無(wú)錫市普通高中2024年春學(xué)期高一期終調(diào)研考試試題數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)及說(shuō)明：本卷考試時(shí)間為120分鐘，全卷滿(mǎn)分為150分．一、單選題：本題共8小題．每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1．一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員56名，女運(yùn)動(dòng)員42名，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為28的樣本，則樣本中女運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)是（

）A．10 B．12 C．14 D．162．下列說(shuō)法正確的是（

）A．平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行 B．平行于同一平面的兩條直線(xiàn)平行C．垂直于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行 D．垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行3．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，，則（

）A．4 B． C．3 D．4．已知向量與是非零向量，，，與的夾角為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．下面是?；@球隊(duì)某隊(duì)員若干場(chǎng)比賽的得分?jǐn)?shù)據(jù)．每場(chǎng)比賽得分36710111330頻數(shù)2122111則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．該隊(duì)員得分的平均數(shù)是10 B．該隊(duì)員得分的極差是27C．該隊(duì)員得分的四十百分位數(shù)是7 D．該隊(duì)員得分的方差是48.46．正四棱錐所有棱長(zhǎng)均為2，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．7．設(shè)向量，，，若的最大值為5，則正實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C．2 D．48．把一個(gè)正四面體的四個(gè)面按如下方案涂色：第一個(gè)面涂紅色，第二個(gè)面涂黃色，第三個(gè)面涂藍(lán)色，第四個(gè)面分成三塊區(qū)域分別涂上述三種顏色．將該四面體拋擲在一個(gè)平面上，記事件A=“四面體有紅色的面落在平面上”，記事件B=“四面體有黃色的面落在平面上”，記事件C=“四面體有藍(lán)色的面落在平面上”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題：本題共3小題，每題6分，共計(jì)18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：“點(diǎn)數(shù)為”，其中，2，3，4，5，6；“點(diǎn)數(shù)不大于2”；“點(diǎn)數(shù)大于2”，“點(diǎn)數(shù)大于4”，則下列結(jié)論正確的是（表示樣本空間）（

）A． B． C． D．10．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則由下列條件能得到為鈍角三角形的是（

）A．，， B．，，C．， D．，11．如圖，在矩形ABCD中，，，E為邊AB的中點(diǎn)，將沿直線(xiàn)DE翻折成，使平面平面BCDE，若點(diǎn)M為線(xiàn)段PC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線(xiàn)平面PDE B．C．點(diǎn)C到平面PDE的距離為 D．PC與平面BCDE所成角的正切值為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，則與方向相同的單位向量的坐標(biāo)為．13．若事件A與B相互獨(dú)立，，，則．14．古希臘數(shù)學(xué)家托勒密于公元150年在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》里給出了托勒密定理：圓的內(nèi)接凸四邊形的兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線(xiàn)的乘積．已知平面凸四邊形ABCD外接圓半徑為1，．則（1）；（2）的最小值為．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15．有一種魚(yú)的身體吸收汞，一定量身體中汞的含量超過(guò)其體重的的魚(yú)被人食用后就會(huì)對(duì)人體產(chǎn)生危害．在100條魚(yú)的樣本中發(fā)現(xiàn)汞含量（乘百萬(wàn)分之一）統(tǒng)計(jì)得到頻率分有直方圖如圖所示：

