《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習(xí)題集第一章隨機事件及其概率

專業(yè)班姓名學(xué)號

§1.1樣本空間及其隨機事件

一.單項選擇題

*1.若為三事件，則中不多于一個發(fā)生可表為()

(A)(B)ABVJAC<JBC(C)AU5UC(D)ABVJAC^JBC

2.設(shè)ABuC,則()

(A)AB^C(B)AuC且BuC(C)(D)Au皈BuC

3.設(shè)。={1,2,…，10},A={2,3,4},B={3,4,5},則Nc豆=()

(A){2,3,4,5}(B){1,2,3}(C)Q(D)。

4.從一大批產(chǎn)品中任抽5件產(chǎn)品，事件4表示：“這5件中至少有1件廢品”，事件3

表示“這5件產(chǎn)品都是合格品”，則AB表示()

(A)所抽5件均為合格品(B)所抽5件均為廢品

(0可能事件(D)必然事件

二.填空題

1.設(shè)A3為任意兩個隨機事件，則(AuB)B=.

2.設(shè)有事件算式(A5)U(A歷U(M)U(而)，則化簡式為.

3.事件A,8,C至少有一個發(fā)生為.

4.從標(biāo)有1,2,3的卡片中無放回抽取兩次，每次一張，用(X/)表示第一次取到的

數(shù)字x,第二次取到y(tǒng)的事件，則樣本空間。={},

*P(X+Y=3)=.

11Q

5.設(shè)5={乂04]42},A={J(\—<X<1],B={x\—<x<—},具體寫出下列各式.

(1)AuB二；

(2)AD3=；

(3)AB=；

(4)AB=.

三.試寫出下列隨機試驗的樣本空間：

(1)記錄一個班級一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(以百分制記分)；

(2)一射手對某目標(biāo)進(jìn)行射擊，直到擊中目標(biāo)為止，觀察其射擊次數(shù);

(3)在單位圓內(nèi)任意取一點，記錄它的坐標(biāo)；

(4)觀察甲、乙兩人乒乓球9局5勝制的比賽，記錄他們的比分.

四.設(shè)A,8,C為3個事件，用的運算關(guān)系表示下列各事件：

(1)A發(fā)生；

(2)A不發(fā)生，但B,C至少有1個發(fā)生；

(3)3個事件恰好有1個發(fā)生；

(4)3個事件至少有2個發(fā)生；

(5)3個事件都不發(fā)生；

(6)3個事件最多有1個發(fā)生；

(7)3個事件不都發(fā)生.

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§1.2概率的直觀定義

一.單項選擇題

1.袋中有8只紅球，2只白球，從中任取2只，顏色相同的概率為()

/八16/n、l/八、29/八、2

(A)——(B)——(C)—(D)—

45104510

2.從一副除去兩張王牌的52張牌中，任取5張，其中沒有A牌的概率為()

(A)H⑻%⑹等⑻/

二.填空題

1.兩封信隨機地投入4個郵筒，則第一個郵筒只有一封信的概率為.

2.從數(shù)字1,2,3,4,5,中任取3個，組成沒有重復(fù)的3位數(shù)，試求：

(1)這個3位數(shù)是5的倍數(shù)的概率為；

(2)這個3位數(shù)是偶數(shù)的概率為；

(3)這個3位數(shù)大于400的概率為.

3.同時投擲兩顆骰子，則“這兩顆骰子中至少有一顆出現(xiàn)6點且兩顆骰子點數(shù)之和

為偶數(shù)的概率為.

4.設(shè)箱中裝著標(biāo)有廣36的36個號碼球，今從箱中任取7個，求“恰有4個球的號

碼能被5整除“的概率.

5.在一本標(biāo)準(zhǔn)英語字典中，具有55個由兩個不相同的字母所組成的單詞.現(xiàn)在從這

26個英文字母中任取兩個字母予以排列，問能排成上述55個單詞的概率為

6.在電話號碼簿中任意取一個電話號碼，(設(shè)后面4個數(shù)的每一個數(shù)都是等可能性地

取自0,1,…，9),則后面四個數(shù)全不相同的概率為.

7.在整數(shù)0至9中任取4個，能排成偶數(shù)的概率p=.

