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2021江蘇六校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)新高考模擬考試含答案

江蘇省六校聯(lián)合2021屆高三第四次適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)

命題：徐州一中高三數(shù)學(xué)組、興化中學(xué)高三數(shù)學(xué)組、淮陰中學(xué)高三教學(xué)組

審核：鹽城中學(xué)高三數(shù)學(xué)組、南京十三中高三數(shù)學(xué)組、汨陽中學(xué)高三數(shù)學(xué)組2021.4

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

I.已知向量集合2)+2(3,4)"eR},N={a|a=(-2-2)+/(4,eR},

則“riN=

A-{(1,2)}B.{(-2,-2))

C.{(1,2),(-2,-2)}D.0

2.十六進(jìn)制是一種逢16進(jìn)1的計(jì)數(shù)制.我國曾在重量單位上使用過十六進(jìn)制，比如成語“半

斤八兩”，即十六兩為一斤.在現(xiàn)代，計(jì)算機(jī)「中也常用到十六進(jìn)制，其采用數(shù)字0?9和字

母A-F共16個(gè)t-數(shù)符號.這些符號與十進(jìn)制的數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如下表：

十六進(jìn)制0123456789ABCDEF

十進(jìn)制0123456789101112131415

例如，用十六進(jìn)制表示：E+D=1B,則AxB二

A.6EB.72C.5FD.BD

3.正三棱柱P-N3C的高為2,側(cè)棱與底面力BC成45。角，則點(diǎn)4到側(cè)面P8C的距離為

A.>/3B.2拒C.至D,e6

55

4.用有機(jī)溶劑萃取水溶液中的溶質(zhì)是化學(xué)中進(jìn)行物質(zhì)分離與提純的一種重要方法.根據(jù)能斯

特分配定律，一次萃取后，溶質(zhì)在有機(jī)溶劑和水中的物質(zhì)的量濃度(單位：mol/L)之比

為常數(shù)K,并稱K為該溶質(zhì)在水和有機(jī)溶劑中的分配常數(shù).現(xiàn)用一定體積的有機(jī)溶劑進(jìn)行

〃次萃取，每次萃取后溶質(zhì)在水溶液中的殘留量為原物質(zhì)的量的」一倍，溶質(zhì)在水溶液

10+K

中原始的物質(zhì)的量濃度為1.0mol/L,該溶質(zhì)在水和有機(jī)溶劑中的分配常數(shù)為20,則至少

經(jīng)過幾次萃取，溶質(zhì)在水溶液中的物質(zhì)的量濃度低于LOxKT5moi/L?(假設(shè)萃取過程中

水溶液的體積不變.參考數(shù)據(jù)：ln3%L099,lnl072.303.)

D6聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第1頁(共9頁)

A.9次B.10次C.11次D.12次

5.(1+我)6(1+』=尸展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

A.1B.46C.4245D,4246

6.學(xué)校組織開展勞動(dòng)實(shí)踐，高二某班15名學(xué)生利用假期時(shí)間前往敬老院、消防隊(duì)等場所勞動(dòng)

服務(wù).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，該15名學(xué)生的勞動(dòng)服務(wù)時(shí)長平均為20小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為s.后來經(jīng)核實(shí)，

發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)的甲、乙兩名同學(xué)的勞動(dòng)服務(wù)時(shí)長有誤.甲同學(xué)的勞動(dòng)服務(wù)時(shí)長實(shí)際為20小時(shí),

被誤統(tǒng)計(jì)為15小時(shí)：乙同學(xué)的勞動(dòng)服務(wù)時(shí)長實(shí)際為18小時(shí)，被誤統(tǒng)計(jì)為23小時(shí).更正后

重新計(jì)算，得到標(biāo)準(zhǔn)差為則s與4的大小關(guān)系為

A.s=S|B.$VS[C.5>5]D.無法判斷

7.已知向量QWC,\e\=1，且對任意fwR,恒成立，則

A.aA.eB.a1(a-e)

