第02講探索三角形全等的條件【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解和掌握全等三角形判定方法“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”、“邊邊邊”“HL”定理.2．能把證明一對(duì)角或線段相等的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等.【基礎(chǔ)知識(shí)】一．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．二．直角三角形全等的判定1、斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時(shí)，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件．三．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．四．全等三角形的應(yīng)用（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用用全等尋找下一個(gè)全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問(wèn)題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形常見(jiàn)的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長(zhǎng)，把分散條件集中到同一個(gè)三角形中是解決中線問(wèn)題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”，這些問(wèn)題經(jīng)常用到全等三角形來(lái)證明．（3）全等三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用一般方法是把實(shí)際問(wèn)題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．【考點(diǎn)剖析】一．全等三角形的判定（共5小題）1．（真題?無(wú)錫期末）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加條件后，可以判定△ABC≌△DEF．2．（真題?宜興市期末）如圖，AC＝AD，∠DAC＝∠EAB，要使△ABC≌△AED，應(yīng)添加的條件是．（只需寫出一個(gè)條件即可）3．（2022?長(zhǎng)安區(qū)一模）已知：點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求證：△ABC≌△DEF．4．（真題?蘇州期末）如圖，在四邊形ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求證：△ADE≌△CAB．5．（真題?連云港期末）如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要證BC＝CD，證明中判定兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（）A．角角角 B．角邊角 C．邊角邊 D．角角邊二．直角三角形全等的判定（共4小題）6．（真題?姑蘇區(qū)期末）下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（）①在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線必平行；②同旁內(nèi)角互補(bǔ)；③（a﹣3b）2＝a2﹣9b2；④（x﹣2）0＝1；⑤有兩邊及其一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；⑥經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)7．（真題?郫都區(qū)期末）如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，則能直接判斷Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS8．（真題?高淳區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需補(bǔ)充條件，就可以根據(jù)“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．9．（2020?黑龍江）如圖，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．三．全等三角形的判定與性質(zhì)（共8小題）10．（真題?蘇州期末）如圖，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，則∠ABE的度數(shù)為（）A．155° B．125° C．135° D．145°11．（真題?河?xùn)|區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)至F，使EF＝DE，連接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，則BD的長(zhǎng)等于（）A．1 B．2 C．3 D．512．（真題?桐柏縣期末）如圖，已知AB⊥CD，AB＝CD，E、F是AD上的兩個(gè)點(diǎn)，CE⊥AD，BF⊥AD，若AD＝a，BF＝b，CE＝c，則EF的長(zhǎng)為（）A．a(chǎn)+b﹣c B．b+c﹣a C．a(chǎn)+c﹣b D．a(chǎn)﹣b13．（真題?阜寧縣期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，CD⊥AB，在AC上取一點(diǎn)E，使EC＝4cm，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若AE＝1cm，則EF＝cm．14．（真題?濱?？h期末）如圖，一個(gè)正方形擺放在桌面上，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為．15．（2022?南通模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分別為D，E，BD，CE相交于點(diǎn)O，且∠BAE＝∠CAD．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠BOC＝140°，求∠OBC的度數(shù)．16．（真題?淮安區(qū)期末）如圖，已知AB＝CB，AD＝CD．求證：∠A＝∠C．17．（真題?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求證：∠ABD＝∠ACE．四．全等三角形的應(yīng)用（共4小題）18．（真題?武城縣期末）如圖所示，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃不小心打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶（）去．A．