因?yàn)殪`敏度分析研究的是系數(shù)的變化對(duì)最優(yōu)解的影響，所以在進(jìn)行靈敏度分析之前首先要計(jì)算出原線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解。因此，靈敏度分析有時(shí)也被稱為后優(yōu)化分析（postoptimalityanalysis）。我們研究靈敏度分析的方法與第2章中研究線性規(guī)劃問(wèn)題的方法相同。首先，我們將介紹如何使用圖解法進(jìn)行雙變量線性規(guī)劃問(wèn)題的靈敏度分析。靈敏度分析及最優(yōu)方案的解釋是運(yùn)用線性規(guī)劃問(wèn)題的重要因素。第1頁(yè)/共93頁(yè)3.1靈敏度分析簡(jiǎn)介

靈敏度分析對(duì)于決策者的重要性不言而喻，在真實(shí)世界里，周圍的環(huán)境、條件是在不斷變化的。原材料的成本在變，產(chǎn)品的需求在變，公司購(gòu)買(mǎi)新設(shè)備、股票價(jià)格波動(dòng)、員工流動(dòng)等等這些都在不斷發(fā)生。如果我們要用線性規(guī)劃模型去解決實(shí)際問(wèn)題，那模型中的系數(shù)就不可能是一成不變的。這些系數(shù)的變化會(huì)對(duì)模型的最優(yōu)解產(chǎn)生什么樣的影響呢？運(yùn)用靈敏度分析，我們只需改變相應(yīng)的系數(shù)就可以得到答案，而不需建立新的模型。第2頁(yè)/共93頁(yè)回憶Par公司的問(wèn)題：第3頁(yè)/共93頁(yè)

我們已經(jīng)知道這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解是標(biāo)準(zhǔn)袋生產(chǎn)540個(gè)，高級(jí)袋生產(chǎn)252個(gè)，這個(gè)最優(yōu)解的前提是每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)袋的利潤(rùn)是10美元，每個(gè)高級(jí)袋的利潤(rùn)是9美元。假設(shè)，我們得知由于價(jià)格的下降，標(biāo)準(zhǔn)袋的利潤(rùn)由10美元降到8.5美元。這時(shí)我們可以用靈敏度分析來(lái)確定標(biāo)準(zhǔn)袋生產(chǎn)540個(gè)，高級(jí)袋生產(chǎn)252個(gè)是否還是最優(yōu)解。如果還是，則不必建立新的模型求解了。第4頁(yè)/共93頁(yè)

靈敏度分析還可以用來(lái)分析模型中的系數(shù)哪個(gè)更能左右最優(yōu)解。比如，管理層認(rèn)為高級(jí)袋的利潤(rùn)9美元只是一個(gè)估計(jì)量。如果通過(guò)靈敏度分析得到，當(dāng)高級(jí)袋的利潤(rùn)在6.67美元與14.29美元之間變化時(shí)，模型的最優(yōu)解都是540個(gè)標(biāo)準(zhǔn)袋和252個(gè)高級(jí)袋，那么管理層就必須思考每個(gè)高級(jí)袋獲利9美元這個(gè)估計(jì)量的可信程度有多大了。管理層希望知道如果高級(jí)袋的利潤(rùn)下降，最優(yōu)產(chǎn)量會(huì)怎樣變化。第5頁(yè)/共93頁(yè)

靈敏度分析的另一個(gè)用途是分析約束條件的右端值變化對(duì)最優(yōu)解的影響。還是以Par公司為例，在最優(yōu)產(chǎn)量的情況下，切割與印染部和成型部的工作時(shí)間已經(jīng)被占用了。如果現(xiàn)在公司增加了這兩個(gè)部門(mén)的生產(chǎn)能力，那么最優(yōu)解以及總利潤(rùn)的值會(huì)發(fā)生什么樣的變化呢？靈敏度分析可以幫助確定每一個(gè)工時(shí)的邊際價(jià)值，以及在利潤(rùn)下降之前部門(mén)工時(shí)的最大增加量。第6頁(yè)/共93頁(yè)3.2圖解法靈敏度分析

對(duì)于雙變量的線性規(guī)劃問(wèn)題，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)或約束條件的右端值變化時(shí)，用圖解法可以對(duì)其進(jìn)行靈敏度分析。3.2.1目標(biāo)函數(shù)系數(shù)讓我們思考一下目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)變化會(huì)對(duì)Par公司的最優(yōu)產(chǎn)量產(chǎn)生什么樣的影響。選擇每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)袋的利潤(rùn)是10美元，每個(gè)高級(jí)袋的利潤(rùn)是9美元。很明顯，如果其中一種袋子的利潤(rùn)下降，公司就會(huì)削減其產(chǎn)量；如果利潤(rùn)上升，公司就會(huì)增加其產(chǎn)量。但問(wèn)題是，究竟利潤(rùn)變化多少時(shí)，管理者才應(yīng)該改變產(chǎn)量呢？第7頁(yè)/共93頁(yè)

現(xiàn)在，模型的最優(yōu)解是540個(gè)標(biāo)準(zhǔn)袋和252個(gè)高級(jí)袋。每個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)都有一個(gè)最優(yōu)范圍，即目標(biāo)函數(shù)系數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，模型的最優(yōu)解保持不變。我們應(yīng)該注意那些系數(shù)的最優(yōu)范圍比較小，或者系數(shù)剛好靠近最優(yōu)范圍邊界的情況。在這種情況下，這些系數(shù)的微小變動(dòng)就有可能使最優(yōu)解發(fā)生改變。下面，我們用圖解法來(lái)求解Par公司的最有范圍。第8頁(yè)/共93頁(yè)200400600800200400600oSD可行域10S+9D=7668圖3-1直線A(7/10)S+D=630直線BS+(2/3)D=708③第9頁(yè)/共93頁(yè)在圖3-1中，我們可以看到只要直線B的斜率≤目標(biāo)函數(shù)直線的斜率≤直線A的斜率則最優(yōu)解不變.容易計(jì)算直線A和直線B的斜率，我們來(lái)看一看若想保持極點(diǎn)③仍然為最優(yōu)解點(diǎn)，應(yīng)滿足的條件：（3-1）第10頁(yè)/共93頁(yè)因此，我們得到目標(biāo)函數(shù)的斜率為－CS／CD。把－CS／CD代入式（3-1），我們看到只要滿足下列條件，極點(diǎn)③就仍然是最優(yōu)解點(diǎn)：

現(xiàn)在讓我們考慮目標(biāo)函數(shù)直線斜率的一般形式。用CS表示標(biāo)準(zhǔn)袋的利潤(rùn)，CD表示高級(jí)袋的利潤(rùn)，P表示目標(biāo)函數(shù)值。使用這些標(biāo)識(shí)，目標(biāo)函數(shù)直線可以寫(xiě)成：

P＝CSS＋CDD把上面方程寫(xiě)成斜截式，得到：

CDD＝﹣CSS＋P以及第11頁(yè)/共93頁(yè)從左邊的不等式，我們得到（3-2）

為了計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)袋利潤(rùn)最優(yōu)的范圍，我們假設(shè)高級(jí)袋的利潤(rùn)C(jī)D＝9，代入式（3-2），我們得到：因此第12頁(yè)/共93頁(yè)綜合標(biāo)準(zhǔn)袋利潤(rùn)C(jī)S的極限，標(biāo)準(zhǔn)袋利潤(rùn)最優(yōu)范圍為：