三.計算題

1.設(shè)號碼鎖有6個撥盤，每個撥盤上有從0到9的10個數(shù)字，當(dāng)6個撥盤上的數(shù)字

組成某一個6位數(shù)號碼(開鎖號碼)時，鎖才能打開，如果不知道開鎖號碼，試

開一次就能把鎖打開的概率是多少？如果要求這6個數(shù)字全不相同，這個概率又是

多少？

2.在房間里有10個人，分別佩戴著從1號到10號的紀(jì)念章，任意選3人記錄其紀(jì)

念章的號碼.

(1)求最小的號碼為5的概率.

(2)求最大的號碼為5的概率.

*3.(會面問題)兩人相約于8時至9時之間在某地會面，先到者等候另一個人15分

鐘后即可離開，求兩人能夠會面的概率.

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§1.3概率的公理化定義

一.單項選擇題

1.設(shè)為隨機事件，AB=@,P(A)=0.4,P(AuB)=0.7,則P(B)=()

(A)0.3(B)0.4(C)0.2(D)

2.已知P(A)=/,p(B)=/?2,P(AB)=ab,則5)=()

(A)a2-b2(B)(?-Z?)2(C)lab(D)a1-ab

3.下列正確的是：()

(A)P(A)=1,則A為必然事件(B)P(B)=O,則B=。

(0P(A)工P(B),則Au8(D)4匚3則2(4)〈尸(8)

二.填空題

1.當(dāng)彳與否互不相容時，P(Au8)=.

2.若P(A)=；,P(B)=g且BuA,則P(Nu^)=；

P(AB)=；P(AB)=.

3.設(shè)A,8,C是三事件，且P(A)=尸(8)=P(C)=』，P(AB)=P(C3)=O,P(A0=』，

48

則A,8,C至少有一個發(fā)生的概率為.

4.從0,1,2,…,9等10個數(shù)字中任意選出3個不同數(shù)字，試求下列事件的概率

(1)3個數(shù)字中不含。和5的概率為；

(2)3個數(shù)字中不含?；?的概率為；

(3)3個數(shù)字中含0但不含5的概率為.

11—

5.設(shè)尸(A)=—,2(6)=—，如果4與3互不相容，則P(BA)=.

32

6.設(shè)隨機事件AB及的概率分別為0.4,0.3和0.6,則P(“)=_______.

三計算題

1.已知P(A)=a,P(B)=b,P(AB)=c,求以下概率:

(1)P(AuB)；(2)P(AB)；(3)P(AB)；(4)P(AuB).

2.(1)在房間里有500個人，問至少有一個人的生日是10月1日的概率是多少(設(shè)

一年以365天計算)？

(2)在房間里有4個人，問至少有兩個人的生日是同一個月的概率是多少?

3.50只鉀釘隨機地取來用在10個部件上，其中有3個硼釘強度太弱.每個部件用3

只鉀釘.若將3只強度太弱的鉀釘都裝在一個部件上，則這個部件強度就太弱.問

發(fā)生一個部件強度太弱的概率是多少？

*4.從5雙不同鞋子中任意取4只，4只鞋子中至少有2只鞋子配成一雙的概率是多

少？

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§1.4條件概率與乘法公式

一.單項選擇題

1.設(shè)隨機事件A5互不相容，且P(A)=0.4,P(B)=0.5,則P(A|8)=()

(A)0(B)0.4(C)0.5(D)

2.設(shè)AB均為空概率事件，且AuB,則成立()

(A)P(Au8)=P(A)+P(8)(B)P(AB)=P(A>P(B)

(C)P(A|B)=(D)P(A-B)=P(A)-P(B)

二.填空題

1.已知P(A)=a,P(B)=b(b*1),P(Au6)=c,則P(AB)=；

P(A|歷=.

2.A表示事件“第一次抽到正品”，5表示事件“第二次抽到正品”，則

P(8|A)=；P(AB)=；P(B)=,

3.A,8P(A)=P(B)=0.4,P(A8)=0.28,則P(A|8)=；P{B\A)=；

P(AD5)=.

