4.5相似三角形判定定理的證明（培優(yōu)版）夯實基夯實基礎黑發(fā)不知勤學早，白首方悔讀書遲。一、選擇題1．如圖是一張矩形紙片ABCD，點E是AD中點，點F在BC上，把該紙片沿EF折疊，點A、B的對應點分別為A'、B'，A'E與BC相交于點G，B'A．22 B．4105 C．22．如圖，在矩形ABCD中，點G是邊BC的三等分點(BG<GC)，點H是邊CD的中點，線段AG，AH與對角線BD分別交于點E，F.設矩形ABCD的面積為S，則以下4個結論中：①FH：AF=1：2；②BE：A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．在正方形ABCD中，AB＝3，點E在邊CD上，且DE＝1，將△ADE沿AE對折到△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG，CF.下列結論，其中正確的有（）個.

（1）CG＝FG；（2）∠EAG＝45°；（3）S△EFC＝35；（4）CF＝12A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC上一點，且AB=3BE．過點B作BF⊥AE，交邊CD于點F．以C為圓心，CF長為半徑畫圓，交邊BC于點G，連接DG，交BF于點H．則DH：A．10：3 B．3：1 C．8：3 D．5：35．由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形ABCD如圖所示．點P，Q分別為AB，GH的中點，若PQ恰好經過點F，則ABEFA．453 B．3 C．136．如圖，正方形ABCD中，E為BC的中點，CG⊥DE于G，延長BG交CD于點F，延長CG交BD于點H，交AB于N下列結論：①DE=CN；②BHBD=13；③SΔDECA．2個 B．3個 C．4個 D．5個7．如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，AF平分∠EAD交CD于點F，FG∥AD交AE于點G，若AB=AE，則FG的長是（）A．3 B．83 C．21538．如圖，在正方形ABCD中，點G是BC上一點，且GCBG=12，連接DG交對角線AC于F點，過D點作DE⊥DG交CA的延長線于點E，若A．22 B．553 C．99．由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形ABCD如圖所示，過點G作GD的垂線交AB于點I，若GI=43GDA．15 B．27 C．5510．如圖，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=6，點D在AB上，過點D作DE//BC交AC于點E，現將△ADE沿著DE所在的直線折疊，使得點A落在點A'處，A'D，A'E分別交BC于點F、GA．33+6 B．43+8 C．鞏固積鞏固積厚寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來。二、填空題11．如圖，面積為4的正方形ABCD中，EFGH分別是各邊的中點，將一邊兩端點分別和對邊中點連結，所得陰影部分為各邊相等的八邊形，則八邊形每條邊的長度是.12．如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=60°，點E是邊AB上一動點(不與點A、B重合)，過點E作EF∥BC交AC于點F，連接DF，當△ADF是等腰三角形時，AE的長為.13．如圖，四邊形ABCD是正方形，AB=6，E是BC的中點，連接DE，DE的垂直平分線分別交AB、DE、CD于點M、O、N，連接EN，過E作EF⊥EN交AB于點F，則AF的長為．14．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=12，點E為AC中點．點D在AC右側，DE⊥AC，且∠DAE=∠BAC，射線BE交AD于點F，若△DEF為等腰三角形，則線段EF的長為．15．圖1是某個零件橫截面的示意圖，已知AB＝CD，∠B＝∠C，為了求出BC的長度，小藝將一根直尺按圖2，圖3，圖4的三種方式擺放，所測得的具體數據（單位：cm）如圖所示，則直尺寬為cm，BC為cm．優(yōu)尖拔優(yōu)尖拔高書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟。三、解答題16．如圖（圖形不全），等邊三角形ABC中，AB=3，點D在直線BC上，點E在直線AC上，且∠BAD=∠CBE，當BD=1時，求AE的長．幾位同學通過探究得出結論：此題有多種結果．有同學已經得出兩個符合題意結論：①當點D在邊BC上、點E在邊AC上時，AE=2；②當點D在邊BC上、點E在AC的延長線上時，AE=9要求：請針對其它情況，繼續(xù)求出AE的長，并寫出總的正確結論．17．如圖，E是矩形ABCD的邊CB上的一點，AF⊥DE于點F，AB=3，AD=2，CE=1．求DF的長度．18．如圖，在ΔABC中，AB=AC，D、E、B、C在同一條直線上，且AB2=BD?CE.求證：ΔABD19．在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC邊上的中線，點D在射線BC上．發(fā)現：如圖1，點D在BC邊上，CD：BD=1：2，AD與BE相交于點P，過點A作AF∥BC，交BE的延長線于點F，易得APPD的值為解決問題：如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，點D在BC的延長線上，AD與AC邊上的中線BE的延長線交于點P，DC：BC=1：2．求APPD應用：若CD=2，AC=6，則BP=．20．如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，連接AE、BD．（1）猜想PM與PN的數量關系及位置關系，請直接寫出結論；（2）現將圖①中的△CDE繞著點C順時針旋轉α（0°＜α＜90°），得到圖②，AE與MP、BD分別交于點G、H．請判斷（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如圖③，寫出PM與PN的數量關系，并加以證明．

