2012學(xué)年高三數(shù)學(xué)（理）模塊復(fù)習(xí)學(xué)案《立體幾何》知識(shí)網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)與線點(diǎn)與線空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系點(diǎn)在直線上點(diǎn)在直線外點(diǎn)與面點(diǎn)在面內(nèi)點(diǎn)在面外線與線共面直線異面直線相交平行沒有公共點(diǎn)只有一個(gè)公共點(diǎn)線與面平行相交有公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)直線在平面外直線在平面內(nèi)面與面平行相交平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化線線平行線面平行面面平行線線垂直線面垂直面面垂直空間的角異面直線所成的角直線與平面所成的角二面角范圍：(0，90]范圍：[0，90]范圍：[0，180]點(diǎn)到面的距離直線與平面的距離平行平面之間的距離相互之間的轉(zhuǎn)化cos＝eq\o(\s\up5(|\o(a,\s\up4(→))·\o(b,\s\up4(→))|),——,\s\do7(|\o(a,\s\up4(→))|·|\o(b,\s\up4(→))|))sin＝eq\o(\s\up5(|\o(a,\s\up4(→))·\o(n,\s\up4(→))|),——,\s\do7(|\o(a,\s\up4(→))|·|\o(n,\s\up4(→))|))cos＝eq\o(\s\up5(\o(n1,\s\up4(→))·\o(n2,\s\up4(→))),——,\s\do7(|\o(n1,\s\up4(→))|·|\o(n2,\s\up4(→))|))d＝eq\o(\s\up5(|\o(a,\s\up4(→))·\o(n,\s\up4(→))|),——,\s\do7(|\o(n,\s\up4(→))|))空間向量空間直角坐標(biāo)系空間的距離空間幾何體柱體棱柱圓柱正棱柱、長(zhǎng)方體、正方體臺(tái)體棱臺(tái)圓臺(tái)錐體棱錐圓錐球三棱錐、四面體、正四面體直觀圖側(cè)面積、表面積三視圖體積長(zhǎng)對(duì)正高平齊寬相等近幾年考題分析近六年廣東高考立體幾何題：除07年以外，每年均考一道選擇題一道大題。除09年考察經(jīng)典的點(diǎn)線面位置關(guān)系的判斷以外，其余年份選擇題均考三視圖。08、10考的是三視圖的畫法，11、12考的是根據(jù)三視圖求幾何體的體積。解答題圍繞平行垂直的證明、體積、線線角、線面角、二面角展開。感覺純幾何的方法都能很有效直接地解決問題，向量法有時(shí)難以下手，例如：10年以及11年的題目。建議：（1）加強(qiáng)點(diǎn)線面位置關(guān)系判斷問題的學(xué)習(xí)。力爭(zhēng)同學(xué)都能拿分。（2）加強(qiáng)三視圖的學(xué)習(xí)，減少誤區(qū)是關(guān)鍵。（3）強(qiáng)化解答題的訓(xùn)練，提高向量法的運(yùn)算速度以及準(zhǔn)確率。（4）系統(tǒng)學(xué)習(xí)純幾何解決解答題方法，特別是線線角、線面角、二面角問題的輔助線作法。三、怎樣總結(jié)（一）從某個(gè)核心知識(shí)出發(fā)(形成一種結(jié)構(gòu))（二）從某個(gè)典型題出發(fā)提煉思路，從某個(gè)重要問題出發(fā)總結(jié)方法系統(tǒng)（三）從某類常見問題中突破基本技能……例如：（一）核心知識(shí)：平行垂直問題（根據(jù)下面的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖寫出相應(yīng)的定理）線線角平面幾何知識(shí)線線角平面幾何知識(shí)應(yīng)用應(yīng)用“垂直三角形兩邊的直線必垂直第三條邊”線面角二面角空間距離“垂直三角形兩邊的直線必垂直第三條邊”線面角二面角空間距離（含幾何體的高）應(yīng)用（**）平行的證明（根據(jù)下面的知識(shí)點(diǎn)提示寫出相應(yīng)的定理，并結(jié)合做過的題目進(jìn)行加深理解）線線平行證明途徑：（1）傳統(tǒng)幾何法（非向量法）：①三角形中的中位線（或利用平行四邊形）或（相似三角形或平行線分線段成比例）（核心，考試重點(diǎn)?？键c(diǎn)）②轉(zhuǎn)化為兩直線同時(shí)與第三條直線平行；（公理四）③轉(zhuǎn)化為線面平行；（線面平行的性質(zhì)定理）④轉(zhuǎn)化為面面平行；（面面平行的性質(zhì)定理）⑤轉(zhuǎn)化為線面垂直；（垂直同一平面的兩直線平行）（2）向量法：直線l，m的方向向量共線，即滿足：（此方法較少用）線面平行：（1）傳統(tǒng)幾何法（非向量法）：①轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；（線面平行的定義）②轉(zhuǎn)化為線線平行；（線面平行判定定理）③轉(zhuǎn)化為面面平行；（2）向量法：線l的方向向量與面的法向量，即3、面面平行：（1）傳統(tǒng)幾何法（非向量法）：①轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；②轉(zhuǎn)化為線面平行；（線面平行的判定定理）③轉(zhuǎn)化為線面垂直.（垂直同一直線的兩平面互相平行）

