6.2排列與組合6.2.1排列1.通過實(shí)例理解排列的概念.2.能應(yīng)用排列知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求通過學(xué)習(xí)排列的概念，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究1排列的定義一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，并按照____________排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.一定的順序點(diǎn)睛排列定義中兩層含義：一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排成一列”.

1.思考辨析，判斷正誤 (1)在一個(gè)排列中，若交換兩個(gè)元素的位置，則該排列不發(fā)生變化.(

)

提示

在一個(gè)排列中，若交換兩個(gè)元素的位置，則該排列與原來的排列不同. (2)兩個(gè)排列相同的充要條件是：兩個(gè)排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同.(

) (3)從1，2，3，4中任選兩個(gè)元素，就組成一個(gè)排列.(

)

提示

從1，2，3，4中任選兩個(gè)元素并按照一定的順序排成一列，才能組成一個(gè)排列. (4)從5個(gè)同學(xué)中任選2個(gè)同學(xué)分別參加數(shù)學(xué)和物理競(jìng)賽的所有不同的選法是一個(gè)排列問題.(

)×√×√2.從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)數(shù)做加、減、乘、除運(yùn)算，分別計(jì)算它們的結(jié)果，在這些問題中，有幾種運(yùn)算可以看作排列問題(

) A.1種 B.3種 C.2種 D.4種

解析因?yàn)榧臃ê统朔M足交換律，所以選出兩個(gè)數(shù)做加法和乘法時(shí)，結(jié)果與兩數(shù)字位置無關(guān)，故不是排列問題，而減法、除法與兩數(shù)字的位置有關(guān)，故是排列問題.C3.從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為(

)A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B.甲乙丙，乙丙甲C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D.甲乙，甲丙，乙丙解析選出兩人，且兩人的不同順序都要考慮.C4.從5名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各1名，有__________種不同的選法(用數(shù)字作答).

解析從5名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各1名，即從5個(gè)不同元素中選出2個(gè)元素進(jìn)行排列，不同的選法種數(shù)為5×4＝20.204.從5名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各1名，有__________種不同的選法(用數(shù)字作答).

解析從5名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各1名，即從5個(gè)不同元素中選出2個(gè)元素進(jìn)行排列，不同的選法種數(shù)為5×4＝20.20課堂互動(dòng)題型剖析2題型一排列的概念【例1】判斷下列問題是否為排列問題. (1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格(假設(shè)來回的票價(jià)相同)；(2)選2個(gè)小組分別去植樹和種菜；(3)選2個(gè)小組去種菜； (4)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組；

(5)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員、生活委員； (6)某班40名學(xué)生在假期相互通信.

解(1)中票價(jià)只有三種，雖然機(jī)票是不同的，但票價(jià)是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題. (2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題. (3)，(4)不存在順序問題，不屬于排列問題. (5)中每個(gè)人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長(zhǎng)與當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題. (6)A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題.

所以在上述各題中(2)，(5)，(6)屬于排列問題.判斷一個(gè)具體問題是否為排列問題的方法思維升華【訓(xùn)練1】

下列問題是排列問題嗎？ (1)從班上50名學(xué)生中選出6人去參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽； (2)從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個(gè)不同的數(shù)字作冪運(yùn)算； (3)會(huì)場(chǎng)有50個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位有多少種方法？若選出3個(gè)座位安排3位客人入座，又有多少種方法？

解(1)不是；(2)是；(3)第一問不是，第二問是.