(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)請(qǐng)估計(jì)該樣本數(shù)據(jù)的平均值和中位數(shù)（假設(shè)各組數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布）；(3)從實(shí)際情況看，許多魚(yú)汞含量超標(biāo)的原因是這些魚(yú)在出售之前沒(méi)有被檢測(cè)過(guò)．你認(rèn)為每批這種魚(yú)的平均汞含量都比大嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．16．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，底面ABCD，，，E為PD中點(diǎn)，F(xiàn)為PB中點(diǎn)，M為CE中點(diǎn)．(1)求證：平面平面PAB；(2)求證：平面BDM．17．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A的值；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．18．在中，，，D為AB中點(diǎn)，設(shè)，．(1)當(dāng)，時(shí)，若，求邊AC的長(zhǎng)；(2)當(dāng)，時(shí)，AF與DE相交于點(diǎn)O，設(shè)，求實(shí)數(shù)的值；(3)若，且，求xy的最大值．19．袋中裝有質(zhì)地均勻、大小相同的紅球和白球共10個(gè)．現(xiàn)進(jìn)行摸球游戲．(1)若采取有放回的方式從袋中每次摸出1個(gè)球，共摸球兩次，至少有一次摸出白球的概率是．求袋中紅球的個(gè)數(shù)；(2)已知袋中有紅球5個(gè)，從袋中每次摸出1個(gè)球，若是紅球則放回袋中，若是白球則不放回袋中，求摸球三次共取出兩個(gè)白球的概率；(3)若采取不放回的方式從袋中每次摸出1個(gè)球，若連續(xù)兩次摸到紅球則停止摸球，否則繼續(xù)摸球直至第六次摸球后結(jié)束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中紅球個(gè)數(shù)的所有可能取值．1．B【分析】先計(jì)算得到抽取比例為，再計(jì)算得到答案.【詳解】田徑隊(duì)運(yùn)動(dòng)員的總?cè)藬?shù)是，要得到28人的樣本，占總體的比例為，于是應(yīng)該在女運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取(名).故選：B.2．C【分析】根據(jù)線(xiàn)面平行、面面平行、垂直的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面，可能平行，可能相交，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，平行于同一平面的兩條不同的直線(xiàn)，可能平行，可能相交，可能異面，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，垂直于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行，所以C正確；對(duì)于D，垂直于同一平面的兩個(gè)不同的平面，可能相交，可能平行，所以D錯(cuò)誤.故選：C.3．D【分析】由題意可得的值，再由余弦定理可得邊的大小.【詳解】在中，因?yàn)?，，，可知，所以，所以為銳角，可得，由余弦定理可得，即，即，可得.故選：D.4．A【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，，與的夾角為，所以，所以，所以在上的投影向量為，故選：A.5．D【分析】根據(jù)題意，依次求出該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、極差、百分位數(shù)和方差，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，該隊(duì)員得分從小到大為：3，3，6，7，7，10，10，11，13，30，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，該隊(duì)員得分的平均數(shù)為,A正確；對(duì)于B，該隊(duì)員得分的極差是，B正確；對(duì)于C，，則該隊(duì)員得分的四十百分位數(shù)是,C正確；對(duì)于D，該隊(duì)員得分的方差為,D錯(cuò)誤.故選：D.6．B【分析】利用待定系數(shù)法結(jié)合外接球得幾何特征建立關(guān)于半徑的方程，求解出外接球的半徑即可.【詳解】如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，則正面，則正四棱錐的外接球的球心在上，連接.取的中點(diǎn)，連接，，∵，∴，.由勾股定理得設(shè)正四棱錐的外接球的半徑為，在中，，即，解得.則外接球的表面積為故選：B.7．C【分析】首先求出，，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及定義得到，即可求出的值.【詳解】因?yàn)?，，所以，，則，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)與反向時(shí)取等號(hào)，所以，即，解得或，又，所以.故選：C8．B【分析】根據(jù)題意，利用古典摡型的概率計(jì)算公式，求得，且，結(jié)合選項(xiàng)逐項(xiàng)分析，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，正四面體的四個(gè)面中，有紅色的面有2個(gè)，有黃色的面有2個(gè)，有藍(lán)色的面有2個(gè)，則，且,對(duì)于A中，由，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，所以B正確；對(duì)于C中，由，所以C不正確；對(duì)于D中，由，所以D不正確.故選：B.9．BC【分析】由題意可知，該事件的樣本空間為，，，再結(jié)合隨機(jī)事件的基本運(yùn)算求解.【詳解】該事件的樣本空間為，，，對(duì)于A選項(xiàng)，，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，所以D錯(cuò)誤；故選：BC.10．ABD【分析】由余弦定理可得三角形形狀，可判斷的真假；由三角形中內(nèi)角和定理，可得的值，進(jìn)而可得角的范圍，判斷出該三角形的形狀，即判斷出的真假.【詳解】對(duì)于：由題意可得角為最大值，則，可得角為鈍角，所以正確；對(duì)于：由題意及余弦定理可得，所以角為最大角，且，即角鈍角，所以正確；對(duì)于：，在中，可得，，，，所以角為銳角，所以，，，即該三角形為直角三角形，所以錯(cuò)誤；對(duì)于：，即，，在，可得，即角為鈍角，即該三角形為鈍角三角形，所以正確.故選：.11．