2022-2023學(xué)年北師大高一上數(shù)學(xué)期末試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.設(shè)全集U=R,集合A={x|%2一%-2<0},B={x|lg%>0),則4nB=()

A.{x|-1<x<2}B.{x|l<x<2}

C.{x|l<x<2}D.{x\x>—1}

【答案】B

【解答】

解：因為力={x\x2—x—2<0)={x|(x-2)(x+1)<0}={x|-1<%<2},

B={x|lgx>0}={x|lgx>1g1]={x\x>1],

所以4nB={x[l<x《2},故選：B.

2.已知4={x|04xW2},B={y\l<y<2},下列圖形能表示以4為定義域，B為值

域的函數(shù)的是()

【答案】B

解：

A是函數(shù)圖象，其值域為[0,2],故不符合題意；

B是函數(shù)的圖象，定義域為[0,2],值域為[1,2],故符合題意；

C是函數(shù)圖象，值域為{1,2},故不符合題意；

。是函數(shù)圖象，值域為{L2},故不符合題意.故選用

3.單位圓上一點P從(0,1)出發(fā)，逆時針方向運動冬瓜長到達Q點，則Q的坐標(biāo)為()

【答案】D

【解答】

解：點P從(0,1)出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動卷弧長到達Q點,

55

即Q點的坐標(biāo)為：(一苧故選D.

所以z_QOx=Z，所以Q(cos6-6-

4.不等式23+11>16的解集為()

A.[|，+00)B.(―°°,—1)u(|,+oo)

C.(-O0,-|]U(|>+°°)D.(-8,一|)

【答案】B

解:不等式2回+11>16,.??2l2x+H>23即|2x+l|>4.

?--2x+l<-4或2x+1>4,.??解集是(-8,一|)u(|,+8).

故選：B.

5.《九章算術(shù)/是我國算術(shù)名著，其中有這樣的一個問題：“今有宛田，下周三十步，

徑十六步.問為田幾何？”意思是說：“現(xiàn)有扇形田，弧長30步，直徑16步，問面積是

多少？”在此問題中，扇形的圓心角的弧度數(shù)是()

A.學(xué)B.2C.yD.120

【答案】4

解：S=注竺=120(平方步)，

設(shè)扇形的半徑為R，圓心角為a,S=:aR2,即120="X640a=字.

224

6.設(shè)a=遮為=0.9°8,c=logo.90.8，則()

A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.c>b>a

【答案】A

08

解：因為所以1<。=遮<2,b=O.9<0.9°=1,c=log0.90.8>log0,90.81=2,

所以c>a>b.

故選：A.

7.已知函數(shù)f。)=1。8內(nèi)/一4%-5),則函數(shù)/(x)的減區(qū)間是()

A.(—8,2)B.(2,4-oo)C.(5,4-oo)D.(—8,—1)

【答案】C

解：由一一4%一5>0,得％>5或％V-1,?,.函數(shù)的定義域為(一8,-1)u(5,+8),

設(shè)t=x2—4x—5,則丫='oom,

2

又:％€時,t單調(diào)遞減,%€(5,+8)時,t單調(diào)遞增,

???y=logp是定義域上的減函數(shù),...函數(shù)/(x)=logJM一鈕-5)的單調(diào)遞減區(qū)間為⑸+8).

故選：C.

8.己知實數(shù)x>0>y,且擊1+言1;1=也則x7的最小值是()

A.21B.25C.29D.33

【答案】A

解：■.■x>0>y,等式擊+匕=/恒成立，

111

-(x-y+3)=(%+2+1-y)(Fj”+廠.

???七+己)("+2+17)=2+言+梟22+2]言.汾=4,當(dāng)且僅當(dāng)%+2=1-

y時取等號.

1

???"x-y+3)",「一丫的最小值為：21.故選：A.

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.下列命題中，是存在量詞命題且是真命題的是()

A.3xeR,\x\<0B.存在x6R,使得產(chǎn)+%+1=0

C.至少有一個無理數(shù)x,使得/是有理數(shù)D.有的有理數(shù)沒有倒數(shù)

【答案】ACD

解：4命題是存在量詞命題，所以比=0,使|x|=0,所以4是真命題，故A正確；

8.對應(yīng)方程X2+x+1=0,/=—3<0,方程無解，故B錯誤；

C.命題是存在量詞命題，三%=好，使得(%)3=3是有理數(shù)，所以C是真命題；

D有理數(shù)0沒有倒數(shù)，故。正確；

故選ACD.

10.下列說法正確的是()

A.若sina-cosa>0,則a為第一象限角

B.將表的分針撥快5分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是-30。

C.終邊經(jīng)過點(a,a)(a豐0)的角的集合是｛a[a=^+kn,kEZ]

D.在一個半徑為3cm的圓上畫一個圓心角為30。的扇形，則該扇形面積為苧cn?