1．答案:C解析：解：過點E作EH⊥BC于點H，∵四邊形ABCD為矩形，答案與解析答案與解析∴∠A=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC，∴四邊形ABHE和四邊形CDEH為矩形，∴AB=EH，ED=CH，∵BFGC∴令BF=x，CG=2x，FG=y，則CF=2x+y，B'∵E為AD的中點，∴AE=DE=1由對折可得：∠AEF=∠A'EF∴∠AEF=∠CFE，∴∠A∴GE=GF=y，∴A'由題意，得∠CA又∠GCA∴△CGA∴CGCF則2x2x+y整理，得2x解得x=?y（舍去），y=2x，∴AD=BC=3x+y=5x，EG=y=2x，HG=BG?AE=1在Rt△EGH中E則EH解得EH=15∴AB=15∴ADAB故答案為：C.分析：過點E作EH⊥BC于點H，根據矩形的性質可得∠A=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC，則四邊形ABHE、CDEH為矩形，得到AB=EH，ED=CH，設BF=x，CG=2x，FG=y，則CF=2x+y，B′F=BF=x，由中點的概念可得AE=DE=12(3x+y)，由對折可得∠AEF=∠A′EF，由平行線的性質可得∠AEF=∠CFE，推出GE=GF=y，則A′G=12(3x-y)，證明△CGA′∽△CFB′，由相似三角形的性質可得y=2x，則AD=BC=5x，EG=2x，HG=2．答案:D解析：解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD//BC，AB=CD，∴ΔABF∽ΔDHF，ΔADE∽ΔGEB，∵點G是邊BC的三等分點，點H是邊CD的中點，∴DFBF=FH設BE=m，則DE=3m，BD=4m，DF=43m，BF=∴FH：AF=1：∵ΔADE∽ΔGEB，∴S1同理可得：S3∵BE：EF：FD=3：設S1=3n，則S4=9n，S∴S3=6n，∴S1+S故答案為：D.分析：根據矩形的性質得AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，根據平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊的延長線，所截的三角形與原三角形相似得△ABF∽△DHF，△ADE∽△GEB，根據相似三角形對應邊成比例得DFBF=FHAF=12，BEDE=BGAD=GEAE=13，設BE=m，則DE=3m，BD=4m，DF=43m，BF=83．答案:C解析：解：如圖所示：（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝AB＝BC＝CD＝3，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，由折疊可知：AF＝AD＝3，∠AFE＝∠D＝90°，DE＝EF＝1，則CE＝2，∴AB＝AF＝3，AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG＝FG，設CG＝x，則BG＝FG＝3-x，∴EG＝4-x，EC＝2，根據勾股定理，得在Rt△EGC中，（4-x）2＝x2+4，解得x＝32，則3-x＝3∴CG＝FG，所以（1）正確；（2）由（1）中Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴∠BAG＝∠FAG，又∠DAE＝∠FAE，∴∠BAG+∠FAG+∠DAE+∠FAE＝90°，∴∠EAG＝45°，所以（2）正確；（3）過點F作FH⊥CE于點H，∴FH∥BC，∴FHCG即1：（32+1）＝FH：（3∴FH＝35∴S△EFC＝12×2×35＝所以（3）正確；（4）∵GF＝32點F不是EG的中點，CF≠12所以（4）錯誤.所以（1）、（2）、（3）正確.故答案為：C.分析：利用正方形的性質可證得AD＝AB＝BC＝CD＝3，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，利用折疊的性質可得到∠AFE＝∠D＝90°，AF的長，同時可求出CE的長，利用HL可證得Rt△ABG≌Rt△AFG，利用全等三角形的性質可得到BG=FG；設CG＝x，可表示出FG，BG，EG，在Rt△EGC中，利用勾股定理可得到關于x的方程，解方程求出x的值，可推出CG=FG，可對（1）作出判斷；利用全等三角形的性質可證得∠BAG＝∠FAG，再根據∠BAG+∠FAG+∠DAE+∠FAE＝90°，可得到∠EAG的度數，可對（2）作出判斷；過點F作FH⊥CE于點H，由FH∥BC，可證得FHCG4．答案:B解析：解：如圖所示，連接AH，CH，設AE與BF交于M，∵BF⊥AE，∴∠AMB=90°，∴∠BAM+∠ABM=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠ABE=∠BCF=90°，∴∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE=CF，∴BF=DF，∵CG=CF，∠DCG=∠BCF，DC=BC，∴△BCF≌△DCG（SAS），∴∠CBF=∠CDG，又∵∠BHG=∠DHF，∴△BHG≌△DHF（AAS），∴HG=HF，又∵HC=HC，CG=CF，∴△HCG≌△HCF（SSS），∴∠HCG=∠HCF=45°，∴A、H、C三點共線，∵AD//∴△ADH∽△CGH，∴DHHG故答案為：B．