ACD【分析】選項(xiàng)A，取的中點(diǎn)，連接，先證四邊形是平行四邊形，可得，再由線(xiàn)面平行的判定定理，即可得證；選項(xiàng)B，取的中點(diǎn)，連接，，采用反證法，結(jié)合，，推出平面，進(jìn)而得，與已知矛盾，從而作出判斷；選項(xiàng)C，由面面垂直的性質(zhì)定理知平面，從而知點(diǎn)到平面的距離，再利用等體積法求解即可；選項(xiàng)D，由平面，知即為所求，再結(jié)合余弦定理與銳角三角函數(shù)，求解即可.【詳解】對(duì)于A，如圖，取的中點(diǎn)，連接，，則，，因?yàn)榫匦?，且是的中點(diǎn)，所以，,所以,，所以四邊形是平行四邊形，所以,又平面，平面，所以平面，故A正確；選項(xiàng)B，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以，若，由于，面，則面，面，所以，而是的中點(diǎn)，則，顯然不成立，所以不成立，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面，所以平面，即點(diǎn)到平面的距離為，而，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，即，解得：，所以點(diǎn)到平面的距離為，即選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)槠矫?，所以與平面所成角即為，在中，，，由余弦定理知，,所以，在中，，所以PC與平面BCDE所成角的正切值為，即選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12．【分析】由條件設(shè)與方向相同的單位向量坐標(biāo)為，再由條件列式求解.【詳解】設(shè)與方向相同的單位向量的坐標(biāo)為，則解得或,故與同方向的單位向量的坐標(biāo)是.故答案為：.13．0.94【分析】根據(jù)給定條件求出，再借助和事件公式即可計(jì)算作答.【詳解】因與相互獨(dú)立，且，，則，所以.故答案為：14．【分析】由正弦定理可得的比，由余弦定理可得的值，由正弦定理可得的值，再由托勒密定理可得的表達(dá)式，由基本不等式可得它的最小值.【詳解】，由正弦定理可得：，設(shè)，由余弦定理可得，在中，，可得，由正弦定理可得，，，設(shè)，由余弦定理得，由托勒密定理得，即，平方得，設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，的最小值為，即的最小值為.故答案為：;.15．(1)0.3(2)平均值為1.075，中位數(shù)為1(3)不一定，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形的面積之和為1求解；（2）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義求解；（3）不一定（不能），寫(xiě)出合理理由即可.【詳解】（1）．解得．（2）．估計(jì)該樣本數(shù)據(jù)的平均值為1.075．因中位數(shù)左右兩邊的直方圖面積相等，由，所以估計(jì)該樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為1．（3）不一定（不能）．理由：①不知道各批魚(yú)的汞含量分布是否都和這批魚(yú)相同；②樣本指標(biāo)只能作為估計(jì)值．（理由說(shuō)明一點(diǎn)就可以）16．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）證明出即可證明出平面PAB從而證明出平面平面PAB．（2）先證明平面平面BDM．再利用面面平行的性質(zhì)證明即可..【詳解】（1）底面ABCD．平面ABCD，．又，，平面PAB平面PAB．平面ACE，平面平面PAB．（2）連接EF、AE，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM．在中，M，O分別為CE，AC中點(diǎn)，．又平面BDM，OM平面BDM，平面BDM：在中，E，F(xiàn)分別為PD，PB中點(diǎn)，．又平面BDM，平面BDM．平面BDM；又AE，平面AEF，，平面平面BDM．又平面AEF，所以平面BDM．17．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及正切化為正弦與余弦的比化簡(jiǎn)可得的值，再由角的范圍，可得角的大?。唬?）由正弦定理可得再由銳角三角形可得的范圍，進(jìn)而可得的范圍.【詳解】（1）由和正弦定理得，，因?yàn)锳，B，C為的內(nèi)角，所以．（2）由正弦定理知：，為銳角三角形，則，所以．18．(1)2(2)(3)【分析】（1）由平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算將用表示出來(lái)，再由條件及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算即可；（2）由平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算可得，再由三點(diǎn)共線(xiàn)得到關(guān)于的方程，求解即可；（3）由平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算將用表示出來(lái)，再由得到，化簡(jiǎn)整理得，再由基本不等式轉(zhuǎn)化后解不等式即可求得.【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，因?yàn)镈為AB中點(diǎn)，所以，所以，所以，因?yàn)?，且，，所以，即，解得?負(fù)值舍去)，即邊AC的長(zhǎng)為2.（2）當(dāng)，時(shí)，由（1）知，,所以．因?yàn)镈，O，E三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，解得．（3），，由知：，即得：．因?yàn)閤，，所以，解得：，即．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，符合題意．所以xy的最大值為．19．(1)4個(gè)(2)(3)4，5，6，7，8個(gè)【分析】設(shè)袋中有紅球m個(gè),（1）利用對(duì)立事件求概率，列出關(guān)于m的方程，解方程得解；（2）“摸球三次共取出兩個(gè)白球”分三類(lèi)，求出每一類(lèi)的概率再求和可得；（3）由題意知，然后對(duì)m進(jìn)行分類(lèi)討論，符合題意就可，最后解出m的所有可能取值即可得解.【詳解】（1）設(shè)袋中有紅球m個(gè)．設(shè)“采取有放回的方式從袋中每次摸出1個(gè)球”，則．設(shè)“摸球兩次，至少得到一次白球”．“摸球兩次，兩次均為紅球”．則，解得，即袋中紅球有4個(gè)．（2）設(shè)事“摸球三次共取出兩個(gè)白球”，則三次摸球可能情況為：“白白紅”，“白紅白”，“紅白白”，則．所以摸球三次共取出兩個(gè)白球的概率