三.計算題

1.設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有〃只白球，相只紅球，乙袋中裝有N只白球，M只

紅球.今從甲袋中任意取一只放入乙袋中，再從乙袋中任取一只，問取到白球的

概率是多少？

2.次，問：能調(diào)好的概率是多少?

3.將二信息分別編碼為A和8傳送出去，接收站接收時，A被誤收作B的概率為

0.02,而8被誤收作AA與信息B傳送的頻繁程度為2:1.若接收站收到的信息是

A,問原發(fā)信息是A的概率是多少?

4.設(shè)某廠產(chǎn)品的合格率為0.96,現(xiàn)采用新方法測試，一件合格產(chǎn)品經(jīng)檢查而獲準(zhǔn)出

廠的概率為0.95,而一件廢品經(jīng)檢查而獲準(zhǔn)出廠的概率為0.05,試求使用這種方

法后，獲得出廠許可的產(chǎn)品是合格品的概率及未獲得出廠許可的產(chǎn)品是廢品的概

率.

,5.某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，在第一次落下打破的概率為1/2,第二次落下時打破

的概率為3/10,第三次落下時打破的概率為9/10.如果透鏡落下三次，它打破的

概率是多少？

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§1.5事件的獨立性

一.單項選擇題

1.甲、乙、丙三人獨立地向目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為0.5,0.6,0.7,則目標(biāo)

被擊中的概率為()

(A)0.9(B)0.92(C)0.94

2.設(shè)AB獨立，則下面錯誤的是()

(A)A,7獨立(B)47獨立(C)P(AB)=P(A)P(B)(D)AB=(/)

3.設(shè)P(A)>0,尸(5)>0,則由相互獨立不能推出()

(A)P(A|B)=P(A)(B)尸(Au8)=P(A)+P(B)

(C)P(B\A)=P(B)(D)P(BA)=P(B)P(A)

4.每次試驗成功概率為〃(0<〃<l),則在3次重復(fù)試驗中至少失敗1次的概率

為()

3322

(A)(1-PY(B)1-p(C)3(1—〃)(D)p)+p(\-p)+p(\-p)

二.填空題

1.設(shè)A,8為二相互獨立的事件，P(ADB)=0.6,P(A)=0.4,則P(B)=.

2.加工一產(chǎn)品經(jīng)過三道工序，第一，二，三道工序不出廢品的概率為0.9,0.95,0.8,

若各工序是否出廢品為獨立的，則經(jīng)過三道工序而不出廢品的概率為.

3.設(shè)尸(A)=g,尸(3)=g，若A、8獨立，則P(A—6)=；P(AuB)=.

4.假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺儀器，以概率0.70可以直接出廠，以概率0.30需進(jìn)一步

調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.80可以出廠，以概率0.20定為不合格品不能出廠，現(xiàn)

該廠生產(chǎn)了之2)臺儀器(假設(shè)各臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨立).則

其中全部能出廠的概率a=:

其中恰好有兩件不能出廠的概率夕=；

其中至少有兩件不能出廠的概率.

1.制造一種零件采用兩種工藝，第一種工藝有三道工序，每道工序的廢品率分別為

0.1,0.2,0.2；第二種工藝有兩道工序，每道工序的廢品率均為0.3,如果采用

第一種工藝，在合格品中一級品率為0.8,而采用第二種工藝，在合格品中一級品

率為0.9,問：哪一種工藝能保證得到一級品的概率較大？

2.?

,3.對飛機進(jìn)行三次獨立的射擊，第一次射擊的命中率為0.4,第二次為0.5,第三次

為0.7.飛機擊中一次而被擊落的概率為0.2,擊中兩次而被擊落的概率為0.6.

若被擊中三次則飛機必然被擊落，求射擊三次而擊落飛機的概率.