分析：連接AH，CH，設AE與BF交于點M，先證得A、H、C三點共線，由AD∥BC，可得△ADH∽△CGH，利用相似三角形對應邊成比例即得結論.5．答案:C解析：解：如圖，過點P作PM⊥BE于點M，

設BE=a，GH=b，

∵△AHD≌△BEA，

∴AH=BE=a，

∵四邊形EFGH是正方形，

∴FG=GH=EH=EF=b，

∵∠AEB=∠PMB=90°，

∴PM∥AE，

∴BP∶AP=BM∶ME，

∵點P是AB的中點，

∴AP=BP，

∴BM=EM=12a，

∴PM是△ABE的中位線，

∴PM=12AE=12（a-b），

又∵點Q是GH的中點，

∴GQ=12GH=12b，

∵∠PMF=∠BFC=90°，

∴△PM∥FC，

∴∠MPF=∠GFQ，

∵∠PMF=∠FGQ=90°，

∴△PMF∽△FGQ，

∴PM∶FG=MF∶GQ，

∴PM×GQ=FG×MF，

∵MF=EM-EF=12a-b，

∴12（a-b）×12b=b（12a-b），

整理得3b2-ab=0，即b（3b-a）=0，

∵b≠0，

∴3b-a=0，

∴a=3b，

∴AE=AH-EH=a-b=2b，

∴AB=AE2+BE2=2b2+3b2=6．答案:D解析：解：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=BC，∠DCE=∠CBN=90°，∵CG⊥DE于G，∴∠CGD=90°，∴∠CDE=∠BCN=90°?∠DCG，在△DCE和△CBN中，∠CDE=∠BCNCD=BC∴△DEC≌△CNB(SAS)，∴DE=CN，故①正確；∵E為BC的中點，BC=CD=AB，∴BN=CE=1∴BNCD∵AB∥CD，∴△BHN∽△DHC，∴BHDN=BN∵NHCH∴NHCN∴SΔBNH∴SΔDEC如圖，作BT⊥DN于點T，BR⊥DE交DE的延長線于點R，則∠BTN=∠R=∠BTG=90°，∵CE=BN，CE=BE，∴BN=BE，∵∠BNT=∠CED，∠BER=∠CED，∴∠BNT=∠BER，在△BNT和△BER中，∠BTN=∠R∠BNT=∠BER∴△BNT≌△BER(AAS)，∴BT=BR，在Rt△BTG和Rt△BRG中，BG=BGBT=BR∴Rt△BTG≌Rt△BRG(HL)，∴∠BGN=∠BGR，∵∠RGN=90°，∴∠BGN=1∵TN=ER，GT=GR，∴GN+EG=GT+TN+EG=GT+ER+EG=GT+GR=2GT，∵∠TBG=∠BGN=45°，∴BT=GT，∴2GT∴2GT=BG∴2GT=2∴GN+EG=2綜上，①②③④⑤均正確，故答案為：D.分析：①根據正方形的性質及同角的余角相等，利用SAS可證△NBC≌△ECD，根據全等三角形的性質得DE=CN，從而可以判斷①正確；