6.3≤CS≤13.5從右邊的不等式，我們得到因此，第13頁(yè)/共93頁(yè)

在最初Par公司的問(wèn)題中，標(biāo)準(zhǔn)袋的利潤(rùn)是10美元。最優(yōu)解是540個(gè)標(biāo)準(zhǔn)袋和252個(gè)高級(jí)袋。標(biāo)準(zhǔn)袋利潤(rùn)C(jī)S的最優(yōu)范圍告訴Par公司的管理者：在其他系數(shù)不變的情況下，只要標(biāo)準(zhǔn)袋的利潤(rùn)在6.3美元與13.5美元之間，540個(gè)標(biāo)準(zhǔn)袋和252個(gè)高級(jí)袋總是最優(yōu)產(chǎn)量。然而值得注意的是，即使產(chǎn)量不變，總的利潤(rùn)也可能由于每一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)袋利潤(rùn)的變化而變化。這些計(jì)算可以重復(fù)進(jìn)行，假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)袋的利潤(rùn)為常數(shù)CS＝10。如此一來(lái)，高級(jí)袋利潤(rùn)的最優(yōu)范圍就能夠被確定出來(lái)。驗(yàn)證可得，這個(gè)范圍為6.67≤CD≤14.29。第14頁(yè)/共93頁(yè)

多系數(shù)同時(shí)改變目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的最優(yōu)范圍只能夠應(yīng)用于一次只有一個(gè)系數(shù)發(fā)生改變的情況，其他系數(shù)都假定保持初值而不發(fā)生變化。如果兩個(gè)或兩個(gè)以上目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)被同時(shí)改變，就有必要進(jìn)一步判斷最優(yōu)解會(huì)不會(huì)也發(fā)生變化。然而對(duì)于解決只有兩個(gè)變量的問(wèn)題時(shí)，式（3-2）給出了一個(gè)簡(jiǎn)單的方法，以判斷兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時(shí)發(fā)生改變時(shí)，最優(yōu)解是否也發(fā)生改變。簡(jiǎn)單地計(jì)算出在新的系數(shù)值下目標(biāo)函數(shù)的斜率（-CS/CD）,如果這個(gè)比值大于等于目標(biāo)函數(shù)斜率的下限，同時(shí)小于等于目標(biāo)函數(shù)斜率的上限，那么系數(shù)值的變化就不會(huì)使最優(yōu)解發(fā)生變化。第15頁(yè)/共93頁(yè)

在式（3-2）中，我們計(jì)算出只要滿足下列條件，極點(diǎn)③仍然是最優(yōu)點(diǎn)如果CS升高到13美元，同時(shí)使CD降低到8美元，新的目標(biāo)函數(shù)斜率將變成由于這個(gè)值要小于下限，因此當(dāng)前的解S=540,D=252不再是最優(yōu)的。把CS=13，CD=8代入，可得出極點(diǎn)②是新的最優(yōu)解。第16頁(yè)/共93頁(yè)

觀察最優(yōu)范圍，我們得出結(jié)論，無(wú)論是CS升高到13美元還是使CD降低到8美元（當(dāng)不是同時(shí)變化），都不會(huì)帶來(lái)最優(yōu)解的變化。但當(dāng)CS與CD同時(shí)改變時(shí)，目標(biāo)函數(shù)斜率的變化導(dǎo)致了最優(yōu)解的變化。這個(gè)結(jié)論強(qiáng)調(diào)了這樣一個(gè)事實(shí)：僅僅是通過(guò)最優(yōu)范圍，只能用于判斷在一次改變一個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的情況下最優(yōu)解的變化。第17頁(yè)/共93頁(yè)3.2.2約束條件右端值的變化

現(xiàn)在讓我們來(lái)考慮約束條件右端值的變化對(duì)可行域帶來(lái)的影響，及可能對(duì)最優(yōu)解帶來(lái)的變化。為了闡明敏感度分析的這方面內(nèi)容，我們假設(shè)Par公司的切割與印染部門(mén)增加了10小時(shí)的生產(chǎn)時(shí)間，然后來(lái)考慮將會(huì)有什么發(fā)生。切割與印染約束條件的右端值由630變?yōu)?40，約束條件可寫(xiě)作第18頁(yè)/共93頁(yè)

又獲得了10個(gè)小時(shí)的切割與印染時(shí)間，我們可以擴(kuò)展問(wèn)題的可行域，如圖3-3所示。可行域變大了，現(xiàn)在我們考慮是否有新的解會(huì)使目標(biāo)函數(shù)值更大。運(yùn)用圖解法可以看出，極點(diǎn)S=527.5，D=270.5是最優(yōu)解點(diǎn)。新的目標(biāo)函數(shù)值為10×527.5+9×270.5=7711.75美元，比原來(lái)利潤(rùn)增加了7711.75–7688.00=43.75美元。因此，利潤(rùn)的增加率為43.75/10=4.375美元/小時(shí)。第19頁(yè)/共93頁(yè)200400600800200400600oSD可行域10S+9D=7711.75圖3-3直線A(7/10)S+D=640S=527.50D=270.75③第20頁(yè)/共93頁(yè)

約束條件右端值每增加一個(gè)單位引起的最優(yōu)值的改進(jìn)量稱為對(duì)偶價(jià)格。在這個(gè)例子里，切割與印約束條件的對(duì)偶價(jià)格為4.375美元——換言之，如果我們使得右邊切割與印染約束條件增加1小時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的值會(huì)相應(yīng)的增加4.375美元。相反，如果我們使得右邊切割與印染約束條件減少1小時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的值會(huì)相應(yīng)的減少4.375美元。對(duì)偶價(jià)格可以用來(lái)求出當(dāng)某個(gè)約束條件右端值改變1個(gè)單位，目標(biāo)函數(shù)值將會(huì)有什么變化。第21頁(yè)/共93頁(yè)

在這里，我們要注意的是，對(duì)偶價(jià)格可能只適用于在右端值僅發(fā)生了很小的變動(dòng)時(shí)的情況。隨著所獲得的資源越來(lái)越多，從而右端值越來(lái)越大，其他的約束條件也可能會(huì)約束和限制目標(biāo)函數(shù)值的變化。拿Par公司的例子來(lái)說(shuō)，我們最終會(huì)找到某一點(diǎn)，從那一點(diǎn)之后，再增加切割與印染的時(shí)間也不會(huì)使利潤(rùn)增加——在切割與印染約束條件不再是束縛性約束條件是，這就有可能發(fā)生。在這一點(diǎn)，對(duì)偶價(jià)格等于0。第22頁(yè)/共93頁(yè)

下一節(jié)中，我們會(huì)討論如何確定右端值變動(dòng)的有效范圍，在這個(gè)范圍內(nèi)，通過(guò)對(duì)偶價(jià)格可以精確地預(yù)測(cè)出目標(biāo)函數(shù)值的變動(dòng)。最后要指出的是，任何非束縛性約束條件的對(duì)偶價(jià)格都是0，因?yàn)樵黾舆@樣的約束條件的右端值，只會(huì)得到約束條件的剩余或松弛變量。第23頁(yè)/共93頁(yè)

