第9課時(shí)函數(shù)模型及其應(yīng)用[考試要求]1．了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異．2．理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義．3．會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用．考點(diǎn)一用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問題判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法：(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意容易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象．(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選出符合實(shí)際的情況．[典例1](1)輸液瓶可以視為兩個(gè)圓柱的組合體，如圖所示．開始輸液時(shí)，滴管內(nèi)勻速滴下液體(滴管內(nèi)液體忽略不計(jì))，設(shè)輸液開始后x分鐘，瓶內(nèi)液面與進(jìn)氣管的距離為hcm，已知當(dāng)x＝0時(shí)，h＝13．則函數(shù)h＝f(x)的圖象為()ABCD(2)(2024·鄭州質(zhì)檢)水池有兩個(gè)相同的進(jìn)水口和一個(gè)出水口，每個(gè)口進(jìn)出水的速度如圖甲、乙所示，某天0時(shí)到6時(shí)該水池的蓄水量如圖丙所示，給出以下3個(gè)論斷：①0時(shí)到3時(shí)只進(jìn)水不出水；②3時(shí)到4時(shí)不進(jìn)水只出水；③4時(shí)到5時(shí)不進(jìn)水也不出水．則一定正確的論斷是________(填序號(hào))．(1)C(2)①[(1)由題意，液體的流動(dòng)速度不變，寬口瓶內(nèi)液面下降比窄口瓶內(nèi)液面下降慢，故選C．(2)由甲、乙、丙圖可得進(jìn)水速度為1，出水速度為2，結(jié)合丙圖中直線的斜率可知，只進(jìn)水不出水時(shí)，蓄水量增加的速度是2，故①正確；不進(jìn)只出水時(shí)，蓄水量減少的速度為2，故②不正確；兩個(gè)進(jìn)水，一個(gè)出水時(shí)，蓄水量減少的速度也是0，故③不正確．]例(1)中，解題的關(guān)鍵是注意到組合體是由兩個(gè)圓柱組成，可根據(jù)兩圓柱大小特征和勻速滴液，來快速分析高度的變化快慢．例(2)中，解題的關(guān)鍵是抓住甲、乙、丙三圖中斜率的意義．跟進(jìn)訓(xùn)練1(多選)血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度．藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時(shí)，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間．已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人使用該藥物的說法中，正確的是()A．首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用B．每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒C．每間隔5.5小時(shí)服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用D．首次服用該藥物1單位3小時(shí)后，再次服用該藥物1單位，不會(huì)發(fā)生藥物中毒ABC[從圖象中可以看出，首次服用該藥物1單位約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用，A正確；根據(jù)圖象可知，首次服用該藥物1單位約1小時(shí)后的血藥濃度達(dá)到最大值，由圖象可知，當(dāng)兩次服藥間隔小于2小時(shí)時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒，B正確；服藥5.5小時(shí)時(shí)，血藥濃度等于最低有效濃度，此時(shí)再服藥，血藥濃度增加，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用，C正確；第一次服用該藥物1單位4小時(shí)后與第2次服用該藥物1單位1小時(shí)后，血藥濃度之和大于最低中毒濃度，因此一定會(huì)發(fā)生藥物中毒，D錯(cuò)誤．]考點(diǎn)二已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題1．幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)且a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù)且k≠二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)且a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0，且a≠1)與冪函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，n≠0，a≠0)2．