②由平行三角形一邊的直線，截其它兩邊的延長線，所截三角形與原三角形相似，證△NBH∽△CDH，根據相似三角形的對應邊成比例，可以判斷②正確；

③根據同高三角形的面積之比等于底之比，結合線段比例關系，得出面積比，進而結合，全等三角形的性質可以判斷③正確；

④過點B作兩條垂線，利用AAS證△BNT≌△BER，得BT=BR，進而根據HL證Rt△BTG≌Rt△BRG，得∠BGN=∠BGR，據此可以判斷④正確；

⑤判斷出等腰直角三角形，再結合勾股定理可以求出BG長，即可判斷⑤正確．7．答案:B解析：解：如圖，作AH垂直BC于H，延長AE和DC交于點M，∵AB=AE，∴BH=EH，∠ABE=∠AEB，∵菱形ABCD的邊長為4，∴AB=AE=AD=BC=4，AB∥DC，∵E是BC的中點，∴BE=CE=2，∴BH=EH=1∵AB//∴∠B=∠MCE，∵∠AEB=∠MEC，∴∠MEC=∠MCE，∴AE=AB=EM=CM=4，∵FG//∴∠DAF=∠AFG，∵AF平分∠EAD，∴∠GAF=∠DAF，∴∠GAF=∠AFG，∴AG=GF，設GF=x，則AG=x，GE=4?x，MG=GE+EM=8?x，由GF//∴△MGF∽△MEC，∴ECFG∴2x解得x=8故答案為：B.分析：作AH垂直BC于H，延長AE和DC交于點M，由菱形的性質可得AB=BC=CD=AD=4，AB∥CD，利用等腰三角形的性質及平行線的性質可得BH=CH=12BE=1，AE=AB=EM=CM=4，利用平行線的性質及角平分線的定義可得∠GAF=∠AFG，可得AG=GF，設GF=x，則AG=x，GE=4?x，MG=GE+EM=8?x，根據平行線可證△MGF∽△MEC8．答案:D解析：解：過點E作EH⊥AD，交DA延長線于H，∴∠H=90°，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，∴∠2+∠3=90°，∠H=∠BCD，∵DE⊥DG，∴∠EDG=90°，∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3，∴△DEH∽△DGC，∴EH∵GC∴設GC=x，則BG=2x，DC=BC=3x，∴EH∴DH=3EH，∵AC是正方形ABCD對角線，∴∠DAC=45°，∵∠EAH=∠DAC=45°，∴∠HEA=45°，∴EH=HA，∴EH∴EH=HA=5∴DH=3EH=15∴AD=DH?AH=52∴GC=1∴DG=C∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴CG∴DF=3GF，∴DF=3故答案為：D．分析：過點E作EH⊥AD，交延長線于H，由正方形的性質，推出∠H＝∠BCD，根據同角的余角相等，推出∠1＝∠3，證明△DEH∽△DGC，推出EHGC=DHDC，由正方形的性質得∠EAH=∠DAC=45°，求出9．答案:C解析：解：過點I作IM⊥BG于點M，

