Page15上海市寶山區(qū)2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)二模試題考生留意：1．本試卷包括試題卷和答題紙兩部分，答題紙另頁，正反面；2．在本試題卷上答題無效，必需在答題紙上的規(guī)定位置依據(jù)要求答題；3．可運用符合規(guī)定的計算器答題．一、填空題1.設(shè)集合A＝｛x｜－＜x＜2｝，B＝｛x｜x2≤1｝，則A∪B＝_______．【答案】｛x｜－1≤x＜2｝【解析】【詳解】試題分析：因為，，所以.考點：一元二次不等式的解法、集合的運算.2.假如函數(shù)是奇函數(shù)，則__．【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)是奇函數(shù)，即可求解.【詳解】設(shè)，.故答案為：3.若線性方程組的增廣矩陣為、解為，則．【答案】【解析】【詳解】由題意得：考點：線性方程組的增廣矩陣4.方程cos2x+sinx=1在上的解集是_______________．【答案】【解析】【詳解】5.若正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為1，則此三棱錐的體積為________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：記正三棱錐為，點在底面內(nèi)的射影為點，則，在中，，所以.考點：正三棱錐的性質(zhì)和體積的計算.6.若一組樣本數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，則該組數(shù)據(jù)的方差_____________.【答案】5.2【解析】【分析】由平均數(shù)為5可求，依據(jù)方差方式求即可.【詳解】由題意知：，所以，而，∴故答案為：5.27.已知點在不等式組，表示的平面區(qū)域上運動，則的取值范圍是__________【答案】【解析】【分析】畫出可行域，然后利用目標函數(shù)的等值線在可行域中進行平移，依據(jù)或含的式子的含義，目標函數(shù)取最值得最優(yōu)解，可得結(jié)果.【詳解】如圖令，則為目標函數(shù)的一條等值線將等值線延軸正半軸方向移到到點則點是目標函數(shù)取最小值得最優(yōu)解將等值線延軸負半軸方向移到到點則點是目標函數(shù)取最大值得最優(yōu)解所以所以故答案為：【點睛】本題考查線性規(guī)劃，一般步驟：（1）作出可行域；（2）理解或含的式子的含義，利用等值線在可行域中移動找到目標函數(shù)取最值得最優(yōu)解，屬基礎(chǔ)題.8.已知是雙曲線上的點，過點作雙曲線兩漸近線的平行線，直線分別交軸于兩點，則__．【答案】4【解析】【分析】首先設(shè)點，分別求直線的方程，利用坐標表示的值.【詳解】雙曲線兩漸近線的斜率為，設(shè)點，則、的方程分別為，，所以、坐標為，，所以，又點在雙曲線上，則，所以．故答案為：49.已知分別為三個內(nèi)角的對邊，，則__．【答案】60°##【解析】【分析】依據(jù)余弦定理求，再依據(jù)余弦定理求角.【詳解】由余弦定理得，由余弦定理得，因為，所以．故答案為：10.某居民小區(qū)有兩個相互獨立的平安防范系統(tǒng)（簡稱系統(tǒng)）和，系統(tǒng)和系統(tǒng)在隨意時刻發(fā)生故障的概率分別為和，若在隨意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，則________【答案】【解析】【分析】依據(jù)相互獨立事務(wù)概率的乘法公式和互斥事務(wù)的加法公式列方程即可求解.【詳解】由題意可得：，整理可得：，解得：，故答案為：.11.已知直線與直線相互平行且距離為.等差數(shù)列的公差為，且，令，則的值為__．【答案】52【解析】【分析】依據(jù)平行線的距離求出d和m的值，利用等差數(shù)列的定義和性質(zhì)求出通項公式，進而求和即可.【詳解】由題意知，，因為兩直線平行，所以，解得，由兩平行直線間距離公式得，由，解得或.又，所以，即，解得，所以.所以．故答案為：52.12.已知分別是邊的中點，是線段上的一動點(不包含兩點)，且滿意，則的最小值為__．【答案】##【解析】【分析】由三點共線得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】由于是上的一動點(不包含兩點)，且滿意，所以且，以，當且僅當時取等號，所以的最小值為．故答案為：二、選擇題13.已知，，，為實數(shù)，且＞.則“＞”是“－＞－”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由＞，＞，可得，；由＞，－＞－，同向不等式兩邊相加，可得，＞，故“＞”是“－＞－”必要而不充分條件，選B．考點：本題主要考查充要條件的概念，不等式的性質(zhì)．點評：簡潔題，同向不等式兩邊相加，不等號方向不變．14.已知是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.假如兩條直線都平行于同一個平面，那么這兩條直線相互平行B.過已知平面的一條斜線有且只有一個平面與已知平面垂直C.平面不垂直平面，但平面內(nèi)存在直線垂直于平面D.若直線不垂直于平面，則在平面內(nèi)不存在與垂直的直線【答案】B【解析】【分析】舉特例說明推斷A；由平面的基本領(lǐng)實及線面垂直的性質(zhì)推理推斷B；推理說明推斷C；舉例說明推斷D作答.【詳解】正方體中，直線、直線都平行于平面，而直線與相交，A不正確；如圖，直線是平面的斜線，，點P是直線l上除斜足外的隨意一點，過點P作于點A，則直線是斜線在平面內(nèi)射影，直線與直線確定平面，而平面，則平面平面，即過斜線有一個平面垂直于平面，因平面的一條斜線在此平面內(nèi)的射影是唯一的，則直線與直線確定的平面唯一，所以過已知平面的一條斜線有且只有一個平面與已知平面垂直，B正確；假如平面內(nèi)存在直線垂直于平面，由面面垂直推斷知，平面垂直于平面，因此，平面不垂直平面，則平面內(nèi)不存在直線垂直于平面，C不正確；如圖，在正方體中，平面為平面，直線為直線，明顯直線不垂直于平面，而平面內(nèi)直線都垂直于直線，D不正確.