已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題需注意的問題(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知條件利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該模型求解實(shí)際問題．(4)解決實(shí)際問題時(shí)，要注意自變量的取值范圍．[典例2](1)(2024·北京通州潞河中學(xué)校考階段練習(xí))被譽(yù)為信息論之父的香農(nóng)提出了一個(gè)著名的公式：C＝Wlog21+SN，其中C為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為bit/s；W為信道帶寬，單位為Hz；SN為信噪比．香農(nóng)公式在5G技術(shù)中發(fā)揮著舉足輕重的作用．當(dāng)SN＝99，W＝2000Hz時(shí)，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為C1；當(dāng)SN＝9999，W＝3000Hz時(shí)，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為A．13 B．C．154 D．(2)(2024·云南昆明高三統(tǒng)考期中)工廠需要將某種廢氣經(jīng)過過濾后排放，已知該廢氣的污染物含量P(單位：mg/L)與過濾時(shí)間t(單位：h)的關(guān)系為P＝P0e-0.02t(P0為污染物的初始含量)，則污染物減少到初始含量的20%大約需要(參考數(shù)據(jù)：ln5≈1.6)()A．60h B．70hC．80h D．90h(3)燃放煙花爆竹帶來的空氣污染非常嚴(yán)重，可噴灑一定量的去污劑進(jìn)行處理．據(jù)測算，每噴灑一個(gè)單位的去污劑，空氣中釋放的去污劑濃度y(單位：毫克/立方米)隨著時(shí)間x(單位：天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y＝1+x①若一次噴灑4個(gè)單位的去污劑，則去污時(shí)間可達(dá)幾天？②若第一次噴灑2個(gè)單位的去污劑，6天后再噴灑a(1≤a≤4)個(gè)單位的去污劑，要使接下來的3天能夠持續(xù)有效去污，求a的最小值．(1)D(2)C[(1)根據(jù)題意，將SN＝99，W＝2000Hz代入可得C1＝2000log22000log2100＝2000×2log210＝4000log210；將SN＝9999，W＝3000Hz代入可得C2＝3000log2(1＋9999)＝3000log210000＝3000×4log2＝12000log210；所以可知C2C1故選D．(2)設(shè)污染物減少到最初含量的20%需要經(jīng)過t小時(shí)，則15P0＝P0e-0.02t兩邊取自然對(duì)數(shù)得ln15＝－0.02t，ln5＝0.02t，1.6≈0.02t，解得t≈所以大約需要經(jīng)過80個(gè)小時(shí)的時(shí)間才能使污染物減少到最初含量的20%．故選C．](3)[解]①釋放的去污劑濃度為f(x)＝41+當(dāng)0<x≤4時(shí)，41+x當(dāng)4<x≤10時(shí)，49x+2解得x≤7，即4<故一次投放4個(gè)單位的去污劑，有效去污時(shí)間可達(dá)7天．②設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)x(6<x≤9)天，去污劑的濃度為g(x)＝2×9x+2＋a1+x-68＝18x+2＋ax+2所以a≥169，當(dāng)且僅當(dāng)18x+2＝2所以a的最小值為169例(1)中，將已知條件代入模型中，求C2與C1比值即可，需注意的是要熟練掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算；例(2)中，先將已知條件代入模型中，結(jié)合指、對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化及參考數(shù)據(jù)求得時(shí)間即可；例(3)中，解題的關(guān)鍵是對(duì)題意的準(zhǔn)確理解，依題意列出不等關(guān)系求解即可．跟進(jìn)訓(xùn)練2(1)“空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)”是定量描述空氣質(zhì)量狀況的無量綱指數(shù)．當(dāng)AQI大于200時(shí)，表示空氣重度污染，不宜開展戶外活動(dòng)．某地某天0～24時(shí)的空氣質(zhì)量指數(shù)y隨時(shí)間t(單位：時(shí))變化的趨勢(shì)由函數(shù)y＝-10t+290，A．5小時(shí) B．6小時(shí)C．7小時(shí) D．8小時(shí)(2)2023年10月，自然資源部聯(lián)合國家林業(yè)和草原局向社會(huì)公布貢嘎山等9座山峰高程數(shù)據(jù)，其中獅子王高程數(shù)據(jù)為4981.3m，夏諾多吉高程數(shù)據(jù)為5951.3m．已知大氣壓強(qiáng)p(單位：Pa)隨高度h(單位：m)的變化滿足關(guān)系式lnp0－lnp＝kh，p0是海平面大氣壓強(qiáng)，k＝10-4，記夏諾多吉山峰峰頂?shù)拇髿鈮簭?qiáng)為p1，獅子王山峰峰頂?shù)拇髿鈮簭?qiáng)為p2，則p2A．e0.097 B．eC．e-0.097 D．e-(1)C(2)A[(1)由題知，當(dāng)AQI大于200時(shí)，表示空氣重度污染，不宜開展戶外活動(dòng)，即當(dāng)AQI小于等于200時(shí)，適宜開展戶外活動(dòng)，即y≤200，因?yàn)閥＝-10t+290所以當(dāng)0≤t只需－10t＋290≤200，解得9≤t當(dāng)12<t≤24時(shí)，只需56t－24≤200，解得12<t≤16，綜上，適宜開展戶外活動(dòng)的時(shí)間段為9≤t共計(jì)7個(gè)小時(shí)．