∵由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形ABCD，

∴設AF=BG=CH=DE=a，BF=CG=DH=AE=b，

∴EH=HG=DE-DH=a-b，

∵DG⊥IG，

∴∠HGD+∠HGI=90°，

∵∠HGI+∠IGM=90°，

∴∠IGM=∠HGD，

∵∠IMG=∠DHG=90°，

∴△IMG∽△DHG，

∴IGDG=IMDH=GMGH

∵GI=43GD

∴IM=43DH=43b，GM=43GH=43a?b，

∴BM=BG?MG=a?43a?b=43b?13a，

∵IM∥AF，

∴△BMI∽△BFA，

∴IMAF=BMBF即4310．答案:C解析：解：∵DE∥BC，∴FG∥DE，∴△A'FG∽∴A∴A'∵∠A=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∴∠ADE=∠AED=30°，∵將△ADE沿著DE所在的直線折疊，使得點A落在點A'處，∴∠A'∴∠DFB=∠A'∴∠B=∠DFB，∴BD=FD，∴AD=A'∵AB=AC=6，∴BD=2，同理DG=2，過A作AM⊥BC于M，∴BM=3∴BC=63∴DE=2∴FG=1∴圖中陰影部分的周長=DE+DF+FG+EG=6故答案為：C.分析：易證△A′FG∽△A′DE，根據相似三角形的性質可得A′F=DF，根據等腰三角形的性質以及內角和定理可得∠B=∠C=30°，則∠ADE=∠AED=30°，根據折疊的性質可得∠A′DE=∠ADE=30°，進而得到∠B=∠DFB，推出BD=FD，則AD=A′D=2BD，求出BD、DG的值，過A作AM⊥BC于M，求出BM、BC、DE、FG的值，然后根據周長的意義進行解答.11．答案:5解析：解：如圖：∵正方形ABCD的面積為4∴正方形的邊長為2，∵點E、F、G分別是AB、BC、CD的中點，∴DG=CG=CF=1，在△ADG與△DCF中AD=CD∠ADG=∠DCF=90°∴△ADG≌△DCF（SAS），∴∠DAG=∠CDF，∵∠DAG+∠DGA=90°，∴∠GDH+∠DGH=90°，∴∠DMG=90°，∵AG=AD2∴DM=AD?DGAG∴GM=5由題意可得：AG∥CE∴△DCK∽△DGM∴DG∴CK=同理可得：△BCG≌△CBE∴∠ECB=∠GBC∴BO=OG=OC=OK=OC?CK=∵AG∥CE△OKL∽△GML∴OL∴OL∴OL=故答案為：56分析：根據正方形ABCD的面積可得邊長為2，利用SAS證明△ADG≌△DCF，得到∠DAG=∠CDF，結合∠DAG+∠DGA=90°可得∠DMG=90°，利用勾股定理可得AG，由等面積法可得DM，然后求出GM，證明△DCK∽△DGM，根據相似三角形的性質可得CK，同理可得△BCG≌△CBE，得到∠ECB=∠GBC，易得BO、OG、OC、OK的值，證明△OKL∽△GML，然后根據相似三角形的性質進行計算.12．答案:43或解析：解：連接BD交AC于點O，

當DF=AF時

∴∠DAO=∠ADF

∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，

∴AD=AB，

∴△ABD是等邊三角形，

∴BD=AD=4，∠DAC=∠ADF=∠FDO=12∠DAB=30°，

∴DO=2，

∴DF=2FO，

∴OF2+4=4OF2

解之：OF=233

∴AF=2×233=433，

∴AO=AD2?DO2=42?22=23，

AC=43

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴AFAC=AEAB

13．答案:2解析：解：∵四邊形ABCD是正方形，AB=6，

∴BC=CD=AB=6，∠B=∠C=90°，

∵E是BC中點，

∴BE=CE=12BC=3，

設CN=x，則DN=6?x，

∵MN是線段DE的垂直平分線，

∴EN=DN=6?x，

在Rt△CEN中，CE2+CN2=EN2，

∴32+x2=（6?x）2，

解得：x=94，

∴CN=94，

∵EF⊥EN，

∴∠FEN＝90°，

∴∠BEF＋∠CEN＝90°，

∵∠B＝∠C＝90°，

∴∠BEF＋∠BFE＝90°，

∴∠BFE＝∠CEN，

∴△BFE∽△CEN，

∴BF∶BE＝CE∶CN，

∴BF=BE·CE14．答案:6或4解析：解：延長AD，BC交于點G，在△ACB和△ACG中

∠DAE=∠BACAC=AC∠ACB=∠ACG

∴△ACB≌△ACG（ASA），

∴AG=AB=12，2BC=2CG=BG，

∵點E為AC的中點，DE⊥AC，

∴DE∥CG，DG=AD=12AG=6，

∴DE是△ACG的中位線，

∴DE=12CG，

∴BG=4DE，

∴△DEF∽△GBF，

∴EFBF=EDBG=FDFG=14，

∴DG=3DF=6，

∴DF=2，

△DEF是等腰三角形，

當EF=DF=2時，EF是Rt△AED斜邊上的中線，

∴EF=12AD=3，

∴EF≠DF；

當EF=ED時，過點E作EH⊥AD于點H，

∴DH=FH=12DF=1，

∵△EHD∽△ADE，

∴EDDH=ADED

∴ED2=1×6

解之：DE=EF=6；

當DF=DE=2時，

AE=EC=AD2?ED2=62?22=4215．答案:2；248解析：解：如圖3所示，過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F，