理由：(1)不存在順序問題；(2)進(jìn)行冪運(yùn)算時(shí)，兩數(shù)誰作底數(shù)，誰作指數(shù)不一樣，此時(shí)與位置有關(guān)；(3)選出3個(gè)座位與順序無關(guān)，“入座”問題同“排隊(duì)”，與順序有關(guān)，故選3個(gè)座位安排3位客人入座是排列問題.【例2】

(1)從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，一共可以組成多少個(gè)？

解由題意作“樹狀圖”，如下.題型二排列的列舉問題故組成的所有兩位數(shù)為12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12個(gè).【例2】

(1)從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，一共可以組成多少個(gè)？

解由題意作“樹狀圖”，如下.題型二排列的列舉問題故組成的所有兩位數(shù)為12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12個(gè).(2)寫出從4個(gè)元素a，b，c，d中任取3個(gè)元素的所有排列.解由題意作“樹狀圖”，如下.故所有的排列為abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.利用“樹狀圖”法解決簡(jiǎn)單排列問題的適用范圍及策略(1)適用范圍：“樹狀圖”在解決排列元素個(gè)數(shù)不多的問題時(shí)，是一種比較有效的表示方式.(2)策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個(gè)元素為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，再安排第二個(gè)元素，并按此元素分類，依次進(jìn)行，直到完成一個(gè)排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹狀圖寫出排列.思維升華【訓(xùn)練2】

寫出A，B，C，D四名同學(xué)站成一排照相，A不站在兩端的所有可能站法.

解由題意作“樹狀圖”，如下，故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.【例3】用具體數(shù)字表示下列問題. (1)從100個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個(gè)數(shù)，其商的個(gè)數(shù)； (2)由0，1，2，3組成的能被5整除且沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)； (3)有4名大學(xué)生可以到5家單位實(shí)習(xí)，若每家單位至多招1名實(shí)習(xí)生，每名大學(xué)生至多到1家單位實(shí)習(xí)，且這4名大學(xué)生全部被分配完畢，其分配方案的個(gè)數(shù).

解(1)從100個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個(gè)數(shù)，分別作為商的分子和分母，其商共有100×99＝9900(個(gè)). (2)因?yàn)榻M成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)能被5整除，所以這個(gè)四位數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定是“0”，故確定此四位數(shù)，只需確定千位數(shù)字、百位數(shù)字、十位數(shù)字即可，共有3×2×1＝6(個(gè)). (3)可以理解為從5家單位中選出4家單位，分別把4名大學(xué)生安排到4家單位，共有5×4×3×2＝120(個(gè))分配方案.題型三排列的簡(jiǎn)單應(yīng)用要想正確地表示排列問題的排列個(gè)數(shù)，應(yīng)弄清這件事中誰是分步的主體，分清m個(gè)元素和n(m≤n)個(gè)不同的位置各是什么.思維升華【訓(xùn)練3】

(1)有7本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？ (2)有7種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？

解(1)從7本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，相當(dāng)于從7個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，所以共有7×6×5＝210(種)不同的送法. (2)從7種不同的書中買3本書，這3本書并不要求都不相同，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有7×7×7＝343(種)不同的送法.1.牢記2個(gè)知識(shí)點(diǎn) (1)排列的定義； (2)相同排列的兩個(gè)條件：①元素相同，②順序相同.2.掌握2種方法 (1)判斷一個(gè)具體問題是否為排列問題的方法； (2)利用“樹狀圖”法解決簡(jiǎn)單排列問題的方法.3.注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)

判斷是否為排列問題的關(guān)鍵是：選出的元素在被安排時(shí)，是否與順序有關(guān).若與順序有關(guān)，就是排列問題，否則就不是排列問題.

課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

一、選擇題1.(多選題)下面問題中，不是排列問題的是(

) A.由1，2，3三個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù) B.從40人中選5人組成籃球隊(duì) C.從100人中選2人抽樣調(diào)查 D.從1，2，3，4，5中選2個(gè)數(shù)組成集合

解析選項(xiàng)A中組成的三位數(shù)與數(shù)字的排列順序有關(guān)，選項(xiàng)B，C，D只需取出元素即可，與元素的排列順序無關(guān).BCD2.甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排頭的所有排列種數(shù)為(

) A.6 B.4 C.8 D.10

解析列“樹狀圖”如下：B故共有丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲4種排列方法.3.從2，3，5，7四個(gè)數(shù)中任選兩個(gè)分別相除，則得到的不同結(jié)果有(

) A.6個(gè) B.10個(gè) C.12個(gè) D.16個(gè)

解析不同結(jié)果有4×3＝12(個(gè)).C4.從1，3，5，7，9這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個(gè)數(shù)是(

) A.9 B.10 C.18 D.20C5.四張卡片上分別標(biāo)有數(shù)字“2”“0”“1”“1”，則由這四張卡片可組成不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為(

) A.6 B.9 C.12 D.24

解析組成的四位數(shù)列舉如下： 1012，1021，1102，1120，1201，1210，2011，2101，2110，共9個(gè). B二、填空題6.某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間彼此給對(duì)方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了__________條畢業(yè)留言(用數(shù)字作答).