故選C．(2)由題意可得lnp0-lnp即p2＝e970kp1＝e0.097p1．∴p2p1考點(diǎn)三構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題選擇函數(shù)模型，求解實(shí)際應(yīng)用問題，其方法與步驟可以歸納為四步八字：(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)果；(4)還原：將數(shù)學(xué)結(jié)果還原為實(shí)際結(jié)果，并進(jìn)行必要的檢驗(yàn)．[典例3](2024·陜西安康高三校聯(lián)考階段練習(xí))某公園池塘里浮萍的面積y(單位：m2)與時(shí)間t(單位：月)的關(guān)系如下表所示：時(shí)間t/月1234浮萍的面積y/m235917現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型可供選擇：①y＝kt＋b，②y＝p·at＋q，③y＝m·logat＋n，其中k，b，p，q，m，n，a均為常數(shù)，a>0且a≠1．(1)直接選出你認(rèn)為最符合題意的函數(shù)模型，并求出y關(guān)于t的函數(shù)解析式；(2)若該公園池塘里浮萍的面積蔓延到15m2，31m2，211m2所經(jīng)過的時(shí)間分別為t1，t2，t3，寫出一種t1，[解](1)應(yīng)選擇函數(shù)模型②y＝p·at＋q．依題意，得p×解得p=1所以y關(guān)于t的函數(shù)解析式為y＝2t＋1．(2)t1＋t2＝t3＋1．理由：依題意，得2t1＋1＝15，所以2t1＝14，所以2t所以2t1·2t2＝2所以t1＋t2＝t3＋1．本例中，解題的關(guān)鍵是分析所給數(shù)據(jù)，浮萍的面積隨時(shí)間增長越來越快，進(jìn)而選取指數(shù)型函數(shù)模型，然后求解析式，第二問中根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算公式計(jì)算．跟進(jìn)訓(xùn)練3(2024·重慶模擬)某科研單位在研發(fā)鈦合金產(chǎn)品的過程中發(fā)現(xiàn)了一種新合金材料，由大數(shù)據(jù)測得該產(chǎn)品的性能指標(biāo)值y(y值越大產(chǎn)品的性能越好)與這種新合金材料的含量x(單位：克)的關(guān)系：當(dāng)0≤x<7時(shí)，y是x的二次函數(shù)；當(dāng)x≥7時(shí)，y＝13x02610…y－4881…(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該新合金材料的含量x為何值時(shí)產(chǎn)品的性能達(dá)到最佳．[解](1)當(dāng)0≤x＜7時(shí)，y是x的二次函數(shù)，設(shè)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由題意得，c=-4，8=4a+2b+c即y＝－x2＋8x－4(0≤x＜7)．當(dāng)x≥7時(shí)，y＝13x-m，由x＝10，y＝19即y＝13x-8(x綜上可得，y＝-(2)當(dāng)0≤x＜7時(shí)，y＝－x2＋8x－4＝－(x－4)2＋12，即當(dāng)x＝4時(shí)，y取得最大值12；當(dāng)x≥7時(shí)，y＝13x-8單調(diào)遞減，即當(dāng)x＝7時(shí)，綜上所述，該新合金材料的含量x為4時(shí)，產(chǎn)品的性能達(dá)到最佳．課后習(xí)題(十三)函數(shù)模型及其應(yīng)用1．(人教A版必修第一冊(cè)P141習(xí)題4.4T10改編)聲強(qiáng)級(jí)L(單位：dB)與聲強(qiáng)I的函數(shù)關(guān)系式為：L＝10×lgI10A．10倍 B．100倍C．1000倍 D．10000倍C[設(shè)女高音聲強(qiáng)為I1，普通女性聲強(qiáng)為I2，則10lgI110-12＝75，所以I110lgI210-12＝45，所以I2則①÷②得：I1故選C．]2．(多選)(湘教版必修第一冊(cè)P148習(xí)題4.5T4改編)某部影片的盈利額(即影片的票房收入與固定成本之差)記為y，觀影人數(shù)記為x，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖(1)所示．由于目前該片盈利未達(dá)到預(yù)期，相關(guān)人員提出了兩種調(diào)整方案，圖(2)、圖(3)中的實(shí)線分別為調(diào)整后y關(guān)于x的函數(shù)圖象．給出下列四種說法，其中正確的說法是()A．圖(2)對(duì)應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并提高固定成本B．圖(2)對(duì)應(yīng)的方案是：保持票價(jià)不變，并降低固定成本C．圖(3)對(duì)應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并保持固定成本不變D．圖(3)對(duì)應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并降低固定成本BC[由圖(1)可設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)為y＝kx＋b，k＞0，b＜0，k為票價(jià)，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝b，則－b為固定成本．