人教A版《數(shù)學(xué)》選修2-1第二章2.3.2節(jié)

《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教材分析:

本節(jié)知識是《全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)?（選修2T）》第二章“圓錐曲線與方程”

第2.3節(jié)《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》的第一課時(shí)，是教學(xué)大綱要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容，也

是高考的一個(gè)考點(diǎn)。它是在學(xué)生已掌握雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)

用雙曲線的定義、方程和圖象，深入研究雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，進(jìn)一步使學(xué)生體會、理解、

熟練運(yùn)用解析幾何這門學(xué)科的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生的解析幾何的

思維空間。

二、學(xué)情分析

所教班級的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)，自主學(xué)習(xí)能力較高。在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，可以發(fā)揮學(xué)生

的主觀能動性，教師加以引導(dǎo)，完成本節(jié)課的教學(xué)。因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的簡單幾何性

質(zhì)，所以本節(jié)課通過類比、推導(dǎo)、歸納出雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離

心率）和獨(dú)有的幾何性質(zhì)（實(shí)軸、虛軸、漸近線）。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，可使學(xué)生在已有知識

的基礎(chǔ)上，拓展延伸、構(gòu)建新知識體系，對由數(shù)到形的思想、方法有更深刻的認(rèn)識。

三、教學(xué)目標(biāo)

（1）知識、能力目標(biāo)：

①運(yùn)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論其范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線等簡單幾何性質(zhì)；

②掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中心"C的幾何意義，理解雙曲線的漸近線的概念及性質(zhì)；

③能運(yùn)用雙曲線的簡單幾何性質(zhì)解決雙曲線的一些基本問題。

（2）過程、方法目標(biāo)：

①在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，想象能

力，數(shù)形結(jié)合能力，分析、歸納能力和邏輯推理能力，以及類比的學(xué)習(xí)方法；

②使學(xué)生參與到探究雙曲線幾何性質(zhì)的活動中，能恰當(dāng)?shù)匕央p曲線標(biāo)準(zhǔn)方程恒等變形,

掌握利用圓錐曲線的方程研究其簡單幾何性質(zhì)的基本方法，進(jìn)一步加深對直角坐標(biāo)系中曲線

與方程的概念的理解，體會等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。

③能運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)知識，探尋雙曲線的漸近線，初步體驗(yàn)極限意義，感受數(shù)與形的對

立與統(tǒng)一，體會函數(shù)與方程的思想。

（3）情感態(tài)度、價(jià)值目標(biāo)：

①引導(dǎo)學(xué)生自主探索、交流合作解決問題，激發(fā)他們會學(xué)、愛探究的樂趣，增強(qiáng)合作意

識。

②培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)對待知識的科學(xué)態(tài)度和探索精神，而且能用運(yùn)動、變化的觀點(diǎn)分析理解

事物。

四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線的漸近線及其探究過程。

教學(xué)難點(diǎn)：漸近線幾何意義的應(yīng)用。

五、教學(xué)方法：啟發(fā)誘導(dǎo)、講練結(jié)合

六、教學(xué)用具：多媒體

七、教學(xué)過程：

(-)授課流程

(-)教學(xué)流程

1.新課引入

首先用多媒體為學(xué)生伴著優(yōu)美的雙曲線圖片播放校園歌曲《悲傷的雙曲線》，伴著動聽

的旋律吸看著歌詞欣賞完歌曲，自然而然的進(jìn)入了本節(jié)課的內(nèi)容:找尋雙曲線“悲傷的原因?！?/p>

請同學(xué)們復(fù)習(xí)回顧已經(jīng)學(xué)習(xí)過橢圓的簡單幾何性質(zhì)，利用多媒體來演示圖象。通過類比橢圓

的相關(guān)知識，探究雙曲線的性質(zhì)。

2.觀察類比

本節(jié)課內(nèi)容是利用類比的教學(xué)方法，教學(xué)中通過與“橢圓的簡單幾何性質(zhì)”類比講解,

從“形”和“數(shù)”兩個(gè)方面探究雙曲線的簡單幾何性質(zhì)。讓學(xué)生試著按照橢圓的簡單幾何性

質(zhì)，首先觀察雙曲線的形狀，自己進(jìn)行探究歸納總結(jié)出雙曲線的簡單幾何性質(zhì)。一般學(xué)生能

得出雙曲線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)（實(shí)軸、虛軸），教師用多媒體演示，同時(shí)比較雙曲線的

