第五章

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用[數(shù)學(xué)文化]——了解數(shù)學(xué)文化的發(fā)展與應(yīng)用(一)早期導(dǎo)數(shù)概念——特殊的形式大約在1629年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬研究了作曲線的切線和求函數(shù)極值的方法，1637年左右，他寫了一篇手稿《求最大值與最小值的方法》.在作切線時(shí)，他構(gòu)造了差分f(A＋E)－f(A)，發(fā)現(xiàn)的因子E就是我們現(xiàn)在所說的導(dǎo)數(shù)f′(A).(二)17世紀(jì)——廣泛使用的“流數(shù)術(shù)”17世紀(jì)生產(chǎn)力的發(fā)展推動(dòng)了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，在前人創(chuàng)造性研究的基礎(chǔ)上，大數(shù)學(xué)家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開始系統(tǒng)地研究微積分.牛頓的微積分理論被稱為“流數(shù)術(shù)”，他稱變量為流量，稱變量的變化率為流數(shù)，相當(dāng)于我們所說的導(dǎo)數(shù).(三)19世紀(jì)導(dǎo)數(shù)——逐漸成熟的理論1823年，柯西在他的《無窮小分析概論》中定義導(dǎo)數(shù)：如果函數(shù)y＝f(x)在變量x的兩個(gè)給定的界限之間保持連續(xù)，并且我們?yōu)檫@樣的變量指定一個(gè)包含在這兩個(gè)不同界限之間的值，那么是使變量得到一個(gè)無窮小增量.19世紀(jì)60年代以后，魏爾斯特拉斯對(duì)微積分中出現(xiàn)的各種類型的極限重加表達(dá)，導(dǎo)數(shù)的定義也就獲得了今天常見的形式.2.我們知道，物體在做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度的方向是與運(yùn)動(dòng)軌跡相切的.例如，如圖所示的砂輪打磨下來的微粒，是沿著飛輪的切線飛出去的.這也就意味著，求切線是研究曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)經(jīng)常要做的事情.我們?cè)谄矫娼馕鰩缀沃幸阎涝鯓忧髨A錐曲線的切線.不過，可能會(huì)讓你感到意外的是，那種求切線的方法并不適用于一般的曲線.然而，借助于導(dǎo)數(shù)來討論曲線的切線更具有一般性.問題1：物體運(yùn)動(dòng)的速度和位移有什么關(guān)系？加速度和速度又是什么關(guān)系呢？問題2：假設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，如何求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程呢？鏈接：：

(1)如果從本章我們要學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)來看的話，上述速度就是位移關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，而加速度就是速度關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即v＝x′＝v0＋at，a＝v′，其中x′與v′分別表示x與v對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù).(2)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線的斜率為k＝f′(x0)，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，y0)處切線的方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0).5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義5.1.1變化率問題課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過實(shí)例分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程.2.體會(huì)極限思想.根據(jù)具體的實(shí)例計(jì)算平均變化率和瞬時(shí)變化率，并得到二者的關(guān)系，借此發(fā)展數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).新知探究下面是我國北方某地某日氣溫日變化曲線圖：某地氣溫日變化曲線圖問題1從圖中可以看出，從6時(shí)到10時(shí)為“氣溫陡增”的時(shí)段，它的數(shù)學(xué)意義是什么？提示“氣溫陡增”是指溫度在相同的時(shí)間內(nèi)變化大，即溫差大.問題2如何比較不同時(shí)間段內(nèi)的氣溫變化的大??？例如：假設(shè)6時(shí)的氣溫是25℃，10時(shí)的氣溫是29℃，12時(shí)的氣溫是30℃，那么如何比較從6時(shí)到10時(shí)與從10時(shí)到12時(shí)氣溫變化的大小？問題1從圖中可以看出，從6時(shí)到10時(shí)為“氣溫陡增”的時(shí)段，它的數(shù)學(xué)意義是什么？提示“氣溫陡增”是指溫度在相同的時(shí)間內(nèi)變化大，即溫差大.問題2如何比較不同時(shí)間段內(nèi)的氣溫變化的大??？例如：假設(shè)6時(shí)的氣溫是25℃，10時(shí)的氣溫是29℃，12時(shí)的氣溫是30℃，那么如何比較從6時(shí)到10時(shí)與從10時(shí)到12時(shí)氣溫變化的大??？1.瞬時(shí)速度(1)瞬時(shí)速度：物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.2.曲線的割線和切線切線是割線的極限位置拓展深化[微判斷]1.在計(jì)算物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度時(shí)，h(t0＋Δt)>h(t0).()