C.eV(a-e)D.(a+e)1(a-e)

8.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)/是拋物線y2=2px(p>0)上的一點(diǎn)，以拋物線的焦點(diǎn)廠為

圓心，以FA為半徑的圓交拋物線的準(zhǔn)線于8,C兩點(diǎn)，44BC的面積為辿，記/BFC=0,

3

若Zsin?。一sin26=3cosO-sinO,則p的值為

A.4B.8C.40D.8&

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分,

9.已知a,乃是兩個(gè)不同的平面，〃7,〃是兩條不同的直線，下列說法正確的是

A.“經(jīng)過兩條平行直線，有且僅有一個(gè)平面”是空間圖形的基本事實(shí)(公理)之一

B.“若a〃6，mua,則山〃夕”是平面與平面平行的性質(zhì)定理

C.“若m//n,"?(za,〃ua,則6〃a”是直線與平面平行的判定定理

D.若a〃夕，mHa,w//w,4，則〃〃夕

10.若x>0,y>0?S.x+y=xy>則

A.x+y^4B.xy^2

C.x+2y+xy^S-￥2y/6D.—+-^->6+4>/2

jr-1y-1

已知橢圓q：5+4=im>6>0)的左右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn),離心率為q,上頂點(diǎn)為尸，

11.2

a~b~

且片的面積為雙曲線。2與橢圓Ci的焦點(diǎn)相同，且。2的離心率為02，M為G與

的一個(gè)公共點(diǎn)，若則

D6聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第2頁(共9頁)

A.幺=石B.e.g,=—C.e：+e：=2D.el-el--

e,48

12.設(shè)函數(shù)/（x）=立冬吆+Mnx,下列說法正確的是

A.若a=b=O,/（x）是奇函數(shù)

B.若a=l,6=0,/（x）在g,+8）單調(diào)遞減

C.若。=0,b=-\,/（x）在（1,+8）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

D.若a'0,b｝0,/（%）+/（%）>f"）-）區(qū)>%>i）

Xx

X]+x2l~2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.國際象棋中騎士（Knight）的移動(dòng)規(guī)則是沿著3x2格或2x3-----------------------------

格的對角移動(dòng).若騎士限制在圖中的3x4=12格內(nèi)按規(guī)則移---------------------

V

動(dòng)，存在唯一一種給方格標(biāo)數(shù)字的方式，使得騎士從左上角-----------------------

標(biāo)1的方格內(nèi)出發(fā)，依次不重復(fù)經(jīng)過2,3,4,到達(dá)右匚?----------士-

下角標(biāo)12的方格內(nèi)，那么圖中X處所標(biāo)的數(shù)應(yīng)為.

14.寫出一個(gè)使得0++0'=0成立的非零復(fù)數(shù)0=.

15.已知數(shù)列｛q｝為正項(xiàng)數(shù)列，4=1，S”為J工的前"項(xiàng)和，且滿足1+S：=MM+S“，則分

別以I,S?,歷為三邊邊長的三角形有一內(nèi)角為定值,｛凡｝的通項(xiàng)公式為

.（本題第一空2分，第二空3分.）

16.在長方體/3CQ-44GA中，43=13,AD=5,AA,=\2.過點(diǎn)月且與直線CD平行

的平面a將長方體分成兩部分.現(xiàn)同時(shí)將兩個(gè)球分別放入這兩部分幾何體內(nèi)，則在平面a

變化的過程中，這兩個(gè)球的半徑之和的最大值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

設(shè)｛4｝是集合｛2‘+2'10WsV。且s,，eZ｝中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即q=3,

a2=5,a｝=6,%=9,a5=10,%=12,….將｛%｝各項(xiàng)按照上小下大、左小右大的原則

寫成如下的三角形數(shù)表.

3

56

91012

（1）寫出該三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù)（不必說明理由），并求小?；

（2）設(shè)｛4｝是該三角形數(shù)表第〃行的〃個(gè)數(shù)之和所構(gòu)成的數(shù)列，求｛瓦｝的前〃項(xiàng)和S”.

