壓軸熱點考點10解三角形的四大模型火線100天壓軸突破——2024年【中考沖刺】數(shù)學(xué)高頻熱點考點好題精編一、單選題1．如圖，三角形OAB的頂點、、，C是OB邊的中點，過點C作交x軸于點D，將沿x軸向右平移，當(dāng)點C的對應(yīng)點恰好落在AB邊上時，此時點D對應(yīng)點的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．2．如圖，在中，為邊上一點，以點為圓心，長為半徑畫圓，與射線相交于點．下列說法正確的有（

）①若為的中點，則與相切；②若點與點重合，則經(jīng)過的中點；③若，則平分；④若被平分，則．A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵；設(shè)，求解，如圖，過作于，可得當(dāng)為的中點時，半徑為，則①正確．當(dāng)點與點重合時，如圖，可得，②正確．當(dāng)點在線段上時，，不存在；當(dāng)點在射線上時，過點作，證明，證明，可得③正確．若被平分，即，此時點必在射線上，過點作，如圖2，同理可得，可得④錯誤．3．以的頂點為圓心，大于二分之一為半徑畫弧與分別交于兩點，分別以這兩點為圓心，以大于二分之一兩點間距離為半徑（半徑不變）畫弧，，，，那么的長是（

）A． B． C． D．4．如圖，在中有兩條互相垂直的直徑，是的中點，連接，分別交，于點，連接，分別交于點，下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個5．畫的平分線的方法有多種，嘉嘉和淇淇的方法如圖所示，下列判斷正確的是（

）嘉嘉

①利用直尺和三角板畫；②在上截取，使；③作射線，即為所求．淇淇

①利用圓規(guī)截取，；②連接，，相交于點；③作射線，即為所求．A．只有嘉嘉對 B．只有淇淇對 C．兩人都對 D．兩人都不對6．如圖，在中，，，以為圓心，為半徑作，為線段上動點從運動到，過作的切線，切點為，則的取值范圍是()

A． B． C． D．7．如圖，已知點均在上，為的直徑，弦的延長線與弦的延長線交于點，連接．則下列命題為假命題的是（

）

A．若點是的中點，則B．若，則C．若，則D．若半徑平分弦，則四邊形是平行四邊形二、填空題8．如圖，平行四邊形的對角線相交于點O，的平分線與邊相交于點P，E是中點，若，，則的長為．

9．定義：如果以一條線段為對角線作正方形，那么稱該正方形為這條線段的“對角線正方形”．例如，圖①中正方形即為線段的“對角線正方形”．如圖②，在中，，，，點P在邊上，如果線段的“對角線正方形”有兩邊同時落在的邊上，那么的長是．10．如圖，已知D為等腰的腰上一點，繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，，M為的中點，則當(dāng)時，．

11．如圖，E、F、G、H分別是四邊形邊，，，中點，與、分別交于點M和點N，與、分別交于點Q和點P，下列結(jié)論：①與的面積和可能等于四邊形面積的一半；②四邊形與四邊形的面積和一定不等于四邊形面積；③與的面積和不一定等于與的面積和；④、、、的面積和一定等于四邊形的面積．其中正確的是．（寫出所有正確結(jié)論的序號）

12．如圖，線段與線段交于點E，，若，，則的長為．

13．在等腰直角三角形ABC中，，，D為的中點，作關(guān)于的對稱圖形，并連接．（1）的長為；；（2）．14．如圖，點O為的外心，過點O分別作AB、AC的垂線、，交BC于D、E兩點．

