Page15三湘名校教化聯(lián)盟2024年下學(xué)期高二期中聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)。全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。留意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試卷和答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則A. B.C. D.2.已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)滿意，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知雙曲線：的焦距為，實(shí)軸長(zhǎng)為4，則的漸近線方程為A. B. C. D.4.已知數(shù)列中，，，則等于A. B. C. D.35.已知，是直線（為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于和的方程組的解的狀況，下列說(shuō)法正確的是A.無(wú)論，，如何，總是無(wú)解B.無(wú)論，，如何，總有唯一解C.存在，，，使是方程組的一組解D.存在，，，使之有無(wú)窮多解6.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，球是正方體的內(nèi)切球，點(diǎn)是內(nèi)切球表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為A. B.C. D.7.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿意，當(dāng)且時(shí)，成立.若存在使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.8.已知雙曲線：，和分別為實(shí)軸的右端點(diǎn)和虛軸的上端點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線交的右支于，兩點(diǎn).若存在直線使得點(diǎn)為的重心，則的離心率為A. B. C.2 D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線：和圓：，則A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.直線與圓相交C.存在使得直線與直線：平行D.直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為10.設(shè)函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是A.若的最小正周期為，則B.若，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則D.若在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則11.已知為拋物線：的焦點(diǎn)，，，是上三點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的是A.當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為4B.若，設(shè)，中點(diǎn)為，則點(diǎn)到軸距離的最小值為6C.若，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為D.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最大值為12.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)分別滿意，，其中，則下列說(shuō)法正確的是A.平面B.與平面所成角的取值范圍為C.的最小值為D.點(diǎn)到直線的距離的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知圓過(guò)點(diǎn)，且與直線相切，則滿意要求的面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____.14.已知，則的值為_(kāi)_____.15.已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為，，，，則此球的體積為_(kāi)_____.16.如圖，橢圓：和：有相同的焦點(diǎn)，，離心率分別為，，為橢圓的上頂點(diǎn)，，，，三點(diǎn)共線且垂足在橢圓上，則的最大值是______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.17.（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系中，存在四點(diǎn)，，，.（1）求過(guò)，，三點(diǎn)的圓的方程，并推斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為8，求直線的方程.18.（本小題滿分12分）長(zhǎng)沙市某中學(xué)近幾年加大了對(duì)學(xué)生奧賽的培訓(xùn)，為了選擇培訓(xùn)的對(duì)象，2024年5月該中學(xué)進(jìn)行一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從參與競(jìng)賽的同學(xué)中，選取50名同學(xué)將其成果（百分制，均為整數(shù)）分成六組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到頻率分布直方圖（如圖），視察圖中信息，回答下列問(wèn)題：（1）依據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)本次考試成果的平均數(shù)和第71百分位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）已知學(xué)生成果評(píng)定等級(jí)有優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí)，其中成果不小于90分時(shí)為優(yōu)秀等級(jí)，若從成果在第5組和第6組的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成果優(yōu)秀的概率.19.（本小題滿分12分）已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，且.（1）求角；（2）若點(diǎn)滿意，且，求的面積的最大值.20.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，，點(diǎn)在平面內(nèi)的投影是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若對(duì)隨意，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).22.（本小題滿分12分）橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，.過(guò)作直線交于，兩點(diǎn).過(guò)作垂直于直線的直線交于，兩點(diǎn).直線與相交于點(diǎn).（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）求四邊形面積的取值范圍.三湘名校教化聯(lián)盟?2024年下學(xué)期高二期中聯(lián)考?數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1.【答案】C【解析】因?yàn)?，又，，所以，故選C.2.【答案】A【解析】由可得，所以，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第一象限.故選A.3.【答案】C【解析】由已知得，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，雙曲線的焦距，解得，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，解得，則，即雙曲線的漸近線方程為.故選C.4.【答案】D5.【答案】B【解析】由題意則，（直線的斜率存在，∴），故：與：相交，∴方程組總有唯一解.A，D錯(cuò)誤，B正確；若是方程組的一組解，則則點(diǎn)，在直線，即上，但已知這兩個(gè)點(diǎn)在直線上，這兩條直線不是同一條直線，∴不行能是方程組的一組解，C錯(cuò)誤.故選B.6.【答案】D【解析】取中點(diǎn)為，因?yàn)?，，所以，又，則，又正方體的棱長(zhǎng)為2，則正方體的內(nèi)切球半徑為1，則，，所以，所以，所以當(dāng)，反向時(shí)，，有最小值為；當(dāng)，同向時(shí)，，有最大值為.