高中數(shù)學(xué)必修一知識點(diǎn)總結(jié)

第一章

K1.13集合

[1.1.11集合的含義與表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

(2)常用數(shù)集及其記法N表示自然數(shù)集，N*或N+表示正整

數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集.

(3)集合與元素間的關(guān)系

對象a與集合M的關(guān)系是aeM,或者a比兩者必居其一.;

(4)集合的表示法

①自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表

示集合.

③描述法：僅|x具有的性質(zhì)｝,其中x為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.蔻鑫厚

(5)集合的分類

第1頁共22頁

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的

集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集.

[1.1.23集合間的基本關(guān)系

(6)子集、真子集、集合相等

名稱記號意義性質(zhì)示意圖

A二B(1)ACA

(或A中的任一元素都(2)0QA

子集

屬于B(3)若，口3目5鼠C,則X墨C

B[A)

若墨目則(3或/

(4)Z34=5

ACB(1)0U.4(A為非空子集〉

X,4￡3,且B中至S

直子集(或少有一元素不屬于

(2)若WuB且5uC,則KuC

MWZ

BDA)A@

X

A中的任一元素都

集合⑴A=B

A=B屬于B,B中的任

相等(2)BQA

一元素都屬于A

(7)已知集合x有〃821)個元素，則它有2"個子集，它有2.-1個真子集，它有2*-1個非空子集，它有2”-

[1.1.31集合的基本運(yùn)算

(8)交集、并集、補(bǔ)集

名稱記號意義性質(zhì)示意圖

<1)AClA=A

{x\xe4且

AdB(2)AC\<Z=<3

交集

⑶

X€B}AGA

AC\BGD

(1)A\JA^A

{x\xe4或

A\JB(2)dU0=d

并集

xeB}(3)AUB^AGD

i^n(c.4>=0

{x|xeS且x史-4}

補(bǔ)集匚*

第2頁共22頁

【補(bǔ)充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

(1)含絕對值的不等式的解法

不等式解集

|x|<a{a>0){x|-a<x<d}

|x|>a(a>0)x<-a或a}

把a(bǔ)x+6看成一個整體，化成

|ax-hb|<c^ax-^b\>c(c>0)

|x|>a(a>0)型不等式來求解

(2)一元二次不等式的解法

判別式

A>0A=0A<0

A=J2-4ac

J

二次函數(shù)

y=ax1+bx+c(a>0：十

0X產(chǎn)一

的圖象

一元二次方程-b±yjb2-44c

在2=-------------------b

ax1+bx-c=Q(a>0)"2a=XX=無實(shí)根

的根(其中內(nèi)<々)

ax1-bx-c>Q(a>0){X|XH-：}

{x\x<xl^x>x2}R

的解集2a

ax10(a>0)

{x|再<X<Xn}00

的解集

H1.22函數(shù)及其表示

[1.2.1]函數(shù)的概念

我.7

第3頁共22頁

(1)函數(shù)的概念

①設(shè)A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則3對

于集合A中任何一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)

和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合A,B以及A到B的

對應(yīng)法則f)叫做集合A到B的一個函數(shù)，記作f:ATB.

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則.

③只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同工

函數(shù).

(2)區(qū)間的概念及表示法

(3)求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：.

①f(x)是整式時，定義域是全體實(shí)數(shù).

②f(x)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù).

③f(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實(shí)

數(shù)的集合

④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變

量時，底數(shù)須大于零且不等于1.

兀

中,工

⑤y=tanxxk7l-\—■(k6Z).

⑥零(負(fù))指數(shù)幕的底數(shù)不能為零.

第4頁共22頁

⑦若f(X)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函

數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集.

毓琮駕爐舞陪心處七赤.、y-二戶

⑧對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知f(x)

的定義域?yàn)閇a,b],其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域應(yīng)由不等式

a《g(x)Wb解出.

⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況

需對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論.

空⑩由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還

要符合問題的實(shí)際意義.

(4)求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同

的.事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù)，

這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域,

I其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同.求函數(shù)值域與最值

的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得

到值域或最值.