（1）若，則的度數(shù)為；（2）過點O作于點F，，則的周長為．三、解答題15．（1）如圖1，中，點D是邊的中點，若，，求中線的取值范圍．解：∵點D是邊的中點，∴，將繞點D旋轉(zhuǎn)得到，即得，且A，D，E三點共線，在中，可得的取值范圍是：；∴的取值范圍是：．（2）如圖2，在中，，點D是邊的中點，，的兩邊分別交于點E，交于點F，連接．探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．16．如圖1，是正方形的邊上一個動點，連接的平分線交于點，直線于點，交于點，交的延長線于點，連接．(1)求證：．(2)如圖2，若，連接并延長，交于點．①求證：；②求的值．17．如圖，將紙片按照下列圖示方式折疊：①將沿折疊，使得點落在邊上的點處，折痕為；②將沿折疊，使得點與點重合，折痕為；③將沿折疊，點落在點處，展開后如圖，、、、為圖折疊過程中產(chǎn)生的折痕．(1)求證：；(2)若落在的右側(cè)，求的范圍；(3)是否存在使得與的角平分線重合，如存在，請求的大?。蝗舨淮嬖?，請說明理由．18．如圖①，已知線段a、b和．如圖②，小明在射線上順次截取，，在射線上順次截取，．連接、和，，．(1)求的長；(2)小明繼續(xù)作圖，如圖③，分別以點B、D為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧分別相交于點、，連接，分別交、于點、．如果，求的長．19．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，四邊形中，，，求證：四邊形是平行四邊形．【靈活運用】（2）如圖2，中，點E，F(xiàn)分別在邊，上，，，的延長線交的延長線于點G，若，，求的長．【拓展提高】（3）如圖3，矩形中，，，點E，F(xiàn)分別在邊，上，，，求的長度．20．小張家住在一棟總高22層的單元樓的3層，他們家對面有棟不知高度的商業(yè)寫字樓，在兩樓之間還有一間室內(nèi)體育館．小張站在自己家陽臺剛好只能看見寫字樓的頂端，他又上到樓頂發(fā)現(xiàn)又剛好只能看見寫字樓與自己家同高度以上的部分，此時他測得俯視角為．已知小張所住單元樓層高3米，他想要知道前面寫字樓的高度，于是他又去1樓測得單元樓距體育館的距離為20米，請你幫小張計算一下寫字樓的高度．（結(jié)果保留米，地面為1層）思維方向：相關(guān)知識：相關(guān)方法：標(biāo)準(zhǔn)呈現(xiàn)：壓軸熱點考點10解三角形的四大模型火線100天壓軸突破——2024年【中考沖刺】數(shù)學(xué)高頻熱點考點好題精編一、單選題1．如圖，三角形OAB的頂點、、，C是OB邊的中點，過點C作交x軸于點D，將沿x軸向右平移，當(dāng)點C的對應(yīng)點恰好落在AB邊上時，此時點D對應(yīng)點的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理可得，，由是的中點可得，，由題意可得：，可得，即可求得，即可求解．【詳解】解：∵、、∴，，∴∵是的中點∴，∵，∴又∵∴，∴，即解得∵，，將沿x軸向右平移，當(dāng)點C的對應(yīng)點恰好落在AB邊上時，可知是將沿x軸向右平移了個單位長度此時點對應(yīng)的坐標(biāo)為，即故選：A【點睛】此題考查了坐標(biāo)與圖形變化-平移，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)，正確求得的長．2．如圖，在中，為邊上一點，以點為圓心，長為半徑畫圓，與射線相交于點．下列說法正確的有（