① B．② C．③ D．①和②19．（真題?沛縣期末）如圖，小明用“X”型轉(zhuǎn)動(dòng)鉗測(cè)量圓柱形小口容器壁的厚度．已知OA＝OD，OB＝OC，AB＝6cm，EF＝8cm，則該容器壁的厚度為cm．20．（2019秋?邗江區(qū)校級(jí)月考）如圖，要測(cè)量河兩岸相對(duì)兩點(diǎn)A、B間的距離，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D．（DE≠CD）（1）線段的長(zhǎng)度就是A、B兩點(diǎn)間的距離（2）請(qǐng)說(shuō)明（1）成立的理由．21．（真題?陳倉(cāng)區(qū)期末）為了解學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力，某校老師在七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，設(shè)置了這樣的問(wèn)題：因?yàn)槌靥羶啥薃，B的距離無(wú)法直接測(cè)量，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)方案測(cè)量A，B的距離．甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)出了如下兩種方案：甲：如圖①，先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)點(diǎn)A，B的點(diǎn)O，連接AO并延長(zhǎng)到點(diǎn)C，連接BO并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，測(cè)出DC的長(zhǎng)即可．乙：如圖②，先確定直線AB，過(guò)點(diǎn)B作直線BE，在直線BE上找可以直接到達(dá)點(diǎn)A的一點(diǎn)D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點(diǎn)C，最后測(cè)量BC的長(zhǎng)即可．（1）甲、乙兩同學(xué)的方案哪個(gè)可行？（2）請(qǐng)說(shuō)明方案可行的理由．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2021·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)期末）下列條件中，能判斷兩個(gè)直角三角形全等的是（）A．有兩條邊分別相等 B．有一個(gè)銳角和一條邊相等C．有一條斜邊相等 D．有一直角邊和斜邊上的高分別相等2．（2021·江蘇南京·八年級(jí)期末）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝8，下列條件能得到△ABC≌△DEF的是（）A．∠D＝60°，∠E＝50°，DF＝8 B．∠D＝60°，∠F＝50°，DE＝8C．∠E＝50°，∠F＝70°，DE＝8 D．∠D＝60°，∠F＝70°，EF＝83．（2020·江蘇八年級(jí)月考）如圖，，，如果根據(jù)“”判定，那么需要補(bǔ)充的條件是（）A． B． C． D．4．（2020·江蘇泰州中學(xué)附屬初中八年級(jí)月考）如圖，OC平分∠AOB，D、E、F分別是OC、OA、OB上的點(diǎn)，則添加下列哪個(gè)條件不能使△ODE與△ODF全等（）A．DE=DF B．OE=OF C．∠ODE=∠ODF D．∠AED=∠BFD5．（2021·江蘇八年級(jí)期末）如圖，已知AC＝BD，添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC≌△BAD的是（）A．∠ABC＝∠BAD B．∠C＝∠D＝90° C．∠CAB＝∠DBA D．CB＝DA6．（2020·南京市溧水區(qū)和鳳初級(jí)中學(xué)八年級(jí)月考）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得出的依據(jù)是（）A． B． C． D．二、填空題7．（2021·江蘇八年級(jí)月考）如圖，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，5），則A點(diǎn)的坐標(biāo)是_____．8．（2021·江蘇八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC≌△DEF，BE＝5，BF＝1，則CF＝_____．9．（2021·江蘇南京·八年級(jí)期末）如圖，△ACD是等邊三角形，若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，則∠BAE＝_____°．10．（2021·江蘇）如圖，，點(diǎn)、、、在同一條直線上，、交于點(diǎn)，，則的度數(shù)是______°．11．（2019·常熟市第一中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，已知，平分，且于點(diǎn)D，則________．12．（2019·江蘇八年級(jí)月考）如圖所示，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，也是BD的中點(diǎn)，那么AB與CD的關(guān)系是________．13．（2019·江蘇八年級(jí)月考）在△ABC和△DEF，給出下列四組條件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有__________組14．（2019·江蘇八年級(jí)月考）如圖所示，AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB=2，AC=6，則AD的取值范圍是__________三、解答題15．（2020·宜興市樹人中學(xué)八年級(jí)月考）已知和位置如圖所示，，，．（1）試說(shuō)明：；（2）試說(shuō)明：．16．（2021·江蘇八年級(jí)期中）如圖，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求證：AF＝DE．17．（2020·蘇州市吳江區(qū)青云實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)月考）如圖①，平分，可得．（1）如圖②，平分，參照?qǐng)D①，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：；（2）如圖③，在四邊形中，，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，若，則的值是多少？（用含a的代數(shù)式表示）18．（2019·江蘇八年級(jí)月考）如圖（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E．（1）求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，DE、AD、BE又怎樣的關(guān)系？并加以證明．19．（2021·江蘇八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，、分別平分、，與交于點(diǎn)O．