【答案】BC

解：4若stria?COSQ>0,則a為第一象限角或第三象限角，故錯誤;

及將表的分針撥快5分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是-30。，故正確；

C.終邊經(jīng)過點(a,a)(a力0)的角的終邊在直線y=x上，故角的集合是{a|a=^+kn,keZ}

D弧長，="3=今扇形面積為，鼻3=當(dāng)，故錯誤.

62224

故選BC.

11.已知函數(shù)/'(X)=白，則下列結(jié)論中正確的是()

A.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)在(―8,—2)上單調(diào)遞增

C.f(x)的值域為RD.當(dāng)xe(一2,2)時，f(x)有最大值

【答案】ABD

【解答】

解:對于4,由㈤-2片0得函數(shù)〃%)定義域為{x|xw±2},

所以f(x)='工0*±2).

由f(一乃=4=晶=/0),

可得函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故4正確；

對于B,當(dāng)x>0且萬力2時，函數(shù)/(x)=Fp

該函數(shù)圖象可由函數(shù)y=：圖象向右平移2個單位得到，

所以函數(shù)/。)=￡在(0,2)和(2,+8)上均單調(diào)遞減，由偶函數(shù)性質(zhì)，可知/Xx)在(—8,—2)

上單調(diào)遞增，故B正確；

對于C,由B可得，當(dāng)x>0且x￥2時，

函數(shù)f(x)=3在(0,2)和(2,+8)上均單調(diào)遞減，

所以該函數(shù)在(0,2)U(2,+8)的值域為(一8,-3u(O.+oo)；

又因為函數(shù)/⑶為偶函數(shù)，且/(0)=-全

所以f(x)在其定義域上的值域為(一8,-勺u(0,+00),故C錯誤；

對于。,當(dāng)*6(—2,2)時,函數(shù)f(%)在(-2,0)上單調(diào)遞增,

在(0,2)上單調(diào)遞減，所以〃>)有最大值為f(0)=-5故D正確.

故答案為ABD.

12.如圖所示，邊長為2的正方形ABCD中，。為AD的中點，點P沿著力-Ct。的方

向運動，設(shè)440P為X,陰影部分的面積為f(x),則下列說法中正確的是()

A.§9在或g上為減函數(shù)B.居)=|

C./(%)+/(nr-%)=4D./(x)圖象的對稱軸是％=與

【答案】CB

解：

對于4選項，當(dāng)》6兀）時，陰影部分的面積顯然逐漸增加，即函數(shù)/（x）在（%兀）上單調(diào)遞

增，力選項錯誤；

對于B選項，當(dāng)0<tanx<2時，

tanx=tanz.AOP==\AP\,所以，/（%）-\\0A\'\AP\=^tanx,

0<tan<2,/（^）=itanB選項正確；

對于C選項，取BC的中點G,連接OG,

作點P關(guān)于直線0G的對稱點尸，

則4F0D=X,所以，/.AOF=n-x,

OF繞。點按順時針方向旋轉(zhuǎn)掃過正方形ABCD的面積為S,由對稱性可知S=/（X）,

因為S+〃TT-X）=4,即f（x）+/（兀一%）=4,C選項正確；

對于。選項，由C選項可知，/（x）+/（7r-x）=4,則&）+/尋）=4,

所以，f第=4-展）=盛6），

所以，函數(shù)/（x）的圖象不關(guān)于直線x=］對稱，。選項錯誤.

故選：BC.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.求值：sin竽+cos（一子）=.

【答案】今迎

解：因為s譏等+cos（-牛）=s譏（8兀+芻+cos（-4兀一力=s譏與+cos（-；）=s譏與+

ny/3,V2V3+V2

叼=彳+爹=--，

故答案為竽.

14.己知幕函數(shù)/（x）=（m2-5m+7）N"是R上的增函數(shù)，則m的值為.

【答案】3

【解答】

解：函數(shù)/(%)=(tn?-56+7)%m是基函數(shù)，則一5nl+7=1,

即tn?—5m+6=0,解得m=2或m=3；

當(dāng)m=2時，/。)=/不是/?上的增函數(shù)，不滿足題意；

當(dāng)m=3時，/(x)=/是R上的增函數(shù)，滿足題意.則Tn的值為3.故答案為：3.

15.若“1<x<3"的必要不充分條件是“a-2Vx<a+2"，則實數(shù)a的取值范圍

是.

【答案】[1,3]

解：若"l<x<3"的必要不充分條件是"a-2<x<a+2”，

則且兩個等號不同時取得，解得1WaW3,故取值范圍是[1,3]

16.已知函數(shù)/'(%)=喘；二W'若方程/(%)=1的實根在區(qū)間(k,k+l)(ke

Z)上，則k的所有可能值是.

【答案】一3,-2或1

【解答】

解：①由方程/—5=1(%<—2),解得％=—\/6?故k=-3

②由于方程xlg(%+2)=l(x>—2)即方程lg(x+2)=：Q>-2),分別作出左右兩邊函

數(shù)的圖象，

從圖象上可得出：方程xlg(x+2)=1在區(qū)間(—2,-1)和(1,2)內(nèi)各有一個實根.

