6.4.3正余弦定理的實(shí)際運(yùn)用（精講）

思維導(dǎo)圖

；正確分析題意，提煉相關(guān)等式，利用等式的邊

:、_用_關(guān)__系__合__理_地__將__向__題_轉(zhuǎn)__化__為_(kāi)三__角__函_數(shù)__的__問(wèn)_題__

解三角形

與三角函用定理、公刊用正金定理、公康定理、二和疝公元、輔助i

數(shù)綜合問(wèn)、_式__、性質(zhì)>1、_角___公__式_等_進(jìn)__行__三__角_形__中__邊__角__關(guān)__系__的__互__化_______

題

--------（利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、三角形內(nèi)角和定理等］

得結(jié)論—；知識(shí)求函數(shù)解析式、角、三角函數(shù)值，或討論：

）［三角函數(shù)的基本性質(zhì)等

（1）把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形

平面圖

、內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；

形應(yīng)用\（2）尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果

仰角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線

俯角上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角

一

正

余

方

弦

位從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向

角

定線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為a

理

的

應(yīng)

用相對(duì)于某一正方向的水平角

實(shí)北偏東a,即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向

際北偏西a,即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向

應(yīng)

用

坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（角。為坡角）

坡角

坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比（i為坡度）.

坡度

、坡度又稱為坡比.

；理解題意，分清己知與未知，畫(huà)出示意圖

；根據(jù)己知條件與求解目標(biāo)，把己知最與求解最盡最集

;中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解三角形的數(shù)學(xué)模型

,、解題4步驟

；利用正弦定理和余弦定理力.序地解三角形，求得數(shù)學(xué)

：模型的解

：檢驗(yàn)上述所求的三角形是否具有實(shí)際意義，從而得出

:實(shí)際向題的解

考法一正余弦定理的綜合運(yùn)用

【例1-1］（2020?內(nèi)蒙古赤峰市）在△A3C的中，角A，B,C的對(duì)邊分別為a,b,C,且

<2sinA+Z>（sinA+sin8）—csinC=0

（1）求角C；

（2）若c=2,求a+b的取值范圍.

【答案】（1）。=與：（2）（2,竽］

【解析】⑴山asinA+仇sinA+sinB）-csinC=O,及正弦定理得a?+皿一。2=。,

—ctb1/八-t-r-Ki2萬(wàn)

由余弦定理得cosC二巴3--——=—，又0vC<〃，所以C=—；

2ah2ab23

（2）由/+4。+訝2一片=0及c=2,得/+a/?+/?2=4，即（a+b）2-ab=4,

所以"=（。+。）2-4w，（。+份2,所以a+84土叵，當(dāng)且僅當(dāng)a=〃=2叵時(shí)?，等號(hào)成立,

433

又a+Z?>2=c，所以2<a+〃《迪，

3

所以Q+白的取值范圍為2,

119

【例1-2].（2020?全國(guó)高一）在①c=7,cosA=②cosA=-,cos8=—.這兩個(gè)條件中任選一

7816

個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中:在AABC中，它的內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,已知a+Z?=U,.

求”，。的值.

【答案】答案見(jiàn)解析.

【解析】選擇條件①：c=7,cosA=--,a+b=\\,

7

a2=b2+c2-2hccosAa2=(11-?)-+72-j,z.a-8,b-3

JQ--------Qp-j

選擇條件②?「cosA二不，cosB=—,A?B(O,TT),??sinA=Jl—cos?A=----

8168

raa

sinB=Jl—cos?B=上4由正弦定理得:—^一=-----，：.3幣-5近，：?a=6,b=5.

16sinAsmB-

olo

【一隅三反】

1.（2020?江蘇南京市?南京師大附中高一期末）在AABC中，設(shè)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,4c,已知

cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB.

（1）求角C的大??；

（2）若c=G，求AABC周長(zhǎng)的取值范圍.

【答案】⑴y；⑵（2忖2+網(wǎng)

【解析】（1）山題意知l-sin2A=sin28+l—sin2C+sinAsin3,

即sin2A+sin2B-sin2C=-sinAsinB，

由正弦定理得Q?+b2-c2=-ab

由余弦定理得8SC=q^=/=《

2ah

又0<C<乃,C——

3

abcV3--

------=-------=-------=--------=2,/.a—2sinA,/?=2sino

(2)sinAsinBsinC.2〃

sin——

3

則A4BC的周長(zhǎng)

/X/\

L=a+h+c=2(sinA+sinB)+V3=2sinA+sin--A+百=2sinA+—+6.

U)I3)

八4471A冗2兀V3

0<A<—,—<AH—v—,...—<sinA+—j<1,

33332I3j

20<2sin[A+；|+GK2+B

.?.AA8C周長(zhǎng)的取值范圍是（26,2+6].