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習(xí)題課

一、單項選擇題

1.設(shè)A,8是任意兩個事件，那么P(A-8)=()

(A)尸(A)-P(B)(B)P(A)-P(B)+P(AB)

(C)P(A)+P(B)-P(AU5)(D)P(4)+P(石)一尸(43)

2.設(shè)Au3且相互獨立，則有（）

(A)P(A)=O(B)「(4)=0或2(6)=1(C)P(A)=1(D)上述都不對

3.設(shè)隨機事件A與5互不相容，并且P(A)>0,P(B)>0,則()

(A)P(A)=1-P(3)(B)P(A8)=P(A)P(8)

(C)P(AUB)=1(D)P(AB)=l

4.設(shè)A,3為隨機事件，P(A)>O,P(A|B)=1,則必有()

(A)尸(A(J5)=P(A)(B)AUB

(C)P(A)=P(B)(D)P(AB)=P(A)

二.填空題

1.設(shè)2(人)=2(3)=2(0=］，且人民。相互獨立，則A,3,C至少有一個出

現(xiàn)的概率為.

2.設(shè)隨機事件A與8相互獨立，A發(fā)生8不發(fā)生的概率與3發(fā)生A不發(fā)生的概率相

等，且P(A)=；，則尸(3)=.

3.設(shè)兩兩獨立的三個事件A,B,C滿足ABC=0,且P(A)=P(B)=P(C)=x,則當(dāng)

x=時，P(Au5uC)=

三.計算題

1.設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60臨30%,10%,從中隨意取出一件，結(jié)果不是

三等品，求取到的是一等品的概率.

*2.在區(qū)間(0,1)中隨機地取兩個數(shù)，求：(1)兩數(shù)之和小于1/4的事件的概率；(2)

兩數(shù)之和大于L2的事件的概率.

3.對以往數(shù)據(jù)分析的結(jié)果表明，當(dāng)機器調(diào)整為良好時，產(chǎn)品的合格率為90%,而當(dāng)機

器發(fā)生故障時，其合格率為30%每天早上機器啟動時，機器調(diào)整為良好的概率為

75%,試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時，機器調(diào)整為良好的概率.

*4.如果一危險情況C發(fā)生時，一電路閉合并發(fā)出警報.我們可以借用二個或多個開關(guān)

并聯(lián)以改善可靠性，在C發(fā)生時這些開關(guān)每一個都應(yīng)閉合，且若至少一個開關(guān)閉

合了，警報就發(fā)出.如果兩個這樣的開關(guān)并聯(lián)連接，它們每個具有0.96的可靠性

(即在情況C發(fā)生時閉合的概率)，問這時系統(tǒng)的可靠性(即電路閉合的概率)

是多少?如果需要有一個可靠性至少為0.9999的系統(tǒng)，則需要用多少只開關(guān)?這

里設(shè)各開關(guān)閉合與否是相互獨立的.

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習(xí)題集第二章隨機變量及其分布

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§§2.2離散型隨機變量與分布函數(shù)

一.選擇題

1.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為E(x),則以下說法錯誤的是()

(A)F(x)=P(XWx)(B)當(dāng)西<工2時，)<F(X2)

(C)F(+oo)=l,F(-oo)=0(D)尸(x)是一個右連續(xù)的函數(shù)

2.設(shè)隨機變量X的分布列為X-113則F(l)=()

p0.20.70.1

(A)0(B)0.2(C)0.9(D)1

3.設(shè)隨機變量乂~。(/1),且口乂=1)=/}(乂=2)則。(乂=4)=()

(A)-e-2(B)-e-2(C)-e-3(D)-e-3

2323

二.填空題

1.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)F{x}=A-e-\x>0),則A=.

2.設(shè)隨機變量X的分布律P(X=A)=C(|)(4=1,2,3),則。=.

*3.設(shè)隨機變量X的分布為P(X=X=2p"(左=1,2,…),則-=.

4.設(shè)X?B(2,p),y?B(3,p),若P(XN1)=3,則2(丫21)=.

三.計算題

X3

1.設(shè)X的分布律為-11求X的分布函數(shù).

P0.40.50.1

2.從裝有4個黑球，8個白球和2個黃球的箱中，隨機抽取2個球，假定每取出一個

黑球得2分，每取出一個白球失1分，每取出一個黃球不得分也不失分，以X表示

我們得到的分?jǐn)?shù)，求X的概率分布.

3.已知一電話交換臺每分鐘接到的呼喚次數(shù)服從參數(shù)是4的泊松分布，求:

(1)每分鐘恰有6次呼喚的概率；

(2)每分鐘呼喚次數(shù)大于8的概率.