D6聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第3頁（共9頁）

18.(12分)

如圖，在水平桌面上放置一塊邊長為1的正方形薄木板

ABCD.先以木板的4。邊為軸，將木板向上緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，得到平

面此時(shí)NB/8的大小為。再以木板的

邊為軸，將木板向上緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，得到平面/且G。，此時(shí)NGB￡

的大小也為0.

(1)求整個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)過程木板掃過的體積；

<2)求平面｛耳G"與平面/8CD所成銳二面角的余弦值.

19.(12分)

在A48C中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,(3-cosJ)tany=sinJ,ZL4BC

的周長為8.

(1)求6：

(2)求△/BC面積的最大值.

20.（12分）

鄭州中原福塔的外立面呈雙曲拋物面狀，造型優(yōu)美，空中俯瞰猶

如盛開的梅花綻放在中原大地，是現(xiàn)代建筑與藝術(shù)的完美結(jié)合.雙曲

拋物面又稱馬鞍面，其在笛卡兒坐標(biāo)系中的方程與在平面直角坐標(biāo)系

中的雙曲線方程類似.雙曲線在物理學(xué)中具有很多應(yīng)用，比如波的干

涉圖樣為雙曲線、反射式天文望遠(yuǎn)鏡利用了其光學(xué)性質(zhì)等等.

(1)已知4,B是在直線/兩側(cè)且到直線/距離不相等的兩點(diǎn)，P

為直線/上一點(diǎn).試探究當(dāng)點(diǎn)尸的位置滿足什么條件時(shí)，|尸4-尸8|取

最大值：

(2)若光線在平滑曲線上發(fā)生反射時(shí)，入射光線與反射光線關(guān)于

曲線在入射點(diǎn)處的切線在該點(diǎn)處的垂線對稱.證明：由雙曲線一個(gè)焦

點(diǎn)射出的光線，在雙曲線上發(fā)生反射后，反射光線的反向延長線交于

雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).

D6聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第4頁(共9頁)

21.（12分）

2

已知函數(shù)/（了）=帚（工+1）-工.

X+1

（1）求/（X）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若不等式（l+』）""We對任意?恒成立，求"的取值范圍.

n

22.（12分）

品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，通常采用的測試方法如下：拿出"（"eN'且〃亍4）瓶

外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓品酒師品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序：經(jīng)過一段時(shí)間，等其

記憶淡忘之后，再讓其品嘗這〃瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序.這稱為一輪測試，根據(jù)

一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分.現(xiàn)分別以外，外,生，…，a”表示第一

次排序時(shí)被排在I,2,3,…，”的〃種酒在第二次排序時(shí)的序號，并令

X=|l-q|+|2-O2|+|3-a3l+…+|"-q則X是對兩次排序的偏離程度的一種描述.

（1）證明：無論“取何值，X的可能取值都為非負(fù)偶數(shù)：

（2）取"=4,假設(shè)在品酒師僅憑隨機(jī)猜測來排序的條件下，q,a?，4,a4等可能地為

1,2,3,4的各種排列，且各輪測試相互獨(dú)立.

①求X的分布列和數(shù)學(xué)期望：

②若某品酒師在相繼進(jìn)行的三輪測試中，都有XW2,則認(rèn)為該品酒師有較好的酒味鑒別

功能.求出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率，并據(jù)此解釋該測試方法的合理性.