（2）向量法：面的法向量與另一面的法向量共線注意：（1）平行注意：構(gòu)造中位線、平行四邊形；相似三角形或平行線分線段成比例；（2）作輔助線的技巧：中點(diǎn)必要利用中位線或三線合一；線面平行、面面平行，必要有線線平行等。（**）垂直的證明線線垂直（1）傳統(tǒng)幾何法（非向量法）①相交直線的垂直（用平幾的勾股定理、等腰三角形三線合一、菱形對(duì)角線、相似三角形，或由線面垂直轉(zhuǎn)化）②異面直線的垂直（通常由線面垂直進(jìn)行轉(zhuǎn)化）：（2）向量法：利用直線l，m的方向向量垂直，即滿足：線面垂直（有兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直。）（1）傳統(tǒng)幾何法（非向量法）：①轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（定義，證明時(shí)較少使用）②轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（線面垂直判定定理，常用）③轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；④轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（2011廣東高考18題第一問）⑤轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直。

（2）向量法：①轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量共線；

直線的方向向量與平面內(nèi)兩相交直線的方向向量都垂直。

3、面面垂直：（1）傳統(tǒng)幾何法（非向量法）：①轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；②轉(zhuǎn)化為線面垂直.

（2）向量法：面的法向量與另一面的法向量垂直，即

注意：1、作輔助線的技巧：面面垂直。必要有線面垂直。2、題干的條件可以直接給出線線垂直、線面垂直、面面垂直、給出線段長(zhǎng)度等。3、線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化。每一垂直的判定就是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直最終達(dá)到目的。（二）一種問題的一類方法（自己學(xué)習(xí)總結(jié)）：（也可把平時(shí)學(xué)習(xí)遇到中的錯(cuò)題、典題收錄在對(duì)應(yīng)考點(diǎn)的空白處，只需標(biāo)明出處便于自己重做和復(fù)習(xí)）（**）異面直線所成的角（**）直線與平面所成的角：（**）二面角的平面角（**）點(diǎn)到面的距離（空間的各種距離，基本可轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)到面的距離”（**）動(dòng)態(tài)與探究性問題（動(dòng)態(tài)問題（動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線）注意尋找動(dòng)態(tài)問題中不動(dòng)的條件或結(jié)論）、(探究性問題尋找結(jié)論成立的充分條件或充要條件)（優(yōu)先考慮向量法）四、易錯(cuò)點(diǎn)（把平時(shí)學(xué)習(xí)遇到中的錯(cuò)題、典題收錄在對(duì)應(yīng)考點(diǎn)的空白處，只需標(biāo)明出處便于自己重做和復(fù)習(xí)）1、三視圖（注意“長(zhǎng)對(duì)正”、“寬相等”、“高平齊”的理解以及三視圖還原后幾何體的特征）如見10月月考第9題。2、體積（注意等體積法、分割補(bǔ)體方法）：3、面積（注意求全面積、表面積、側(cè)面積的區(qū)別）：旋轉(zhuǎn)（注意該幾何體是由什么平面圖形旋轉(zhuǎn)所得）4、翻折題（注意折疊前后元素（角大小、長(zhǎng)度、垂直關(guān)系等）的有否變化）【典例】1.已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分別是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中點(diǎn).求證:(1)E,F,B,D四點(diǎn)共面;(2)平面AMN∥平面EFDB.2.如圖,P是△ABC所在平面外一點(diǎn),A',B',C'分別是△PBC,△PCA,△PAB的重心.(1)求證:直線A'C'∥平面ABC;(2)求S△A'B'C'∶S△ABC.3．用平行于四面體ABCD的一組對(duì)棱AB、CD的平面截此四面體(1)求證：所得截面MNPQ是平行四邊形；(2)如果AB=CD=a，求證：四邊形MNPQ的周長(zhǎng)為定值。（定值=2a）4.(2011安徽高考,理17)如圖,ABEDFC為多面體,平面ABED與平面ACFD垂直,點(diǎn)O在線段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.(1)證明直線BC∥EF;(2)求棱錐F-OBE的體積.（演練）（07安徽?理?17題）如圖，在六面體ABCD－A1B1C1D1中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形A1B1C1D1是邊長(zhǎng)為1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD（Ⅰ）求證：A1C1與AC共面，B1D15．【題組】（1）、判斷下列命題真假：①直線與平面，三角形在平面上，如果。則。②平面平面，，直線，則。（2）、三棱錐四個(gè)面中最多有幾個(gè)直角三角形？（制作模型，操作、論證）（3）、三棱錐中，平面，。請(qǐng)找出所有的線線垂直、線面垂直、面面垂直關(guān)系。（4）、三棱錐中，平面，。請(qǐng)找出（或做出）所有二面角的平面角?！靖拍顖D式】--“垂直三角形兩邊的直線必垂直第三條邊”和一個(gè)幾何體“四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐”（鱉臑）正方體的一部分）。6.（06年廣東）如圖3所示，在四面體P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是線段PB上一點(diǎn)，，點(diǎn)E在線段AB上，且EF⊥PB.（Ⅰ）證明：PB⊥平面CEF；（Ⅱ）求二面角B—CE—F的正切值.7.Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)S,且SA=SB=SC,D為斜邊AC的中點(diǎn).(1)求證:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求證:BD⊥平面SAC.8.（20XX年廣東）如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)在線段上，平面。證明：平面；若，求二面角的正切值；9.如圖,在五棱錐P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB∥CD,AC∥ED,AE∥BC,∠ABC=45°,AB=22,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形.(1)求證:平面PCD⊥平面PAC;(2)求直線PB與平面PCD所成角的大小;(3)求四棱錐P-ACDE的體積10.（20XX年全國(guó)卷）如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，，，是上的一點(diǎn)，。（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）設(shè)二面角為，求與平面所成角的大小。11、（2012佛山一模）如圖，三棱錐中，底面，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.求平面與平面所成的二面角的平面角（銳角）的余弦值.無公共棱的二面角的求法：1、法向量。建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，尋找兩半平面的法向量，關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)及計(jì)算需謹(jǐn)慎小心，法向量夾角與所求二面角的關(guān)系需考慮。2、幾何法。（關(guān)鍵尋找兩半平面的公共棱，接下來的找平面角的方法與上一節(jié)二面角（一）同）1）平移其中一個(gè)半平面使其與另一半平面相交找交線；2）通過延長(zhǎng)直線或作平行線等手段找出交線。12.（20XX年廣東理18）如圖5．在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長(zhǎng)為1的棱形， 且∠DAB=60，,PB=2,E,F分別是BC,PC的中點(diǎn)．（1）證明：AD平面DEF;（2）求二面角P-AD-B的余弦值．（附加）（3）求PA與平面ABCD所成的角的正弦值。13．（山東理19）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠

ACB=，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是線段ＡＤ的中點(diǎn)，求證：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大?。?4.（20XX年江西）在三棱柱中，已知，，在在底面的投影是線段的中點(diǎn)。（1）證明在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使得平面，并求出的長(zhǎng)；（2）求平面與平面夾角的余弦值。15．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中AA1（Ⅰ）求證：B1E⊥AD1；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說明理由.（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小為30°，求AB的長(zhǎng).16.（本小題共13分)如圖，在三棱錐中，，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）證明：AP⊥BC；（Ⅱ）在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由。2012學(xué)年高三數(shù)學(xué)（理）模塊復(fù)習(xí)學(xué)案《立體幾何》知識(shí)網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)與線點(diǎn)與線空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系點(diǎn)在直線上點(diǎn)在直線外點(diǎn)與面點(diǎn)在面內(nèi)點(diǎn)在面外線與線共面直線異面直線相交平行沒有公共點(diǎn)只有一個(gè)公共點(diǎn)線與面平行相交有公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)直線在平面外直線在平面內(nèi)面與面平行相交平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化線線平行線面平行面面平行線線垂直線面垂直面面垂直空間的角異面直線所成的角直線與平面所成的角二面角范圍：(0，90]范圍：[0，90]范圍：[0，180]點(diǎn)到面的距離直線與平面的距離平行平面之間的距離相互之間的轉(zhuǎn)化cos＝eq\o(\s\up5(|\o(a,\s\up4(→))·\o(b,\s\up4(→))|),——,\s\do7(|\o(a,\s\up4(→))|·|\o(b,\s\up4(→))|))sin＝eq\o(\s\up5(|\o(a,\s\up4(→))·\o(n,\s\up4(→))|),——,\s\do7(|\o(a,\s\up4(→))|·|\o(n,\s\up4(→))|))cos＝eq\o(\s\up5(\o(n1,\s\up4(→))·\o(n2,\s\up4(→))),——,\s\do7(|\o(n1,\s\up4(→))|·|\o(n2,\s\up4(→))|))d＝eq\o(\s\up5(|\o(a,\s\up4(→))·\o(n,\s\up4(→))|),——,\s\do7(|\o(n,\s\up4(→))|))空間向量空間直角坐標(biāo)系空間的距離空間幾何體柱體棱柱圓柱正棱柱、長(zhǎng)方體、正方體臺(tái)體棱臺(tái)圓臺(tái)錐體棱錐圓錐球三棱錐、四面體、正四面體直觀圖側(cè)面積、表面積三視圖體積長(zhǎng)對(duì)正高平齊寬相等近幾年考題分析近六年廣東高考立體幾何題：除07年以外，每年均考一道選擇題一道大題。除09年考察經(jīng)典的點(diǎn)線面位置關(guān)系的判斷以外，其余年份選擇題均考三視圖。08、10考的是三視圖的畫法，11、12考的是根據(jù)三視圖求幾何體的體積。解答題圍繞平行垂直的證明、體積、線線角、線面角、二面角展開。感覺純幾何的方法都能很有效直接地解決問題，向量法有時(shí)難以下手，例如：10年以及11年的題目。建議：（1）加強(qiáng)點(diǎn)線面位置關(guān)系判斷問題的學(xué)習(xí)。力爭(zhēng)同學(xué)都能拿分。（2）加強(qiáng)三視圖的學(xué)習(xí)，減少誤區(qū)是關(guān)鍵。（3）強(qiáng)化解答題的訓(xùn)練，提高向量法的運(yùn)算速度以及準(zhǔn)確率。（4）系統(tǒng)學(xué)習(xí)純幾何解決解答題方法，特別是線線角、線面角、二面角問題的輔助線作法。三、怎樣總結(jié)（一）從某個(gè)核心知識(shí)出發(fā)(形成一種結(jié)構(gòu))（二）從某個(gè)典型題出發(fā)提煉思路，從某個(gè)重要問題出發(fā)總結(jié)方法系統(tǒng)（三）從某類常見問題中突破基本技能……例如：（一）核心知識(shí)：平行垂直問題（根據(jù)下面的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖寫出相應(yīng)的定理）線線角平面幾何知識(shí)線線角平面幾何知識(shí)應(yīng)用應(yīng)用“垂直三角形兩邊的直線必垂直第三條邊”線面角二面角空間距離“垂直三角形兩邊的直線必垂直第三條邊”線面角二面角空間距離（含幾何體的高）應(yīng)用（**）平行的證明（根據(jù)下面的知識(shí)點(diǎn)提示寫出相應(yīng)的定理，并結(jié)合做過的題目進(jìn)行加深理解）線線平行證明途徑：（1）傳統(tǒng)幾何法（非向量法）：①三角形中的中位線（或利用平行四邊形）或（相似三角形或平行線分線段成比例）（核心，考試重點(diǎn)?？键c(diǎn)）②轉(zhuǎn)化為兩直線同時(shí)與第三條直線平行；（公理四）③轉(zhuǎn)化為線面平行；（線面平行的性質(zhì)定理）④轉(zhuǎn)化為面面平行；（面面平行的性質(zhì)定理）⑤轉(zhuǎn)化為線面垂直；（垂直同一平面的兩直線平行）（2）向量法：直線l，m的方向向量共線，即滿足：（此方法較少用）線面平行：（1）傳統(tǒng)幾何法（非向量法）：①轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；（線面平行的定義）②轉(zhuǎn)化為線線平行；（線面平行判定定理）③轉(zhuǎn)化為面面平行；（2）向量法：線l的方向向量與面的法向量，即3、面面平行：（1）傳統(tǒng)幾何法（非向量法）：①轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；②轉(zhuǎn)化為線面平行；（線面平行的判定定理）③轉(zhuǎn)化為線面垂直.（垂直同一直線的兩平面互相平行）