40.0001.在某天的該時段內(nèi)有HXX)輛汽車通過，問：出事故的次數(shù)不小于2的概率.

5.為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修人員，設(shè)共有300臺設(shè)備，每臺設(shè)備的

工作相互獨立，發(fā)生故障的概率都是0.01,若在通常的情況下，一臺設(shè)備的故障

可以由一人來處理，問：至少應(yīng)配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時

不能及時維修的概率小于0.01?

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習(xí)題集第二章隨機變量及其分布

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§連續(xù)型隨機變量及其分布

一.單項選擇題

2x；當(dāng)川，則常數(shù)A=(

1.設(shè)隨機變量X?f(x)=，)

〔0其它

(A)—(B)-(C)1(D)2

42

2.以下為正態(tài)分布密度函數(shù)的是()

1—(XT-1

XER(B)/(%)=-C,XeR

(A)/(%)=-扃，,廝

1

—0<x<22e~lxx>0

⑹/(x)h2⑴)/(%)="

0x<0

0其它

*3.設(shè)隨機變量X的概率密度為/(x),且f(-x)=f(x),F(x)是X的分布函數(shù)，則對

任意實數(shù)a,有()

(A)F(—a)=；—J：/(x)公(B)/(—a)=l—公

(0E(-a)=尸(a)(D)尸(一a)=2E(a)-1

二.填空題

1.設(shè)隨機變量X?N(O,1),則①(0)=；夕(0)=.

2.連續(xù)型Q.X的概率密度為/(%)={,P(1.5<X<2.5)=

0也

3.設(shè)X?N.I),①(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)且P(XK11)=①(a),則a=

0,x<0

*4.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為尸(x)=<Asinx,O<x<|,則P(|X區(qū)萬/6)=一

三.計算題

-ly

1.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為尸(x)=A+Be2%-°,求⑴A,B；

0x<0

(2)P(&<X<2)；(3)X的概率密度.

2.修理某機器所需時間(單修h)服從為參數(shù)人;的指數(shù)分布，試問:

⑴修理時間超過2/?的概率是多少？

(2)若已持續(xù)修理了9〃，總共需要至少10/1才能修好的概率是多少？

3.設(shè)隨機變量X的概率密度為/（x）=Ce-W（-oo<x<+8）,求：⑴常數(shù)A；

（2）X的分布函數(shù).

4.某廠生產(chǎn)的電子管壽命X（單位：〃）服從N（1600,cr2）,若電子管壽命在1200小

時以上的概率不小于0.96,求。的值.

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§2.4隨機變量函數(shù)的分布

二.單項選擇題

1.已知連續(xù)型隨機變量x的分布函數(shù)為3。），則隨機變量函數(shù)y=2X-1的分布函

數(shù)為（）

（A）》（號）⑻4與）（C）U⑻"（空

2.已知連續(xù)型隨機變量X?八（x），y=YX+l,則人（>）=（）

（A）%（寧）⑻一%（一/）?（平）⑺）%（十）

3.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為』的指數(shù)分布，則的密度函數(shù)為（）

2

Jy

（A）,%2、y>0y>0

0y<00y<0

1

=e2-00<x<+c

（C）~^（Q）：D)丁2y〉0

0”0

二.填空題

1.設(shè)隨機變量X的分布律為X-2-12

2

則Y=8-X的分布律P0.4().30.3為

2.設(shè)隨機變量X服從（0,2）上的均勻分布，則隨機變量Y=x2在（0,4）內(nèi)的概率分布

函數(shù)為.

3.設(shè)隨機變量X服從（0,1）上的均勻分布，則隨機變量函數(shù)y=-21nX的概率密度為

人（y）=------------------------------

*4.若隨機變量y服從。,6）上的均勻分布，則方程V+拄+1=0有實根的概率

是.

三.計算題

1.設(shè)x的分布律為

X-2-1012

p1/51/61/51/1511/30

求：⑴y=i-x的分布律；（2）y=x2的分布律.

2.設(shè)X?N(0,l),試求:

6Y=eX的概率密度；（2）丫=|X|的概率密度.

*3.設(shè)對圓片直徑進(jìn)行測量，測量值X在［5,6］上服從均勻分布，求圓片面積y的概率

密度.