為了在解決最小化問(wèn)題中正確解釋對(duì)偶價(jià)格，假設(shè)我們剛剛解出了一個(gè)關(guān)于總成本最小化的問(wèn)題，最優(yōu)解的值為100美元。此外，假設(shè)某個(gè)約束條件的對(duì)偶價(jià)格是-10美元。負(fù)的對(duì)偶價(jià)格告訴我們，如果使右端值增加1，目標(biāo)函數(shù)值不會(huì)增加，反而會(huì)減少10美元。在最小化問(wèn)題中，目標(biāo)函數(shù)結(jié)果變得更壞意味著總成本的增加。那樣的話，如果右端值增加1個(gè)單位，目標(biāo)函數(shù)變成110美元。反過(guò)來(lái)，右端值減少了=1單位，總成本減少10美元。第24頁(yè)/共93頁(yè)3.3靈敏度分析：計(jì)算機(jī)求解

在第2.4節(jié)，我們說(shuō)明了如何使用管理科學(xué)家軟件來(lái)解決Par公司的線性規(guī)劃問(wèn)題。回憶一下，為了使用管理科學(xué)家軟件，我們必須使用小數(shù)來(lái)代替分?jǐn)?shù)。Par公司的問(wèn)題小數(shù)形式的系數(shù)表示如下：

Max10S+9DS.t.0.7S+1D≤630切割與印染

0.5S+0.83333D≤600縫合

1.0S+0.66667D≤708成型

0.1S+0.25D≤135檢查與包裝

S,D≥0第25頁(yè)/共93頁(yè)我們現(xiàn)在示范如何利用管理科學(xué)家軟件來(lái)進(jìn)行靈敏度分析，如圖3-4所示。

ObjectiveFunctionValue=7667.99463VariableValueReducedCosts----------------------------------------S539.998410.00000D252.001130.00000ConstraintSlack/SurplusDualPrices---------------------------------------10.000004.374962120.000000.0000030.000006.93753417.000000.00000第26頁(yè)/共93頁(yè)OBJECTIVECOEFFICIENTRANGESVaribleLowerLimitCurrentValueUpperLimit------------------------------------------------------------S6.3000010.0000013.49993D6.666709.0000014.28572RIGHTHANDSIDERANGES

ConstraintLowerLimitCurrentValueUpperLimit-----------------------------------------------------------------1495.59998630.00000682.363162479.99930600.00000NoUpperLimit3580.00146708.00000900.000004117.00012135.00000NoUpperLimit第27頁(yè)/共93頁(yè)3.3.1計(jì)算機(jī)輸出的解釋——第一個(gè)例子在第2.4節(jié)，我們對(duì)圖3-4頂部的輸出結(jié)果進(jìn)行了討論。在取近似值之后，我們得到最優(yōu)解是S=540個(gè)標(biāo)準(zhǔn)袋和D=252個(gè)高級(jí)袋，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解是7668美元。如我們?cè)诘?.4節(jié)討論的一樣，遞減成本（ReducedCosts）一欄的信息告訴我們目標(biāo)函數(shù)的每個(gè)系數(shù)應(yīng)提高多少，目標(biāo)函數(shù)的變量值才能是正數(shù)。對(duì)于Par公司的例子，兩個(gè)變量都已經(jīng)是正值，所以它們相應(yīng)的遞減成本就是0。在第3.4節(jié)，我們將會(huì)介紹遞減成本，這時(shí)決策變量在最優(yōu)位置上并不是正值。第28頁(yè)/共93頁(yè)

在最優(yōu)解S,D以及遞減成本信息下面，計(jì)算機(jī)輸出了有關(guān)約束條件的信息?；貞汸ar公司的例子，其中有4個(gè)小于或等于約束條件的，都是關(guān)于各個(gè)生產(chǎn)部門(mén)的生產(chǎn)時(shí)間。在松弛/剩余變量一欄中，可以看到每個(gè)部門(mén)的松弛變量值。上述信息歸總?cè)缦拢杭s束條件序號(hào)約束條件名松弛1切割與印染02縫合1203成型04檢查與包裝18第29頁(yè)/共93頁(yè)

從上述數(shù)據(jù)中，我們可以看到束縛性約束條件（切割與印染和成型）在目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)下，松弛為0。縫合部門(mén)有120小時(shí)的松弛或未使用的縫合能力：檢查與包裝部門(mén)有18小時(shí)的松弛。對(duì)偶價(jià)格欄的信息是關(guān)于目標(biāo)函數(shù)取得最優(yōu)解時(shí)，這4種資源的邊際價(jià)值。在第3.2節(jié)，我們對(duì)對(duì)偶價(jià)格進(jìn)行了如下的定義：

對(duì)偶價(jià)格就是約束條件右端值每增加一個(gè)單位引起的，最優(yōu)解的增加量。第30頁(yè)/共93頁(yè)

這里，約束條件1（切割與印染）和約束條件3（成型）的非零對(duì)偶價(jià)格分別為4.37496和6.93753。這告訴我們，每額外增加1小時(shí)的切割與印染時(shí)間會(huì)使最優(yōu)解增加4.37美元；每增加1小時(shí)成型時(shí)間將會(huì)使最優(yōu)解增加6.94美元。因此，在其他系數(shù)保持不變的情況下，如果有效成型時(shí)間從708小時(shí)增加到709小時(shí)，Par公司的利潤(rùn)會(huì)增加4.37，即有7.668美元增加到7668+4.37=7672.37（美元）。第31頁(yè)/共93頁(yè)成型約束條件與之類似——在其他系數(shù)保持不變的情況下，如果有效成型時(shí)間從708小時(shí)增加到709小時(shí)，Par公司的利潤(rùn)將增加到7668+6.94=7674.94（美元）。由于縫合和檢查與包裝約束條件有松弛或未使用的工作能力，它們的零對(duì)偶價(jià)格表明，對(duì)這兩個(gè)部門(mén)增加額外的工作時(shí)間也不會(huì)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的值產(chǎn)生影響。再次看看圖3-4的結(jié)果，我們看到管理科學(xué)家軟件除了提供松弛/剩余變量和對(duì)偶價(jià)格的約束條件信息之外，還給出了目標(biāo)函數(shù)系數(shù)和約束條件右端值的變化范圍。

第32頁(yè)/共93頁(yè)

考慮在輸出結(jié)果的標(biāo)題“目標(biāo)系數(shù)范圍”（OBJECTIVECOEFFICIENTRANGES）下面給出的信息，我們觀察變量S（此時(shí)的值是10）有如下的最優(yōu)化范圍：

6.30≤CS≤13.50因此，只要標(biāo)準(zhǔn)袋的利潤(rùn)在6.30到13.50之間，生產(chǎn)540個(gè)標(biāo)準(zhǔn)袋和252個(gè)高級(jí)袋都是最優(yōu)解。仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)最優(yōu)化范圍與第3.2節(jié)用圖解法得出的結(jié)論是一致的。再觀察一下高級(jí)袋的使目標(biāo)函數(shù)值變化的信息，我們看到管理科學(xué)家軟件計(jì)算出如下的最優(yōu)化范圍：