由圖(2)知，直線向上平移，k不變，即票價(jià)不變，b變大，則－b變小，固定成本減小，故A錯(cuò)誤，B正確；由圖(3)知，直線與y軸的交點(diǎn)不變，直線斜率變大，即k變大，票價(jià)提高，b不變，即－b不變，固定成本不變，故C正確，D錯(cuò)誤．故選BC．]3．(多選)(人教A版必修第一冊(cè)P155習(xí)題4.5T9改編)如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積(單位：m2)與時(shí)間(單位：月)的函數(shù)關(guān)系的圖象，假設(shè)其函數(shù)關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，現(xiàn)給出下列說法，其中正確的說法有()A．野生水葫蘆的面積每月增長量相等B．野生水葫蘆從9m2蔓延到36m2歷時(shí)超過1個(gè)月C．設(shè)野生水葫蘆蔓延到9m2，20m2，40m2所需的時(shí)間分別為t1，t2，t3，則有t1＋t3<2t2D．野生水葫蘆在第1個(gè)月到第3個(gè)月之間蔓延的平均速度等于在第2個(gè)月到第4個(gè)月之間蔓延的平均速度BC[由題圖可知野生水葫蘆第一個(gè)月增長面積為2m2，第二個(gè)月增長面積為6m2，A錯(cuò)誤；由題圖可知野生水葫蘆從9m2蔓延到36m2歷時(shí)超過1個(gè)月，B正確；野生水葫蘆的面積與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為f(t)＝3t，f(t1)＝3t1＝9?t1＝2，f(t2)＝3t2＝20?t2＝log320，f(t3)＝3t3＝40t1＋t3＝log3360，2t2＝2log320＝log3400，所以t1＋t3<2t2，C正確；野生水葫蘆在第1個(gè)月到第3個(gè)月之間蔓延的平均速度為27-33-1＝12m2野生水葫蘆在第2個(gè)月到第4個(gè)月之間蔓延的平均速度為81-94-2＝36m2故選BC．]4．(多選)(人教A版必修第一冊(cè)P126例5改編)盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為lgE＝4.8＋1.5M，則下列說法正確的是()A．地震釋放的能量為1015.3焦耳時(shí)，地震里氏震級(jí)約為七級(jí)B．八級(jí)地震釋放的能量約為七級(jí)地震釋放的能量的6.3倍C．八級(jí)地震釋放的能量約為六級(jí)地震釋放的能量的1000倍D．記地震里氏震級(jí)為n(n＝1，2，…，9，10)，地震釋放的能量為an，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列ACD[對(duì)于A：當(dāng)E＝1015.3時(shí)，由題意得lg1015.3＝4.8＋1.5M，解得M＝7，即地震里氏震級(jí)約為七級(jí)，故A正確；對(duì)于B：八級(jí)地震即M＝8時(shí)，lgE1＝4.8＋1.5×8＝16.8，解得E1＝1016.8，所以E1E＝1016.81015.3所以八級(jí)地震釋放的能量約為七級(jí)地震釋放的能量的101.5倍，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：六級(jí)地震即M＝6時(shí)，lgE2＝4.8＋1.5×6＝13.8，解得E2＝1013.8，所以E1E2＝10即八級(jí)地震釋放的能量約為六級(jí)地震釋放的能量的1000倍，故C正確；對(duì)于D：由題意得lgan＝4.8＋1.5n(n＝1，2，…，9，10)，所以an＝104.8+1.5n，所以an＋1＝104.8+1.5(n+1)＝106.3+1.5n，所以an+1an＝10即數(shù)列{an}是等比數(shù)列，故D正確．故選ACD．]5．(2023·四川攀枝花三模)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1L汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是()A．消耗1L汽油，乙車最多可行駛5kmB．甲車以80km/h的速度行駛1h，消耗約10L汽油C．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多D．某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80km/h，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油D[對(duì)于A：當(dāng)乙車速度大于40km/h時(shí)，乙車每消耗1L汽油行駛的里程都超過了5km，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B：甲車以80km/h的速度行駛時(shí)，燃油效率為10km/L，則行駛1h消耗約8L汽油，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C：以相同速度行駛相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三輛車中，甲車消耗汽油最少，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D：機(jī)動(dòng)車最高限速80km/h，相同條件下，丙車比乙車燃油效率高，故更省油，所以D正確，故選D．]6．藥物在體內(nèi)的轉(zhuǎn)運(yùn)及轉(zhuǎn)化形成了藥物的體內(nèi)過程，從而產(chǎn)生了藥物在不同器官、組織、體液間的濃度隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)過程，根據(jù)這種動(dòng)態(tài)變化過程建立兩者之間的函數(shù)關(guān)系，可以定量反映藥物在體內(nèi)的動(dòng)態(tài)變化，為臨床制定和調(diào)整給藥方案提供理論依據(jù)．