2x

*4.設(shè)隨機變量X的概率密度為/(%)=/求丫=疝乂的概率密度.

0其它

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習(xí)題課

一.單項選擇題

1.已知隨機變量X只能取-1,0,1,2,3五個數(shù)值，其相應(yīng)的概率依次為

—,—?,—,——,——，貝Uc=()

2c4c8c16c16c

(A)2(B)3(C)4(D)1

2.設(shè)隨機變量X在區(qū)間［2,a］上服從均勻的分布，且P(X>4)=0.6,則a=()

(A)5(B)7(C)8(D)6

3.隨機變量X~N(2,，),P(0<X<4)=0.3,則P(X<0)=()

(A)0.5(B)0.3(C)0.35(D)

4.設(shè)隨機變量X~8(3,04),且隨機變量y=X(3—X)/2,則P(y=1)=()

(A)0.432(B)0.72(C)0.288(D)

二.填空題

1.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為

0,x<a,

F(x)=<0.4,"其中0<Q<b,則P(a/2<X<h)=.

1,x>b,

2.設(shè)隨機變量X的概率密度為

9r0<X<1

/G)='’以y表示對x的三次獨立重復(fù)觀察中事件｛xwi/2｝出現(xiàn)的

0,其匕，

次數(shù)，貝ijp(y=2)=.

3.設(shè)某批電子元件的壽命X服從正態(tài)分布N(〃°2),若〃=160,且

P(120<X<200)=0.8,則cr=.(注：<D(1.28)=0.9)

4.設(shè)隨機變量X的概率密度為

x,0<x<1,

/")=<2-x,13<2,則2。/4<*<3/2)=.

0,其他，

三.計算題

1.某人的一串鑰匙上有〃把鑰匙，其中只有一把能打開自己的家門，他隨意地試用這

串鑰匙中的某一把去開門，若每把鑰匙試開一次后除去，求打開門時試開次數(shù)X的

分布律.

-/,|x|<1,

2.隨機變量X的概率密度為/(x)=產(chǎn)/求：⑴常數(shù)C；(2)X的分布布

0,其它

函數(shù)；(3)P(-1/2<X<1)

A

工設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為=F求⑴常數(shù)A；⑵X的概率密度;

(3)P(X<0)

4.某元件壽命X服從參數(shù)為4一的指數(shù)分布，3個這樣的元件使用1000小時后,

1000

都沒有損壞的概率是多少？

5.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績(百分制)近似服從于正態(tài)分布

N(72,(T2),96分以上占考生2.3%,試求考生的外語成績在60~84分之間的概率

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習(xí)題集第三章多維隨機變量及分布

系專業(yè)班姓名學(xué)號

§§二維隨機變量及其分布

一.單項選擇題

1.設(shè)尸(x,y)是任意兩個隨機變量X和丫的聯(lián)合分布函數(shù)，則錯誤的是()

(A)R(x,y)對于每一個自變量單調(diào)不減

(B)/(x,y)對于每一個自變量右連續(xù)

(C)F(-co,y)=F(x,-oo)=0,F(+<x),+<x>)=1

(D)對于任意的有

P(a<X<b,c<Y<d)=F(b,d}-\F{a,d)+F(b,c)]-F(a,c)

2.隨機變量x和y相互獨立，都服從于0-1分布：p(x=o)=尸(y=o)=*,

3

則p(x=y)=()

5

X

1O

7B)9-

二.填空題

Y

1.設(shè)二維聯(lián)合變量（x,y）的聯(lián)合分布列為-113

\

X—a/3a1/12

(1)Q=______________；01/83/82a

(2)x,y獨立嗎?

(3)尸(0,2)=；P(-l<X<0,2<y<3)=.

c.幾"5+人皿++4“.[Cx0<x<4,0<y<l

2.設(shè)隨機變量1g(X,y)的聯(lián)合概率密度為/(x,y)={''，

0具匕

則：(1)C=；(2)P(-1<X<3,-<y<l)=

2

(3)fx(-^)~;

⑷人(y)=?

三.計算題

1.設(shè)袋中有4個球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,2,3從袋中任取一球（其數(shù)字記為X）之后不

能再放回，再從袋中任取一球（其數(shù)字記為丫），求（x,y）的聯(lián)合分布律和邊緣分

布律，并判斷x,y是否獨立.