6.67≤CS≤14.29第33頁(yè)/共93頁(yè)這個(gè)結(jié)果告訴我們，只要高級(jí)袋的利潤(rùn)在6.67到14.29之間，生產(chǎn)540個(gè)標(biāo)準(zhǔn)袋和252個(gè)高級(jí)袋都是最優(yōu)的。計(jì)算機(jī)輸出的結(jié)果的最后一部分右端值范圍（RIGHTHANDSIDERANGES）給出了對(duì)對(duì)偶價(jià)格適合范圍的限制條件。只要約束條件右端值處于系統(tǒng)所給出的上限和下限之間，對(duì)偶價(jià)格就會(huì)給出當(dāng)右端值增加1時(shí)，最優(yōu)解的增加量。舉例來(lái)說(shuō)，我們說(shuō)每額外增加一小時(shí)工作量，目標(biāo)函數(shù)會(huì)增加4.37美元。沒(méi)減少1小時(shí)工作量，當(dāng)然也同樣會(huì)使目標(biāo)函數(shù)值減少4.37美元。

第34頁(yè)/共93頁(yè)在右端值范圍欄的信息中可見(jiàn)，4.37美元的對(duì)偶價(jià)格在右端值增加到682.36316或減少到495.59998之間的范圍內(nèi)都是有效的。成型約束條件也是一樣，在右端值增加到900小時(shí)或是減少到580.00146小時(shí)之間的范圍內(nèi)，對(duì)偶價(jià)格6.94美元都是有效地。如前所述，右端值范圍給出了一個(gè)對(duì)偶價(jià)格的適用范圍。如果右端值的變化超出了這個(gè)范圍，就需要重解原問(wèn)題并找出新的對(duì)偶價(jià)格。我們把這個(gè)對(duì)偶價(jià)格適用的范圍叫做可行域。Par公司問(wèn)題的可行域匯總?cè)缦拢旱?5頁(yè)/共93頁(yè)約束條件最小右端值最大右端值切割與印染495.6682.4縫合480.0無(wú)上限成型580.0900.0檢查與包裝117.0無(wú)上限

只要右端值在這些范圍之內(nèi)，系統(tǒng)分析結(jié)果中的那些對(duì)偶價(jià)格就不會(huì)改變。右端值如果超出了這些范圍，對(duì)偶價(jià)格的信息就會(huì)隨之改變。第36頁(yè)/共93頁(yè)3.3.2多系數(shù)同時(shí)變化系統(tǒng)靈敏度分析的輸出是基于單函數(shù)系數(shù)變化的。它假設(shè)所有其他的系數(shù)都保持不變。因此目標(biāo)函數(shù)系數(shù)和約束條件右端值的變化范圍只能適用于單個(gè)系數(shù)發(fā)生變化的情況。然而在很多情況下，我們可能更加關(guān)注當(dāng)兩個(gè)或兩個(gè)以上系數(shù)同時(shí)變化時(shí)，目標(biāo)函數(shù)將怎樣變化。有些多系數(shù)同時(shí)變化的分析可能會(huì)用到100%法則（100percentrule）。我們下面分析100%法則是如何應(yīng)用于多系數(shù)同時(shí)變化的情形中的。第37頁(yè)/共93頁(yè)

假設(shè)Par公司的會(huì)計(jì)部門(mén)指出，原先對(duì)標(biāo)準(zhǔn)袋和高級(jí)袋的利潤(rùn)的計(jì)算——分別為10美元和9美元有錯(cuò)誤，正確的利潤(rùn)是11.50美元和8.25美元。為了確定這樣的變化是否會(huì)對(duì)最優(yōu)解產(chǎn)生影響，我們先要定義兩個(gè)術(shù)語(yǔ)“允許增加量”（allowableincrease）和“允許減少量”（allowabledecrease）。對(duì)于目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)，允許增加量是在不超過(guò)最優(yōu)范圍的情況下，系數(shù)可能增加的最大量；而允許減少量是在不低于最優(yōu)范圍下限的情況下，系數(shù)可能減少的最大量。第38頁(yè)/共93頁(yè)

從圖3-4可以看出目標(biāo)函數(shù)系數(shù)S的上限是13.49993，因此，允許增加量就是13.49993-10=3.49993。從百分比變動(dòng)角度來(lái)看，目標(biāo)函數(shù)系數(shù)（即標(biāo)準(zhǔn)袋的利潤(rùn)）增加了1.50美元（從10到11.5），D的下限是6.66670，D的允許減少量為2.33330=9-6.66670。從百分比的角度來(lái)看，目標(biāo)函數(shù)（高級(jí)袋的利潤(rùn)）減少了0.75美元（從9到8.25），第39頁(yè)/共93頁(yè)

允許增加量（42.86%）和允許減少量（32.14%）變化之和為75%?，F(xiàn)在我們對(duì)將要應(yīng)用于多個(gè)變量同時(shí)改變情況中的100%法則進(jìn)行定義。目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的100%法則對(duì)所有變化的目標(biāo)函數(shù)系數(shù)，計(jì)算其占允許增加量和允許減少量的百分比之和。如果和沒(méi)有達(dá)到100%，最優(yōu)解就不會(huì)改變。第40頁(yè)/共93頁(yè)

在Par公司的例子中，由于目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的兩項(xiàng)改變的百分率之和為75%，因此最優(yōu)解不會(huì)改變。然而值得注意的是，盡管最優(yōu)解仍然是S=539.99841，D=252.00113，但最優(yōu)值可能會(huì)因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)袋的利潤(rùn)增加到11.50美元，高級(jí)袋的利潤(rùn)減少到8.25美元而變化。但是，100%法則并沒(méi)有規(guī)定如果各百分比之和達(dá)到100%，最優(yōu)解就一定會(huì)發(fā)生變化。有可能個(gè)百分比之和超過(guò)100%，最優(yōu)解也不變。如果100%法則的條件不能被滿足，就必須對(duì)問(wèn)題重新求解，以確定最優(yōu)解是否發(fā)生變化。第41頁(yè)/共93頁(yè)切割與印染時(shí)間的允許增加量為682.36316-630.0=52.36316，成型時(shí)間的允許增加量為900.0-708.0=192.0（見(jiàn)圖3-4）。新增的20小時(shí)切割與印染時(shí)間占了約束條件右端值允許增加量的額外的100小時(shí)成型占了總允許增加的第42頁(yè)/共93頁(yè)二者百分比之和為38.19%+52.08%=90.27%，沒(méi)有超過(guò)100%，因此我們可以得到下面的結(jié)論：對(duì)偶價(jià)格在這里是適用的，并且目標(biāo)函數(shù)值將會(huì)由此增加20×4.37+100×6.94=781.40。第43頁(yè)/共93頁(yè)3.3.3計(jì)算機(jī)輸出的解釋——第二個(gè)例子我們重新考慮第2.5節(jié)中討論的M&D化工公司的問(wèn)題，以此作為解釋計(jì)算機(jī)輸出的第二個(gè)例子。M&D公司的目標(biāo)是為產(chǎn)品A和產(chǎn)品B找出一個(gè)成本最低的生產(chǎn)計(jì)劃。下面是解決這個(gè)問(wèn)題的線性規(guī)劃模型，其中，A表示產(chǎn)品A的產(chǎn)量，B表示產(chǎn)品B的產(chǎn)量。