經(jīng)研究表明，大部分注射藥物的血藥濃度C(t)(單位：μg/ml)隨時(shí)間t(單位：h)的變化規(guī)律可近似表示為C(t)＝C0·e－kt，其中C0表示第一次靜脈注射后人體內(nèi)的初始血藥濃度，k表示該藥物在人體內(nèi)的消除速率常數(shù)．已知某麻醉藥的消除速率常數(shù)k＝0.5(單位：h-1)，某患者第一次靜脈注射該麻醉藥后即進(jìn)入麻醉狀態(tài)，測得其血藥濃度為4.5μg/ml，當(dāng)患者清醒時(shí)測得其血藥濃度為0.9μg/ml，則該患者的麻醉時(shí)間約為(參考數(shù)據(jù)：ln5≈1.609)()A．3.5h B．3.2hC．2.2h D．0.8hB[由題意得，0.9＝4.5e-0.5t，即e-0.5t＝15則0.5t＝ln5，解得t＝2ln5≈3.2．故選B．]7．(2023·河南新鄉(xiāng)三模)中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：C＝Wlog21+SN．它表示，在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中SN叫做信噪比．當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計(jì)．按照香農(nóng)公式，增加帶寬，提高信號(hào)功率和降低噪聲功率都可以提升信息傳遞速度，若在信噪比為1000的基礎(chǔ)上，將帶寬W增大到原來的2倍，信號(hào)功率S增大到原來的10倍，噪聲功率N減小到原來的15，則信息傳遞速度A．87% B．123%C．156% D．213%D[提升前的信息傳遞速度C＝Wlog2S＝Wlog21000＝3Wlog210＝3Wlg2≈10提升后的信息傳遞速度C′＝2Wlog210S＝2Wlog250SN＝2Wlog250000＝2W·4+lg5lg2所以信息傳遞速度C大約增加了C'-CC＝故選D．]8．(2024·天津市第七中學(xué)模擬預(yù)測)一種藥在病人血液中的量不少于1500mg才有效，而低于500mg病人就有危險(xiǎn)．現(xiàn)給某病人注射了這種藥2500mg，如果藥在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價(jià)值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過______小時(shí)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效．(附：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，結(jié)果精確到0.1h)()A．2.3小時(shí) B．3.5小時(shí)C．5.6小時(shí) D．8.8小時(shí)A[設(shè)應(yīng)在病人注射這種藥x小時(shí)后再向病人的血液補(bǔ)充這種藥，由題意可得，2500×(1－20%)x<1500，整理得，45x<兩邊取對(duì)數(shù)，得x>log4因?yàn)閘og4535＝lg＝0.4771-1-0.30103×0.3010-1所以x>2.3．即應(yīng)在用藥2.3小時(shí)后再向病人的血液補(bǔ)充這種藥．故選A．]9．(2024·河北泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考期中)推動(dòng)小流域綜合治理提質(zhì)增效，推進(jìn)生態(tài)清潔小流域建設(shè)是助力鄉(xiāng)村振興和建設(shè)美麗中國的重要途徑之一．某鄉(xiāng)村落實(shí)該舉措后因地制宜，發(fā)展旅游業(yè)，預(yù)計(jì)2023年平均每戶將增加4000元收入，以后每年度平均每戶較上一年增長的收入是在前一年每戶增長收入的基礎(chǔ)上以10%的增速增長的，則該鄉(xiāng)村每年度平均每戶較上一年增加的收入開始超過12000元的年份大約是(參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.10，ln10≈2.30，ln11≈2.40)()A．2033年 B．2034年C．2035年 D．2036年C[設(shè)經(jīng)過n年之后，每年度平均每戶收入增加y元，由題得y＝4000·(1＋10%)n>12000，即1.1n>3，則nln1.1>ln3，n>ln3ln1.1＝又n∈N*，則n＝12．所以所求年份大約是2035年．故選C．]10．(2024·湖南長沙統(tǒng)考期末)某工廠將產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，已知過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量P(單位：毫克/升)與過濾時(shí)間t(單位：小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為P＝P0·ekt(t≥0)，其中k為常數(shù)，k>0，P0為原污染物數(shù)量．該工廠某次過濾廢氣時(shí)，若前4個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物恰好被過濾掉90%，那么再繼續(xù)過濾2小時(shí)，廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的()A．1% B．2%C．3% D．