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的

:-7

和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

第5頁共22頁

⑤換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，

三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值

問題.

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆

關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值.

③判別式法：若函數(shù)v=/(X)可以化成一個系數(shù)含有V的關(guān)于X的二次方程

aQM+Z>(y)x+c(v)=0,則在a(y)=0時，由于x,y為實(shí)數(shù)，故必須有

A=射。,)_4a(j>出)20,從而確定函數(shù)的值域或最值.

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或

最值.

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

【1.2.2］函數(shù)的表示法

(5)函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)

索;列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)

系.圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

(6)映射的概念

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

第6頁共22頁

⑤換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，

敷;三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值

，，'?,-4P

問題.

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆

關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值.

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或

最值.

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

[1.2.2]函數(shù)的表示法

（5）函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)

出；系.列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)

系.圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

-

:、:（6）映射的概念

、j學(xué)-r.K'：..Syr.'ik.

①設(shè)/、8是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則/,對于集合4中任何一個元素，在集合

?*5Jb'.,04-

B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合N,3以及X到3的對應(yīng)法則了

,'*".■-'--A,

ILK',e

叫做集合N到3的映射，記作

②給定一個集合/到集合B的映射，目ae4beB.如果元素a和元素6對應(yīng)，那么我們

把元素6叫做元素a的象，元素a叫做元素》的原象.

第7頁共22頁

K1.33函數(shù)的基本性質(zhì)

[1.3.1]單調(diào)性與最大(小)值

(1)函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對于屬于定義域I內(nèi)(1)利用定義

/

某個區(qū)間上的任意兩個y(2)利用已知函數(shù)

自變量的值X：、X：,當(dāng)個、f①)的單調(diào)性

X1時，者隋f(Xl)<f(xs)>(3)利用函數(shù)圖象

心)

(在某個區(qū)間圖

那么就說f(x)在這個區(qū)

0象上升為增)

間上是增型數(shù).X：x：X

函數(shù)的(4)利用復(fù)合函數(shù)

單調(diào)性如果對于屬于定義域I內(nèi)(1)利用定義

某個區(qū)間上的任意兩個V日6)(2)利用已知函數(shù)

自變量的值X：、x；,當(dāng)孑工的單調(diào)性

(3)利用函數(shù)圖象

X1時,若晴f(X1)>f(xs)>

(在某個區(qū)間圖

那么就說f(x)在這個區(qū)

0X,&X象下降為減)

間上是原苗1班.

(4)利用復(fù)合函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)

的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減

去一個增函數(shù)為減函數(shù).

③對于復(fù)合隹儆y=/[g(x)]，令“=g(x),若y=/Q)為增，u=g(x)為增，

則y=/[g(x)]為增；若y=/(”)為減，“=g(x)為減，則y=/[g(x)]為塔；

若y=/Q)為增，〃=g(x)為漪，則A=/[g(x)]為減；若

y=/Q)為溢，〃=g(x)為增，則>=/[g(x)]為;質(zhì).

第8頁共22頁

（2）函數(shù)/3）=》+23>0）的圖象與性質(zhì)

X

分別在（-電-6］、［指，+8）上為增函數(shù)，

分別在［-6,0）、（0;6］上為減函數(shù).

（3）最大（?。┲刀x

①一般地，設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)“滿足：

（1）對于任意的xe/,都有；

（2）存在wel,使得/&）=".

那么，我們稱心是函數(shù)f（x）的最大值，記作人紅（》）=".

②一般地，設(shè)函數(shù)v=/（x）的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)m滿足：

（1）對于任意的xe/,都有

（2）存在不e1,使得/（.與）=物.那么，我們稱加是函數(shù)/（x）的最小值，記作兀紅（x）=w.