故選D.7.【答案】D【解析】由條件可知函數(shù)在上單調(diào)遞減.存在使得成立等價(jià)于存在使得不等式成立.由得，∵，∴，∴①當(dāng)時(shí)，不成立；②當(dāng)時(shí)，有解.求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值.令，則，而函數(shù)是上的減函數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，.故，故選D.8.【答案】A【解析】依題意，，.點(diǎn)為的重心時(shí)，中點(diǎn).設(shè)，，則，.兩式作差得：.其中，.又因?yàn)?，，，四點(diǎn)共線，所以.故，解得，故.故選A.9.【答案】BD【解析】對(duì)于A，由可得，，令，即，此時(shí)，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槎c(diǎn)到圓心的距離為，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，B正確；對(duì)于C，因?yàn)橹本€：的斜率為，所以直線的斜率為，此時(shí)直線的方程為，直線與直線重合，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)直線恒過(guò)定點(diǎn)，圓心到直線的最大距離為，此時(shí)直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短為，D正確；故選BD.10.【答案】AD【解析】對(duì)于A，若的最小正周期為，則，解得，故A正確；對(duì)于B，若，則，時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，時(shí)，，若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故D正確.故選AD.11.【答案】ACD【解析】依題意，. 對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，為焦點(diǎn)弦.通徑（垂直于對(duì)稱軸的焦點(diǎn)弦）最短，最短為，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，（當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立），即，故，所以點(diǎn)到軸距離的最小值為5，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，依題意，為焦點(diǎn)弦且.不妨設(shè)直線的傾斜角為銳角，則，，解得，故，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)直線：，，，與拋物線方程聯(lián)立，得：.由韋達(dá)定理有：，.依題意.即，整理得：.代入韋達(dá)定理可得：，解得，其中時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn)，時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，不符合題意，故直線過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離最大值為.D正確.故選ACD.12.【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，平面即為平面，易知A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：如圖，連接交于點(diǎn)，連接，知平面，所以即為與面所成角，所以，由在上知，所以，因?yàn)?，所以的范圍是，即直線與平面所成角的范圍是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)求點(diǎn)使得最小，如圖，作點(diǎn)關(guān)于線段的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，的垂線，垂足分別為和，則，設(shè)，則，故，故.對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，平面且，，三點(diǎn)共線.此時(shí)，，即此時(shí)到直線的距離最小，最小值為.故選ACD.13.【答案】【解析】過(guò)作直線的垂線，垂足為.當(dāng)為直徑時(shí)，圓的面積最小.到直線的距離，可知半徑，圓心在直線上，且，解得，，所求圓的方程為.14.【答案】【解析】由，得，兩邊平方得.所以.15.【答案】【解析】由已知該三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，，設(shè)，分別是，的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，則就是三棱柱外接球球心，，，即，.所以.16.【答案】【解析】由圖知，則，設(shè)，則，則.17.【解析】（1）設(shè)圓方程為，把，，三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：解得，，，所以圓方程是把點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：，故在圓內(nèi)；（2）由（1）可知圓：，則圓心，半徑，由題意可知圓心到直線的距離是3，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，所以，解得，故直線的方程為；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，則直線方程為：，此時(shí)圓心到直線的距離是3，符合題意.綜上所述，直線的方程為或.18.【解析】（1），所以本次考試成果的平均分約為66.8；因?yàn)槌晒诘念l率為，成果在的頻率為，所以第71百分位數(shù)位于，設(shè)其為，則，解得，所以第71百分位數(shù)為75；（2）第5組的人數(shù)為：人，可記為，，，；第6組的人數(shù)為：人，可記為，，；則從中任取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21種狀況，其中至少有1人成果優(yōu)秀的狀況有，，，，，，，，，，，，，，共15種狀況.所以至少有1人成果優(yōu)秀的概率.19.【解析】（1）由正弦定理可得：又在三角形中，，∴，∴，又在三角形中，，∴，∴∵，∴；（2）由，可得，兩邊平方可得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，所以，所以.所以的面積的最大值為.20.【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，∵四邊形為平行四邊形，∴，∵為中點(diǎn)，∴，且，∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，且，即，且，故四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面；（2）取中點(diǎn)，連接，∵點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為，∴平面.∵，∴，∵，則，由于，，兩兩垂直，則可以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，以為軸，為軸，為軸，則有，，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，故，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，故，，設(shè)二面角的平面角為，則.故二面角的正弦值為.21.【解析】（1）由得：或，即的定義域?yàn)?，令，在?nèi)單調(diào)遞增，而時(shí)，為減函數(shù)，時(shí)，為增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由與可知，所以或，分別參數(shù)得，或有解，令，則，或有解，得或；（3）依題意，令，則函數(shù)轉(zhuǎn)化為，此時(shí)只需探討方程大于等于2的解的個(gè)數(shù)，①當(dāng)時(shí)，沒(méi)有大于等于2的解，此時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，方程沒(méi)有大于等于2的解，此時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，方程有一個(gè)等于2的解，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，方程有一個(gè)大于2的解，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).③當(dāng)