第19頁/共21頁江蘇省2024－2024學年第一學期9月份質(zhì)量檢測高三數(shù)學試卷滿分：150分考試時間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出指數(shù)函數(shù)的值域進而得出集合，依據(jù)二次根式的意義求出集合，利用并集的定義和運算干脆計算即可.【詳解】..因此.故選：D2.在復平面內(nèi)，復數(shù)，則的虛部是（）A. B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用復數(shù)的除法解題即可.【詳解】由題，所以的虛部為，故選：A3.已知等差數(shù)列的公差為1，為其前項和，若，則（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】先求得，然后求得.【詳解】依題意.故選：D4.高三年級三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必需有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的安排方案有（）.A.16種 B.18種 C.37種 D.48種【答案】C【解析】【分析】依據(jù)去工廠甲的班級數(shù)進行分類探討，由此計算出總的安排方案.【詳解】三個班有一個班去甲，方法數(shù)有；三個班有兩個班去甲，方法數(shù)有；三個班都去甲，方法數(shù)有，故總的方法數(shù)為種，故選C.【點睛】本小題主要考查分類加法計數(shù)原理，考查組合數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)的部分圖象大致形態(tài)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，分析可得函數(shù)為奇函數(shù)，且在上，，據(jù)此解除分析可得答案．【詳解】解：依據(jù)題意，，其定義域為，則有，即函數(shù)為奇函數(shù)，解除、；又由當上時，，，，則有，解除；故選：．6.已知定義在上的函數(shù)滿意，①，②為奇函數(shù)，③當時，恒成立.則、、的大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)單調(diào)性的定義可得在上單調(diào)遞增，依據(jù)已知條件可得是周期為的奇函數(shù)，依據(jù)周期性和單調(diào)性即可求解.【詳解】由可得的周期為，因為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，因為時，，所以在上單調(diào)遞增，因為為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因為，，，所以，即.故選：C.7.中，，D為AB的中點，，則（）A.0 B.2 C.-2 D.-4【答案】A【解析】【分析】取為基底，表示出即可求解.【詳解】在中，D為AB的中點，，取為基底，所以,.所以.因為，，所以.即.

故選：A8.已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】易推斷，構(gòu)造函數(shù)可得在上單調(diào)遞增，∴，即.【詳解】∵，∴在上單調(diào)遞減∴，構(gòu)造函數(shù)，則∴在上單調(diào)遞增，∴即.故選：C.二、選擇題：本小題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下面命題正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.命題“若，則”的否定是“存在，則”C.設(shè)，則“且”是“”的必要不充分條件D.設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)充分條件、必要條件的判定方法，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，可得，所以充分性成立；反之：當時，可得或，所以必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，所以A正確；對于B中，命題“若，則”的否定是“存在，則”，所以不正確；對于C中，設(shè)，由且，可得成，即充分性成立，反之：由成立時，可能且，即必要性不成立，所以“且”是“”的充分不必要條件，所以C不正確；對于D中，設(shè)，當時，可得，即充分性不成立，反之：由，可得成立，即必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，所以D正確.故選：AD.10.已知向量，，，，則下列說法正確的是（）A.若，則有最小值B.若，則有最小值C.若，則的值為D.若，則的值為1【答案】A【解析】【分析】依據(jù)向量的坐標運算，求得，結(jié)合向量平行和垂直的坐標運算以及基本不等式，對每個選項進行逐一分析，即可推斷和選擇.【詳解】∵，，∴．對A：若，則，當且僅當，即，，取得等號，故選項A正確；對B：若，則，當且僅當，，取得等號，故選項B錯誤；對C：若，則，即，則，故選項C錯誤；對D：因為,所以，，則D不正確.故選：A．11.函數(shù)的部分圖像如圖所示，下列說法正確的是（）A.圖像的一條對稱軸可能為直線B.