Min2A+3Bs.t.1A≥125產(chǎn)品A的需求

1A+1B≥350總產(chǎn)量

2A+1B≤600生產(chǎn)時(shí)間

A,B≥0第44頁(yè)/共93頁(yè)

利用管理科學(xué)家軟件對(duì)其進(jìn)行求解，結(jié)果展示在圖3-5中。計(jì)算機(jī)輸出結(jié)果顯示，最優(yōu)解服從于800美元的目標(biāo)函數(shù)。決策變量的值告訴我們，成本最低的生產(chǎn)計(jì)劃是生產(chǎn)250加侖的產(chǎn)品A和100加侖的產(chǎn)品B。ObjectiveFunctionValue=800.000VariableValueReducedCosts---------------------------------------------A250.0000.000B100.0000.000第45頁(yè)/共93頁(yè)ConstraintSlack/SurplusDualPrices

--------------------------------------

1125.0000.00020.000﹣4.00030.0001.000OBJECTIVECOEFFICIENTRANGESVariableLowerLimitCurrentValueUpperLimit

---------

------------

-------------------------ANoLowerLimit2.0003.000B2.0003.000NoUpperLimitRIGHTHANDSIDERANGESConstraintLowerLimitCurrentValueUpperLimit----------------------------------------------

1NoLowerLimit125.000250.0002300.000350.000475.0003475.000600.000700.000第46頁(yè)/共93頁(yè)

松弛/剩余變量欄顯示，其中大于等于的約束條件意味著產(chǎn)品A的需求有125單位的剩余（見(jiàn)約束條件1）。這就是說(shuō)，當(dāng)處于最優(yōu)解時(shí)，產(chǎn)品A的產(chǎn)量比需求多125加侖。對(duì)于總的生產(chǎn)要求（約束條件2）和生產(chǎn)時(shí)間限制（約束條件3），松弛/剩余變量值為0，這意味著這兩個(gè)約束條件是最優(yōu)解的束縛性約束條件。

對(duì)偶價(jià)格欄再一次告訴我們，每增加一單位的約束條件右端值時(shí)最優(yōu)解的改進(jìn)。首先觀察生產(chǎn)時(shí)間的限制（約束條件3），其對(duì)偶價(jià)格為1.00。如果我們?cè)黾由a(chǎn)時(shí)間，第47頁(yè)/共93頁(yè)使之從600小時(shí)變成601小時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的值就會(huì)改進(jìn)1美元。由于目標(biāo)的使成本最小，這里的“改進(jìn)”意味著成本的降低。因此，如果生產(chǎn)時(shí)間變成601小時(shí)，最優(yōu)解的值將會(huì)減少到800－1=799美元。輸出結(jié)果的右端值范圍（righthandsiderange）部分給出了生產(chǎn)時(shí)間限制（約束條件3）的上限。因此，在總的生產(chǎn)時(shí)間低于700小時(shí)時(shí)，1美元的對(duì)偶價(jià)格都是有效的。再回到輸出結(jié)果的對(duì)偶價(jià)格部分，考慮總產(chǎn)量約束（約束條件2）的對(duì)偶價(jià)格。負(fù)的對(duì)偶價(jià)格表明，如果總產(chǎn)量約束的右端值增加一個(gè)單位，最優(yōu)解不會(huì)改進(jìn)。第48頁(yè)/共93頁(yè)事實(shí)上，-4.00的對(duì)偶價(jià)格告訴我們，如果總產(chǎn)量約束的右端值從350單位增加到351單位，最優(yōu)解將會(huì)變壞4美元?！白儔摹币馕吨杀镜脑黾樱醋顑?yōu)解將變?yōu)?00＋4=804（美元）。由于對(duì)偶價(jià)格是關(guān)于當(dāng)右端值增加一個(gè)單位時(shí)最優(yōu)解的改進(jìn)量，有負(fù)對(duì)偶價(jià)格的約束條件就不能再增加其右端值了，而應(yīng)該努力減少其右端值。如果總產(chǎn)量約束條件的右端值從350單位減少到349單位，總成本就會(huì)減少4美元而變成800－4=796（美元）第49頁(yè)/共93頁(yè)

盡管對(duì)偶價(jià)格表示了右端值每增加一個(gè)單位對(duì)最優(yōu)解的改進(jìn)，然而對(duì)目標(biāo)函數(shù)值“改進(jìn)”的解釋取決于所解決的問(wèn)題是最大化問(wèn)題還是最小化問(wèn)題。小于等于型約束條件的對(duì)偶價(jià)格總是大于或等于0的，因?yàn)樵黾悠溆叶酥挡粫?huì)使目標(biāo)函數(shù)值變得更壞。類似地，大于等于型約束條件的對(duì)偶價(jià)格總是小于或等于0的，因?yàn)樵黾悠溆叶酥挡粫?huì)對(duì)最優(yōu)解有所改進(jìn)。最后，考慮圖3-5中的右端值范圍部分。M&D化工公司問(wèn)題的可行域歸納如下：第50頁(yè)/共93頁(yè)

約束條件最小RHS最大RHS產(chǎn)品A的需求無(wú)上限250總產(chǎn)量300475生產(chǎn)時(shí)間475700只要右端值在上述范圍，計(jì)算機(jī)輸出的結(jié)果中的對(duì)偶價(jià)格就是適用的。第51頁(yè)/共93頁(yè)3.3.4關(guān)于對(duì)偶價(jià)格解釋的注釋如前所述，對(duì)偶價(jià)格是右端值每增加一個(gè)單位時(shí)對(duì)最優(yōu)值的改進(jìn)。當(dāng)約束條件的右端值表示某中資源的可利用量時(shí)，對(duì)偶價(jià)格通?？梢越忉尀楣緦?duì)額外支付一單位這種資源所愿意提供的金額。然而這種解釋也并非總是正確的。要理解這個(gè)問(wèn)題，問(wèn)你先要理解沉沒(méi)成本和相關(guān)成本的區(qū)別。沉沒(méi)成本不會(huì)受決策影響，無(wú)論決策變量為何值，這種成本都會(huì)發(fā)生。相關(guān)成本則取決于決策的制定，這種成本依賴于決策變量值的變化而變化。第52頁(yè)/共93頁(yè)

讓我們重新考慮Par公司的例子。切割與印刷的總時(shí)間的630小時(shí)。如果說(shuō)無(wú)論生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)袋或是高級(jí)袋，都是按照時(shí)間來(lái)付出工資的，那么時(shí)間成本就是一種沉沒(méi)成本。如果Par公司只需要為那些切割和印染高爾夫球袋的時(shí)間補(bǔ)償工資，那么時(shí)間成本就是一種相關(guān)成本。所有的相關(guān)成本都要在線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)中有所反映。對(duì)Par公司而言，我們一直假設(shè)公司必須按照工作時(shí)間來(lái)向工人發(fā)工資，不管他們的工作時(shí)間是否有效率地被利用。因此，Par公司的勞動(dòng)時(shí)間資源的成本就屬于沉沒(méi)成本而不在目標(biāo)函數(shù)中反映出來(lái)。第53頁(yè)/共93頁(yè)