D6聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第5頁（共9頁）

江蘇省六校聯(lián)合2021屆高三第四次適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)試題評分參考

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.B2.A3.D4.C5.D6.C7.C8.B

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.CD10.ACD11.AC12.BC

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.814.」+招（或」-烏）

2222

15.-（2分）a“=______-______（3分）16.17-2聞

3"4sin2[yx（l）"-2]

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）

（1）第四行：17182024,（1分）

第五行：3334364048,（2分）

在該三角形數(shù)表中第，行中有，個(gè)數(shù)，其中第5+1個(gè)數(shù)為2'+2’,（4分）

（1+4T）（，oT）v]00w（1+'。兒

22%=14

設(shè)am=2“+2'。，貝人,解得

100（i+0T）（「i）=8

=S0+1

2

從而=2"+2*=16640.（6分）

l21(12)),

(2)/>?=n-2"4-(2°+2+2+--+2""')=w2"+~=(M+1)2-1.（8分）

1—2

=2x2'+3x22+4x23+--+(n+l)-2"-M,

2S?=2X22+3X23+4X24+-+(M+1)-2"+,-2M,

4(1-2"'1)

從而S?=(M+1)-2"+|-4—---------n=-2"+,-M.（10分）

1-2W

考生若有其它解法，應(yīng)給予充分尊重，并參照本標(biāo)準(zhǔn)評分.

18.（12分）

（1）整個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)過程木板掃過的幾何體由兩個(gè)底面為圓心角為0,半徑為1的扇形,高為1的

直棱柱組成，（2分）

n

故其體積r=2x（2x7txFxl）=。.（4分）

2冗

（2）以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，方方向?yàn)閤軸正方向，福方向?yàn)閥軸正方向，建立如圖所示的

數(shù)學(xué)試題評分參考第6頁（共9頁）

空間直角坐標(biāo)系力-斗，

則力（0,0,0）,8（0,cos。，—sin。），D（-l,0,0）,B,（0,1,0）,〃（一cos。,0,sin。）,

AB=（0,cos。，-sin。），而=（-L0,0）,福=（0,1,0）,

4。]二（一cos/0,sin。），（6分）

設(shè)〃=（x,y,二）是平面45co的一個(gè)法向量，則

（ycos^-rsin^=0人,八

\,即八，不妨令蚱sin。，

[nAD=0[T=0

可取〃=（0，sin。，cos。），（8分）

同理平面力5c2。的一個(gè)法向量m=（sin。，0,cos。），（10分）

設(shè)平面力4GA與平面48co所成銳二面角為。，

則COS0=|cos<〃,/W>|=[,：°SI=cos仇

Jsir?6+cos26?Jsin?6+cos20

所以平面ABC2A與平面45。。所成銳二面角的余弦值為cos20.（12分）

考生若有其它解法，應(yīng)給予充分尊重，并參照本標(biāo)準(zhǔn)評分.

19.（12分）

（1）因?yàn)椋?-cos4）tan?=sin4,所以（3-8$4）2$m9（：053=5皿42（：05：!日，

所以sinB（3-cos?l）=sin4（1+cosB）,（2分）

化簡得3sin8=sin4+sin8cos力+sin4cos8=sinJ+sin（J+B）,

又因?yàn)?+8+。=兀，故3$畝8=5吊4+5畝[7[—（4+8）]=5足4+5由。，（4分）

在zMBC中，由正弦定理得一二=—U=-J,故3b=a+c,

sinJsinBsinC

從而a+6+c=4b=8,即b=2.（6分）

（2）由于6=a+cN2疝，所以acW9,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=3時(shí)等號成立，（7分）

[221k2

而=4ocsinB，在公”〃。中，由余弦定理得C0S8="+）-"'（9分）

2lac

故S，BC=-^2^2sin2B=-02c-cos2B）=-a2c2[\+C-——）2]

444he

122ri/（a+cp—2oc-Zr\21,

=-a^c-[\-（---------------y]=Soac-6依8o,

42ac

所以SascW2ji,故△Z8C面積的最大值為2啦.（12分）

考生若有其它解法，應(yīng)給予充分尊重，并參照本標(biāo)準(zhǔn)評分.A

20.（12分）卜

（1）不妨設(shè)X點(diǎn)到直線/的距離比3點(diǎn)到直線/的距離大，作4點(diǎn)