函數(shù)的解折式可以為C.的圖像關(guān)于點對稱D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BC【解析】【分析】先根圖象求出函數(shù)解析式，然后逐個分析推斷即可【詳解】由圖象可知，得，所以，所以，因為函數(shù)圖象過點，所以，所以，得，因為，所以，所以，對于A，因為，所以不是圖象的一條對稱軸，所以A錯誤，對于B，，所以B正確，對于C，因為，所以的圖象關(guān)于點對稱，所以C正確，對于D，由，得，當時，，當時，，可知函數(shù)在，上遞增，所以函數(shù)在上遞減，所以D錯誤，故選：BC12.某校團委組織“喜迎二十大、恒久跟黨走、奮進新征程”學生書畫作品競賽，經(jīng)評審，評出一、二、三等獎作品若干（一、二等獎作品數(shù)相等），其中男生作品分別占，，，現(xiàn)從獲獎作品中任取一件，記“取出一等獎作品”為事務(wù)，“取出男生作品”為事務(wù)，若，則（）A. B.一等獎與三等獎的作品數(shù)之比為C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依題意設(shè)一、二等獎作品有件，三等獎作品有件，即可表示男、女生獲一、二、三等獎的作品數(shù)，再依據(jù)求出與的關(guān)系，從而一一推斷即可.【詳解】解：設(shè)一、二等獎作品有件，三等獎作品有件，則男生獲一、二、三等獎的作品數(shù)為、、，女生獲一、二、三等獎的作品數(shù)為、、，因為，所以，所以，故A正確；，故C錯誤；一等獎與三等獎的作品數(shù)之比為，故B正確；，故D正確；故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離為，則其離心率是________．【答案】2【解析】【分析】取雙曲線得一條漸近線，依據(jù)右焦點到一條漸近線的距離為，可求得，即可求出雙曲線的離心率.【詳解】解：不妨取雙曲線的一條漸近線，即，則右焦點漸近線的距離，所以，則，所以雙曲線的離心率.故答案為：2.14.若的綻開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則綻開式中的常數(shù)項是_________．【答案】180【解析】【分析】寫出二項綻開式通項公式，由只有第六項二項式系數(shù)最大求得，再確定常數(shù)項．【詳解】，由題意，此不等式組只有一解，因此（）．，，所以常數(shù)項為．故答案為：180．15.如圖，在中，是的中點，若，則實數(shù)的值是__________.【答案】##【解析】【分析】依據(jù)平面對量基本定理結(jié)合已知條件將用表示即可求出的值【詳解】因為，所以為的中點，因為是的中點，所以，所以,因為，所以，故答案為：16.設(shè)函數(shù)已知不等式的解集為，則______，若方程有3個不同的解，則m的取值范圍是________．【答案】①.0②.【解析】【分析】（1）先對函數(shù)求導，推斷其單調(diào)性和極值，在同始終角坐標系中，作出函數(shù)與的大致圖象，結(jié)合圖象，由不等式的解集，即可求出的取值；依據(jù)方程有3個不同的解，等價于函數(shù)與直線有三個不同的交點，利用數(shù)形結(jié)合的方法，即可求出結(jié)果.【詳解】由，得；由得或；由得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因此，當時，函數(shù)取得極大值；當時，函數(shù)取得微小值；由可得或；在同始終角坐標系中，作出函數(shù)與的大致圖象如下，由圖象可得，當時，；因為，為使不等式的解集為，結(jié)合圖象可知，只有；所以因為方程有3個不同的解，等價于函數(shù)與直線有三個不同的交點，作出函數(shù)的大致圖象如下：由圖象可得，；故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程演算步驟．17.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理，角化邊，得到，利用余弦定理，求得答案；（2）利用余弦定理結(jié)合求得，利用三角形面積公式，求得答案.【小問1詳解】因為，在中，由正弦定理可得，化簡得，所以.又因為，所以.【小問2詳解】由余弦定理，得因為，所以將代入上式，解得，所以的面積.18.已知函數(shù)，其中.若函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行.（1）求的值；（2）求函數(shù)的極值.【答案】（1）；（2）極大值，微小值.【解析】【分析】（1）由導數(shù)的幾何意義求解即可；（2）由導數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性，進而求得極值即可.【詳解】（1）由已知，可得.函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行，，解得.閱歷證，符合題意.（2）由（1）得，求導.令，得或當改變時，與的改變狀況如下表：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減微小值單挑遞增當時，取得極大值，且；當時，取得微小值，且.