（2）向量法：面的法向量與另一面的法向量共線注意：（1）平行注意：構(gòu)造中位線、平行四邊形；相似三角形或平行線分線段成比例；（2）作輔助線的技巧：中點(diǎn)必要利用中位線或三線合一；線面平行、面面平行，必要有線線平行等。（**）垂直的證明線線垂直（1）傳統(tǒng)幾何法（非向量法）①相交直線的垂直（用平幾的勾股定理、等腰三角形三線合一、菱形對(duì)角線、相似三角形，或由線面垂直轉(zhuǎn)化）②異面直線的垂直（通常由線面垂直進(jìn)行轉(zhuǎn)化）：（2）向量法：利用直線l，m的方向向量垂直，即滿足：線面垂直（有兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直。）（1）傳統(tǒng)幾何法（非向量法）：①轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（定義，證明時(shí)較少使用）②轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（線面垂直判定定理，常用）③轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；④轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（2011廣東高考18題第一問）⑤轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直。

（2）向量法：①轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量共線；

直線的方向向量與平面內(nèi)兩相交直線的方向向量都垂直。

3、面面垂直：（1）傳統(tǒng)幾何法（非向量法）：①轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；②轉(zhuǎn)化為線面垂直.

（2）向量法：面的法向量與另一面的法向量垂直，即

注意：1、作輔助線的技巧：面面垂直。必要有線面垂直。2、題干的條件可以直接給出線線垂直、線面垂直、面面垂直、給出線段長(zhǎng)度等。3、線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化。每一垂直的判定就是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直最終達(dá)到目的。（二）一種問題的一類方法（自己學(xué)習(xí)總結(jié)）：（也可把平時(shí)學(xué)習(xí)遇到中的錯(cuò)題、典題收錄在對(duì)應(yīng)考點(diǎn)的空白處，只需標(biāo)明出處便于自己重做和復(fù)習(xí)）（**）異面直線所成的角（**）直線與平面所成的角：（**）二面角的平面角（**）點(diǎn)到面的距離（空間的各種距離，基本可轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)到面的距離”（**）動(dòng)態(tài)與探究性問題（動(dòng)態(tài)問題（動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線）注意尋找動(dòng)態(tài)問題中不動(dòng)的條件或結(jié)論）、(探究性問題尋找結(jié)論成立的充分條件或充要條件)（優(yōu)先考慮向量法）四、易錯(cuò)點(diǎn)（把平時(shí)學(xué)習(xí)遇到中的錯(cuò)題、典題收錄在對(duì)應(yīng)考點(diǎn)的空白處，只需標(biāo)明出處便于自己重做和復(fù)習(xí)）1、三視圖（注意“長(zhǎng)對(duì)正”、“寬相等”、“高平齊”的理解以及三視圖還原后幾何體的特征）如見10月月考第9題。2、體積（注意等體積法、分割補(bǔ)體方法）：3、面積（注意求全面積、表面積、側(cè)面積的區(qū)別）：旋轉(zhuǎn)（注意該幾何體是由什么平面圖形旋轉(zhuǎn)所得）4、翻折題（注意折疊前后元素（角大小、長(zhǎng)度、垂直關(guān)系等）的有否變化）【典例】1.已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分別是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中點(diǎn).求證:(1)E,F,B,D四點(diǎn)共面;(2)平面AMN∥平面EFDB.1.證明:(1)∵E,F是B1C1,C1D1的中點(diǎn),∴EF12B1D1∵DD1BB1,∴四邊形D1B1BD是平行四邊形.∴D1B1∥BD.∴EF∥BD,即EF,BD確定一個(gè)平面.故E,F,B,D四點(diǎn)共面.(2)∵M(jìn),N是A1B1,A1D1的中點(diǎn),∴MN∥D1B1∥EF.MN?平面EFDB,EF?平面EFDB,∴MN∥平面EFDB.連接NE,則NEA1B1AB.∴四邊形NEBA是平行四邊形.∴AN∥BE.AN?平面BEFD,BE?平面BEFD,∴AN∥平面BEFD.∵AN,MN都在平面AMN內(nèi),且AN∩MN=N,∴平面AMN∥平面EFDB.2.如圖,P是△ABC所在平面外一點(diǎn),A',B',C'分別是△PBC,△PCA,△PAB的重心.(1)求證:平面A'C'∥平面ABC;(2)求S△A'B'C'∶S△ABC.2.解:(1)證明:連接PA',PB',PC',設(shè)PA'∩BC=D,,PC'∩AB=F,則D,F分別是BC,AC,AB的中點(diǎn),且PA'PD=PC'連接FD.所以A'C'∥DF,A'C'?平面ABC,DF?平面ABC.A'C'∥平面ABC.