1.2空間向量基本定理

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)

1.理解空間向量的正交分解，空間向量的基本定理，1、數(shù)學(xué)運(yùn)算

2.能用空間一個(gè)基底表示空間的任意向量.（重點(diǎn)）2、數(shù)學(xué)抽象

【自主學(xué)習(xí)】

1.空間向量基本定理

定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量p存在有序?qū)崝?shù)組｛x,y,z｝,

使得。=xa+yb+zc.其中｛a,b,c｝叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c都叫做基向量.

2.單位正交基底

空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)度都為L(zhǎng)那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，

常用｛九j,心a可以分解成三個(gè)向量，a=xi+yj+zk,像這樣叫做把空間向量進(jìn)行正交分

解。

【小試牛刀】

1.判斷正錯(cuò)

⑴空間的任何一個(gè)向量都可用三個(gè)給定向量表示.（）

⑵若｛a,b,c｝為空間的一個(gè)基底，則a,b,c全不是零向量.（）

⑶如果向量a,力與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則一定有a與b共線.（）

⑷任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底.（）

2.在下列兩個(gè)命題中，真命題是（）

①若三個(gè)非零向量a,b,c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a,b,c共面；

②若a,力是兩個(gè)不共線向量，而c=4a+〃灰?guī)?，〃e1?且?guī)住P(guān)0）,貝U｛a,6,c｝構(gòu)成空間的

一個(gè)基底.

A.僅①B.僅②C.①②D.都不是

【經(jīng)典例題】

題型一基底的判斷

判斷標(biāo)準(zhǔn)：判斷三個(gè)空間向量是否共面，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不共面，則能構(gòu)成基底.

方法：①如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個(gè)向量可以用另外的向量線性

表示，則不能構(gòu)成基底.

②假設(shè)運(yùn)用空間向量基本定理，建立九，〃的方程組，若有解，則共面，不能

1

作為基底；若無(wú)解，則不共面，能作為基底.

例1設(shè)又=&+6,y=b+c,z=c+a,且｛a,6,c｝是空間的一個(gè)基底，給出下列向量：①｛a,

b,x｝；②伉c,z｝；③｛x,y,a+b+c］.其中可以作為空間的基底的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.0個(gè)

-

［跟蹤訓(xùn)練］1已知｛a，e2>63｝是空間的一個(gè)基底，且如=且+26一e3,(25=3ei+e2+2e3；

"ei+e2—e”試判斷｛灑，OB,而能否作為空間的一個(gè)基底.

題型二用基底表示向量

注意：用基底表示向量時(shí)，若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊

形法則，以及向量數(shù)乘的運(yùn)算律；若沒給定基底，首先選擇基底，選擇時(shí)，要盡量使所選的基

向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求.

例2在平行六面體/故144G〃中，設(shè)荔=a,AD=b,M=c,E,b分別是/〃，劭的中點(diǎn).

(1)用向量a,b,c表示瓦瓦旗

⑵若/=xa+yb+zc,求實(shí)數(shù)x,y,2的值.

［跟蹤訓(xùn)練］2如圖所示，空間四邊形如a'中，G,〃分別是△N8C,△阪1的重

心，設(shè)灑=a,OB=b,OC=c,。為W的中點(diǎn).試用向量a,b,c表示向量/4乙空冷,

和沏

2

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】

1.以下四個(gè)命題中正確的是（）

A.基底｛a,b,c｝中可以有零向量

B.空間任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底

C.以為直角三角形的充要條件是誦?衣=0

D.空間向量的基底只能有一組

2.已知點(diǎn)0,4B,。為空間不共面的四點(diǎn)，且向量a=成+速+擊向量力=成+應(yīng)一宓則

與a,6不能構(gòu)成空間基底的向量是（）

A.OAB.0B

C.OCD.而或應(yīng)

3.下列能使向量就，~MB,比成為空間的一個(gè)基底的關(guān)系式是（）

A.麗■灑■龍+；亦B.而=礪+該

OOO

C.~OM=OA+OB+dC^~MA=2MB-MC

4.已知a=a+e；+a,b=ei-\-e2—ei,c=ei—d=a+2僅+3a,若＜7=。&+￡6+，

c,貝Ija,￡,4的值分別為.

5.如圖，在梯形力皿中，AB//CD,48=2/點(diǎn)。為空間任一點(diǎn)，設(shè)成=a,

速=6,左=c,則向量應(yīng)用a,b,c表示為.

6.如圖，已知以，平面四口，四邊形N四為正方形，G為△外。的重心，AB=i,AD=j,AP

=k,試用基底｛i,j,后表示向量無(wú)，BG.

3

【參考答案】

【小試牛刀】

1.xvvx

2.A解析①為真命題；②中，由題意得a,b,c共面，故②為假命題，故選A.

【經(jīng)典例題】

例1B②③均可以作為空間的基底，故選B.

［跟蹤訓(xùn)練］1解假設(shè)成，0B,應(yīng)共面.則存在實(shí)幾，〃使得澇=幾速+〃宓

61+26--3=X(—3ei+e2+2^)+〃(ei+&-&3)=(—3X+〃)31+(幾+〃)e2+(2幾一

〃)。3，

Vei,e29快不共面，

C—3幾+〃=1,

{X+〃=2,

此方程組無(wú)解,

[21一P=~1

???灑，0B,沆不共面，，｛應(yīng)，0B,應(yīng)｝可以作為空間的一個(gè)基底.

例2解(1)如圖，連接力G

D\B=D\D-\-DB——AA]_-\-AB—AD—a.—b—c9

礪=必+亦=：無(wú)+J衣=_J(lX+^)+：(誦+戒=-|(a—c).

乙乙乙乙乙

(2)9=；(9+苑)=|(—=；(-c+a-6-c)c,

11

??x=~9y——5,z=-1.

2

[跟蹤訓(xùn)練]2解因?yàn)辇?成+而，而而=商，Ab=Ob-QA,

O

122

又。為8。的中點(diǎn)，所以應(yīng)=a(應(yīng)+擊，所以施=應(yīng)+于沏=血+可(應(yīng)一成)

乙DO

f21ff2f]———1

=~0A+-X-z(0B+~dC)—￡dA=-(0A+~0B+~0C)=-{a+b+c).

。乙ooo

2211

又因?yàn)榍?*亦，~OH=^OD=-^-<OB-^~OC)=-(/>+c),

。。乙o

4

所以南=；(2>+c)—1(a+b+c)=—1a.

ooo

所以0G=~(a+8+c),GH=一金a.

oo

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】

1.B解析使用排除法.因?yàn)榱阆蛄颗c任意兩個(gè)非零向量都共面，故A不正確；△//為直

角三角形并不一定是森?衣=0,可能是能?切=0,也可能是游?初=0,故C不正確；空間

基底可以有無(wú)數(shù)多組，故D不正確.

2.C解析..,比=]a—萬(wàn)力且a,b不共線，.'.a,b,沆共面，.?.沆與a,b不能構(gòu)成一組空

間基底.3.C解析對(duì)于選項(xiàng)A,由礪=x成+y應(yīng)+z死(x+y+z=l)Q弘A,B,C四點(diǎn)共

面知，~MA,一贏,該共面；對(duì)于選項(xiàng)B,D,可知礪，一施,該共面，故選C.

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4.5.—1,--解析?；4=a(仍+0+自)+￡(芻+/—芻)+4(。一程+芻)

乙乙

=(。+￡+4)ei+(a+￡-4)&+(a—￡+幾)饒=且+20+3備，

5

—+￡+4=1,0=2,

%一解析：

5a+￡—4=2,￡=一1,