【點睛】方法點睛：本題主要考查了利用導數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方程，以及利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性與極值，求切線常見考法：(1)已知切點求斜率k，即求該點處的導數(shù)值：．(2)已知斜率k，求切點，即解方程.(3)若求過點的切線方程，可設(shè)切點為，由，求解即可．19.已知函數(shù)．（1）若且，求的值；（2）記函數(shù)在上的最大值為b，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)化簡f(x)解析式，依據(jù)求值即可；(2)求出f(x)最大值b，求出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，求出與已知區(qū)間對應(yīng)的增區(qū)間A，則是區(qū)間A的子集.【小問1詳解】，∵，∴，∵，∴，∴，∴；【小問2詳解】當時，，，∴，由，，得，，又∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴，∴實數(shù)a的最小值是.20.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，，，平面，且．點在棱上，點為中點．（1）證明：若，則直線平面；（2）求平面與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取，利用平行線分線段成比例和平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定可證得平面，平面，由面面平行的判定與性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）以為坐標原點可建立空間直角坐標系，利用面面角的向量求法可求得所求角的余弦值，由余弦值可求得正弦值.【小問1詳解】在上取一點，使得，連接，，，又平面，平面，平面；，，，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；，平面，平面平面，平面，平面.【小問2詳解】由題意知：以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，平面與平面所成設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，平面與平面所成角的正弦值為.21.隨著原材料供應(yīng)價格的上漲，某型防護口罩售價逐月上升．1至5月，其售價（元/只）如下表所示：月份x售價y（元/只）11.222.83.4（1）請依據(jù)參考公式和數(shù)據(jù)計算相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）說明該組數(shù)據(jù)中y與x之間的關(guān)系可用線性回來模型進行擬合，并求y關(guān)于x的線性回來方程；（2）某人安排在六月購進一批防護口罩，經(jīng)詢問屆時將有兩種促銷方案：方案一：線下促銷實惠．采納到店手工“摸球促銷”的方式．其規(guī)則為：袋子里有顏色為紅、黃、藍的三個完全相同的小球，有放回的摸三次．若三次摸的是相同顏色的享受七折實惠，三次摸的僅有兩次相同顏色的享受八折實惠，其余的均九折實惠．方案二：線上促銷實惠．與店鋪網(wǎng)頁上的機器人進行“石頭、剪刀、布”視頻競賽．客戶和機器人每次同時、隨機、獨立地選擇“石頭、剪刀、布”中的一種進行比對，約定：石頭勝剪刀，剪刀勝布，布勝石頭．手勢相同視為平局，不分輸贏．客戶和機器人需競賽三次，若客戶連勝三次則享受七折實惠，三次都不勝享受九折實惠，其余八折實惠．請用（1）中方程對六月售價進行預估，用X表示據(jù)預估數(shù)據(jù)促銷后的售價，求兩種方案下X的分布列和數(shù)學期望，并依據(jù)計算結(jié)果進行推斷，選擇哪種方案更實惠．參考公式：，，其中，．參考數(shù)據(jù)：，，，．【答案】（1）相關(guān)系數(shù)；（2）6月預料售價為4元/只；方案一分布列見解析；期望為；方案二分布列見解析；期望為；應(yīng)選擇方案一【解析】【分析】（1）依據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，計算出的值，帶入?yún)⒖脊接嬎慵纯?（2）依據(jù)（1）中線性回來方程，求得X可取的值，依次計算概率，列出分布列，求解數(shù)學期望，利用數(shù)學期望比較兩種方案.【小問1詳解】相關(guān)系數(shù)，由于0.98接近1，說明y與x之間有較強的線性相關(guān)關(guān)系．，，所以．【小問2詳解】由（1）可知，，當時，，即6月預料售價為4元/只．X可取的值為2.8，3.2，3.6．若選實惠方案一，；；；2.83.23.6此時.若選實惠方案二，客戶每次和機器人競賽時，勝出的概率為，則不勝的概率為．；；；2.83.23.6此時.，說明為使花費的期望值最小，應(yīng)選擇方案一．22.已知．（1）探討的單調(diào)性；（2）已知函數(shù)有兩個極值點，求證：．【答案】（1）當時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，函數(shù)單調(diào)遞增．（2）見解析.【解析】【分析】（1）先對函數(shù)求導，令，求出解為，從而可探究、隨自變量的改變，結(jié)