(2)先證明平面A'B'C'∥平面ABC.:連接PA',PB',PC',設(shè)PA'∩BC=D,PB'∩AC=E,PC'∩AB=F,則D,E,F分別是BC,AC,AB的中點(diǎn),且PA'PD=PB'PE=PC'PF=23.連接DE,EF,FD.所以A'B'∥DE,A'C'∥DF,A'B'?平面ABC,A'C'?平面ABC且DE?從而,平面A'B'C'∥平面ABC.由平面幾何知識(shí),有S△DEFS△ABC=14,S△A3．用平行于四面體ABCD的一組對(duì)棱AB、CD的平面截此四面體(1)求證：所得截面MNPQ是平行四邊形；(2)如果AB=CD=a，求證：四邊形MNPQ的周長(zhǎng)為定值。（定值=2a）分析：1.已知條件的本質(zhì)是“線面平行”，結(jié)論（1）的核心問題是“線線平行”，抓住了本質(zhì)，弄清楚核心，利用基本的“三類平行關(guān)系”，問題（1）迎刃而解。2.問題(2)表面是空間問題,實(shí)則是空間中的“多個(gè)平面問題”。4.(2011安徽高考,理17)如圖,ABEDFC為多面體,平面ABED與平面ACFD垂直,點(diǎn)O在線段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.(1)證明直線BC∥EF;(2)求棱錐F-OBE的體積.4.(1)(綜合法)證明:設(shè)G是線段DA與線段EB延長(zhǎng)線的交點(diǎn).由于△OAB與△ODE都是正三角形,所以O(shè)B12DE,同理,設(shè)G'是線段DA與線段FC延長(zhǎng)線的交點(diǎn),有OG'=OD=2.又由于G和G'都在線段DA的延長(zhǎng)線上,所以G與G'重合.在△GED和△GFD中,由OB12DE和OC12可知B,C分別是GE和GF的中點(diǎn),所以BC是△GEF的中位線,故BC∥EF.(向量法)過點(diǎn)F作FQ⊥AD,交AD于點(diǎn)Q,連QE.由平面ABED⊥平面ADFC,知FQ⊥平面ABED,以Q為坐標(biāo)原點(diǎn).QE為x軸正向,QD為y軸正向,QF為z軸正向,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由條件知E(3,0,0),F(0,0,3),B32,-32則有BC=-32,0,32,EF=(-3,0,3(2)解:由OB=1,OE=2,∠EOB=60°,知S△EOB=32過點(diǎn)F作FQ⊥AD,交AD于點(diǎn)Q,由平面ABE⊥平面ACFD知,FQ就是四棱錐F-OBE的高,且FQ=3,所以VF-OBE=13FQ·S四邊形OBE=.（演練）（07安徽?理?17題）如圖，在六面體ABCD－A1B1C1D1中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形A1B1C1D1是邊長(zhǎng)為1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD（Ⅰ）求證：A1C1與AC共面，B1D1（四點(diǎn)共面問題學(xué)生比較陌生，但去年廣東文科題考了這類問題，應(yīng)讓學(xué)生見識(shí)見識(shí)。此題向量方法較簡(jiǎn)單。）解法1（向量法）：（應(yīng)先由上下底面平行推出）以D為原點(diǎn)，以DA,DC,所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（Ⅰ）證明：于是與AC共面，與BD共面.解法2（綜合法）：（Ⅰ）證明：∥平面ABCD.于是∥CD，∥DA.設(shè)E，F(xiàn)分別為DA，DC的中點(diǎn)，連結(jié)EF，有∥∥∴∥于是∥由DE=DF=1,得EF∥AC，故∥與AC共面.過點(diǎn)于是所以點(diǎn)O在BD上，故5【題組】（1）、判斷下列命題真假：①直線與平面，三角形在平面上，如果。則。②平面平面，，直線，則。（2）、三棱錐四個(gè)面中最多有幾個(gè)直角三角形？（制作模型，操作、論證）（3）、三棱錐中，平面，。請(qǐng)找出所有的線線垂直、線面垂直、面面垂直關(guān)系。（4）、三棱錐中，平面，。請(qǐng)找出（或做出）所有二面角的平面角。概念圖式“垂直三角形兩邊的直線必垂直第三條邊”和一個(gè)幾何體“四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐”（鱉臑）正方體的一部分）。6.（06年廣東）如圖3所示，在四面體P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是線段PB上一點(diǎn)，，點(diǎn)E在線段AB上，且EF⊥PB.（Ⅰ）證明：PB⊥平面CEF；（Ⅱ）求二面角B—CE—F的正切值.（I）證明：∵∴△PAC是以∠PAC為直角的直角三角形，同理可證△PAB是以∠PAB為直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB為直角的直角三角形。故PA⊥平面ABC又∵，而故CF⊥PB,又已知EF⊥PB∴PB⊥平面CEF（2）（II）由（I）知PB⊥CE,PA⊥平面ABC∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE在平面PAB內(nèi)，過F作FF1垂直AB交AB于F1，則FF1⊥平面ABC，EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC，故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角。7.Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)S,且SA=SB=SC,D為斜邊AC的