∵DM＝10，DF＝8，

∴MF＝DM2?DF2＝6，

∵EF＝AD＝8，

∴EM＝EF-MF＝2，

∴直尺寬2cm，

如圖1所示，過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F，在AB上截取AG＝8cm，過點G作GH⊥AB交BC于H，

則∠AEB＝∠DFC＝90°，DF＝8cm，

∵AB＝CD，∠B＝∠C，

∴△ABE≌△DCF（AAS），

∴AE＝DF＝8，BE＝CF，

∵∠BGH＝90°，

∴∠BGH＝∠AEB，

∵∠HBG＝∠ABE，

∴△BHG∽△BAE，

∴BG：GH＝BE：AE，

設BG＝xcm，則AB＝（x+8）cm，

∵GH＝2cm，

∴2BE＝8x，

∴BE＝4x，

在Rt△ABE中，BE2+AE2＝AB2，

∴（4x）2+82＝（x+8）2，

解得：x＝0（舍去）或x＝1615，

∴BE＝6415cm，

∴BC＝2BE+EF＝2×6415+8＝24815cm，

故答案為：2；24815．分析：如圖3所示，過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F，利用勾股定理求出MF＝6，由AD＝EF＝8，即可得出直尺EM寬度；如圖1所示，在AB上截取AG＝8cm，過點G作GH⊥AB交BC于H，先證明△BHG∽△BAE，BG：GH＝BE：AE，設BG＝xcm，則AB＝（x+8）cm，GH＝2cm，可求得BE＝4xcm，在Rt△ABE中，BE2+AE2＝AB16．答案:解：①當點D在CB的延長線上，點E在AC的延長線上時，如下圖中，∵△ABC是等邊三角形，∠BAD=∠CBE，∴∠ABC=∠BCA=60°，∴∠ABD=∠BCE=120°，AB=BC，∴△ABD≌△BCE(ASA)，∴EC=BD=1，∴AE=AC+EC=4．②如下圖中，當點D在CB的延長線上，點E在邊AC上時．作EF//AB交BC于F，∵△ABC是等邊三角形，∴△EFC是等邊三角形．設EC=EF=CF=x，∵∠BAD=∠CBE，∴∠ABD=∠BFE=120°，∴△ABD∽△BFE，∴BDEF∴1x=3∴AE=AC?EC=9綜上所述，滿足條件的AE的值為2或4或92或9解析：此題有四種情形題中給出了兩種情形，因此還有兩種情形①當點D在CB的延長線上，點E在AC的延長線上時，通過已知條件可得出△ABD≌△BCE(ASA)對應邊相等，等量代換可得AE=4．②當點D在CB的延長線上，點E在邊AC上時，作EF//AB交BC于F，可得△ABD∽△BFE，可得BDEF=ABBF，可得EF的長度，因為17．答案:解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=3∴DC=AB=3，∠ADC=∠C=90°∵CE=1∴DE=∵AF⊥DE，∠ADC=90°∴∠ADF+∠DAF=90°，∠ADF+∠EDC=90°∴∠EDC=∠DAF在△EDC和△DAF中，∠EDC=∠DAF∴△EDC～△DAF∴DEAD=解得DF=即DF的長度為105解析：根據矩形的性質求出DC的長以及∠ADC=∠C=90°，根據勾股定理求出DE的長，由垂直的定義即可得到∠AFD=∠C，根據同角的余角相等即可得到∠EDC=∠DAF，進而證明得到△EDC∽△DAF，由相似三角形的性質求出DF的長度即可。18．答案:證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACE，∵AB2=BD?CE，∴ABCE=BD∴△ABD∽△ECA．解析：【詳解】證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACE，∵AB2=BD?CE，∴ABCE=BD∴△ABD∽△ECA．分析：本題關鍵是找到對應邊成比例，利用AB2=BD?CE，得到ABCE19．答案:解：發(fā)現：如圖1中，∵AF∥BC，∴∠F=∠EBC，∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，∴△AEF≌△CEB（AAS），∴AF=BC．設CD=k，則DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，即可得到APPD=AFBD=32．解決問題：如圖2中，過點A作AF∥DB，交BE的延長線于點F，如圖，設DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．∵E是AC中點，∴AE=CE．∵AF∥DB，∴∠F=∠1．在△AEF和△CEB中，∠F=∠1∠2=∠3AE=CE，∴△AEF≌△CEB，∴EF=BE，AF=BC=2k．∵AF∥DB，∴△AFP∽△DBP，∴PA