2.（2020?吉林白城市?白城一中高一期末（文））△ABC的內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊分別為“，b,c

已知（2c—“）cos3cosA=0.

（1）求角8的大??；

（2）若a+c=l,求b的取值范圍.

JI1

【答案】（1）（2）-<h<\.

32

【解析】（1）v（2r-a）cosB-Z?cosA=0,

?*.山正弦定理可得：ZsinCcosB-sinAcosB-sinbcosAuO,可得2sinCeos3=sin(4+3)=sinC,

???C為三角形內(nèi)角，sinCHO,.??可得cos8=J,

2

71

/.B=—.

3

(2)\*B——,Q+C=1,.二由余弦定理可得力=6T+/—ac=(a+c)2—3ac..(a+c)--3x(—-—,

324

b..)-,*：b<a+c=\,?b<\.

22

3.(2020?沙坪壩區(qū)?重慶南開(kāi)中學(xué)高一期末)在中，角A，B,C所對(duì)的邊分別為。，b,

滿足acosC=(2〃—c)cosA.

（1）求NA的大小;

(2)若。=3,求AABC面積S的最大值.

【答案】(1)A=-:(2)也.

34

【解析】(1)tzcosC=(2b-c*)cosA.

=>sinAcosC=(2sinsinC)cos4,

nsin(A+C)=2sinBcosA,

=sinB=2sin8cosA，

1

=>cosA=一，

2

,TC

A=—.

3

,c、,1/?2+C2-92bc-9

(2),/cosA=-=------------>---------,

22bc2bc

/.0<Z?c<9,

S=—sinA<—x9x—~,當(dāng)。=。=。=3時(shí)取得等號(hào)，

2224

.?.△ABC面積S的最大值空.

4

考法二正余弦定理與三角函數(shù)綜合運(yùn)用

【例2】(2020?湖北荊門(mén)市?高一期末)已知/(%)=2A/3sinxcosx+sin2x-cos2x

(1)求函數(shù)取最大值時(shí)x的取值集合；

(2)設(shè)第曲△A5C的角A，B,。所對(duì)的邊分別為“，b,c,/(C)=l,c=JJ,求AABC的面積

S的最大值.

【答案】(1)[xx=k^+-,kez\-(2)6±3&

I3/4

【解析】(1)/(x)=2>/3sinxcosx+sin2x-cos2x=>/3sin2x-cos2x=2sin2x-—.

I6J

令2x-匹=2Z7+—eZ,即1=%乃+三(ZcZ)時(shí)，/(x)取最大值；

623

TT

所以，此時(shí)X的取值集合是《X尤=%乃+=,ZeZ*

(2)Lt]/(C)=1,得sin(2C-1)=g,

因?yàn)?<C<三，所以一工<2C—工(豆，所以2c-工=工，則。=工；

2666666

在AA8c中，由余弦定理/="+從—2"cosC，

得3=a?+臚一6abN(2—6)ab，即?！?lt;3(2+百)，當(dāng)且僅當(dāng)。=力時(shí)取等號(hào)，

所以△ABC的面積5=；0加皿043*3(2+右”；=豈普您

因此AA5c的面積S的最大值為6+3」.

4

【一隅三反】

1.(2020?黃梅)已知函數(shù)/(x)=Gsin卜+-cosx.

(1)求函數(shù)“X)在[0,句上的最小值；

3

(2)已知a,b,c分別為AABC1內(nèi)角A，B,。的對(duì)邊，b=5y/3,cosA=—,且/(B)=l,求邊a

的長(zhǎng).

【答案】(1)；(2)8.

2

、

711.73

【解析】(1)/(x)=V3sinXd------COSX=百—sinx+COSX-COSX

32V7

/3.1.(

—sinx+—cosx=smx+一，

22I6)

乂工￡[「八(),%1],所一一以,無(wú)+工71￡—萬(wàn)77-r

666

77*17T

所以當(dāng)x+—=,即％=萬(wàn)時(shí)，“X)取得最小值,

66

所以/(X)min=_；，

(2)因?yàn)?(B)=sin(B+^]=l,Be(0,,

71

所以5=一，

3

.a5\/3

Q5/[__—______

又cosA=1,所以sinA=q,所以由正弦定理有46,所以a=8.

555T

2.(2020?甘肅省民樂(lè)縣第一中學(xué)高三期中(理))已知函數(shù)/(x)=20sinxcosx-3sin2x—cos2x+2.

71

(1)當(dāng)0,y時(shí)，求,f(X)的值域；

(2)若A4BC的內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊分別為C且滿足2=百，Sin(2/1+C)=2+2cos(A+C),

asinA

求/(8)的值.

【答案】⑴[-1,2]；(2)1.