下面證明：方程xlg(x+2)=1在區(qū)間(一2,-1)和(1,2)內(nèi)各有一個實根

=函數(shù)f(x)=xlg(x+2)—1,在區(qū)間(一2,-1)和(1,2)內(nèi)各有一個零點，

函數(shù)f(x)=xlg(x+2)-1在區(qū)間(1,2)是增函數(shù),又/(I)=lg3-1<0,/(2)=21g4-1>0,

即/(l)f(2)<0,由零點存在性定理知，函數(shù)/(x)=xlg(x+2)—1在區(qū)間(1,2)內(nèi)僅有一個

零點，

印方程xlg(x+2)=1在區(qū)間(1,2)內(nèi)有且僅有一個實根，

同理得方程%lg(x+2)=1在區(qū)間(一2,-1)內(nèi)有且僅有一個實根.

故答案為—3,—2或1.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.（本小題10.0分）

⑴計算2X訴）0+（苧）-4+2X（第偌）叫

（2）計算翔方8+3的4+210g6H—||。出81-log272.

【答案】

解：⑴2x（訴）。+（苧）T+2x居）皆一（第。5

=2+?）2+2x（巽一盤=0.

13

（2）?。968+310g34+21喻百一引。。281-log272

,OS34

=log62+3+log63-4x^log23xlog32=log66+4—2=2+1=3.

18.(本小題12.0分)

己知集合力={x\2-a<x<2+a},B={x\x<1或x>4］.

(1)當(dāng)a=3時，求AnB；

(2)是“X€CR8”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】解：(1)當(dāng)a=3時，?l={x|-l<x<5),

所以4nB={萬一1WxW1或4WxW5},

(2)由題可知，CRB={x|l<x<4},

因為“x€4”是“xeCRB”的充分不必要條件，

所以CRB,可得田［。］；，解得a<l.

(2+a<4

19.（本小題12.0分）

已知a是第四象限角.

⑴若COSa=g求儂（af）-sin（竽+a）的值;

52sin（a+7r）+cos（2?r—a）

（2）若5sin2a+5sinacosa+1=0,求tana的值.

【答案】解：（1）a是第四象限角，cosa=V1—sin2a=所以sina=—

sina。cos（Q-5）-sin（孚+a）sina+cosa_tana+l_1

???tana=----二-2,.?.----------之---U——1.

cosa2sin（a+7r）+cos（27T—a）—2sina+cosa-2tana+l5

si.n2a+.st.nacosatan2a-Vtanai1—

2???tana=一或a=

（2）??,sina+sinacosa=—225tan

sina+cosatan^a+l54

1

3

20.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(%)=籌?

(1)證明函數(shù)/'(X)為奇函數(shù)；

(2)解關(guān)于t的不等式:/(3t-l)+/(2-t)<0.

【答案】

解：(1)因為函數(shù)〃%)的定義域為R,

且“_幻=匚匚一日一旦

H-八X)3一+1-表+i-1+3”—f(%)，

所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；

(2)由f(x)=韶=袈薩=1一品，易得函數(shù)f(x)是定義域為R的增函數(shù)，

而不等式/(3C—1)+f(2—t)<0可化為f(3t—1)V—f(2—t),

再由f(r)=一，(x)可得f(3t-1)<f(t-2),

所以2,解得￡<-；,故不等式的解集為

21.(本小題12.0分)

某生物病毒研究機構(gòu)用打點滴的方式治療“新冠”，國際上常用普姆克實驗系數(shù)(

單位：pmk)表示治愈效果，系數(shù)越大表示效果越好.元旦時在實驗用小白鼠體內(nèi)注射一

些實驗藥品，這批治愈藥品發(fā)揮的作用越來越大，二月底測得治愈效果的普姆克系數(shù)為

24pmk,三月底測得治愈效果的普姆克系數(shù)為36pmk,治愈效果的普姆克系數(shù)y(單位：

x

pm/c)與月份x(單位：月)的關(guān)系有兩個函數(shù)模型y=ka(k>0,a>1)與y=pX2+

k(p>0,fc>0)可供選擇.

(1)試判斷哪個函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；

(2)求治愈效果的普姆克系數(shù)是元旦治愈效果的普姆克系數(shù)10倍以上的最小月份.(參考

數(shù)據(jù)：lg2工0.3010,lg3x0.4711).

【答案】

x

解：(1)函數(shù)y=ka(_k>0,a>1)與y=pX2+k(p>0,k>0)在(0,+8)上都是增函數(shù)，

隨著x的增加，函數(shù)丫=上談儀>0,<1>1)的值增加的越來越快，而函數(shù)丫=「4+卜的值增

加的越來越慢，由于這批治愈藥品發(fā)揮的作用越來越大，因此選擇模型y=kaX(k>0,a>

1)符合要求.

32-

k=3

根據(jù)題意可知％=2時，y=24；x=3時，y=36,??.乃4—U解得3

W=36a=一2

故該函數(shù)模型的解析式為、=券(|尸，1WxW