2.設(shè)隨機變量（Xr）的聯(lián)合概率密度/（x,y）=F'（D求常數(shù)

0其匕

c,并判斷X,y是否獨立.

（X,7）/（x,y）=.（a+y）

設(shè)隨機變量的聯(lián)合概率密度0W2,0"W2,求常數(shù)

3.

0其它

c,并判斷X,y是否獨立.

4.設(shè)G表示拋物線y=f及直線y=x所包圍的區(qū)域，X,y服從G上的均勻分布，求

聯(lián)合概率密度.

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習(xí)題集第三章多維隨機變量及分布

系專業(yè)班姓名學(xué)號

*§§二維隨機變量的分布

一.單項選擇題

1.設(shè)x與y相互獨立，且尸（X2O）=p（yzo）=L則尸(max{X,F}20)=()

158

z\x

A(BJ)]_

-xZ-z-

999(D)

3

二.填空題

1.設(shè)二維隨機變量（X,y）在區(qū)域。:04%<1,0<3；<2-2%上服從均勻分布.求隨機變

量z=x+r的分布函數(shù)F（Z）=.

2.設(shè)隨機變量X與y相互獨立，且X??N（0」），Z=X-2Y,求隨機

2

變量Z的概率密度為.

3.設(shè)X~N（1,3）,y~N（2,2）,且X與y相互獨立，則X—y?

三.計算題

1.設(shè)隨機變量U與V相互獨立，且P(U=O)=P(U=D=g,p(v=0)=|,

尸(v=l)=；,記X=min{u,v},y=max{U,V}求(1)X片的分布律；

(2)(x,y)的分布律.

2.設(shè)二維隨機變量(X：)的聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)=16x‘求

[0,其匕

(1)x,y的邊緣密度函數(shù)；(2)當(dāng)x=i/3時，y的條件密度函數(shù)Gx(y|x=i/3)；

(3)p(x+y<i).

3.設(shè)隨機變量X在(0,a)上隨機地取值，服從均勻分布，當(dāng)觀察到X=x(0<x<a)

時，丫在區(qū)間(x,a)內(nèi)任一子區(qū)間上取值的概率與子區(qū)間的長度成正比，求:

(1)(X,y)的聯(lián)合密度函數(shù)〃x,y)；(2)y的密度函數(shù)人(y).

4.隨機變量x與丫相互獨立，且x與y的分布律相同，x的分布律為

(1)求2=乂+丫的分布律；

X012

(2)求/=111湫(丫,1/)的分布律

P1/61/31/2

(3)求N=min(X,y)的分布律.

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習(xí)題集第三章多維隨機變量及分布

系專業(yè)班姓名學(xué)號

習(xí)題課

選擇題

1.設(shè)隨機變量x和y有相同的概率分布X-101

P0.250.50.25

P(XF=O)=I,則p(x?=y2)=()

(A)0(B)0.25(C)0.50(D)1

*2.設(shè)x和y相互獨立，且都服從區(qū)間［0,1］上的均勻分布，則服從區(qū)間或區(qū)域上的

均勻分布的隨機變量是()

(A)(X,y)(B)X+Y(C)X2(D)X-Y

二.填空題

1.設(shè)二維聯(lián)合變量(X,y)的聯(lián)合分布列為X123

則，。力應(yīng)該滿足條件，11/61/91/18

a

若x和y相互獨立，則。=,b=.21/3h

10<x<l,0<y<l

2.設(shè)二維隨機變量(X,丫)的聯(lián)合概率密度為/(%,y)=<

0其它

則P(X<0.5,Y<0.6)=.

三.計算題

1.設(shè)隨機變量(X,F)的聯(lián)合密度為f(x,y)=]41一護(hù)+/)x2+y2<\

0其它

求系數(shù)A.

2.設(shè)隨機變量X隨機的在1,2,3這三個整數(shù)中任取一個，另一個隨機變量y則隨機的

在1?x中任取一個整數(shù)，求(X,y)的聯(lián)合分布律，邊緣分布律，并判斷X,y獨立

與否.