（1）求的度數(shù)；（2）說(shuō)明的理由．20．（2019·江蘇八年級(jí)月考）在中，，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作，使，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上，如果，則_______度；（2）設(shè)，．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)，則之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)，則之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．第02講探索三角形全等的條件【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解和掌握全等三角形判定方法“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”、“邊邊邊”“HL”定理.2．能把證明一對(duì)角或線段相等的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等.【基礎(chǔ)知識(shí)】一．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．二．直角三角形全等的判定1、斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時(shí)，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件．三．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．四．全等三角形的應(yīng)用（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用用全等尋找下一個(gè)全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問(wèn)題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形常見(jiàn)的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長(zhǎng)，把分散條件集中到同一個(gè)三角形中是解決中線問(wèn)題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”，這些問(wèn)題經(jīng)常用到全等三角形來(lái)證明．（3）全等三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用一般方法是把實(shí)際問(wèn)題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．【考點(diǎn)剖析】一．全等三角形的判定（共5小題）1．（真題?無(wú)錫期末）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加條件BC＝EF或BF＝EC或AB＝DE或AC＝DF后，可以判定△ABC≌△DEF．【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，然后根據(jù)全等三角形的判定方法添加條件．【解答】解：∵AB∥ED，∴∠B＝∠E，∵AC∥FD，∴∠ACB＝∠DFE，∴當(dāng)添加BC＝EF（或BF＝EC）時(shí)，根據(jù)“ASA”可判定△ABC≌△DEF；當(dāng)添加AB＝DE（或AC＝DF）時(shí)，根據(jù)“AAS”可判定△ABC≌△DEF；綜上所述，當(dāng)添加條件BC＝EF或BF＝EC或AB＝DE或AC＝DF后，可以判定△ABC≌△DEF．故答案為：BC＝EF或BF＝EC或AB＝DE或AC＝DF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．選用哪一種判定方法，取決于題目中的已知條件．2．（真題?宜興市期末）如圖，AC＝AD，∠DAC＝∠EAB，要使△ABC≌△AED，應(yīng)添加的條件是AB＝AE（或∠B＝∠E或∠C＝∠D）．（只需寫出一個(gè)條件即可）【分析】先證明∠BAC＝∠EAD，由于AC＝AD，則根據(jù)全等三角形的判定方法可添加條件．【解答】解：∵∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+BAD＝∠EAB+∠BAD，即∠BAC＝∠EAD，∵AC＝AD，∴當(dāng)添加AB＝AE時(shí)，根據(jù)“SAS”可判斷△ABC≌△AED；當(dāng)添加∠B＝∠E時(shí)，根據(jù)“AAS”可判斷△ABC≌△AED；當(dāng)添加∠C＝∠D時(shí)，根據(jù)“ASA”可判斷△ABC≌△AED，∴要使△ABC≌△AED，應(yīng)添加的條件是AB＝AE（或∠B＝∠E或∠C＝∠D）．故答案為：AB＝AE（或∠B＝∠E或∠C＝∠D）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．選用哪一種判定方法，取決于題目中的已知條件．3．（2022?長(zhǎng)安區(qū)一模）已知：點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求證：△ABC≌△DEF．【分析】先利用平行線的性質(zhì)得到∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再證明BC＝EF，然后根據(jù)“ASA”可判斷△ABC≌△DEF．【解答】證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．選用哪一種判定方法，取決于題目中的已知條件．4．（真題?蘇州期末）如圖，在四邊形ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求證：△ADE≌△CAB．【分析】由等角對(duì)等邊可得AC＝AD，再由平行線的性質(zhì)可得∠DAE＝∠ACB，由∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，得∠AED＝∠B，從而利用AAS可判定△ADE≌△CAB．【解答】證明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，在△ADE與△CAB中，，∴△ADE≌△CAB（AAS）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定，解答的關(guān)鍵是由已知條件得出相應(yīng)的角或邊的關(guān)系．5．（真題?連云港期末）如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要證BC＝CD，證明中判定兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（）A．角角角 B．角邊角 C．邊角邊 D．角角邊【分析】已知兩角對(duì)應(yīng)相等，且有一公共邊，利用全等三角形的判定定理進(jìn)行推理即可．【解答】解：在△ABC與△ADC中，，則△ABC≌△ADC（ASA）．