這四個(gè)性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)的聯(lián)系及區(qū)別。

【意圖：利用類比方法，目的加強(qiáng)新舊知識的聯(lián)系，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)求知

由橢圓的幾何性質(zhì)，我們能利用長、短軸較準(zhǔn)確地畫出橢圓的圖形。那么，利用雙曲線

的實(shí)、虛軸能否畫出雙曲線的圖形呢？

教師啟發(fā)學(xué)生，從曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的反比例函數(shù)y=■的圖象入手，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，它

X

的圖象是雙曲線，當(dāng)雙曲線伸向遠(yuǎn)處時(shí)，它與X、y軸無限接近，此時(shí)X、y軸是y=L的漸

x

近線【為后面引出漸近線的概念埋下伏筆】。引導(dǎo)學(xué)生歸納雙曲線的圖象有何特征？有沒有

漸近線？

【意圖：從已有知識出發(fā)，逐層探究，激活已知，啟迪思維，調(diào)動學(xué)生自身探索的興

趣，進(jìn)一步清晰概念（或圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性?！?/p>

先從幾何“圖形”的角度入手研究圖象特征。指出利用雙曲線的對稱性，只需觀察它

2

在第一象限的圖形，進(jìn)一步探尋雙曲線三1(a>0,b>0)的漸近線。利用幾何畫板直

a~

9

Y

觀演示雙曲線?=l(a〉O,b>0)在第一象限內(nèi)的圖形，引導(dǎo)學(xué)生觀察其圖象向遠(yuǎn)處

CI

bb

無限伸展的變化趨勢，可知其在遠(yuǎn)處時(shí)與直線y=±—x無限接近，所以，直線y=±—x叫

aa

22

做雙曲線「一勺=1(a>0,b>0)的漸近線。

a~b~

接著，從數(shù)的角度進(jìn)行強(qiáng)調(diào)，只需將雙曲線「一二*=1(a>0,b〉0)中的“1”改為“0”

a2b-

即可求得其漸近線方程。

利用類比的方法，可求得等軸雙曲線的漸近線方程是y=±x。

【意圖：將漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點(diǎn)，充分暴露思維過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通

過誘導(dǎo)、分析，巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲線的漸近線方程，這樣滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)

學(xué)思想。】

這樣，明確了畫雙曲線時(shí)的遠(yuǎn)處趨向問題，就可以比較精確的畫出雙曲線。但是如果仔

細(xì)觀察，漸近線實(shí)質(zhì)就是雙曲線二-4=1(a>0,b>0)過實(shí)軸

a"b~

端點(diǎn)、虛軸端點(diǎn)，作平行與坐標(biāo)軸的直線％=±。,丁=±8所成

的矩形的兩條對角線如右圖。利用數(shù)形結(jié)合，可加強(qiáng)對雙曲線

的漸近線的理解。

止匕時(shí)，通過幻燈片展示求雙曲線的漸近線的方程的方法：(1)

直接根據(jù)漸近線方程寫出；(2)利用雙曲線的圖形中的矩形框架的對角線得到。

【意圖：加強(qiáng)學(xué)生對于雙曲線的漸近線的應(yīng)用和理解?！?/p>

4.拓展延伸一離心率的幾何意義

因?yàn)闄E圓的圖象是閉合的，所以通過離心率e可以區(qū)別橢圓的扁平程度，而雙曲線的兩

支是向外無限延伸的，它的離心率e有什么幾何意義呢？

根據(jù)剛得到的雙曲線的簡單幾何性質(zhì)可得：?.?e=g,c>a,C?那

a

么，雙曲線的離心率與其漸近線之間是否有聯(lián)系呢？

b

由等式，一/=〃，可得：a

,所以，利用雙曲

廣v?hV?Y~

線——2r=l(a>0,b>0)的漸近線方程y=±—x,或雙曲線J—?=l(a>0,b>0)的漸

ahaab-

近線方程y=±@x,都可以直接求出離心率e,但要注意確定雙曲線的焦點(diǎn)位置。

b

b_

同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生探究：e越?。ㄔ浇咏?）,。就越接近于0,雙曲

\W/

b_

線開口越??；e越大，。就越大，雙曲線開口越大。所以，橢圓的離心___________________

F1#1。4F2X

率可以刻畫橢圓的扁平程度，雙曲線的離心率是刻畫雙曲線開口大小的

一個(gè)量：離心率越小開口越小，離心率越大開口越大。

【意圖：通過類比推理雙曲線的離心率e的幾何意義，既強(qiáng)化了數(shù)形結(jié)合的思想，又

從“數(shù)”的角度體現(xiàn)了離心率與漸近線的聯(lián)系，提高了學(xué)生的應(yīng)變能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。】