當(dāng)某種資源的成本屬于沉沒(méi)成本，對(duì)偶價(jià)格就可以被解釋為公司愿意為得到額外一個(gè)單位這種資源而付出的金額。當(dāng)某種資源的成本屬于相關(guān)成本，對(duì)偶價(jià)格則可以被解釋為這種資源的價(jià)值超過(guò)其成本的數(shù)額，也就是增加一個(gè)單位這種資源時(shí)，公司能付出的最大成本量。第54頁(yè)/共93頁(yè)3.4多于兩個(gè)決策變量的情況

圖解法只能應(yīng)用于解決雙決策變量的線性規(guī)劃問(wèn)題，而計(jì)算機(jī)軟件是用來(lái)處理多變量和約束條件的線性規(guī)劃問(wèn)題的。在現(xiàn)實(shí)生活中，用線性規(guī)劃解決的問(wèn)題經(jīng)常包含大量的變量和約束條件。在本節(jié)中，我們討論在兩個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題中，三決策變量問(wèn)題的方程和計(jì)算機(jī)求解。在討論過(guò)程中，我們會(huì)解釋計(jì)算機(jī)輸出結(jié)果中的遞減成本部分的含義，同時(shí)闡述如何解釋帶有百分?jǐn)?shù)的約束條件的對(duì)偶價(jià)格。第55頁(yè)/共93頁(yè)3.4.1修正的Par公司問(wèn)題

Par公司原來(lái)問(wèn)題的模型如下：

Max10S＋9Ds.t.0.7S＋1D≤630切割與印染

0.7S＋0.83333D≤600縫合

1S＋0.66667D≤708成型

0.1S＋0.25D≤135檢查與包裝

S,D≥0回憶一下，S是標(biāo)準(zhǔn)袋的產(chǎn)量，D是高級(jí)袋的產(chǎn)量。假設(shè)管理者希望生產(chǎn)一種輕便的、可以被球手隨身攜帶的球袋模型。第56頁(yè)/共93頁(yè)設(shè)計(jì)部門(mén)估計(jì)每個(gè)新型球袋將需要0.8小時(shí)的切割與印染的時(shí)間，1小時(shí)的縫合時(shí)間，1小時(shí)的成型時(shí)間和0.25小時(shí)的檢查與包裝時(shí)間。由于這種設(shè)計(jì)是獨(dú)一無(wú)二的，管理者認(rèn)為在當(dāng)前銷售期內(nèi)每個(gè)輕便袋可以獲利12.58美元。我們來(lái)考慮對(duì)原來(lái)線性規(guī)劃模型進(jìn)行修改，修改后的模型需要加入新的決策變量的影響。令L為輕便袋的產(chǎn)量，將其加入目標(biāo)函數(shù)以及4個(gè)約束條件，可以得到如下修改后的模型：第57頁(yè)/共93頁(yè)

max10S＋9D＋12.58L

s.t.0.7S＋1D＋0.8L≤630切割與印染

0.5S＋0.83333D＋1L≤630縫合

1S＋0.66667D＋1L≤708成型

0.25D＋0.25L≤135檢查與包裝

S,D,L≥0

圖3-6是使用管理科學(xué)家軟件對(duì)新問(wèn)題進(jìn)行求解的結(jié)果。最優(yōu)解為280個(gè)標(biāo)準(zhǔn)袋，0個(gè)高級(jí)袋和428個(gè)輕便袋，最優(yōu)值近似為8299.80美元。第58頁(yè)/共93頁(yè)ObjectiveFunctionValue=8299.80078VariableValueReducedCosts--------------------------------------------S280.000000.00000D0.000001.15003L428.000000.00000ConstraintSlack/SurplusDualPrices----------------------------------------------191.000000.00000232.000000.0000030.000008.1000040.0000019.00000第59頁(yè)/共93頁(yè)OBJECTIVECOEFFICIENTRANGESVariableLowerLimitCurrentValueUpperLimit----------------------------------------------------------------S5.1400010.0000012.07007DNoLowerLimit9.0000010.15003L11.9090712.8500025.00000RIGHTHANDSIDERANGESConstraintLowerLimitCurrentValueUpperLimit------------------------------------------------

1538.40002630.00000NoUpperLimit2568.00000600.00000NoUpperLimit3540.00000708.00000852.63159470.80000135.00000144.60001圖3-6使用管理科學(xué)家軟件對(duì)修改后的Par公司問(wèn)題的求解第60頁(yè)/共93頁(yè)

現(xiàn)在來(lái)看遞減成本欄的信息。回憶前面對(duì)遞減成本的解釋，表示使得變量為正數(shù)時(shí)相應(yīng)目標(biāo)函數(shù)的增加量。計(jì)算機(jī)輸出結(jié)果表明，S和L的遞減成本都是0，這是因?yàn)橄鄳?yīng)的決策變量值在最優(yōu)解處已經(jīng)是正值。變量D的遞減成本為1.15003，表明高級(jí)袋的利潤(rùn)至少增加到9＋1.15003＝10.15003美元時(shí)，D才能變?yōu)橐粋€(gè)正值。假設(shè)我們使D的系數(shù)正好增加1.15003美元，再用科學(xué)家管理軟件來(lái)重解原問(wèn)題。如圖3-7所示，注意到盡管D的值已經(jīng)是正數(shù)，最優(yōu)解的值仍然沒(méi)有變。換言之，當(dāng)D利潤(rùn)的增量正好等于其遞減成本時(shí)，能得到多重最優(yōu)解。但是，如果D的利潤(rùn)增加超過(guò)1.15003美元，它在最優(yōu)解處就不再是0。第61頁(yè)/共93頁(yè)ObjectiveFunctionValue=8299.80078

VariableValueReducedCosts--------------------------------------------S403.783170.00000D222.811980.00000L155.674760.00000ConstraintSlack/SurplusDualPrices----------------------------------------------10.000000.00000256.757760.0000030.000008.1000040.0000019.00000第62頁(yè)/共93頁(yè)OBJECTIVECOEFFICIENTRANGESVariableLowerLimitCurrentValueUpperLimit----------------------------------------------------------------

S10.0000010.0000012.51072D10.1500310.1500315.40790L10.6531312.8500012.85000RIGHTHANDSIDERANGESConstraintLowerLimitCurrentValueUpperLimit----------------------------------------------------------------

1538.40002630.00000628.363162543.24225600.00000NoUpperLimit3580.00140708.00000852.631594117.00012135.00000151.15410圖3-7Par公司問(wèn)題中的系數(shù)D的值增加了1.15003美元后的解

第63頁(yè)/共93頁(yè)3.4.2牧草農(nóng)場(chǎng)問(wèn)題

為了提高我們對(duì)多變量問(wèn)題的求解能力，我們來(lái)考慮一種三決策變量的最小化問(wèn)題。牧草農(nóng)場(chǎng)公司位于肯塔基州列克星敦市，一直在試驗(yàn)一種特殊的賽馬食品。該食品的成分包括標(biāo)準(zhǔn)的馬飼料產(chǎn)品，一種富含維生素的燕麥，以及一種新型維生素和礦物質(zhì)飼料添加劑。表3-1中歸納了每磅食品的營(yíng)養(yǎng)價(jià)值以及各種成分的成本。比如，每磅標(biāo)準(zhǔn)飼料包含0.8單位的成分A，1單位的成分B和0.1單位的成分C。每匹馬每天的營(yíng)養(yǎng)價(jià)值最低為3單位成分A，6單位成分B和4單成C。此外，為了控制馬匹的體重，每匹馬每天進(jìn)食不得超過(guò)6磅。第64頁(yè)/共93頁(yè)牧場(chǎng)農(nóng)場(chǎng)要在滿足每天的食品需求的情況下確定出成本最低的配料方案。