∴BC＝CD．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．二．直角三角形全等的判定（共4小題）6．（真題?姑蘇區(qū)期末）下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（）①在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線必平行；②同旁內(nèi)角互補(bǔ)；③（a﹣3b）2＝a2﹣9b2；④（x﹣2）0＝1；⑤有兩邊及其一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；⑥經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】（1）根據(jù)平行線的定義解答；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)解答；（3）根據(jù)完全平方公式解答；（4）根據(jù)零次冪的意義解答；（5）根據(jù)全等三角形的判定解答；（6）根據(jù)垂線公理解答．【解答】解：根據(jù)平行線的定義①正確；②錯(cuò)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；③錯(cuò)，（a﹣3b）2＝a2﹣6ab+9b2；④錯(cuò)，當(dāng)x﹣2≠0時(shí)，（x﹣2）0＝1；⑤正確，有兩邊及其一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；⑥正確，根經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)概念判斷題，根據(jù)概念定義可以判斷．7．（真題?郫都區(qū)期末）如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，則能直接判斷Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS【分析】由“HL”可證Rt△ABD和Rt△CDB．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形全等的判定，掌握直角三角形的判定方法是本題的關(guān)鍵．8．（真題?高淳區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需補(bǔ)充條件AB＝DE，就可以根據(jù)“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法解決此題．【解答】解：補(bǔ)充條件：AB＝DE．在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．故答案為：AB＝DE．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直角三角形全等的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．9．（2020?黑龍江）如圖，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件AB＝ED（答案不唯一），使Rt△ABC和Rt△EDF全等．【分析】根據(jù)全等三角形的判定解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC和Rt△EDF中，∴∠BAC＝∠DEF＝90°，∵BC∥DF，∴∠DFE＝∠BCA，∴添加AB＝ED，在Rt△ABC和Rt△EDF中，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（AAS），故答案為：AB＝ED（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定方法解答．三．全等三角形的判定與性質(zhì)（共8小題）10．（真題?蘇州期末）如圖，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，則∠ABE的度數(shù)為（）A．155° B．125° C．135° D．145°【分析】利用AAS證明△ACD≌△AEB即可得出答案．【解答】解：在△ACD和△AEB中，，∴△ACD≌△AEB（AAS），∴∠ABE＝∠ADC，∵∠CDE＝55°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣55°＝125°，∴∠ABE＝∠ADC＝125°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（真題?河?xùn)|區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)至F，使EF＝DE，連接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，則BD的長(zhǎng)等于（）A．1 B．2 C．3 D．5【分析】由FC∥AB得，∠DAE＝∠FCE，再利用AAS證明△DAE≌△FCE，得AD＝CF，從而解決問(wèn)題．【解答】解：∵FC∥AB，∴∠DAE＝∠FCE，在△DAE與△FCE中，，∴△DAE≌△FCE（AAS），∴AD＝CF，∵CF＝3，∴AD＝CF＝3，又∵AB＝5，∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，證明△DAE≌△FCE是解題的關(guān)鍵．12．（真題?桐柏縣期末）如圖，已知AB⊥CD，AB＝CD，E、F是AD上的兩個(gè)點(diǎn)，CE⊥AD，BF⊥AD，若AD＝a，BF＝b，CE＝c，則EF的長(zhǎng)為（）A．a(chǎn)+b﹣c B．b+c﹣a C．a(chǎn)+c﹣b D．a(chǎn)﹣b【分析】由題意可證△ABF≌△CDE（AAS），可得BF＝DE＝b，CE＝AF＝c，可求EF的長(zhǎng)．【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠C+∠D＝90°，∠A+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，且AB＝CD，∠AFB＝∠CED，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴BF＝DE＝b，CE＝AF＝c，∵AE＝AD﹣DE＝a﹣b，∴EF＝AF﹣AE＝c﹣（a﹣b）＝c﹣a+b，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．13．（真題?阜寧縣期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，CD⊥AB，在AC上取一點(diǎn)E，使EC＝4cm，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若AE＝1cm，則EF＝5cm．【分析】由CD⊥AB，EF⊥AC就可以得出∠FEC＝∠ADC＝90°，就有∠A＝∠F，就可以得出△ABC≌△FCE，就有EF＝AC而求出結(jié)論．