5.知識應(yīng)用

為突出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，幫助學(xué)生盡快掌握剛才所學(xué)的知識。我選配了這樣的例題：

例題1、【雙曲線的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用】求雙曲線9y2—16x^=144的實(shí)半軸長和虛半軸

長、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。

y2-y2i

解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，4232-

由標(biāo)準(zhǔn)方程可得:實(shí)半軸長：a=4

虛半軸長：b=3半焦距：c="+32=5

焦點(diǎn)坐標(biāo)：（0,-5）,（0,5）

離心率：&_三_m

a4

變式：求雙曲線9y2-16x2=744的實(shí)半軸長和虛半軸長、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、

漸近線方程?！緦W(xué)生回答】

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本題的方法感悟：若題目給定的雙曲線方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式，則先要化為標(biāo)

準(zhǔn)方程，后再根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程，分別求出有關(guān)幾何量。

【意圖：例題和變式練習(xí)的選用目的，目的是為了在例題的基礎(chǔ)上作一題多變（變條件，

變結(jié)論），通過訓(xùn)練學(xué)生一題多解、多題一解，開拓其解題思路，使他們在做題中善于發(fā)展

思維、總結(jié)規(guī)律、提高知識的應(yīng)變能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。】

例題2、【由幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】已知雙曲線頂點(diǎn)間的距離是16,離心率是°,

4

焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，寫出雙曲線的方程，并且求出它的漸近線和焦點(diǎn)坐標(biāo)。

解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，2a=16,e=—,

4

所以a=4,c=10,b=6

所以標(biāo)準(zhǔn)方程是："2/=[

6436

漸近線方程是：y=±±x,

4

焦點(diǎn)石（―10,0）,F2（10,0）

【變式】若焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在原點(diǎn)，求雙曲線的方程，并求它的漸近線和焦點(diǎn)坐標(biāo)。

【學(xué)生作答：焦點(diǎn)在X軸時(shí)標(biāo)準(zhǔn)方程:主：一￡=1漸近線方程是：y=±-x,

64364

焦點(diǎn)石（—10,0）,乙（10,0%占在岫什*-酢+種/X2.建

焦點(diǎn)在y軸時(shí)標(biāo)準(zhǔn)方程：--------=1,漸近線：

6436

4

v=±—x]

3

例題3、雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最

小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為20m,高42m.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此

雙曲線的方程.

分析：本題建立合適的坐標(biāo)系是關(guān)鍵。注意到通風(fēng)塔有三個(gè)特殊的截口圓：上口、下口、最

小的一個(gè)截口。顯然，最小截口圓的圓心是雙曲線的中心，直徑是雙曲線的實(shí)軸，所以以最

小截口直徑所在直線為X軸，圓心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則雙曲線的方程具有最簡單的形式。

解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系xOy,使小圓的直徑AA'在x軸上，圓心與原點(diǎn)重合.這時(shí)，

上、下口的直徑CC'、BB'平行于x軸，且|CC'|=13X2（行，|BB'|=20X2（m）.

22

L-J

設(shè)雙曲線的方程為/b2（。>0,">0）.

令點(diǎn)B的坐標(biāo)為(20,%),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(13,y2),則.因?yàn)辄c(diǎn)B、C在雙曲線上，所以

202y,2

16

122b2Yi

12

匕22解得

亙—江=15,

y=—b

122b2〔212

由為一切==42得人-24

22

.所求的雙曲線方程為：-—-1=1

144576

【意圖：這是一個(gè)有實(shí)際意義的題目.解這類題目時(shí)，首先要解決以下兩個(gè)問題：(1)選擇

適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；(2)將實(shí)際問題中的條件借助坐標(biāo)系用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來。】

6.沙場練兵

1、求雙曲線25y2-16x2=400的實(shí)半軸長、虛半軸的長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率及漸近線的

方程。

【學(xué)生搶答】

2、求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：【讓學(xué)生自己練習(xí)，兩個(gè)同學(xué)到黑板板演?！?/p>