）①若為的中點，則與相切；②若點與點重合，則經(jīng)過的中點；③若，則平分；④若被平分，則．A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵；設(shè)，求解，如圖，過作于，可得當(dāng)為的中點時，半徑為，則①正確．當(dāng)點與點重合時，如圖，可得，②正確．當(dāng)點在線段上時，，不存在；當(dāng)點在射線上時，過點作，證明，證明，可得③正確．若被平分，即，此時點必在射線上，過點作，如圖2，同理可得，可得④錯誤．【詳解】解：設(shè)，，∴，如圖，過作于，∴點到的距離，當(dāng)為的中點時，半徑為，與相切，①正確．當(dāng)點與點重合時，如圖，∴∴經(jīng)過的中點，②正確．當(dāng)點在線段上時，，，∴不存在；當(dāng)點在射線上時，過點作，如圖1，∵，，∴，為等腰直角三角形，．又，∴，，∴，∴，即平分，③正確．若被平分，即，此時點必在射線上，過點作，如圖2，同理可得，，∴，即，④錯誤．故選：B．3．以的頂點為圓心，大于二分之一為半徑畫弧與分別交于兩點，分別以這兩點為圓心，以大于二分之一兩點間距離為半徑（半徑不變）畫弧，，，，那么的長是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是角平分線的作圖，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的化簡，根據(jù)角平分線的作圖可得，利用勾股定理和角的直角三角形的性質(zhì)求出的長，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：在中，∴∴∴在中，∴∴∴，∴；故選：C．4．如圖，在中有兩條互相垂直的直徑，是的中點，連接，分別交，于點，連接，分別交于點，下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】本題主要考查圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識：由直徑得，由是的中點得，可得，可判斷①；連接，證明得可判斷②；證明可判斷③；在上截取，連接．證明可判斷④．【詳解】解：直徑．．是的中點，，，①正確．連接．根據(jù)對稱性易知．，，②正確．，∵∴，∴∵∴∴，∵∴∴，∴，③正確．在上截取，連接．，，，，④正確．綜上分析可知，正確的共有4個．故選：A．5．畫的平分線的方法有多種，嘉嘉和淇淇的方法如圖所示，下列判斷正確的是（

）嘉嘉

①利用直尺和三角板畫；②在上截取，使；③作射線，即為所求．淇淇

①利用圓規(guī)截取，；②連接，，相交于點；③作射線，即為所求．A．只有嘉嘉對 B．只有淇淇對 C．兩人都對 D．兩人都不對【答案】C【分析】利用平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)可判斷嘉嘉的作法；利用三角形全等可判定淇淇的作法．【詳解】∵，∴；

∵，∴，∴，故射線平分，故嘉嘉的作法正確；∵，∴，∴，∵，；

∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故射線平分，故淇淇的作法正確；故選C．【點睛】本題考查了角的平分線的基本作圖，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在中，，，以為圓心，為半徑作，為線段上動點從運動到，過作的切線，切點為，則的取值范圍是()

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接、,根據(jù)當(dāng)時，線段最短，當(dāng)在或點時，線段最長，進(jìn)而分別求得的長，即可求解．【詳解】解：連接、．是的切線，；根據(jù)勾股定理知，當(dāng)時，線段最短，當(dāng)在或點時，線段最長，①當(dāng)時，在中，，，，，．②當(dāng)在點時，在中，，，，的取值范圍是，故選：A．

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，已知點均在上，為的直徑，弦的延長線與弦的延長線交于點，連接．則下列命題為假命題的是（

）

A．若點是的中點，則B．若，則C．若，則D．若半徑平分弦，則四邊形是平行四邊形【答案】D【分析】由圓的性質(zhì)逐項判斷即可得到答案．【詳解】解：點是的中點，，，故選項A是真命題，不符合題意；為的直徑，，即，若，則，，故選項B是真命題，不符合題意；若，則是等腰三角形，，，故選項C是真命題，不符合題意；由半徑平分弦，不能證明四邊形是平行四邊形，故選項D是假命題，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了判斷命題的真假、圓的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題8．如圖，平行四邊形的對角線相交于點O，的平分線與邊相交于點P，E是中點，若，，則的長為．

【答案】1【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形中位線的判定與性質(zhì)等知識點，根據(jù)題意求得的長是解題的關(guān)鍵．由平行四邊形可得,則，根據(jù)平分可得，從而可得，可得，進(jìn)一步可得的長，再根據(jù)三角形中位線定理可得即可解答．【詳解】解：在平行四邊形中，∴是的中點，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵E是的中點，O是的中點，∴是的中位線，∴．故答案為1．9．定義：如果以一條線段為對角線作正方形，那么稱該正方形為這條線段的“對角線正方形”．例如，圖①中正方形即為線段的“對角線正方形”．如圖②，在中，，，，點P在邊上，如果線段的“對角線正方形”有兩邊同時落在的邊上，那么的長是．【答案】/【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)線段的“對角線正方形”有兩邊同時落在的邊上時，設(shè)正方形的邊長為x，則，∵，∴，∴，∴，解得：，∴，，∴，故答案為：．10．如圖，已知D為等腰的腰上一點，繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，，M為的中點，則當(dāng)時，．