【解答】解：∵CD⊥AB，EF⊥AC，∴∠FEC＝∠ADC＝∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠A＝∠ACD+∠F＝90°，∴∠A＝∠F，∵BC＝EC＝4cm，在△ABC和△FCE中，，∴△ABC≌△FCE（AAS），∴AC＝FE，∵AC＝AE+EC，∴FE＝AE+EC，∵EC＝4cm，AE＝1cm，∴FE＝4+1＝5cm．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂直的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．14．（真題?濱?？h期末）如圖，一個(gè)正方形擺放在桌面上，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為．【分析】標(biāo)注字母，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝AD，∠BAD＝90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠1＝∠3，然后利用“角角邊”字母△ABE和△DAF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE＝DF，再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．【解答】解：如圖，由正方形性質(zhì)可得，AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，∵BE⊥AE，DF⊥AF，∴∠AEB＝90°，∠DFA＝90°，∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AE＝DF＝1，在Rt△ABE中，AB，即正方形的邊長(zhǎng)為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，利用三角形全等，把長(zhǎng)度為1、2的邊轉(zhuǎn)化為一個(gè)直角三角形的兩直角邊是解題的關(guān)鍵．15．（2022?南通模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分別為D，E，BD，CE相交于點(diǎn)O，且∠BAE＝∠CAD．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠BOC＝140°，求∠OBC的度數(shù)．【分析】（1）由“AAS”可證△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB，即可求解．【解答】（1）證明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∵AD⊥BD，AE⊥EC，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BOC＝140°，∴∠OBC＝∠OBC＝20°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．16．（真題?淮安區(qū)期末）如圖，已知AB＝CB，AD＝CD．求證：∠A＝∠C．【分析】連接BD，利用邊邊邊證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】證明：連接BD，在△ABD與△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠A＝∠C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，此題主要利用邊邊邊判定三角形全等．17．（真題?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求證：∠ABD＝∠ACE．【分析】由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得結(jié)論．【解答】證明：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．四．全等三角形的應(yīng)用（共4小題）18．（真題?武城縣期末）如圖所示，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃不小心打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶（）去．A．① B．② C．③ D．①和②【分析】此題可以采用排除法進(jìn)行分析從而確定最后的答案．【解答】解：第一塊，僅保留了原三角形的一個(gè)角和部分邊，不符合任何判定方法；第二塊，僅保留了原三角形的一部分邊，所以該塊不行；第三塊，不但保留了原三角形的兩個(gè)角還保留了其中一個(gè)邊，所以符合ASA判定，所以應(yīng)該拿這塊去．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定方法的靈活運(yùn)用，要求對(duì)常用的幾種方法熟練掌握．19．（真題?沛縣期末）如圖，小明用“X”型轉(zhuǎn)動(dòng)鉗測(cè)量圓柱形小口容器壁的厚度．已知OA＝OD，OB＝OC，AB＝6cm，EF＝8cm，則該容器壁的厚度為1cm．【分析】只要證明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解決問(wèn)題．【解答】解：在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴AB＝CD＝6cm，∵EF＝8cm，∴圓柱形容器的壁厚是（8﹣6）＝1（cm），故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題．20．（2019秋?邗江區(qū)校級(jí)月考）如圖，要測(cè)量河兩岸相對(duì)兩點(diǎn)A、B間的距離，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D．（DE≠CD）（1）線段DE的長(zhǎng)度就是A、B兩點(diǎn)間的距離（2）請(qǐng)說(shuō)明（1）成立的理由．【分析】（1）根據(jù)題意確定DE＝AB；（2）根據(jù)已知條件得到兩個(gè)三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論即可．【解答】解：（1）線段DE的長(zhǎng)度就是A、B兩點(diǎn)間的距離；故答案為：DE；（2）∵AB⊥BC，DE⊥BD∴∠ABC＝∠EDC＝90°又∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD∴△ABC≌△CDE（ASA）∴AB＝DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，熟練掌握全等三角形的判定方法并確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵．21．（真題?陳倉(cāng)區(qū)期末）為了解學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力，某校老師在七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，設(shè)置了這樣的問(wèn)題：因?yàn)槌靥羶啥薃，B的距離無(wú)法直接測(cè)量，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)方案測(cè)量A，B的距離．甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)出了如下兩種方案：甲：如圖①，先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)點(diǎn)A，B的點(diǎn)O，連接AO并延長(zhǎng)到點(diǎn)C，連接BO并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，測(cè)出DC的長(zhǎng)即可．乙：如圖②，先確定直線AB，過(guò)點(diǎn)B作直線BE，在直線BE上找可以直接到達(dá)點(diǎn)A的一點(diǎn)D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點(diǎn)C，最后測(cè)量BC的長(zhǎng)即可．（1）甲、乙兩同學(xué)的方案哪個(gè)可行？（2）請(qǐng)說(shuō)明方案可行的理由．【分析】（1）甲同學(xué)作出的是全等三角形，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等測(cè)量的，所以是可行的；（2）甲同學(xué)利用的是“邊角邊”，乙同學(xué)的方案只能知道兩三角形的兩邊相等，不能判定△ABD與△CBD全等，故方案不可行．【解答】解：（1）甲同學(xué)的方案可行；（2）甲同學(xué)方案：在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；乙同學(xué)方案：在△ABD和△CBD中，只能知道DC＝DA，DB＝DB，不能判定△ABD與△CBD全等，故方案不可行．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形判定的“SAS”定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2021·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)期末）下列條件中，能判斷兩個(gè)直角三角形全等的是（）A．有兩條邊分別相等 B．有一個(gè)銳角和一條邊相等C．有一條斜邊相等 D．有一直角邊和斜邊上的高分別相等【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL對(duì)4個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，然后即可得出答案．【詳解】A、兩邊分別相等，但是不一定是對(duì)應(yīng)邊，不能判定兩直角三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；B、一條邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；C、有一條斜邊相等，兩直角邊不一定對(duì)應(yīng)相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；D、有一條直角邊和斜邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的判定，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵．2．（2021·江蘇南京·八年級(jí)期末）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝8，下列條件能得到△ABC≌△DEF的是（）A．∠D＝60°，∠E＝50°，DF＝8 B．∠D＝60°，∠F＝50°，DE＝8C．∠E＝50°，∠F＝70°，DE＝8 D．∠D＝60°，∠F＝70°，EF＝8【答案】C【分析】顯然題中使用ASA證明三角形全等，，需要保證，可以根據(jù)三角形內(nèi)角和定理確定∠F．【詳解】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠E＝50°，∠A＝∠D＝60°，AB＝DE＝8，∴∠F＝180°﹣∠E﹣∠D＝70°，故選C．【點(diǎn)睛】這道題考查的是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角分別相等．清楚三角形全等判定的含義是解題的關(guān)鍵．3．（2020·江蘇八年級(jí)月考）如圖，，，如果根據(jù)“”判定，那么需要補(bǔ)充的條件是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用全等三角形的判定方法，“SAS”即邊角邊對(duì)應(yīng)相等，只需找出一對(duì)對(duì)應(yīng)邊相等即可，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：需要補(bǔ)充的條件是BF=CE，∴BF+FC=CE+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時(shí)注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)健．4．（2020·江蘇泰州中學(xué)附屬初中八年級(jí)月考）如圖，OC平分∠AOB，D、E、F分別是OC、OA、OB上的點(diǎn)，則添加下列哪個(gè)條件不能使△ODE與△ODF全等（）A．DE=DF B．OE=OF C．∠ODE=∠ODF D．∠AED=∠BFD【答案】A【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【詳解】解：∵OP是∠AOB的平分線，∴∠AOP=∠BOP，而OP是公共邊，A：添加DE=DF符合“邊邊角”，不能判定△ODE≌ODF；B：添加OE=OF，可以利用“SAS”判定△ODE≌ODF；C：添加∠ODE=∠ODF，可以利用“ASA”判定△ODE≌ODF；D：∠AED=∠BFD，可知∠OED=∠OFD，可以利用“AAS”判定△ODE≌ODF；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，全等三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．5．（2021·江蘇八年級(jí)期末）如圖，已知AC＝BD，添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC≌△BAD的是（）A．∠ABC＝∠BAD B．∠C＝∠D＝90° C．∠CAB＝∠DBA D．CB＝DA【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法即可一一判斷；【詳解】在△ABC與△BAD中，AC＝BD，AB＝BA，A、SSA無(wú)法判斷三角形全等，故本選項(xiàng)符合題意；B、根據(jù)HL即可判斷三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；C、根據(jù)SAS即可判斷三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)SSS即可判斷三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，關(guān)鍵在于熟練靈活的使用各個(gè)判定方法；6．