⑴頂點(diǎn)在r軸上，兩頂點(diǎn)的距離后，且離心蔡=9

4

(2)焦點(diǎn)在y軸上，焦距是16,離心率e=g

【意圖：熟悉并運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)解題，加強(qiáng)應(yīng)用性，保證學(xué)生準(zhǔn)確掌握當(dāng)堂知識?！?/p>

7.課堂小結(jié)

知識小結(jié)

(1)學(xué)生小結(jié)：＜2、方法小結(jié)

3、思想小結(jié)

(2)教師小結(jié)：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，尤其是雙曲線

的漸近線方程及其“漸近”性質(zhì)的證明，并能簡單應(yīng)用雙曲線的簡單幾何性質(zhì)解決問題以及

生活問題；開始大家欣賞的歌曲《悲傷的雙曲線》告訴我們：沒有規(guī)矩，不成方圓。只有遵

循事物發(fā)展的規(guī)律，我們的探究才有價(jià)值。

8.課后練習(xí)

(1)鞏固練習(xí)：課本P61練習(xí)3,4。

課本P61習(xí)題1-4,鞏固并掌握課上所學(xué)的知識。

(2)課外實(shí)踐：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)性質(zhì)在我們生活中也有很多用處，像雙曲線

槽、PhotoShop雙曲線修圖法，以及天體在太空中通過五個(gè)宇宙速度離開地球的運(yùn)動軌跡也

主要是雙曲線和橢圓，請大家課后查閱相關(guān)資料?，探究一下我們身邊哪些地方用到雙曲線的

簡單幾何性質(zhì)。

10.板書設(shè)計(jì)

2.3.2雙曲線的簡單JL何性質(zhì)

5、例2解答

22例3解答

雙曲線5―4=1（。>00>0）的性質(zhì)

a~b~

學(xué)生板演：課堂訓(xùn)練

1、范圍：x<-a^x>a,ywR0

2、對稱性：雙曲線的對稱軸是x軸、y軸，

原點(diǎn)是它的對稱中心。

3、頂點(diǎn)：4（―a,0）,4（a,0）,稱4兒為實(shí)軸，

用坊為虛軸，其中用（0,-楊員（0涉）。

4、離心率：e=—=1>1

a\a

5、漸近線：y=±^X

a

【注】1、本節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生采用類比橢圓的簡單幾何性質(zhì)的推理方法，利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方

程探究雙曲線的簡單幾何性質(zhì)。在教學(xué)中，凡是學(xué)生自己經(jīng)過努力能得到的結(jié)論全部放手讓

學(xué)生自己得到，使學(xué)生的主動性得到淋漓盡致的發(fā)揮，這樣有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從中提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力。

2、本節(jié)課的難點(diǎn)是雙曲線的漸近線，故采取了有目的的存疑設(shè)問，用懸念激發(fā)學(xué)生的情

趣，促進(jìn)思考。結(jié)合學(xué)生實(shí)際，把“共漸近線的雙曲線”、“雙曲線的第二定義”和“直線

與雙曲線的關(guān)系”放到下一節(jié)課來完成。

3、最后，設(shè)計(jì)“課外實(shí)踐”作業(yè)，目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從多角度刺激學(xué)生理解

雙曲線的簡單幾何性質(zhì)。

《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》的學(xué)情分析

通過初中對反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生對反比例函數(shù)的圖象，即雙曲線，有圖形上的感知，

但沒有形成理性認(rèn)識。認(rèn)識到雙曲線在生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中的廣泛應(yīng)用，以及在高考中的重要

地位后，學(xué)生較強(qiáng)的求知欲望。

因?yàn)橥ㄟ^2.1“直線和圓的方程”和2.2“橢圓”的學(xué)習(xí)，學(xué)生對坐標(biāo)法有較深刻的認(rèn)

識，懂得如何通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì)，可以按照研究橢圓的幾何性質(zhì)

的方法和步驟，推出雙曲線的范圍、對稱性、準(zhǔn)線、離心率。所以，學(xué)生具備探究雙曲線幾

何性質(zhì)的知識和能力基礎(chǔ)。但雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程5-與=1(a>0,方>0)的等價(jià)方程

ab

反映的幾何性質(zhì)是橢圓所沒有的。學(xué)生缺乏把標(biāo)準(zhǔn)方程

［一臺=1(。>0,6>0)等價(jià)轉(zhuǎn)化為Iy|=2|X|J1一(三)2的意識,

對“形”與“數(shù)”

的對應(yīng)關(guān)系認(rèn)識不夠深刻，難以把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)，沒有極限的觀念，難以認(rèn)識到