［1.3.2］奇偶性

（4）函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定月法

性質(zhì)

如果對于函數(shù)f（x）定義（1）利用定義（要

y

域內(nèi)任意一個X,都有(?.f(?))先判斷定義域是否

f（-千A二可8?,那么函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱）

-?二

f（X）叫做育母數(shù).oax（2）利用圖象（圖

象關(guān)于原點(diǎn)對稱）

(-?.f(-a))

函數(shù)的

奇偶性如果對于函數(shù)f（x）定義（1）利用定義（要

y

域內(nèi)任意一個X,都有先判斷定義域是否

f(a))

f（-DF81:那么函數(shù)(-a.f-<關(guān)于原點(diǎn)對稱）

f（x）叫做號四教.（2）利用圖象（圖

-?oax象關(guān)于y軸對稱）

第9頁共22頁

②若函數(shù)f（應(yīng)為奇函數(shù)，且在x=o處有定義，Mf（o）=o.

③奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y

軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反.

④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）

仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或

商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇

函數(shù).

K補(bǔ)充知識】函數(shù)的圖象

（1）作圖

利用描點(diǎn)法作圖：」；.

①確定函數(shù)的定義域;

②化解函數(shù)解析式；

③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；

④畫出函數(shù)的圖象.

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、

對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象.

①平移變換

y=f（力段整卷）y=/（“+〃）y=/（x）/幕瑞）J=/a）+無

第10頁共22頁

②伸縮變換

0<dKl.伸

v—xx

y-j\)0>樨fJ_J\^)

10</<l縊

鹿.y-Jw4>1，伸少)一」到w

③對稱變換

③對稱變換

啾>..軸

y=/(=>'=-f(.x)y=/(x)>丁=/(一/

=/(x)直線=廣i(x)

y=/(x)y

去掉?‘軸左邊圖象

y=/(x)保留；軸右邊圖象，并作其關(guān)于:布寸稱圖象

保留工軸上方圖象｝「aI

y=f(x)將贏同翡藁麻上去〃弓八叼

(2)識圖

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、

變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、

奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.

(3)用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提

供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的

重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

第二章基本初等函數(shù)(I)

K2.1U指數(shù)函數(shù)

[2.1.1]指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算

第11頁共22頁

［學(xué)?啜

（1）根式的概念

。如臬凡人1,且鹿那么珊伽的歐方機(jī)

當(dāng)噓解時，。加妨根用猾而表而當(dāng)嗯嬲時,正數(shù)。的正明筆；.

丁于刎靜

的就妨根用猾而表示,負(fù)物;妨根用鶴-樂表示;。的而妨根是0;

負(fù)如沒有破方根.

霽―②式子6叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

一

當(dāng)"為奇數(shù)時，。為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)力為偶數(shù)時，^>0.

③根式的性質(zhì)：（&y=4；當(dāng)h為奇數(shù)時，療=〃；

a(心0)

當(dāng)改為偶數(shù)時,\[a^=|<7[="

-a("0)

（2）分雕疑的貶

個‘「

一丁昵躺正耀指嫄髓焜京庇

0>0：鞏加工，且〃>1）.

0的正分虢源軒0.

?肺嬲解敏息，勒#（，w.v面加

第12頁共22頁

[2.1.2]指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（4）指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)y="（a>0且aH1）叫做指數(shù)函數(shù)

a>10<a<l

/1\y=^x|y

圖象

y=1“]J(。,1)

OX

定義域R

值域(05+<?)

過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)（01），即當(dāng)x=OB寸，v=l.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在火上是增函數(shù)在火上是減函數(shù)

<7X>1(X>0)ax<1(x>0)

函數(shù)值的

ax=l(x=0)ax=l(x=0)

變化情況

a<\(x<0)ax>l(x<0)

a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低.

12.2』對數(shù)函數(shù)

[2.2.1）對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算

（1）對數(shù)的定義

第13頁共22頁

①若/=AT(a>0,且ah1),則x叫做以。為底N的對數(shù)，

記作x=loga.V,其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù).

②負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù).

③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=1ogaN=笛=N(a>0,ax1.N>0).

(2)幾個重要的對數(shù)恒等式

2

logal=0,loga<7=1,logaa=b.

(3)常用對數(shù)與自然對數(shù)

常用對數(shù)：IgN,即1。母0入「

自然對數(shù)：出"，即loggN(其中e=2：1828…).