提示也可能有h(t0＋Δt)≤h(t0).2.瞬時(shí)速度是刻畫物體在區(qū)間[t0，t0＋Δt](Δt>0)上變化快慢的物理量.(

)

提示

瞬時(shí)速度是刻畫物體在某一時(shí)刻速度的物理量.3.曲線在某點(diǎn)處的切線是過該點(diǎn)的割線的極限位置.()××√

[微訓(xùn)練]1.若一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s＝t2＋1，則在時(shí)間段[1，2]中的平均速度是________.2.拋物線y＝x2＋1在點(diǎn)(1，2)處的切線的斜率是________.答案22.拋物線y＝x2＋1在點(diǎn)(1，2)處的切線的斜率是________.答案2[微思考]1.教材中求拋物線切線的斜率的過程中Δx表示什么？它的取值范圍是什么？

提示

Δx是自變量的增量，它可以是正值，也可以是負(fù)值，但不為0.2.如果某物體在某時(shí)間段內(nèi)的平均速度為0，能否判定該物體在此時(shí)間段內(nèi)的瞬時(shí)速度都為0?

提示不能.答案B題型二求瞬時(shí)速度【例2】某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度.即物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度為3m/s.【遷移1】若本例中的條件不變，試求物體的初速度.解求物體的初速度，即求物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度，即物體的初速度為1m/s.【遷移2】若本例中的條件不變，試問物體在哪一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s.解設(shè)物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s.則2t0＋1＝9，∴t0＝4.則物體在4s時(shí)的瞬時(shí)速度為9m/s.【訓(xùn)練2】一質(zhì)點(diǎn)M按運(yùn)動(dòng)方程s(t)＝at2＋1做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，若質(zhì)點(diǎn)M在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s，求常數(shù)a的值.解質(zhì)點(diǎn)M在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度即為函數(shù)在t＝2處的瞬時(shí)變化率.題型三求曲線在某點(diǎn)處切線的斜率或方程【例3】求拋物線f(x)＝x2－2x＋3在點(diǎn)(1，2)處的切線方程.規(guī)律方法求拋物線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟【訓(xùn)練3】求拋物線f(x)＝x2－x在點(diǎn)(2，2)處的切線方程.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝1－t2，則該物體在[1，2]內(nèi)的平均速度為(

) A.2 B.3 C.－2 D.－3答案D2.一個(gè)物體做直線運(yùn)動(dòng)，位移s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式為s(t)＝t2＋2t＋3，則該物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為(

) A.4 B.5 C.6 D.7答案C3.拋物線y＝x2＋4在點(diǎn)(1，5)處的切線的斜率為________.答案24.求拋物線f(x)＝3x2－4x－1在點(diǎn)(2，3)處的切線方程.備用工具&資料3.拋物線y＝x2＋4在點(diǎn)(1，5)處的切線的斜率為________.答案2二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝1－t2，則該物體在[1，2]內(nèi)的平均速度為(

) A.2 B.3 C.－2 D.－3答案D拓展深化[微判斷]1.在計(jì)算物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度時(shí)，h(t0＋Δt)>h(t0).()

提示也可能有h(t0＋Δt)≤h(t0).2.瞬時(shí)速度是刻畫物體在區(qū)間[t0，t0＋Δt](Δt>0)上變化快慢的物理量.(

)

提示

瞬時(shí)速度是刻畫物體在某一時(shí)刻速度的物理量.3.曲線在某點(diǎn)處的切線是過該點(diǎn)的割線的極限位置.()××√(三)19世紀(jì)導(dǎo)數(shù)——逐漸成熟的理論1823年，柯西在他的《無窮小分析概論》中定義導(dǎo)數(shù)：如果函數(shù)y＝f(x)在變量x的兩個(gè)給定的界限之間保持連續(xù)，并且我們?yōu)檫@樣的變量指定一個(gè)包含在這兩個(gè)不同界限之間的值，那么是使變量得到一個(gè)無窮小增