5%C[由題意得，當(dāng)x＝4時(shí)，P＝P0·e4k＝10%P0，所以ek＝0.11則當(dāng)x＝6時(shí)，P＝P0·e6k＝P0·(ek)6＝0.132P0即再繼續(xù)過濾2小時(shí)，廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的3%．故選C．]11．研究表明，過量的碳排放會(huì)導(dǎo)致全球氣候變暖等問題，因而減少碳排放具有深遠(yuǎn)的意義．為了響應(yīng)國家節(jié)能減排的號(hào)召，2024年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備．通過市場分析，全年投入固定成本2500萬元，每生產(chǎn)x(單位：百輛)新能源汽車需另投入成本C(x)(單位：萬元)，且C(x)＝10x(1)求2024年的利潤P(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百輛)的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)2024年的年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤．[解](1)∵C(x)＝10x∴當(dāng)0<x<40時(shí)，P(x)＝500x－10x2－100x－2500＝－10x2＋400x－2500，當(dāng)x≥40時(shí)，P(x)＝500x－501x－10000x＋4500－2500＝2000－x+故P(x)＝-10x(2)由(1)得P(x)＝-10x當(dāng)0<x<40時(shí)，P(x)＝－10(x－20)2＋1500，∴P(x)max＝P(20)＝1500；當(dāng)x≥40時(shí)，P(x)＝2000－x+10000x≤2000－2x·10000x＝2000－200＝1800，當(dāng)且僅當(dāng)x＝10000x，即x＝100時(shí)等號(hào)成立，故P∵1800>1500，故當(dāng)2024年的年產(chǎn)量為100百輛時(shí)，該企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為1800萬元．12．(2024·上海靜安?？?有一種候鳥每年都按一定的路線遷徙，飛往繁殖地產(chǎn)卵，科學(xué)家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度y(單位：km/min)和候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)x，滿足關(guān)系式y(tǒng)＝12log3x100－lgx0，其中常數(shù)x0(1)若x0＝5，候鳥停下休息時(shí)，它每分鐘的耗氧量為多少個(gè)單位？(答案四舍五入到整數(shù))(2)若雄鳥的飛行速度為1.5km/min，雌鳥的飛行速度為1km/min，那么此時(shí)雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的多少倍？參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，31.40≈4.66．[解](1)由題意得函數(shù)y＝12log3x100－lg5，令y＝0得，12log即log3x100＝2lg5＝2(1－lg2)≈所以x100≈31.40≈4.66，所以x≈所以候鳥停下休息時(shí)，它每分鐘的耗氧量為466個(gè)單位．(2)設(shè)雄鳥每分鐘的耗氧量為x1，雌鳥每分鐘耗氧量為x2，由題意可得1.5=兩式相減可得0.5＝12log3x所以log3x1x2所以此時(shí)雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的3倍．階段提能(四)冪、指、對(duì)(型)函數(shù)及其圖象、函數(shù)零點(diǎn)問題1．(湘教版必修第一冊(cè)P152復(fù)習(xí)題四T11)根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080，已知lg3≈0.48，從數(shù)量級(jí)的角度考慮，下列各數(shù)中與MNA．1033 B．1053C．1073 D．1093D[由題意可得：M≈3361，N≈1080，根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈(100.48)361≈10173，∴MN≈10173102．(人教A版必修第一冊(cè)P160T5(3))已知函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零點(diǎn)分別為a，b，c，則a，b，c的大小順序?yàn)?)A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．b>a>cB[由h(x)＝x3＋x＝0得x＝0，∴c＝0，由f(x)＝0得2x＝－x，由g(x)＝0得log2x＝－x．在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝2x、y＝log2x、y＝－x的圖象，由圖象知a<0，b>0，∴a<c<b．故選B．]3．(湘教版必修第一冊(cè)P105習(xí)題4.1T13)已知冪函數(shù)f(x)＝x2m2－m－6((1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)討論函數(shù)f(x)的奇偶性和單調(diào)性；(3)求函數(shù)f(x)的值域．[解](1)依題意2m2－m－6<0，即(2m＋3)(m－2)<0，解得－32<m因?yàn)閙∈Z，所以m＝－1或m＝0或m＝1，所以f(x)＝x-3或f(x)＝x-6或f(x)＝x-5．