【解析】(1)/(x)=2>/3sinxcosx-3sin2x-cos2x+2=V3sin2x-2sin2x+l

=V3sin2x+cos2x=2sin|<2x+—

八冗717萬(wàn)(卜

XG(),—2xH---￡,sin2x+?,1,.-./(X)[-1,2].

_2f666~2G

(2),由題意可得sin[A+(A+C)]=2sinA4-2sinAcos(A+C)有，

sinAcos(A+C)+cosAsin(A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C),

化簡(jiǎn)可得：sinC=2sinA,...由正弦定理可得：c=2a,；b=，.?.余弦定理可得：

2ac

a2+4/-3a2_1

'：0<B<7T,：.B=-,所以/(8)=1.

2a-2a2

/Q1

3.(2020?江蘇)已知函數(shù)/(x)u-g-sinZx-cos?萬(wàn)一］,XGR.

(1)求函數(shù)/(x)的最小值和最小正周期；

⑵設(shè)AABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,且c=G，/(C)=0,若sinB=2sinA,

求%。的值.

【答案】⑴"X)的最小值是—2,最小正周期是T=夸=萬(wàn)；⑵。=1,0=2.

V3.△1+cos2x；=sin12x—總一1,則〃x）的最小值是—2,最小正周期

【解析】（1）/（%）=——sin2x---------

22

2乃

是T='=〃；

2

⑵/(C)=sin2cq-1=0,則sin(2C—?)=l,

'''0<C<>?-0<2C<2乃,.1.---<2C---<----,2C---=—,C

66662

,/sinB=2sinA,由正弦定理，得色=—,①

b2

兀

由余弦定理，W1c2=a~+b~-2abcos—,即‘J+/—次?=3,②

3

由①②解得a=l，b=2.

考法三正余弦定理在幾何中的運(yùn)用

【例3】（2020?河北邢臺(tái)市?高一期中）如圖，在AABC中，力〃平分NB4C,且8=3BD.

“sinB-

(1)求-----的值;

sinC

71

（2）若AB=2，B=-,求人45。的面積.

【答案】（1）3；（2）3國(guó)+6

2

【解析】（1）在△ABO中，,B?二處在八48中,CDAD

sinABADsinBsinZCADsinC

因?yàn)?〃平分NB4C,且C￡>=3BD,所以堊0=￡2=3.

sinCBD

AcsinB

（2）由正弦定理及（1）可知——=——=3.

ABsinC

7t

因?yàn)锳B=2，B=~,所以AC=6,

因?yàn)閟inZBAC=sin(3+C)=sinBcosC+cosBsinC

6底\垂>3布+6

=X------1--X=--------------，

262612

所以s"C='AS.AC?sinNBAC=也?

【一隅三反】

1.（2020?北京朝陽(yáng)區(qū)?人大附中朝陽(yáng)學(xué)校高一期末）如圖，AABC中，已知點(diǎn)〃在仇7邊上，AD1AC,

sin8=立，cosZADC=—>C0=36，則△AOC的面積為；A?的長(zhǎng)是.

33

【答案】當(dāng)3也

【解析】因?yàn)锳￡)_LAC,cosZADC=—>CD=3也,

3

所以AO=CO-cosNAOC=3gx±=3，

3

又sinZADC=—，

3

則44。。的面積為5=44。-0>5皿/4。。='><3乂3&*逅=^^,

2232

又sinZADB=sinZADC所以在△W>中由正弦定理得:

V

ABADAD-sinZADB"79J^L

則AB=-----；一-----=—左一=3V2.故答案為：-----；3行?

sinNAO5sinBsinBV32

3

2.（2020?成都市第十八中學(xué)校高一期中）在△鉆。中，點(diǎn)。在邊A3上，ZACD=-,4。=4。8=4百

3

（1）若CD=4,求AC

7171

（2）若8=—，求sin（2A+一）的值

36

7

【答案】（1）8：（2）

8

【解析】（1）在△ACD中，由余弦定理得，（473）2=/lC2+42-2x4-AC-cos^,

即AC?—4AC—32=0,解得，AC=8（負(fù)值舍去）.

（2）在AABC中，

VB=~,ZACD=-,...NBCD=—A,

333

DC

在△ADC中，由正弦定理得sinA,兀,，￡>C=8sinA①，

sin—

3

_DC_=~￡~.DC=—

在△BCD中，山正弦定理得.nsin[三一4]'?'2s

sin—

3

由①②得sinAsin-2，

/V341.八3

/.sinA——cosA——sinA=—

(22J16

日II6.人人1?243

即——sinAcosA——sinA=—，

2216

?611_3

??—sin2AH—cos2A———‘

44416

即避^sin2A+—cos2A=—

228

/.sin(2A+27

8

3.(2020?株洲市九方中學(xué)高一月考)如圖，在圓內(nèi)接A鉆。中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

滿足〃cosC+ccosA=2bcosB.