當(dāng)|X|逐漸增大時(shí),逐漸增大，|X|無限增大,接近于1,難以探

究出雙曲線的漸近線。因此，本節(jié)課的難點(diǎn)是探究雙曲線的漸近線。

《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》的效果分析

《2.3.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》是一節(jié)新授課，主要利用類比授課法，從''數(shù)"和

“形”兩個(gè)角度探究雙曲線的簡單幾何性質(zhì)。教師所設(shè)計(jì)的問題具有明顯的層次性，由淺入

深，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，基本做到了“把問題定位在學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)”實(shí)現(xiàn)了預(yù)期目

標(biāo)：

一、目標(biāo)定位準(zhǔn)確

本節(jié)課，教師在充分挖掘教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，了解學(xué)生已有知識基礎(chǔ)，充分分析學(xué)情

后，確定的教學(xué)目標(biāo)：利用類比法引導(dǎo)學(xué)生探究雙曲線的簡單幾何性質(zhì)；滲透數(shù)形結(jié)合和分

類討論思想。這一些都隨著課堂的實(shí)踐得到了落實(shí)，完全符合學(xué)生“認(rèn)識規(guī)律”，以遞進(jìn)的

形式呈現(xiàn)：類比推理、觀察分析、抽象概括，提煉上升?？梢哉f，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)了

“知識目標(biāo)”、“能力目標(biāo)”、“情感目標(biāo)”融為一體。

二、主體地位突出

1.還課堂給學(xué)生

把課堂還給學(xué)生，一直是課改的大方向，也是新課標(biāo)的原動力之一。本節(jié)課教師所預(yù)設(shè)

和生成的問題都貼近學(xué)生“思維最近發(fā)展區(qū)”，學(xué)生能自主探究、有興趣思考研究。對于個(gè)

別有難度的問題，學(xué)生也會主動通過請教老師、小組合作等方式解決。本節(jié)課極大地保護(hù)和

激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和積極性，參與程度和激情得到了充分發(fā)揮。

2.還探究權(quán)給學(xué)生

本節(jié)課，無論是范圍、頂點(diǎn)、對稱性，還是漸近線、離心率的逐步生成，學(xué)生都能從“數(shù)”

和“形”兩個(gè)角度進(jìn)行探究，類比推理得到結(jié)論。但數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想在雙曲線的

簡單幾何性質(zhì)的逆應(yīng)用中巧妙“會師”，雙曲線的幾何性質(zhì)在生活中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合和理

論來源于實(shí)踐的思想再次升華體現(xiàn)。這正是“數(shù)學(xué)演繹”、“理性數(shù)學(xué)”的精華，讓學(xué)生

找到內(nèi)化和建構(gòu)的多種途徑。這不僅會自然增強(qiáng)或輻射到學(xué)生的解題能力和理性思維，更能

影響和滲透到他們的終身學(xué)習(xí)和今后從事的工作中去。

3.還合作權(quán)給學(xué)生

本節(jié)課每個(gè)問題的遞進(jìn)式提出，真正地讓學(xué)生動起來，讓課堂活起來了。我們發(fā)現(xiàn)每個(gè)

學(xué)生能夠自主地動眼看、動手算、動腦想、動口說，確實(shí)能夠全身心投入到學(xué)習(xí)過程中去,

更令人吃驚的是“合作交流”發(fā)揮得淋漓盡致。這不僅反映在四人小組毫無掩飾、捏造的交

流過程，更有把自己的不同想法敢于同學(xué)面前展示和袒露的真實(shí)場景。這種“生生合作”

的經(jīng)典，更來自于“師生合作”的源頭。因?yàn)楸竟?jié)課教師始終把自己放在和學(xué)生平等的位置

上，“同歡樂，共困苦”，讓學(xué)生心情愉悅地、神情自信地回答和展示自己的“成果”，展

現(xiàn)了一種興趣盎然、生動活潑的自主、合作、交流的課堂活動場景。

三、主導(dǎo)作用高效

本節(jié)課教師的主導(dǎo)作用得以充分發(fā)揮，綜觀整節(jié)課五個(gè)性質(zhì)的呈現(xiàn)彼此銜接，水到渠成。

教師啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過類比推理、數(shù)形結(jié)合逐層探究，成就感得到極大的滿足。這得益于教