解析根據(jù)題意，得40×39＝1560，故全班共寫了1560條畢業(yè)留言.15607.2021北京車展期間，某調(diào)研機(jī)構(gòu)準(zhǔn)備從6人中選2人去調(diào)查E3館、E4館的參觀人數(shù)，則不同的安排方法種數(shù)為__________.

解析由題意可知，問題為從6個(gè)元素中選2個(gè)元素的排列問題，所以安排方法有6×5＝30(種).608.考生甲填報(bào)某高校專業(yè)意向，打算從5個(gè)專業(yè)中挑選3個(gè)，分別作為第一，第二，第三志愿，則總共有________種不同的填法.

解析

從5個(gè)專業(yè)中挑選3個(gè)，分別作為第一，第二，第三志愿，這是個(gè)排列問題.所以總共的填法有5×4×3＝60(種).60三、解答題9.判斷下列問題是否為排列問題： (1)從1到10十個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)組成直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)，可得多少個(gè)不同的點(diǎn)的坐標(biāo)？ (2)從10名同學(xué)中任抽兩名同學(xué)去學(xué)校開座談會(huì)，有多少種不同的抽取方法？解(1)由于取出的兩數(shù)組成點(diǎn)的坐標(biāo)與哪一數(shù)作橫坐標(biāo)，哪一數(shù)作縱坐標(biāo)的順序有關(guān)，所以這是一個(gè)排列問題.(2)因?yàn)槿魏我环N從10名同學(xué)抽取兩人去學(xué)校開座談會(huì)的方式不用考慮兩人的順序，所以這不是排列問題.(3)某商場(chǎng)有四個(gè)大門，若從一個(gè)門進(jìn)去，購買物品后再從另一個(gè)門出來，不同的出入方式共有多少種？解因?yàn)閺囊婚T進(jìn)，從另一門出是有順序的，所以是排列問題.10.京滬高速鐵路自北京南站至上海虹橋站，雙線鐵路全長(zhǎng)1318公里，途經(jīng)北京、天津、河北、山東、安徽、江蘇、上海7個(gè)省市，設(shè)立包括北京南、天津西、濟(jì)南西、南京南、蘇州北、上海虹橋等在內(nèi)的21個(gè)車站，計(jì)算鐵路部門要為這21個(gè)車站準(zhǔn)備多少種不同的高鐵票？

解對(duì)于兩個(gè)高鐵站A和B，從A到B的高鐵票與從B到A的高鐵票不同，因?yàn)槊繌埰睂?duì)應(yīng)一個(gè)起點(diǎn)站和一個(gè)終點(diǎn)站，因此，準(zhǔn)備的高鐵票的種數(shù)應(yīng)為從21個(gè)不同元素中，每次取出2個(gè)不同元素的排列的個(gè)數(shù)，為21×20＝420.所以一共需要為這21個(gè)車站準(zhǔn)備420種不同的高鐵票.11.(多選題)下列問題中是排列問題的是(

) A.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)、物理興趣小組 B.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩人參加一項(xiàng)活動(dòng) C.從a，b，c，d中選出3個(gè)字母 D.從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)

解析由排列的定義知AD是排列問題.AD12.從a，b，c，d，e五個(gè)元素中每次取出三個(gè)元素，可組成________個(gè)以b為首的不同的排列，它們分別是____________________________________________ ______________________.12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed解析畫出樹狀圖如下：可知共12個(gè)，它們分別是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.13.從集合{1，2，3，…，20}中任選出3個(gè)不同的數(shù)，使這3個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列可以有多少個(gè)？

解設(shè)a，b，c∈N*，且a，b，c成等差數(shù)列，則a＋c＝2b，由此可以得出a＋c應(yīng)是偶數(shù).