(1)求民

(2)若點(diǎn)〃是劣弧力。上一點(diǎn)，力廬2,小3,求四邊形4?⑦的面積

【答案】(1)B=(2)2G.

【解析】(1)由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=2sin5cos5,

得sinB=2sinBcosB.

因?yàn)?<,

IJI

所以cos5=-,即8=—.

23

6+叱一心2

7[714+9-AC

(2)在AABC中/比2,BC=3,B=—

32ABBC12

解得AC=J7.

在△AQC中，AC=幣，AD=T，4B,C,〃在圓上,

因?yàn)?=工，所以NADC=」,

33

AD2+DC2-AC21+PC2-l1

所以cos—=

32ADDC2DC~~~2

解得。C=2或。。=一3(舍去),

所以四邊形ABCD的面積S=S'?+兀既=AT>-DCsiny+1-BCsin|=273.

4.(2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))在四邊形4?切中，AD//BC,AB=6,Z4=120°,BD=3.

AD

BC

（1）求助的長(zhǎng);

（2）若/犯9=105°,求四邊形力靦的面積.

【答案】（1）百；（2）

4

【解析】（1）:在△/!劭中，/6=J5，NH=120°,劭=3,

???由余弦定理得cos您0=愛(ài)需’解得仁出34-2退舍去）,

的長(zhǎng)為內(nèi).

(2)'JAD//BC,//=120°,BD=3,AB=AD=>J3,Z5(7?=105°,

：./DBC=3G,/切C=45°,

由正弦定理得一絲=一如r=—二，

sin45sin30sin105

解得%=3百-3,DC=#心”

2

如圖

過(guò)點(diǎn)/作4EL做交磔于點(diǎn)發(fā)過(guò)點(diǎn)C作”被交勖于點(diǎn)區(qū)

則AE=——,CF=—BC=拽二2,

2222

...四邊形/M?的面積

C-<?IC—1on（AF-^ri^-1vQv/>/3_13\/3—3x12A/3—9

5一?5k/儂+S色瞅—BD?\Ak+Cr）—X3X（-r-------）----------.

22224

考法四正余弦定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用

【例4】（1）（2020?江蘇高一課時(shí)練習(xí)）如圖，設(shè)A、8兩點(diǎn)在水庫(kù)的兩岸，測(cè)量者在A的同側(cè)的庫(kù)邊選

定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離為100m,NAC8=75。，NC4B=60。，就可以計(jì)算出C、5兩點(diǎn)的距離為（)

A.50cmB.50GmC.y(3V2+V6)mD.50(V3+l)m

（2）（2020?安徽亳州市?渦陽(yáng)四中高一月考（理））如圖，無(wú)人機(jī)在離地面高200m的A處，觀測(cè)到由頂M

處的仰角為15°、山腳C處的俯角為45°,已知NMCN=60°，則山的高度MN為（）

A.150V3/HB.200V3mC.300GHiD_300/w

【答案】(1)A(2)D

【解析】(1)???△ABC中，ZACB=75°,NC4B=60°，

二Z5=180°-(ZACB+ZC4B)=45°.

又???△ABC中，AC=100m,

]00x6

,由正弦定理可得：—=———,則CB=一產(chǎn)=50^01.故選：A.

sinBsmZCABsinBV2

(2),/AD!IBC,：.ZACB=ADAC=45°，；?AC=MAB=20。0利，

又ZA1C4=180°—60°—45°=75°,ZM4c=15°+45°=60°,/.ZAMC=45°,

MCAC

在AAMC中,,g噂野.A，

sinZMACsinZAMC

MN=MCsinNMCN=200底in60°=300AM.故選：D.

【一隅三反】

1.（2020?江蘇高一課時(shí)練習(xí)）某快遞公司在我市的三個(gè)門(mén)店4，B,。分別位于一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)處，

其中門(mén)店48與門(mén)店C都相距akm,而門(mén)店力位于門(mén)店。的北偏東50°方向上，門(mén)店8位于門(mén)店C的北偏

西70°方向上，則門(mén)店46間的距離為（）

A.akmB,及“kmC.D.2akm

【答案】C

【解析】由題意知4C=6C=aA?,/zf龍=50°+70°=120°,

由余弦定理得，

AB2=AC2+BC2-2AC-BCcosZACB

—ci~+a~_2a-x（——）=3a~,

所以A8=JJa，

即門(mén)店4,6間的距離為百akm.

故選：C.

2.（2020?北京二十中高一期末）2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理?xiàng)l例》實(shí)施，根據(jù)該條

例：小區(qū)內(nèi)需設(shè)置可