師充分挖掘和把握教材內(nèi)在聯(lián)系之功力和涵養(yǎng)，也借助于教師過渡銜接之妙：和藹微笑的教

態(tài)，激勵(lì)動情的語言，豁達(dá)激情的風(fēng)貌，使得課堂情境天人合一。

四、情感價(jià)值增色

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是通過雙曲線方程研究雙曲線的性質(zhì)，類似于“橢圓的簡單的幾何性

質(zhì)”的探究過程。教學(xué)中擬采用類比法授課：讓學(xué)生自己進(jìn)行探究得到結(jié)論。在教學(xué)中，學(xué)

生自己能得到的結(jié)論應(yīng)該讓學(xué)生自己得到，凡是難度不大,經(jīng)過學(xué)習(xí)學(xué)生自己能解決的問題,

讓學(xué)生自己解決。這樣有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)成就感，同時(shí)也有利

于學(xué)習(xí)建立信心，使他們的主動性得到充分發(fā)揮，從中提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能

力。

教師在例3中通過滲透“降低能耗、改善環(huán)境”的思想，喚起學(xué)生學(xué)以致用的責(zé)任感;

在最后布置作業(yè)中“課外實(shí)踐”這一環(huán)節(jié)，以衛(wèi)星進(jìn)入預(yù)定軌道時(shí)的軌跡既有橢圓又有雙曲

線，來激發(fā)同學(xué)們奮發(fā)圖強(qiáng)，努力學(xué)習(xí)，早日圓自己的“太空夢”！

本節(jié)課值得改進(jìn)的地方：

一是能將學(xué)生的練習(xí)投影展示一下，讓大家有則改之無則加勉，鞏固效果會更好；

二是教師在使用白板時(shí)最好及時(shí)清除書寫痕跡，以免影響投影效果；

三是由于應(yīng)用多媒體，課堂容量增加，但個(gè)別知識容易被一帶而過，引不起學(xué)生的足夠

重視。

《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》的教材分析

1.教學(xué)內(nèi)容的地位及作用

本節(jié)知識是《全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)?(選修2-1)》第二章“圓錐曲線與方程”

第2.3節(jié)的內(nèi)容，是教學(xué)大綱要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容，也是高考的一個(gè)考點(diǎn)。它是在學(xué)生

已掌握雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生在靈活運(yùn)用雙曲線的定義、方程和圖象

解題的基礎(chǔ)上，深入研究雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，進(jìn)一步使學(xué)生體會、理解、熟練運(yùn)用解析

幾何這門學(xué)科的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的解析幾何的思維空間，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

2.教學(xué)目標(biāo)的確定及依據(jù)

雙曲線是一種重要的圓錐曲線，具有比橢圓和拋物線更豐富的幾何性質(zhì)。雙曲線的簡單

幾何性質(zhì)揭示了雙曲線最基本的特征，其推導(dǎo)過程蘊(yùn)含了等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程

等重要的數(shù)學(xué)思想方法，是訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的良好題材。因此，我確定教學(xué)目標(biāo)三維

目標(biāo)如下：

(1)知識、能力目標(biāo):

①運(yùn)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論其范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線等簡單幾何性質(zhì);

②掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中心"C的幾何意義，理解雙曲線的漸近線的概念及性質(zhì)；

③能運(yùn)用雙曲線的簡單幾何性質(zhì)解決雙曲線的一些基本問題。

(2)過程、方法目標(biāo)：

①在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，想象能

力，數(shù)形結(jié)合能力，分析、歸納能力和邏輯推理能力，以及類比的學(xué)習(xí)方法；

②使學(xué)生參與到探究雙曲線幾何性質(zhì)的活動中，能恰當(dāng)?shù)匕央p曲線標(biāo)準(zhǔn)方程恒等變形,

掌握利用圓錐曲線的方程研究其簡單幾何性質(zhì)的基本方法，進(jìn)一步加深對直角坐標(biāo)系中曲線

與方程的概念的理解。體會等價(jià)轉(zhuǎn)化思想；

③能運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)知識，探尋雙曲線的漸近線，初步體驗(yàn)極限意義，感受形與數(shù)的對

立與統(tǒng)一，體會函數(shù)與方程思想。

(3)情感態(tài)度、價(jià)值目標(biāo)：

①引導(dǎo)學(xué)生自主探索、交流合作解決問題的思路，激發(fā)會學(xué)、愛探究的樂趣，增強(qiáng)合作

意識。

②培養(yǎng)學(xué)生對待知識的科學(xué)態(tài)度和探索精神，而且能夠運(yùn)用運(yùn)動、變化的觀點(diǎn)分析理解

事物。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)的確定及依據(jù)