表3-1

牧草農(nóng)場(chǎng)飼料的營(yíng)養(yǎng)價(jià)值和成本飼料成分標(biāo)準(zhǔn)高營(yíng)養(yǎng)燕麥飼料添加成分A0.8 0.20.0成分B1.01.53.0成分C0.10.62.0每磅成本0.250.503.00第65頁(yè)/共93頁(yè)3.4.3建立牧草農(nóng)場(chǎng)問(wèn)題的模型

建立牧草農(nóng)場(chǎng)的線性規(guī)劃模型之前，我們需要引進(jìn)如下3個(gè)變量：S——標(biāo)準(zhǔn)馬飼料的量；E——高營(yíng)養(yǎng)燕麥的量；A——維生素和礦物質(zhì)飼料添加劑的量；運(yùn)用表3-1中的數(shù)據(jù)，總成本最小的目標(biāo)函數(shù)可以表示如下：

min0.25S+0.50E+3A對(duì)每天3磅需求的成分A，有如下約束：

0.8S+0.2E≥3成分B的約束：

1.0S+1.5E+3.0A≥6第66頁(yè)/共93頁(yè)成分C的約束：

0.1S+0.6E+2.0A≥4最后是最多6磅的混合重量約束：

S+E+A≤6合并所有的約束條件，再加上非負(fù)約束，完整的牧草農(nóng)場(chǎng)問(wèn)題的線性規(guī)劃模型表述如下：

min0.25S+0.50E+3As.t.0.8S+0.2E≥3成分A1.0S+1.5E+3.0A≥6成分B 0.1S+0.6E+2.0A≥4成分CS+E+A≤6加權(quán)

S,E,A≥0

第67頁(yè)/共93頁(yè)3.4.4牧草農(nóng)場(chǎng)問(wèn)題的計(jì)算機(jī)求解和解釋

用管理科學(xué)家軟件解決農(nóng)場(chǎng)問(wèn)題的結(jié)果如圖3-10所示，取近似后，最優(yōu)解為每天的食品中包含3.51磅的標(biāo)準(zhǔn)馬飼料，0.95磅的高營(yíng)養(yǎng)燕麥和1.54磅維生素和礦物質(zhì)飼料添加劑。因此，各成分的單位成本分別為0.25美元、0.50美元、3.00美元，因此總的成本為：

3.51*0.25=0.88（美元）

0.95*0.50=0.47（美元）

1.54*3.00=4.62（美元） 總成本=5.97(美元)取近似后，該結(jié)果與計(jì)算機(jī)輸出（見(jiàn)圖3-10結(jié)果一致）

第68頁(yè)/共93頁(yè)ObjectiveFunctionValue=8299.80078

VariableValueReducedCosts--------------------------------------------S3.5140.000E0.9460.000A1.5410.000ConstraintSlack/SurplusDualPrices----------------------------------------------

10.000-1.21623.5540.00030.000-1.9594 0.000 0.919第69頁(yè)/共93頁(yè)OBJECTIVECOEFFICIENTRANGESVariableLowerLimitCurrentValueUpperLimit----------------------------------------------------------------

S-0.3930.250NoUpperLimitENoLowerLimit0.5000.925A1.5223.000NoUpperLimitRIGHTHANDSIDERANGESConstraintLowerLimitCurrentValueUpperLimit----------------------------------------------------------------

11.1433.0003.3682NoLowerLimit6.0009.55432.1004.0004.8754 5.562 6.000 8.478

圖3-10使用管理科學(xué)家軟件對(duì)牧草農(nóng)場(chǎng)問(wèn)題求解第70頁(yè)/共93頁(yè)

觀察計(jì)算機(jī)輸出地松弛/剩余部分，約束條件2的值為3.554。由于約束2是大于等于型的，因此，3.554是剩余值。由于約束1和約束3的剩余值都是0，因而我們看到最優(yōu)混合中，成分A和成分C剛好滿足最低要求。此外，約束4的剩余值也是0，說(shuō)明最優(yōu)解中每天的飼料重量正好為6磅。

第71頁(yè)/共93頁(yè)

成分A的約束條件（約束條件1）的對(duì)偶價(jià)格為-1.22.合理解釋這個(gè)值，首先我們看它的符號(hào)為負(fù)，因此我們知道如果增加其右端值，將使得最優(yōu)解變得更壞。在最小化問(wèn)題中，“更壞”意味著總成本的增加，因此，右端值一單位的增加會(huì)使總成本上升1.22美元。反過(guò)來(lái)，也可以說(shuō)右端值每減少一個(gè)單位，總成本下降1.22美元。觀察右端值范圍部分，我們看到只要右端值在1.143到3.368之間，上述解釋就是合理的。第72頁(yè)/共93頁(yè)

假設(shè)牧草農(nóng)場(chǎng)的管理者想重新考慮馬匹的最大進(jìn)食量。約束條件的對(duì)偶價(jià)格為0.92，表明右端值每增加一個(gè)單位，總成本就會(huì)減少0.92美元。右端值范圍部分顯示，在右端值增加到8.478磅之前，這種解釋都是正確的。所以約束條件4的右端值由6增加到8，總成本就會(huì)減少2*0.92或者說(shuō)1.84美元。切記，這種變化可能導(dǎo)致可行域的變化。，由此可以獲得新的最優(yōu)解。第73頁(yè)/共93頁(yè)

從圖3-10的目標(biāo)函數(shù)系數(shù)范圍部分可以看出，S的下限是-0.393.很明顯，在實(shí)際問(wèn)題中，目標(biāo)函數(shù)系數(shù)S（標(biāo)準(zhǔn)飼料的量）不可能為負(fù)值。所以，從實(shí)際的角度來(lái)看，我們可以認(rèn)為S的下限為0.我們有此可以得到，無(wú)論標(biāo)準(zhǔn)飼料的價(jià)格下降多少，最優(yōu)解都不會(huì)改變。即使牧草農(nóng)場(chǎng)可以免費(fèi)獲得標(biāo)準(zhǔn)飼料，最優(yōu)解仍然是3.51磅的標(biāo)準(zhǔn)飼料，0.95磅的高營(yíng)養(yǎng)燕麥和1.54磅維生素和礦物質(zhì)飼料添加劑。然而，標(biāo)準(zhǔn)飼料單位成本的減少，都會(huì)引起總成本的減少。第74頁(yè)/共93頁(yè)

注意目標(biāo)函數(shù)系數(shù)S和A是沒(méi)有上限限制的。如果增加A的值，比如，從每磅3美元增加到每磅13美元，最優(yōu)解釋不會(huì)變化的，而總成本則會(huì)增加10倍，即從1.541美元變?yōu)?5.41美元。切記，我們對(duì)計(jì)算機(jī)輸出結(jié)果所做的靈敏度分析的解釋，只有在問(wèn)題中其他的系數(shù)不變的情況下才是有效的。為了解決多系數(shù)變化的情況，我們必須用100%規(guī)則或是重新求解問(wèn)題。第75頁(yè)/共93頁(yè)3.5電子通信公司問(wèn)題