（2020·南京市溧水區(qū)和鳳初級(jí)中學(xué)八年級(jí)月考）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得出的依據(jù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】我們可以通過(guò)其作圖的步驟來(lái)進(jìn)行分析，作圖時(shí)滿足了三條邊對(duì)應(yīng)相等，于是我們可以判定是運(yùn)用SSS，答案可得．【詳解】解：作圖的步驟：①以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)D、C；②任意作一點(diǎn)O′，作射線O′B′，以O(shè)′為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫弧，交O′B′于點(diǎn)C′；③以C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，交前弧于點(diǎn)D′；④過(guò)點(diǎn)D′作射線O′A′．所以∠A′O′B′就是與∠AOB相等的角；作圖完畢．在△OCD與△O′C′D′，，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，顯然運(yùn)用的判定方法是SSS．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；由全等得到角相等是用的全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)是正確解答本題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2021·江蘇八年級(jí)月考）如圖，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，5），則A點(diǎn)的坐標(biāo)是_____．【答案】（-7，3）【分析】先作輔助線、，通過(guò)導(dǎo)角證明，再證明，得到AD的長(zhǎng)度(A的縱坐標(biāo)長(zhǎng)度)、DC長(zhǎng)度(加上OC得到A橫坐標(biāo)長(zhǎng)度)，根據(jù)A點(diǎn)所在象限的符號(hào)，確定A點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，5)OC=2，OE=1，BE=5在和中，A點(diǎn)的坐標(biāo)是(-7，3)．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的證明(在兩個(gè)三角形中，如果有兩組對(duì)應(yīng)角，和其中一組對(duì)應(yīng)角的對(duì)邊分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等)．8．（2021·江蘇八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC≌△DEF，BE＝5，BF＝1，則CF＝_____．【答案】3【分析】先利用線段和差求EF＝BE﹣BF＝4，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)BC=EF，再結(jié)合線段和差求出FC可得答案．【詳解】解：∵BE＝5，BF＝1，∴EF＝BE﹣BF＝4，∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝4，∴CF＝BC﹣BF＝4-1=3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，線段和差,解題的關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BC=EF．9．（2021·江蘇南京·八年級(jí)期末）如圖，△ACD是等邊三角形，若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，則∠BAE＝_____°．【答案】125【分析】先證明，得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和得到所求角中兩角的和，最后與等邊三角形內(nèi)角相加就得到結(jié)果．【詳解】解：是等邊三角形，，在與中，故答案為125．【點(diǎn)睛】這道題考察的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和的概念．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握這些相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．10．（2021·江蘇）如圖，，點(diǎn)、、、在同一條直線上，、交于點(diǎn)，，則的度數(shù)是______°．【答案】60【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DFE=∠ACB=30°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE=∠ACB=30°，∵∠AMF是△MFC的一個(gè)外角，∴∠AMF=∠DFE+∠ACB=60°，故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．11．（2019·常熟市第一中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，已知，平分，且于點(diǎn)D，則________．【答案】12【分析】如圖，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，根據(jù)已知證得，則得，由三角形的面積公式得，，即可證明，從而可以解答本題．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，∵平分，，∴，．∵，∴．∴．∴，．∴．即．∵，∴．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，明確題意，利用三角形全等證明是解答此題的關(guān)鍵．12．（2019·江蘇八年級(jí)月考）如圖所示，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，也是BD的中點(diǎn)，那么AB與CD的關(guān)系是________．【答案】平行且相等【分析】只需要證明△AOB≌△COD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，也是BD的中點(diǎn)，∴AO=OC，BO=OD，又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△COD（SAS）∴AB=CD，∠A=∠C，∴AB//CD,即AB與CD的關(guān)系是平行且相等，故答案為：平行且相等．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定定理．掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．13．（2019·江蘇八年級(jí)月考）在△ABC和△DEF，給出下列四組條件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有__________組【答案】3【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判定．【詳解】解：①AB=DE，BC=EF，AC=DF，可根據(jù)SSS判定△ABC≌△DEF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，可根據(jù)SAS判定△ABC≌△DEF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，可根據(jù)ASA判定△ABC≌△DEF；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，不能判定△ABC≌△DEF；能使△ABC≌△DEF的條件共有3個(gè)，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．14．（2019·江蘇八年級(jí)月考）如圖所示，AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB=2，AC=6，則AD的取值范圍是__________【答案】2＜AD＜4【分析】此題要倍長(zhǎng)中線，再連接，構(gòu)造全等三角形．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)AD到E，使AD=DE，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ADC與△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB=AC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：6-2＜AE＜6+2，∴2＜AD＜4，故AD的取值范圍為2＜AD＜4．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的三邊關(guān)系定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能推出6-2＜AE＜6+2是解此題的關(guān)鍵．三、解答題15．（2020·宜興市樹人中學(xué)八年級(jí)月考）已知和位置如圖所示，，，．（1）試說(shuō)明：；（2）試說(shuō)明：．【分析】（1）根據(jù)題意利用SAS可證明△ABD≌△ACE，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)△ABD≌△ACE可知∠B=∠C，然后由等量代換得出∠BAN=∠CAM，從而利用ASA可證明△ABN≌△ACM，從而利用全等三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：（1）在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE；（2）∵，∴，∵△ADB≌△AEC，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2021·江蘇八年級(jí)期中）如圖，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求證：AF＝DE．【分析】根據(jù)平行的性質(zhì)可得∠B＝∠C，再結(jié)合已知條件運(yùn)用“ASA”證得△ABF≌△DCE，最后運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論．【詳解】證明：∵AB//CD，∴∠B＝∠C，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（ASA），∴AF＝DE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意證得△ABF≌△DCE是解答本題的關(guān)鍵．17．（2020·蘇州市吳江區(qū)青云實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)月考）如圖①，平分，可得．（1）如圖②，平分，參照?qǐng)D①，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：；（2）如圖③，在四邊形中，，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，若，則的值是多少？（用含a的代數(shù)式表示）【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2a【分析】（1）證明△DFC≌△DEB，可得DB=DC；（2）連接AD，作DF⊥AC于F，證明△DFC≌△DEB，得到DF=DE，CF=BE，再證明Rt△ADF≌Rt△ADE，得到AF=AE，再根據(jù)線段的和差可得AB=AC．【詳解】解：（1）作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如圖2所示，∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠ABD=∠FCD，在△DFC和△DEB中，，∴△DFC≌△DEB（AAS），∴DB=DC；（2）連接AD，作DF⊥AC于F，如圖3所示，∵∠ACD=135°,∴∠FCD=180°-∠ACD=45°，∴∠B=45°，∴∠FCD=∠B，在△DFC和△DEB中，，∴△DFC≌△DEB（AAS），∴DF=DE，CF=BE，在Rt△ADF和Rt△ADE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），∴AF=AE，∴AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，∴AB-AC=2BE=2a．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考?？碱}型．18．（2019·江蘇八年級(jí)月考）如圖（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E．（1）求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，DE、AD、BE又怎樣的關(guān)系？并加以證明．【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；（2）DE=AD-BE，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因?yàn)椤螦CD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據(jù)AAS即可得到答案；②由①得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；（2）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案．【詳解】解：（1）①證明：∵AD⊥DE，BE⊥D