)＝eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t1)))＋eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t2)))＝eq\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t1＋t2)),t1t2)＝eq\f(2\r(2),3).思維升華(1)解決直線與曲線的參數(shù)方程的應用問題時，一般是先化為普通方程，再根據(jù)直線與曲線的位置關系來解決．(2)對于形如eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y(tǒng)0＋bt))(t為參數(shù))的方程，當a2＋b2≠1時，應先化為標準形式后才能利用t的幾何意義解題．跟蹤訓練2(2023·榆林模擬)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝t＋\f(1,t)，,y＝t－\f(1,t)))(t為參數(shù))，以直角坐標的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．(1)求曲線C的極坐標方程；(2)若A，B是曲線C上的兩點，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，求|eq\o(AB,\s\up6(→))|的最小值．解(1)在曲線C的參數(shù)方程中，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝2t，,2x－y＝\f(2,t)，))兩式相乘得C的普通方程為4x2－y2＝4，故曲線C的極坐標方程為4ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即ρ2＝eq\f(4,4cos2θ－sin2θ).(2)因為eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，所以可設A(ρA，θ)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρB，θ±\f(π,2)))，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))))2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))))2＝ρeq\o\al(2,A)＋ρeq\o\al(2,B)＝eq\f(4,4cos2θ－sin2θ)＋eq\f(4,4cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ±\f(π,2)))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ±\f(π,2))))＝eq\f(4,4cos2θ－sin2θ)＋eq\f(4,4sin2θ－cos2θ)＝eq\f(4,5cos2θ－1)＋eq\f(4,5sin2θ－1)＝eq\f(12,5cos2θ－15sin2θ－1)＝eq\f(12,25sin2θcos2θ－4)＝eq\f(12,\f(25,4)sin22θ－4)≥eq\f(12,\f(25,4)－4)＝eq\f(16,3)，當且僅當sin22θ＝1時，等號成立，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|的最小值為eq\f(4\r(3),3).題型三極坐標方程和參數(shù)方程的綜合應用例3(2022·全國乙卷)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cos2t，,y＝2sint))(t為參數(shù))．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的極坐標方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＋m＝0.(1)寫出l的直角坐標方程；(2)若l與C有公共點，求m的取值范圍．解(1)直線l的極坐標方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＋m＝0，即ρsinθ＋eq\r(3)ρcosθ＋2m＝0，根據(jù)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))得l的直角坐標方程為eq\r(3)x＋y＋2m＝0.(2)曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cos2t，,y＝2sint))(t為參數(shù))，將sint＝eq\f(y,2)代入x＝eq\r(3)cos2t＝eq\r(3)(1－2sin2t)，得曲線C的普通方程為y2＝－eq\f(2\r(3),3)x＋2(－2≤y≤2)．聯(lián)立直線l與曲線C的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋y＋2m＝0，,y2＝－\f(2\r(3),3)x＋2－2≤y≤2，))消去x并整理得3y2－2y－6－4m＝0(－2≤y≤2)．方法一若直線l與曲線C有公共點，則Δ＝(－2)2－4×3×(－6－4m)≥0，且3×(－2)2－2×(－2)－6－4m≥0，所以－eq\f(19,12)≤m≤eq\f(5,2)，即m的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(19,12)，\f(5,2))).方法二所以4m＝3y2－2y－6(－2≤y≤2)，因為3y2－2y－6＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－\f(2,3)y))－6＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)))2－eq\f(19,3)，所以當－2≤y≤2時，－eq\f(19,3)≤3y2－2y－6≤10，即－eq\f(19,3)≤4m≤10，則－eq\f(19,12)≤m≤eq\f(5,2)，即m的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(19,12)，\f(5,2))).思維升華解決參數(shù)方程和極坐標的綜合問題的方法涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解．當然，還要結合題目本身特點，確定選擇何種方程．跟蹤訓練3在平面直角坐標系xOy中，曲線C2的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋cosα，,y＝－1＋sinα))(α為參數(shù))，在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點為極點，以x軸正半軸為極軸)中，曲線C1的極坐標方程是ρcosθ－3＝0，點P是曲線C2上的動點．(1)求點P到曲線C1的距離的最大值；(2)若曲線C3：θ＝eq\f(π,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ∈R))交曲線C2于A，B兩點，求△ABC2的面積．解(1)由曲線C2的參數(shù)方程，得其普通方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝1，表示以(－2，－1)為圓心，以1為半徑的圓．由曲線C1的極坐標方程，得其直角坐標方程為x＝3.則圓心C2到直線x＝3的距離d＝2＋3＝5，所以點P到曲線C1的距離的最大值dmax＝1＋d＝6.(2)由曲線C3：θ＝eq\f(π,4)，得其直角坐標方程為y＝x，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋22＋y＋12＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,y1＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－2，,y2＝－2，))∴|AB|＝eq\r(－1＋22＋－1＋22)＝eq\r(2)，圓心C2到直線AB的距離d1＝eq\f(|－2＋1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴△ABC2的面積S＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).課時精練1．在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋3cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcos\f(π,3)，,y＝6＋tsin\f(π,3)))(t為參數(shù))．(1)判斷直線l和圓C的位置關系，并說明理由；(2)設P是圓C上一動點，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，0))，若點P到直線l的距離為eq\f(3\r(3),2)，求eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))的值．解(1)圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋3cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數(shù))，消去θ得圓C的普通方程為(x－3)2＋y2＝9，圓心C的坐標為(3,0)，半徑為3.直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcos\f(π,3)，,y＝6＋tsin\f(π,3)))(t為參數(shù))，消去t得直線l的普通方程為eq\r(3)x－y＋6＝0.∵圓心C到直線l的距離d＝eq\f(3\r(3)＋6,2)>3，∴直線l和圓C相離．(2)設P(3＋3cosθ，3sinθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2π))))，由點P到直線l的距離為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3\r(3)cosθ－3sinθ＋6＋3\r(3))),2)＝eq\f(3\r(3),2)，得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋θ))＋2＋\r(3)))＝eq\r(3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋θ))＝－1.∴eq\f(π,6)＋θ＝π，則θ＝eq\f(5π,6)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0))，eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))，∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝－eq\f(3\r(3),2).2．(2021·全國乙卷)在直角坐標系xOy中，圓C的圓心為C(2,1)，半徑為1.(1)寫出圓C的一個參數(shù)方程；(2)過點F(4,1)作圓C的兩條切線，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程．解(1)因為圓C的圓心為(2,1)，半徑為1，所以圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosθ，,y＝1＋sinθ))(θ為參數(shù))．(2)當直線斜率不存在時，直線方程為x＝4，此時圓心到直線的距離為2>r，不符合題意，舍去；當直線斜率存在時，設切線為y＝k(x－4)＋1，即kx－y－4k＋1＝0，故eq\f(|2k－1－4k＋1|,\r(1＋k2))＝1，即|2k|＝eq\r(1＋k2)，解得k＝±eq\f(\r(3),3)