(4)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0MHLAf>0,N>0,那么

①加法：logaAf+logaN=log2G"7V)

②減法：10gaA/T0gaN=10gaW

JV

K

③數(shù)乘：?logaJ/=\ogaAf(neR)

④a?"=N

Yl

⑤log3Af"=—logA/(5H0.72￡2?)

bb

⑥換底公式：1。8°、=3叱3>0,且6工1)

log5a

[2,2.2]對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(5)對數(shù)函數(shù)

第14頁共22頁

函數(shù)

對數(shù)函數(shù)

名稱

定義函數(shù)v=log；,x(a>0且aH1)叫做對數(shù)函數(shù)

a>10<a<1

Ax=1y\「T『=iog°x

IyJ:kjs=iogax卜

圖象

W，。).

。/a。)r

定義域(OS-MC)

值域R

過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)(LO),即當(dāng)X=1時，y=0.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在(0,+。。)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

logax>0(x>l)logax<0(x>l)

函數(shù)值的

logax=0(x=l)logax=0(x=l)

變化情況

log2x<0(0<x<1)logax>0(0<x<1)

a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高.

(7)反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式V=f(x)中反解出x=r\y)；

③將x=廣】。)改寫成V=廣七力，并注明反函數(shù)的定義域.

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(8)反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)V=/(X)與反函數(shù)y=廣1(力的圖象關(guān)于直線y=X對稱.

②函數(shù)y=/(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù))，=廣1(?的值域、定義域.

③若尸(。力)在原函數(shù))=/(x)的圖象上，則PMa)在反函數(shù)v=廣1(力的圖象上.

④一般地，函數(shù)J=/(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).

K2.3U幕函數(shù)

(1)幕函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=xa叫做幕函數(shù)，其中x為自變量，a是常數(shù).

(2)塞函數(shù)的圖象

(3)幕函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：幕函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象

限無圖象.幕函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖

象關(guān)于軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖

象關(guān)于原點(diǎn)對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一

象

②過定點(diǎn)：所有的幕函數(shù)在(0,+8)都有定義，并且圖象都

通過點(diǎn)(1J)

③單調(diào)性：如果a>0,則幕函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在［0,+

8)上為增函數(shù),如果a<0,則幕函數(shù)的圖象在［0,+8)上為

減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸.

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④奇偶性：當(dāng)a為奇數(shù)時，黑函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時，黑函數(shù)為偶函數(shù).

當(dāng)a=2(其中p,q互質(zhì)，p和qeZ),若p為奇數(shù)q為奇數(shù)時，則y=xP是奇函數(shù)，

P

若P為奇數(shù)g為偶數(shù)時，則尸，是偶函數(shù)，

..若P為偶數(shù)q為奇數(shù)時，則v=或是非奇非|

⑤圖象特征：幕函數(shù)y=xtxe((X+<?),當(dāng)a>l時，

若0<x<l,其圖象在直線y=x下方，若x>l,

其圖象在直線y=x上方，當(dāng)a<l時，若0<x<l,

其圖象在直線y=x上方，若x>l,其圖象在直線y=x下方.

K補(bǔ)充知識』二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0)

②頂點(diǎn)式：/(x)=a(x-?2+k(aH0)

③兩根式：/(x)=a(x_Xi)(x_wXaH0)

(2)求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個點(diǎn)坐標(biāo)時，宜用一般式.

②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大(小)值

有關(guān)時，常使用頂點(diǎn)式."

③若已知拋物線與X軸有兩個交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時，選

用兩根式求f(x)更方便.

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（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)/（x）=ox:+ix+c（aH0）的圖象是一條拋物線,

對稱軸方程為x=~,頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-3,舸土）.

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②當(dāng)a>0時，拋物線開口向上，函數(shù)在（-8「卷］上遞減，

在竹）上遞增，當(dāng)x=—二時，兀式工）=/匕；

2ala4a

當(dāng)a<0時，拋物線開口向下，函數(shù)在（Y,-3］上遞增，

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在［-當(dāng),-^0）上遞減，當(dāng)x=—^■時，人紅（力=^^——?

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