因此從1到20這20個(gè)自然數(shù)中任選3個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.

則第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)必同時(shí)為偶數(shù)或同時(shí)為奇數(shù)，

而1到20這20個(gè)自然數(shù)中有10個(gè)偶數(shù)和10個(gè)奇數(shù)，

當(dāng)?shù)谝粋€(gè)數(shù)a和第三個(gè)數(shù)c選定后，中間的數(shù)b也就唯一確定了，

所以選法只有兩類： ①a與c都是偶數(shù)，有10×9種選法； ②a與c都是奇數(shù)，有10×9種選法.

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理選出3個(gè)不同的數(shù)成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列有10×9＋10×9＝180(個(gè)).14.為亮化城市，現(xiàn)在要把一條路上7盞燈全部改裝成彩色路燈，如果彩色路燈有紅、黃、藍(lán)共三種顏色，在安裝時(shí)要求相同顏色的路燈不能相鄰，而且每種顏色的路燈至少要有2盞，那么有多少種不同的安裝方法？

解

由題意知，每種顏色的路燈至少要有2盞，故這三種顏色的路燈的分配情況只能是2，2，3的形式.

不妨設(shè)紅的3個(gè)，七個(gè)位置分別用1，2，3，4，5，6，7表示，那么紅的可以排135，136，137，146，147，157，246，247，257，357，共10種，其中135，136，146，247，257，357會(huì)留下4個(gè)空，兩個(gè)不相鄰，兩個(gè)相鄰，連續(xù)的不能安裝一樣的顏色，那么就必須一藍(lán)一黃，剩下兩個(gè)一黃一藍(lán)安裝到剩下兩個(gè)不相鄰的空里，各4種安裝方法.147留4個(gè)空，兩個(gè)兩個(gè)相鄰，共4種安裝方法.3 137，157，四個(gè)空中3個(gè)相鄰，一個(gè)分開，各2種安裝方法.246，四個(gè)空都分開，有6種安裝方法.所以共有6×4＋1×4＋2×2＋1×6＝38(種)，當(dāng)黃或藍(lán)有3個(gè)時(shí)，總數(shù)一樣，故一共有3×38＝114(種)不同的安裝方法.備用工具&資料14.為亮化城市，現(xiàn)在要把一條路上7盞燈全部改裝成彩色路燈，如果彩色路燈有紅、黃、藍(lán)共三種顏色，在安裝時(shí)要求相同顏色的路燈不能相鄰，而且每種顏色的路燈至少要有2盞，那么有多少種不同的安裝方法？

解

由題意知，每種顏色的路燈至少要有2盞，故這三種顏色的路燈的分配情況只能是2，2，3的形式.

不妨設(shè)紅的3個(gè)，七個(gè)位置分別用1，2，3，4，5，6，7表示，那么紅的可以排135，136，137，146，147，157，246，247，257，357，共10種，其中135，136，146，247，257，357會(huì)留下4個(gè)空，兩個(gè)不相鄰，兩個(gè)相鄰，連續(xù)的不能安裝一樣的顏色，那么就必須一藍(lán)一黃，剩下兩個(gè)一黃一藍(lán)安裝到剩下兩個(gè)不相鄰的空里，各4種安裝方法.147留4個(gè)空，兩個(gè)兩個(gè)相鄰，共4種安裝方法.12.從a，b，c，d，e五個(gè)元素中每次取出三個(gè)元素，可組成________個(gè)以b為首的不同的排列，它們分別是____________________________________________ ______________________.12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed解析畫出樹狀圖如下：可知共12個(gè)，它們分別是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.【例2】

(1)從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，一共可以組成多少個(gè)？

解由題意作“樹狀圖”，如下.題型二排列的列舉問題故組成的所有兩位數(shù)為12，13，14，21，23，24，31，32，34