3.設(shè)隨機變量(X,Y)聯(lián)合密度為了(尤,y)=*⑵冏)無*士〉°,求常數(shù)上,并求

0其它

出p(o<x<i,o<y<2).

Cx)'30<x<l,0<y<l

4.設(shè)隨機變量(X,丫)聯(lián)合密度為/(x,y)=>

0其它

(1)求c(2)證明X,y相互獨立.

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計課外習(xí)題》第四章隨機變量的數(shù)字特征

系專業(yè)班姓名學(xué)號

§數(shù)學(xué)期望

一.單項選擇題

1.設(shè)隨機變量x與y,則以下說法正確的是()

(A)E(X+y)=E(X)+E(y)(B)E(Xy)=E(X)-￡(y)

8

(C)E(X)=?kPk(D)E(X)=J；V(x心

k=ly

2.設(shè)隨機變量X~8(10,0.5),Y~P(2),求E(2X+y-3)=()

(A)9(B)19(C)12(D)5

3.現(xiàn)有6張獎券，其中4張為1元，2張為2元，今某人從中隨機無放回的抽取3張,

則此人所得獎金的數(shù)學(xué)期望為()

(A)5(B)4(C)3(D)2

二.填空題

1.設(shè)X的密度函數(shù)為/。)=卜2一1二則E(X)=_________

0其他

若y=3x-1,則七(y)=_____

2.設(shè)隨機變量X的概率分布如下表:

X-101

P0.250.50.25

⑴求E(X)=；

⑵若y=3x+i,￡(7)=；(3)若y=2x2,E(y)=

3.設(shè)X與丫相互獨立，X~E(3),Y~U(3,5),則E(X+F)2=

三.計算題

1.設(shè)二維聯(lián)合變量(x,y)的聯(lián)合分布列為X12

求￡(x),E(y),￡(xy)11/41/2

201/4

2.己知X~/(x)=yx>°,求X不超過自己數(shù)學(xué)期望的概率.

0x<0

x>0

3.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為X~/(x)=「0，求下列兩種情況的后(丫卜

x<0

(1)y=2X,(2)Y=e~2x.

設(shè)(X,y)在圓盤x2+y24R2上服從均勻分布，求點(x,y)到圓心的距離的數(shù)學(xué)期

望.

ax0<x<2

24x44,E(X)=2,(1<3)=

5.設(shè)X~/(x)=vM+b且尸乂<』,求。*,。.

其它4

0

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計課外習(xí)題》第四章隨機變量的數(shù)字特征

系專業(yè)班姓名學(xué)號

§§方差與協(xié)方差

一.單項選擇題

1.以下說法正確的是()

(A)r>(x-y)=z)(x)+z)(y)(B)D(XY)^D(X)D(Y)

(C)D(X)=E(X-EX)2(D)cov(X,y)=E(X).E(y)-E(Xy)

2.設(shè)隨機變量X~N(l,2),y?尸(3),則下列等式不成立的是()

(A)E(X+Y)=4(B)0(27+3)=12

(C)D(X+y)=5(D)D(3X)=18

二.填空題

1.設(shè)x和y相互獨立，它們的分布率分別為：

X91()11Y-2012

P0.3().50.2P0.30.10.40.3

；D(Y)=；D(Y-2X)=.

2.已知X的概率密度為了(X)則D(X)=

3.設(shè)X為隨機變量，且E(X)=-2,Z)(X)=3,則E(3X2-6)=.

4.己知X~N(0,9),y~5(18,；),相關(guān)系數(shù)/?=—3，則cov(X,y)=.

5.隨機變量X?3(100,0.4),由切比雪夫不等式估計尸(300<X<500)，

三.計算題

1.設(shè)隨機變量X~U[2,3],隨機變量y=x2,求E(y),D(y).

2.設(shè)隨機變量X和y的方差分別為25,36,相關(guān)系數(shù)為0.4,求。(X+Y),

D(x-y).

1X>0

3.設(shè)隨機變量X~U[-1,2],則隨機變量丫=<0X=0,求。（丫）.

-1X<0

4.設(shè)燈管使用壽命X服從指數(shù)分布，且其平均使用壽命為3000/2,現(xiàn)