關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)H.j/l^^P

當(dāng)/為乙1PB的平分線時(shí)，A',B,尸三點(diǎn)共線，

故PA-PB=PA'-PB=A'B,

數(shù)學(xué)試題評分參考第7頁（共9頁）

當(dāng)/不是41P8的平分線時(shí)，取這樣的點(diǎn)P',則H，B,P'能構(gòu)成一個(gè)三角形，

故P'A-P'B=P'A'-P'B<A'B,

因此，當(dāng)且僅當(dāng)P的位置使得/為aIPS的平分線時(shí)，|4一尸8|取最大值.(4分)

(2)不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，半實(shí)軸長為明左右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,入射光線乙

從巴出射，入射點(diǎn)。，反射光線4,雙曲線在。點(diǎn)處的切線4,右在。點(diǎn)處的垂線小

由光的反射定律，小乙關(guān)于/,對稱，故4,乙關(guān)于對稱，

要證：反射光線4過點(diǎn)耳，

只要證：4是4的角平分線，(7分)

定義雙曲線焦點(diǎn)所在區(qū)域?yàn)殡p曲線的內(nèi)部，漸近線所在區(qū)域?yàn)殡p曲線的外部，

由雙曲線的定義，F(xiàn)tQ-F2O=2a,

對于雙曲線內(nèi)部的一點(diǎn)。'有|百。'-外>2%

對于雙曲線外部的一點(diǎn)。"有|￡。"-人。"|<2%(9分)

(命題：淮陰中學(xué)-朱振東興化中學(xué)-姚楷徐州一中-趙嘉鉉)

又4是雙曲線在。點(diǎn)處的切線，故在4上有且僅有一點(diǎn)Q使得FtQ-F2Q=2a,

%上其他點(diǎn)Q"均有片-F2Q-<2a,

故。是4上唯一使得片。-5。取最大值的點(diǎn)，(11分)

又石，鳥到直線4距離不相等，根據(jù)(1)中結(jié)論，可知4是/耳。6的角平分線，

故反射光線4過點(diǎn)耳，命題得證.(12分)

考生若有其它解法，應(yīng)給予充分尊重，并參照本標(biāo)準(zhǔn)評分.

21.(12分)

(1)/(x)的定義域(-L+8),

j.,._21n(x+l)X?+2x_2(x+l)ln(x+l)-x2-2x

J⑶=FTi一—(TTij7=漏T，(1分)

令g(x)=2(x+l)ln(x+l)---2x,xe(-l,+8),g，(x)=21n(x+l)_2x,(2分)

令/>(x)=21n(x+l)-2x,XG(-1,+oo),

2

h\x)=----2,當(dāng)一IVxvO時(shí),，(x)>0,當(dāng)x>0時(shí),h'(x)<0,(3分)

x+1

所以〃(x)在(-1,0)單調(diào)遞增，在(0,+8)單調(diào)遞減，

又力(0)=0,故〃(x)WO,即當(dāng)x>-l時(shí)，g'(x)WO,

所以g(x)在(-1,+8)單調(diào)遞減，(4分)

于是當(dāng)-IvxvO時(shí)，g(x)>g(O)=O,當(dāng)x>0時(shí)，g(x)Vg(O)=O,

所以當(dāng)-IVXVO時(shí)，/V)>0,當(dāng)x>0時(shí)，/'(x)vO,

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+00).(6分)

(2)不等式(l+」)*"We5wN)等價(jià)于(〃+a)ln(l+3〈l,

nn

又—>1,故aW--------n，(8分)

nln(l+-)

n

數(shù)學(xué)試題評分參考第8頁(共9頁)

、兒/、11°「，/、(x+l)ln2(jr+l)-x2f(x)

設(shè)。(x)=r■:-77一一，^e(0,1],(/)\x)=^-L―——=,；—，

ln(x+l)xjf2(jf+l)ln(j+l)xIn(A+1)

又〃x)W/(0)=0,故當(dāng)xw(0,l]時(shí)，”(x)v0,(10分)

所以K)在(。山單調(diào)遞減'于是雙故公專一1

所以"的取值范圍為S而