中點(diǎn).(1)求證:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求證:BD⊥平面SAC.證明:(1)取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)SE,DE,在Rt△ABC中,D、E分別為AC、AB的中點(diǎn),故DE∥BC,且DE⊥AB.∵SA=SB,∴△SAB為等腰三角形?！郤E⊥AB.又∵DE⊥AB,SE∩DE=E,∴AB⊥平面SDE.而SD?平面SDE,∴AB⊥SD.在△SAC中,SA=SC,D為AC的中點(diǎn),∴SD⊥AC.又∵SD⊥AB,AC∩AB=A,∴SD⊥平面ABC.(2)若AB=BC,則BD⊥AC,由(1)可知,SD⊥平面ABC,而BD?平面ABC,∴SD⊥BD.又∵BD⊥AC,SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.8.(本小題滿分13分)如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)在線段上，平面。證明：平面；若，求二面角的正切值；8.（1）∵∴∵∴∴（2）設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O，連∵∴又∵∴∴∴∴為二面角的平面角∵∴∴∴在，∴∴二面角的平面角的正切值為39.如圖,在五棱錐P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB∥CD,AC∥ED,AE∥BC,∠ABC=45°,AB=22,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形.(1)求證:平面PCD⊥平面PAC;(2)求直線PB與平面PCD所成角的大小;(3)求四棱錐P-ACDE的體積.9.(1)證明:在△ABC中,因?yàn)椤螦BC=45°,BC=4,AB=22,所以AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos45°=8,因此AC=22,故BC2=AC2+AB2,所以∠BAC=90°.又PA⊥平面ABCDE,AB∥CD,所以CD⊥PA,CD⊥AC.又PA,AC?平面PAC,且PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.又CD?平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAC.(2)解:因?yàn)椤鱌AB是等腰三角形,所以PA=AB=22,因此PB=PA又AB∥CD,所以點(diǎn)B到平面PCD的距離等于點(diǎn)A到平面PCD的距離.由于CD⊥平面PAC,在Rt△PAC中,PA=22,AC=22,所以PC=4,故PC邊上的高為2,此即為點(diǎn)A到平面PCD的距離.所以B到平面PCD的距離為h=2.設(shè)直線PB與平面PCD所成的角為θ,則sinθ=hPB=24=又θ∈0,π2,(3)解:因?yàn)锳C∥ED,CD⊥AC,所以四邊形ACDE是直角梯形.因?yàn)锳E=2,∠ABC=45°,AE∥BC,所以∠BAE=135°,因此∠CAE=45°,故CD=AE·sin45°=2×22=2ED=AC-AE·cos45°=22-2×22=2所以S四邊形ACDE=2+222又PA⊥平面ABCDE,所以VP-ACDE=13×3×22=2210.（20XX年全國(guó)卷）如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，，，是上的一點(diǎn)，。（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）設(shè)二面角為，求與平面所成角的大小?！敬鸢浮?1、（2012佛山一模）如圖，三棱錐中，底面，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.求平面與平面所成的二面角的平面角（銳角）的余弦值.方法一、如圖，以為原點(diǎn)、所在直線為軸、為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則………8分.…………10分設(shè)平面的法向量.由得，即…………（1）…………（2）取，則，.………12分取平面的法向量為則，故平面與平面所成角的二面角（銳角）的余弦值為.…………14分方法二、取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，∴.………8分，∴.………9分同理可證：.又，∴.………10分則與平面所成的二面角的平面角（銳角）就等于平面與平面所成的二面角的平面角（銳角）已知，，平面∴，∴……11分又，∴平面由于平面，∴而為與平面的交線，又底面，平面為二面角的平面角…………12分根據(jù)條件可得，在中，在中，由余弦定理求得……13分故平面與平面所成角的二面角（銳角）的余弦值為.…14分無公共棱的二面角的求法：1、法向量。建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，尋找兩半平面的法向量，關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)及計(jì)算需謹(jǐn)慎小心，法向量夾角與所求二面角的關(guān)系需考慮。2、幾何法。（關(guān)鍵尋找兩半平面的公共棱，接下來的找平面角的方法與上一節(jié)二面角（一）同）1）平移其中一個(gè)半平面使其與另一半平面相交找交線；2）通過延長(zhǎng)直線或作平行線等手段找出交線。12.（20XX年廣東理18）如圖5．在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長(zhǎng)為1的棱形， 且∠DAB=60，,PB=2, E,F分別是BC,PC的中點(diǎn)．（1）證明：AD平面DEF;（2）求二面角P-AD-B的余弦值．（附加）（3）求PA與平面ABCD所成的角的正弦值。12.法一：（1）證明：取AD中點(diǎn)G，連接PG，BG，BD。 因PA=PD，有，在中，，有為等邊三角形，因此，所以平面PBG又PB//EF，得，而DE//GB得ADDE，又，所以AD平面DEF。