本節(jié)討論的電子通信公司是一個(gè)最大化問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題包括4個(gè)決策變量，2個(gè)小于等于形式的約束條件，1個(gè)等于形式的約束條件和1個(gè)大于等于形式的約束條件。我們的目標(biāo)是建立一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，使用管理科學(xué)家軟件求出模型的最優(yōu)解，對(duì)求出的解進(jìn)行解釋，并進(jìn)行靈敏度分析。在下一章。我們會(huì)向讀者介紹線性規(guī)劃在營(yíng)銷、金融、生產(chǎn)管理等方面的應(yīng)用。一旦你能夠?qū)﹄娮油ㄐ殴具@樣的問(wèn)題進(jìn)行建模、求解和分析，你就會(huì)明白線性規(guī)劃能夠解決多么復(fù)雜的問(wèn)題。

第76頁(yè)/共93頁(yè)

讓我們來(lái)看這個(gè)例子，電子通信公司主要生產(chǎn)雙向便攜式無(wú)線雙向便攜式無(wú)線電報(bào)話機(jī)。該公司最近開(kāi)發(fā)了一種新產(chǎn)品，這種產(chǎn)品的通信范圍可以覆蓋25英里，適合企業(yè)和個(gè)人使用。該新產(chǎn)品的分銷渠道是：·航海器材經(jīng)銷商?！ど逃闷鞑慕?jīng)銷商?！と珖?guó)范圍的連鎖零售店?！ぶ苯余]購(gòu)。第77頁(yè)/共93頁(yè)

由于分銷和促銷成本的差異，產(chǎn)品的利潤(rùn)也因銷售渠道的不同而不同。此外，廣告費(fèi)用和人力成本也與銷售渠道有關(guān)，表3-2簡(jiǎn)要地將電子通信公司不同銷售渠道的銷售利潤(rùn)、廣告費(fèi)用、人工成本列了出來(lái)。公司的廣告費(fèi)用預(yù)算是5000美元，每個(gè)銷售渠道的最大個(gè)人銷售時(shí)間是1800個(gè)小時(shí)。公司現(xiàn)階段決定制造的產(chǎn)品數(shù)為600件，此外，全國(guó)連鎖零售店要求最少銷售150件產(chǎn)品。第78頁(yè)/共93頁(yè)

表3-2電子通信公司的利潤(rùn)、廣告費(fèi)用和個(gè)人銷售時(shí)間

電子通信面臨的問(wèn)題是如何制定一個(gè)分銷策略，使其總的銷售利潤(rùn)最大。公司必須決定如何分配各渠道的銷售量、銷售時(shí)間以及廣告預(yù)算。分銷渠道單位已售產(chǎn)品的利潤(rùn)（美元）單位已售產(chǎn)品的廣告費(fèi)用（美元）單位已售產(chǎn)品的銷售時(shí)間

（小時(shí)）航海器材經(jīng)銷店商用器材經(jīng)銷店全國(guó)連鎖零售店直接郵購(gòu)90847060108915233無(wú)第79頁(yè)/共93頁(yè)3.5.1建模

我們首先寫(xiě)出電子通信公司的目標(biāo)函數(shù)和約束條件。目標(biāo)函數(shù)是：目標(biāo)函數(shù):利潤(rùn)最大化這個(gè)模型有4個(gè)約束條件，分別是（1）廣告預(yù)算約束；（2）銷售時(shí)間約束；（3）生產(chǎn)數(shù)量約束；（4）銷售合同約束。約束條件1廣告支出≤廣告預(yù)算約束條件2銷售時(shí)間≤最大可用時(shí)間約束條件3產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量=公司要求的產(chǎn)量約束條件4零售分銷量≥≤合同要求的最低分銷量第80頁(yè)/共93頁(yè)

以上是對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件的描述，下面我們來(lái)定義決策變量。對(duì)于這個(gè)模型，我們定義如下4個(gè)決策變量:M——航海器材經(jīng)銷店銷售的產(chǎn)品數(shù)量；B——商用器材經(jīng)銷商銷售的產(chǎn)品數(shù)量；R——全國(guó)連鎖零售店銷售的產(chǎn)品數(shù)量；D——直接郵購(gòu)銷售的產(chǎn)品數(shù)量。參照表3-2所示數(shù)據(jù)，目標(biāo)函數(shù)可以寫(xiě)成：

max90M+84B+70R+60D現(xiàn)在設(shè)立約束條件。因?yàn)閺V告的預(yù)算為5000美元，所以廣告預(yù)算的約束條件是

10M+8B+9R+15D≤5000第81頁(yè)/共93頁(yè)同樣，銷售時(shí)間限制是1800小時(shí)，約束方程如下

2M+3B+3R≤1800現(xiàn)階段公司要求生產(chǎn)600件產(chǎn)品，所以，

M+B+R+D=600最后，因?yàn)槿珖?guó)連鎖零售店要求至少有150件產(chǎn)品在此渠道銷售，于是有

R≥150第82頁(yè)/共93頁(yè)綜合一、所有的約束條件以及非負(fù)約束，電子通信公司問(wèn)題的完整線性規(guī)劃模型如下

Max90M+84B+70R+60Ds.t.10M+8B+9R+15R≤5000廣告預(yù)算

2M+3B+3R≤1800可用銷售時(shí)間

M+B+R+D=600產(chǎn)量

R≥150全國(guó)連鎖零售店合同約束

M,B,R,D≥0第83頁(yè)/共93頁(yè)3.5.2計(jì)算機(jī)求解及其解釋

使用管理科學(xué)家軟件對(duì)電子通信公司模型進(jìn)行求解的部分結(jié)果如圖3-11所示。圖中的目標(biāo)函數(shù)值告訴我們模型的最大利潤(rùn)為48450美元。最優(yōu)解為M=25，B=425，R=150和D=0，即電子通信公司的最優(yōu)策略是將25件產(chǎn)品通過(guò)航海器材經(jīng)銷店銷售出去，將425件產(chǎn)品通過(guò)商用器材經(jīng)銷店銷售出去，將150件產(chǎn)品通過(guò)全國(guó)連鎖零售店銷售出去，不通過(guò)直接郵購(gòu)進(jìn)行銷售。第84頁(yè)/共93頁(yè)

再來(lái)看一下遞減成本欄?；貞浺幌?，遞減成本是告訴我們目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)應(yīng)該提高多少，其所對(duì)應(yīng)的決策變量的值才能是正數(shù)。前3個(gè)遞減成本為零，這是因?yàn)樗鼈儗?duì)應(yīng)的決策變量已經(jīng)是正值了。而直接郵購(gòu)的遞減成本是45，這表明通過(guò)直接郵購(gòu)渠道銷售的產(chǎn)品利潤(rùn)必須由現(xiàn)在的60美元增加45美元，達(dá)到105美元，才可以使用這種渠道來(lái)銷售產(chǎn)品。第85頁(yè)/共93頁(yè)ObjectiveFunctionValue=8299.80078

VariableValueReducedCosts--------------------------------------------M25.0000.000B425.0000.000R150.0000.000D0.00045.000

ConstraintSlack/SurplusDualPrices----------------------------------------------

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