(2)若f(x)＝x-3，定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，則f(x)＝x-3為奇函數(shù)，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減；若f(x)＝x-6，定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，則f(x)＝x-6為偶函數(shù)，且在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；若f(x)＝x-5，定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，則f(x)＝x-5為奇函數(shù)，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減．(3)若f(x)＝x-3，則f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)f(x)∈(0，＋∞)，所以x<0時(shí)f(x)∈(－∞，0)，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)；若f(x)＝x-6，則f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)f(x)∈(0，＋∞)，所以x<0時(shí)f(x)∈(0，＋∞)，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0，＋∞)；若f(x)＝x-5，則f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)f(x)∈(0，＋∞)，所以x<0時(shí)f(x)∈(－∞，0)，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)．4．(湘教版必修第一冊(cè)P125習(xí)題4.3T7)溶液的酸堿度(pH)是由公式pH＝－lg[H＋]計(jì)量的，其中[H＋]表示溶液中氫離子的濃度，單位為mol/L．pH的范圍為0～14．(1)[H＋]為0.1mol/L，0.01mol/L的溶液的pH分別是多少？(2)隨著氫離子濃度的降低，pH會(huì)發(fā)生怎樣的變化？(3)試確定橙汁(pH＝3.5)的氫離子濃度．(4)試確定人體血液在pH＝7.4時(shí)的氫離子濃度．[解](1)由溶液的酸堿度pH的公式為pH＝－lg[H＋]，當(dāng)[H＋]為0.1mol/L時(shí)，可得pH＝－lg0.1＝1；當(dāng)[H＋]為0.01mol/L時(shí)，可得pH＝－lg0.01＝2，即[H＋]為0.1mol/L和0.01mol/L的溶液的pH分別是1和2．(2)由溶液的酸堿度pH的公式為pH＝－lg[H＋]，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得隨著氫離子濃度的降低，pH會(huì)逐漸增大．(3)由溶液的酸堿度pH的公式為pH＝－lg[H＋]，當(dāng)pH＝3.5時(shí)，可得lg[H＋]＝－3.5，解得[H＋]＝10-3.5mol/L．(4)由溶液的酸堿度pH的公式為pH＝－lg[H＋]，當(dāng)pH＝7.4時(shí)，可得lg[H＋]＝－7.4，解得[H＋]＝10-7.4mol/L．5．(2019·全國Ⅲ卷)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)單調(diào)遞減，則()A．flog314＞f2B．flog314＞f2C．f2-32＞f2D．f2-23＞f2C[根據(jù)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)可知，flog314＝f(－log34)＝f(log34)，因?yàn)?＜2-32＜2-23＜20所以f(2-32)＞f(2-26．(2017·全國Ⅲ卷)已知函數(shù)f(x)＝x2-2x+a(eA．－12 B．C．12 C[法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)＝(x－1)2＋a[ex-1＋e－(x-1)]－1，令t＝x－1，則g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1．∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函數(shù)g(t)為偶函數(shù)．∵f(x)有唯一零點(diǎn)，∴g(t)也有唯一零點(diǎn)．又g(t)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)＝0，∴2a－1＝0，解得a＝12故選C．法二：f(x)＝0?a(ex-1＋e－x+1)＝－x2＋2x．ex-1＋e－x+1≥2ex-1當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”．－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”．若a＞0，則a(ex-1＋e－x+1)≥2a，要使f(x)有唯一零點(diǎn)，則必有2a＝1，即a＝12若a≤0，則f(x)的零點(diǎn)不唯一．故選C．]7．(2021·全國甲卷)青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L＝5＋lgV．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(1010≈A．1.5 B．1.2C．0.8 D．0.6C[由題意知，4.9＝5＋lgV?lgV