【答案】/0.25【分析】連接，過點E作于點F，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，推出，則，根據(jù)三角形的中位線定理可得，通過證明，可推出，得出，即可求解．【詳解】解：連接，過點E作于點F，∵繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)至，∴，，則，∵為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴點D為中點，∵M(jìn)為的中點，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，即，則，∵，，，∴，∴，∴，即，故答案為：．

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形對應(yīng)邊相等，相似三角性質(zhì)對應(yīng)邊成比例．11．如圖，E、F、G、H分別是四邊形邊，，，中點，與、分別交于點M和點N，與、分別交于點Q和點P，下列結(jié)論：①與的面積和可能等于四邊形面積的一半；②四邊形與四邊形的面積和一定不等于四邊形面積；③與的面積和不一定等于與的面積和；④、、、的面積和一定等于四邊形的面積．其中正確的是．（寫出所有正確結(jié)論的序號）

【答案】①④【分析】①當(dāng)四邊形是矩形時，分別與的面積和與四邊形面積，可作判斷；②連接，根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積進(jìn)行判斷即可；③根據(jù)②中的結(jié)論可計算四邊形面積，從而可作判斷；④根據(jù)四邊形的面積和與差可作判斷．【詳解】解：①當(dāng)四邊形是矩形時，如圖1，設(shè)，，

∴與的面積和，四邊形面積，此時與的面積和等于四邊形面積的一半；故①正確；②如圖2，連接，

∵是的中點，是的中點，∴，，∴四邊形的面積四邊形面積，同理可得：四邊形的面積四邊形面積，∴四邊形與四邊形的面積和四邊形面積；故②不正確；③由②知：，，∴四邊形面積，同理可得：與的面積和四邊形面積，∴與的面積和等于與的面積和；故③不正確；④∵，∴，∵，∴、、、的面積和一定等于四邊形的面積．故④正確故答案為：①④．【點睛】此題考查了四邊形和三角形的面積，有難度，掌握三角形中線平分線三角形的面積是解此題的關(guān)鍵．12．如圖，線段與線段交于點E，，若，，則的長為．

【答案】7【分析】分別過點A，D作，垂足分別為M，N，則，可得均為等腰直角三角形，再由，可得，設(shè)，則，，，再由勾股定理可求出x，y的值，即可求解．【詳解】解：如圖，分別過點A，D作，垂足分別為M，N，則，∴，∵，∴，均為等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴，∵，，∴，解得：，（舍去），∴．故答案為：7【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，根據(jù)題意得到是解題的關(guān)鍵．13．在等腰直角三角形ABC中，，，D為的中點，作關(guān)于的對稱圖形，并連接．（1）的長為；；（2）．【答案】/【分析】（1）由軸對稱的性質(zhì)得到，，，推出再利用勾股定理即可求解；（2）過點D作于點F．利用勾股定理求得，利用面積法得到，再根據(jù)正弦定義求解即可.【詳解】解：（1）∵在等腰直角三角形ABC中，，∴．∵與關(guān)于對稱，∴，，∴．∵D為中點，，∴．∴；故答案為：；（2）過點D作于點F．

∵與關(guān)于對稱，∴垂直平分．∵，∴．由勾股定理求得，，∴．根據(jù)三角形面積公式得，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了折疊有性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．14．如圖，點O為的外心，過點O分別作AB、AC的垂線、，交BC于D、E兩點．

（1）若，則的度數(shù)為；（2）過點O作于點F，，則的周長為．【答案】【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)得，，從而有，，由三角形內(nèi)角和定理，從而由可求得結(jié)果；（2）連接，由已知可得點O在線段的垂直平分線上，則可得；再利用線段垂直平分線的性質(zhì)得，，最后可求得周長的值．【詳解】（1）∵點O為中的外心，，，∴、是的垂直平分線，∴，，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴；故答案為：；（2）連接，∵是邊的垂直平分線，是邊的垂直平分線，∴，，∴，∴點O在線段的垂直平分線上，∵，∴，∵，，∴的周長．