對圓錐曲線來說，漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，而學(xué)生對漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、

理解和掌握有一定的困難。在教學(xué)過程中，把探究漸近線作為教學(xué)重點(diǎn)，通過誘導(dǎo)、分析,

巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲線的漸近線方程，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。這樣處理將

數(shù)學(xué)思想滲透于實(shí)踐，學(xué)生易接受。因此，根據(jù)本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)大綱以及高考的要求，

結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的實(shí)際水平和認(rèn)知能力，確定教學(xué)重、難點(diǎn)如下：

教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線的漸近線及其探究過程。

教學(xué)難點(diǎn)：漸近線幾何意義的應(yīng)用。

4.教學(xué)方法：啟發(fā)誘導(dǎo)、講練結(jié)合

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是通過雙曲線方程研究雙曲線的性質(zhì)，類似于“橢圓的簡單的幾何

性質(zhì)”的探究過程。教學(xué)中擬采用類比法授課：讓學(xué)生自己進(jìn)行探究得到結(jié)論。在教學(xué)中，

學(xué)生自己能得到的結(jié)論應(yīng)該讓學(xué)生自己得到，凡是難度不大，經(jīng)過學(xué)習(xí)學(xué)生自己能解決的問

題，讓學(xué)生自己解決。這樣有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)成就感，同時(shí)也

有利于學(xué)習(xí)建立信心，使他們的主動性得到充分發(fā)揮，從中提高學(xué)生的思維能力和解決問題

的能力。

漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，常利用它作雙曲線的草圖，而學(xué)生對漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明

方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此，在教學(xué)過程中著重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通

過誘導(dǎo)、分析，從己有知識出發(fā)，層層探究發(fā)現(xiàn)，利用己知，啟迪思維，調(diào)動學(xué)生自身探索

的內(nèi)驅(qū)力，進(jìn)一步清晰雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，培養(yǎng)思維的深刻性。

例題的選備，擬采用一題多變（變條件，變結(jié)論）的思路，訓(xùn)練學(xué)生一題多解，開拓其

解題思路，使他們在做題中總結(jié)規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識的應(yīng)用能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問

題能力。

《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》的評測練習(xí)

例題1、【雙曲線的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用】求雙曲線9y2-16x2=144的實(shí)半軸長和虛半軸

長、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。

.X2-V2]

解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，4232-

由標(biāo)準(zhǔn)方程可得:實(shí)半軸長：a=4虛半軸長：b=3半焦距：.=山2+32=5

焦點(diǎn)坐標(biāo)：（0,-5）,（0,5）離心率：「_￡_二

----

a4

變式：求雙曲線9y2-16XJ-144的實(shí)半軸長和虛半軸長、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、

漸近線方程?！緦W(xué)生回答】

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本題的方法感悟：若題目給定的雙曲線方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式，則先要化為標(biāo)

準(zhǔn)方程，后再根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程，分別求出有關(guān)幾何量。

【意圖：例題和變式練習(xí)的選用目的，目的是為了在例題的基礎(chǔ)上作一題多變（變條件，

變結(jié)論），通過訓(xùn)練學(xué)生一題多解、多題一解，開拓其解題思路，使他們在做題中善于發(fā)展

思維、總結(jié)規(guī)律、提高知識的應(yīng)變能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。】

例題2、【由幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】已知雙曲線頂點(diǎn)間的距離是16,離心率是』，

4

焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，寫出雙曲線的方程，并且求出它的漸近線和焦點(diǎn)坐標(biāo)。

解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，2a=16,e=-,

所以a=4,c=10,b=6

所以標(biāo)準(zhǔn)方程是："2/=]

6436

漸近線方程是：y=±-x,

4

焦點(diǎn)后（一10,0）,巴（10,0）

【變式】若焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在原點(diǎn)，求雙曲線的方程，并求它的漸近線和焦點(diǎn)坐標(biāo)。

【學(xué)生作答：焦點(diǎn)在X軸時(shí)標(biāo)準(zhǔn)方程:三一亡=1漸近線方程是：y^+-x,

64364

焦點(diǎn)石（-10,0）,E（10,0）隹占九柚口十沸七鏟/X2.淅.在

焦點(diǎn)在y軸時(shí)標(biāo)傕方程：-------=1,慚近線：

6436

例題3、雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最

小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為20m,高42m.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此

雙曲線的方程.