（2）， 為二面角P—AD—B的平面角，在, 在（3）由（1）AD平面DEF，AD在平面PBG內(nèi)，，過P作交BG的延長(zhǎng)線與O，PO在平面PBG，。連接OA，則為直線PA與平面ABCD所成的角，,法二：（1）取AD中點(diǎn)為G，因?yàn)橛譃榈冗吶切?，因此，，從而平面PBG。延長(zhǎng)BG到O且使得POOB，又平面PBG，POAD，所以PO平面ABCD。 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形的邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，直線OB，OP分別為軸，z軸，平行于AD的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。 設(shè) , 由于平面DEF。（2），取平面ABD的法向量 設(shè)平面PAD的法向量由取 (3)由(2)平面ABCD的法向量,13..(1)證法一:因?yàn)镋F∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,所以∠EGF=90°,△ABC∽△EFG.由于AB=2EF,因此BC=2FG.連接AF,由于FG∥BC,FG=12BC在?ABCD中,M是線段AD的中點(diǎn),則AM∥BC,且AM=12BC因此FG∥AM且FG=AM.所以四邊形AFGM為平行四邊形.因此GM∥FA.又FA?平面ABFE,GM?平面ABFE,所以GM∥平面ABFE.證法二:因?yàn)镋F∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,所以∠EGF=90°,△ABC∽△EFG,由于AB=2EF,所以BC=2FG.取BC的中點(diǎn)N,連接GN,因此四邊形BNGF為平行四邊形,所以GN∥FB.在?ABCD中,M是線段AD的中點(diǎn),連接MN,則MN∥AB.因?yàn)镸N∩GN=N,AB∩FB=B,所以平面GMN∥平面ABFE.又GM?平面GMN,所以GM∥平面ABFE.(2)解法一:因?yàn)椤螦CB=90°,所以∠CAD=90°.又EA⊥平面ABCD,所以AC,AD,AE兩兩垂直.分別以AC,AD,AE所在直線為x軸、y軸和z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)AC=BC=2AE=2,則由題意得A(0,0,0),B(2,-2,0),C(2,0,0),E(0,0,1),所以AB=(2,-2,0),BC=(0,2,0).又EF=12AB,所以F(1,-1,1),BF=(-1,1,1)設(shè)平面BFC的法向量為m=(x1,y1,z1),則m·BC=0,m·BF=0,所以y1=0,x1=z1所以m=(1,0,1).設(shè)平面ABF的法向量為n=(x2,y2,z2),則n·AB=0,n·BF=0,所以x2=y2,z2=0則n=(1,1,0).所以cos<m,n>=m·n|因此二面角A-BF-C的大小為60°.解法二:由題意知,平面ABFE⊥平面ABCD,取AB的中點(diǎn)H,連接CH,因?yàn)锳C=BC,所以CH⊥AB.則CH⊥平面ABFE.過H向BF引垂線交BF于R,連接CR,則CR⊥BF.所以∠HRC為二面角A-BF-C的平面角.由題意,不妨設(shè)AC=BC=2AE=2,在直角梯形ABFE中,連接FH,則FH⊥AB.又AB=22,所以HF=AE=1,BH=2.因此在Rt△BHF中,HR=63由于CH=12AB=2所以在Rt△CHR中,tan∠HRC=263=3.因此二面角A-BF-C的大小為6014.（20XX年江西）在三棱柱中，已知，，在在底面的投影是線段的中點(diǎn)。（1）證明在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使得平面，并求出的長(zhǎng)；（2）求平面與平面夾角的余弦值。15、如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中AA1（Ⅰ）求證：B1E⊥AD1；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說明理由.（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小為30°，求AB的長(zhǎng).【答案】本題主要考查立體幾何中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及二面角的概念與求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、基本運(yùn)算能力，以及函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.16.（本小題共13分)如圖，在三棱錐中，，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）證明：AP⊥BC；（Ⅱ）在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由。16、方法一：（I）證明：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，以射線OP為z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz……1分則，，3分由此可得，所以，即……5分（II）解：設(shè)，，……7分設(shè)平面BMC的法向量，平面APC的法向量由得即……10分由即得……12分由解得，故AM=3。綜上所述，存在點(diǎn)M符合題意，AM=3?！?3分方法二：（I）證明：由AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，得，又平面ABC，得因?yàn)椋云矫鍼AD，故……5分（II）解：如圖，在平面PAB內(nèi)作于M，連CM，由（I）中知，得平面BMC，又平面APC，所以平面BMC平面APC。在在，在所以在又從而PM，所以AM=PA-PM=3。……13分13、（山東理19）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠

ACB=，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是線段ＡＤ的中點(diǎn)，求證：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大?。畬忣}線路圖：請(qǐng)同學(xué)們自己寫寫4.(1)證法一:因?yàn)镋F∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,所以∠EGF=90°,△ABC∽△EFG.由于AB=2EF,因此BC=2FG.連接AF,由于FG∥BC,FG=12BC在?ABCD中,M是線段AD的中點(diǎn),則AM∥BC,且AM=12BC因此FG∥AM且FG=AM.所以四邊形AFGM為平行四邊形.因此GM∥FA.又FA?平面ABFE,GM?平面ABFE,所以GM∥平面ABFE.證法二:因?yàn)镋F∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,所以∠EGF=90°,△ABC∽△EFG,由于AB=2EF,所以BC=2FG.取BC的中點(diǎn)N,連接GN,因此四邊形BNGF為平行四邊形,所以GN∥FB.在?ABCD中,M是線段AD的中點(diǎn),連接MN,則MN∥AB.因?yàn)镸N∩GN=N,AB∩FB=B,所以平面GMN∥平面ABFE.又GM?平面GMN,所以GM∥平面ABFE.(2)解法一:因?yàn)椤螦CB=90°,所以∠CAD=90°.又EA⊥平面ABCD,所以AC,AD,AE兩兩垂直.分別以AC,AD,AE所在直線為x軸、y軸和z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)AC=BC=2AE=2,則由題意得A(0,0,0),B(2,-2,0),C(2,0,0),E(0,0,1),所以AB=(2,-2,0),BC=(0,2,0).又EF=12AB,所以F(1,-1,1),BF=(-1,1,1)設(shè)平面BFC的法向量為m=(x1,y1,z1),則m·BC=0,m·BF=0,所以y1=0,x1=z1所以m=(1,0,1).設(shè)平面ABF的法向量為n=(x2,y2,z2),則n·AB=0,n·BF=0,所以x2=y2,z2=0則n=(1,1,0).所以cos<m,n>=m·n|因此二面角A-BF-C的大小為60°.解法二:由題意知,平面ABFE⊥平面ABCD,取AB的中點(diǎn)H,連接CH,因?yàn)锳C=BC,所以CH⊥AB.則CH⊥平面ABFE.過H向BF引垂線交BF于R,連接CR,則CR⊥BF.所以∠HRC為二面角A-BF-C的平面角.由題意,不妨設(shè)AC=BC=2AE=2,在直角梯形ABFE中,連接FH,則FH⊥AB.又AB=22,所以HF=AE=1,BH=2.因此在Rt△BHF中,HR=63由于CH=12AB=2所以在Rt△CHR中,tan∠HRC=263=3.因此二面角A-BF-C的大小為60幾何法構(gòu)建答題模板第一步：根據(jù)條件合理轉(zhuǎn)化．第二步：寫清推證平行或垂直的所需條件，注意要充分．第三步：寫出結(jié)論．第四步：將所求角或距離具體化．第五步：計(jì)算角或距離．第六步：反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及答題規(guī)范.第五、六、七步簡(jiǎn)化為：作輔助線—證明---解直角三角形—檢驗(yàn)。5、（探究性問題）如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn)．(1)求證：PB∥平面EFG；(2)求異面直線EG與BD所成角的余弦值；(3)在線段CD上是否存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)A到平面EFQ的距離為0.8，若存在，求出CQ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．5、(1)證明∵平面PAD⊥平面ABCD，而∠PAD＝90°，∴PA⊥平面ABCD.又∵ABCD為正方形，∴PA、AB、AD兩兩垂直．以AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，G(1,2,0)，設(shè)＝(y，x＋y，－y)，∴∴x＝－2，y＝2.∴存在實(shí)數(shù)x，y使共面，又∵PB在平面EFG外，∴PB∥平面EFG.（2）解：設(shè)異面直線EG，BD的夾角為θ，由題意得：＝eq\f(|－2＋4|,\r(6)·\r(8))＝eq\f(\r(3),6).故異面直線EG與BD所成角的余弦值為eq\f(\r(3),6).(3)解假設(shè)在線段CD上，存在一點(diǎn)Q滿足題意，則Q點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為(x0,2,0)．設(shè)平面EFQ的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x，y，z)·(0，1，0)＝0，,(x，y，z)·(x0，2，－1)＝0.))∴y＝0，z＝x0x，取x＝1，∴n＝(1,0，x0)．則＝0.8，即xeq\o\al(2,0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2xeq\o\al(2,0)，又∵x0>0，∴x0＝eq\f(4,3)，∴Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2，0)).＝(－eq\f(2,3)，0,0)，∴CQ＝eq\f(2,3).即在線段CD上存在一點(diǎn)Q滿足題意．且CQ的值為eq\f(2,3).12.(2011廣東茂名一模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,Q為AD的中點(diǎn).(1)若PA=PD,求證:平面PQB⊥平面PAD;(2)點(diǎn)M在線段PC上,PM=tPC,試確定t的值,使PA∥平面MQB;(3)在(2)的條件下,若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,求二面角M-BQ-C的大小.12.解:(1)連接BD,四邊形ABCD為菱形,∵AD=AB,∠BAD=60°,△ABD為正三角形,Q為AD中點(diǎn),∴AD⊥BQ.∵PA=PD,Q為AD的中點(diǎn),AD⊥PQ,又BQ∩PQ=Q,∴AD⊥平面PQB,AD?平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.(2)當(dāng)t=13時(shí),下面證明,若PA∥平面MQB,連接AC交BQ于N,由AQ∥BC可得,△ANQ∽△BNC,∴AQBC=ANNC=∵PA∥平面MQB,PA?平面PAC,平面PAC∩平面MQB=MN,∴PA∥MN,PMPC=ANAC=即PM=13PC∴t=13(3)由PA=PD=AD=2,Q為AD的中點(diǎn),則PQ⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,所以PQ⊥平面ABCD,以Q為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以QA,QB,QP所在的直線為x,y,z軸,建立如圖所示的坐標(biāo)系,則各點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,0,0),B(0,3,0),Q(0,0,0),P(0,0,3).設(shè)平面MQB的法向量為n=(x,y,1),可得n∵PA∥MN,∴n解得n=(3,0,1).取平面ABCD的法向量m=(0,0,1).cos<m,n>=12,故二面角MBQC的大小為60°.3.如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,側(cè)棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中