故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的外心，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)與判定是關(guān)鍵．三、解答題15．（1）如圖1，中，點D是邊的中點，若，，求中線的取值范圍．解：∵點D是邊的中點，∴，將繞點D旋轉(zhuǎn)得到，即得，且A，D，E三點共線，在中，可得的取值范圍是：；∴的取值范圍是：．（2）如圖2，在中，，點D是邊的中點，，的兩邊分別交于點E，交于點F，連接．探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）結(jié)合解題步驟及求得不等式組的解集，確定的取值范圍；（2）將繞點D旋轉(zhuǎn)得到，連接，即得，從而得出，，，然后結(jié)合線段中垂線和直角三角形的性質(zhì)分析推理．【詳解】解：（1）∵，∴∴，又∵；∴，即，故答案為：；（2）∵點D是邊的中點，∴，將繞點D旋轉(zhuǎn)得到，連接，即得，∴，，，且E、D、G三點共線，∵在中，，∴，∴，即，∵，且，∴垂直平分，∴∵在中，，∴，∴．【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查對全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的三邊關(guān)系定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點，通過旋轉(zhuǎn)得到構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．16．如圖1，是正方形的邊上一個動點，連接的平分線交于點，直線于點，交于點，交的延長線于點，連接．(1)求證：．(2)如圖2，若，連接并延長，交于點．①求證：；②求的值．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得和即可求證；（2）①利用（1）的結(jié)論和，可證明進(jìn)而得證；②延長交于點．利用①的結(jié)論和可得進(jìn)而證明，和，從而得出，設(shè)，根據(jù)等量關(guān)系建立方程即可求解．【詳解】（1）（1）如圖1，四邊形是正方形．平分，，，又，．（2）解：由（1）知．，．．②延長交于點，由①知，，，．，．又，．，．，，．設(shè)，即，解得（舍去），．17．如圖，將紙片按照下列圖示方式折疊：①將沿折疊，使得點落在邊上的點處，折痕為；②將沿折疊，使得點與點重合，折痕為；③將沿折疊，點落在點處，展開后如圖，、、、為圖折疊過程中產(chǎn)生的折痕．(1)求證：；(2)若落在的右側(cè)，求的范圍；(3)是否存在使得與的角平分線重合，如存在，請求的大??；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析；(2)；(3)不存在，理由見解析．【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由第二次翻折可得垂直平分，由第一次翻折可得，證出四邊形是菱形，則可得出結(jié)論；（2）設(shè)，求出，，當(dāng)落在的右側(cè)時，，求出，則可得出答案；（3）設(shè)，，，得出，求出，，則可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：由第二次翻折可得垂直平分，由第一次翻折可得，與垂直且互相平分，四邊形是菱形，；（2）解：設(shè)，四邊形是菱形，，，，當(dāng)落在的右側(cè)時，，，，；（3）解：不存在．若存在使得與的角平分線重合，設(shè)，，，，，，不存在使得與的角平分線重合．18．如圖①，已知線段a、b和．如圖②，小明在射線上順次截取，，在射線上順次截取，．連接、和，，．(1)求的長；(2)小明繼續(xù)作圖，如圖③，分別以點B、D為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧分別相交于點、，連接，分別交、于點、．如果，求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及基本作圖.（1）由兩邊對應(yīng)成比例及夾角相等，兩三角形相似證明，在相似三角形性質(zhì)即可求解；（2）在由勾股定理求出，再根據(jù)作法可知是的垂直平分線，證明，由相似三角形性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）解：∵，，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴∴，（2）∵，，，∴，由作法可知，是的垂直平分線，即，，∵，，∴，∴，即，∴19．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，四邊形中，，，求證：四邊形是平行四邊形．【靈活運