分析：本題建立合適的坐標(biāo)系是關(guān)鍵。注意到通風(fēng)塔有三個(gè)特殊的截口圓：上口、下口、最

小的一個(gè)截口。顯然，最小截口圓的圓心是雙曲線的中心，直徑是雙曲線的實(shí)軸，所以以最

小截口直徑所在直線為X軸，圓心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則雙曲線的方程具有最簡單的形式。

解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系xOy,使小圓的直徑AA'在x軸上，圓心與原點(diǎn)重合.這時(shí)，

上、下口的直徑CC'、BB'平行于x軸，且|CC'|=13X2（m）,BB'|=20X2（m）.

22

二-J

設(shè)雙曲線的方程為/b2（。＞0力＞0）.

令點(diǎn)B的坐標(biāo)為（20,%）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（13,yz）,則.因?yàn)辄c(diǎn)B、C在雙曲線上，所以

竺一二=1f16

122b2

Y2解得12

13y2_15.

kF/

由為一切=—=42得/?=24

22

，所求的雙曲線方程為：-—-。二=1

144576

【意圖：這是一個(gè)有實(shí)際意義的題目.解這類題目時(shí)，首先要解決以下兩個(gè)問題：（1）選擇

適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；（2）將實(shí)際問題中的條件借助坐標(biāo)系用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來?！?/p>

6.沙場練兵

1、求雙曲線25y2-16x2=400的實(shí)半軸長、虛半軸的長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率及漸近線的

方程。

【學(xué)生搶答】

2、求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：【讓學(xué)生自己練習(xí)，兩個(gè)同學(xué)到黑板板演?！?/p>

⑴頂點(diǎn)在r軸上，兩頂點(diǎn)的距離后，且離心率e=9

4

4

（2）焦點(diǎn)在丁軸上，焦距是16,圖心率6?二大

【意圖：熟悉并運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)解題，加強(qiáng)應(yīng)用性，保證學(xué)生準(zhǔn)確掌握當(dāng)堂知識?！?/p>

《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》課后反思

本節(jié)知識是《全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)?（選修2-1）》第二章“圓錐曲線與方程”

第2.3.2節(jié)《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》的第一課時(shí)，是教學(xué)大綱要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容,

也是高考的一個(gè)考點(diǎn).它是在學(xué)生已掌握雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生靈活

運(yùn)用雙曲線的定義、方程和圖象，深入研究雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，進(jìn)一步使學(xué)生體會、理

解、熟練運(yùn)用解析幾何這門學(xué)科的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生的解析幾

何的思維空間。

因?yàn)樗贪嗉壍膶W(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)，自主學(xué)習(xí)能力較高。在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，首先用多

媒體為學(xué)生伴著優(yōu)美的雙曲線圖片播放校園歌曲《悲傷的雙曲線》，伴著動聽的旋律吸看著

歌詞欣賞完歌曲，自然而然的進(jìn)入了本節(jié)課的內(nèi)容：找尋雙曲線“悲傷的原因?！背浞职l(fā)揮

學(xué)生的主觀能動性，教師加以引導(dǎo)，完成本節(jié)課的教學(xué)。因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的簡單幾

何性質(zhì)，所以本節(jié)課通過類比、推導(dǎo)、歸納出雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點(diǎn)、

離心率）和獨(dú)有的幾何性質(zhì)（實(shí)軸、虛軸、漸近線）。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，可使學(xué)生在已有知

識的基礎(chǔ)上，拓展延伸、構(gòu)建新知識體系，對由數(shù)到形的思想、方法有更深刻的認(rèn)識。

本節(jié)課利用類比的教學(xué)方法，教學(xué)中通過與“橢圓的簡單幾何性質(zhì)”類比講解，從''形"

和“數(shù)”兩個(gè)方面探究雙曲線的簡單幾何性質(zhì)。而雙曲線問題，它與橢圓問題有類似性，知

識的正遷移作用可在本節(jié)課中充分顯示。讓學(xué)生試著按照橢圓的簡單幾何性質(zhì)，首先觀察雙

曲線的形狀，自己進(jìn)行探究歸納總結(jié)出雙曲線的簡單幾何性質(zhì)。而這個(gè)認(rèn)知對于現(xiàn)在的學(xué)習(xí)

會產(chǎn)生一定幫助的同時(shí)，其方程形式的不同也會帶來一定的認(rèn)知沖突。

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