故選：B15.關(guān)于函數(shù)和實數(shù)的下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】首先推斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，即可得到此類函數(shù)的規(guī)律是自變量離原點越近，函數(shù)值越小，即自變量的肯定值小，函數(shù)值就小，反之也成立，從而一一推斷即可；【詳解】解：因為，所以函數(shù)是一個偶函數(shù)，又時，與是增函數(shù)，且函數(shù)值為正數(shù)，故函數(shù)在上是一個增函數(shù)由偶函數(shù)的性質(zhì)得函數(shù)在上是一個減函數(shù)，此類函數(shù)的規(guī)律是自變量離原點越近，函數(shù)值越小，即自變量的肯定值小，函數(shù)值就小，反之也成立，考察四個選項，A選項，由，無法推斷，離原點的遠近，故A錯誤；B選項，，則的肯定值大，故其函數(shù)值也大，故B不對；C選項是正確的，由，肯定得出；D選項由，可得出，但不能得出，不成立，故選：C．16.設(shè)函數(shù)，其中，若、、是的三條邊長，則下列結(jié)論：①對于一切都有；②存在使、、不能構(gòu)成一個三角形的三邊長；③為鈍角三角形，存在，使，其中正確的個數(shù)為______個A.3 B.2 C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，依據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知，依據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，可推導(dǎo)出，從而可得，可知①正確；通過取值可知存在取值使得取值不滿意三邊關(guān)系，可知②正確；依據(jù)余弦定理可知，可得，再結(jié)合，可知，由零點存在性定理可知③正確；由此可得選項.【詳解】①令在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減當時，依據(jù)三角形三邊關(guān)系可知：又時，都有，可知①正確；②取，，，則，不滿意三角形三邊關(guān)系，可知②正確；③為鈍角三角形，從而又，由零點存在性定理，可知③正確本題正確選項：【點睛】本題考查函數(shù)與解三角形學(xué)問的綜合應(yīng)用問題，其中涉及到零點存在定理的應(yīng)用、余弦定理及三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、函數(shù)單調(diào)性問題，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的函數(shù)來對問題進行求解.三、解答題17.在長方體－中，，，點是棱上的點，.（1）求異面直線與所成角的大小；（2）求點到平面的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先作出異面直線與所成角，再去求其大小即可（2）依據(jù)三棱錐等體積法去求點到平面的距離．【小問1詳解】在平面ABCD內(nèi)作交于，連接，則為異面直線與所成角或其補角.因為，所以，所以，因為，所以而所以△為正三角形，，從而異面直線與所成角的大小為.【小問2詳解】設(shè)點到平面的距離為，，，由得，所以．18.某地區(qū)的一種特色水果上市時間個月中，預(yù)料上市初期和后期會因供不應(yīng)求使價格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價格連續(xù)下跌，現(xiàn)有三種價格模擬函數(shù):①②③(以上三式中均為非零常數(shù)，.)（1）精確探討其價格走勢，應(yīng)選哪種價格模擬函數(shù)，為什么?（2）若求出所選函數(shù)的解析式(注：函數(shù)的定義域是，其中表示月份，表示月份，，以此類推)，為保證果農(nóng)的收益，準備在價格在元以下期間主動拓寬外銷渠道，請你預(yù)料該水果在哪幾個月份要采納外銷策略？【答案】（1）選③，理由見解析；（2）第月份應(yīng)當實行外銷策略.【解析】【分析】（1）分析給定的3個函數(shù)的圖象特征，結(jié)合已知推斷作答.（3）將給定數(shù)據(jù)代入選定的函數(shù)，求出待定系數(shù)，再在指定范圍內(nèi)求的x取值作答.【小問1詳解】對于①，函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，不符合題意，對于②，二次函數(shù)的圖象不具備先上升，后下降，再上升的特點，不符合題意，對于③，當時，函數(shù)在上的圖象是上升的，在上的圖象是下降的，在上的圖象是上升的，滿意題設(shè)條件，應(yīng)選③.【小問2詳解】依題意，，解得，則，由，即，而，解得，所以該水果在第月份應(yīng)當實行外銷策略.19.已知函數(shù)．（1）當時，求滿意的的取值范圍；（2）若的定義域為，又是奇函數(shù)，求的解析式，推斷其在上的單調(diào)性并加以證明．【答案】（1）；（2），在上遞減，證明見解析.【解析】【分析】(1)由題意可得從中解得,解此指數(shù)不等式即可求得的取值范圍；(2)由可求得，，可求得，從而可得的解析式；利用單調(diào)性的定義，對隨意，再作差最終推斷符號即可.【詳解】（1）由題意，，化簡得,解得,所以.（2）已知定義域R，所以，又，所以；對隨意可知,因為，所以，所以因此在R上遞減．【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于中檔題.已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要方法有兩個，一是利用：（1）奇函數(shù)由恒成立求解，（2）偶函數(shù)由恒成立求解；二是利用特別值：奇函數(shù)一般由求解，偶函數(shù)一般由求解，用特別法求解參數(shù)后，肯定要留意驗證奇偶性.20.已知是橢圓的兩個焦點坐標，是橢圓上的一個定點，是橢圓上的兩點，點的坐標為.（1）求橢圓的方程；（2）當兩點關(guān)于軸對稱，且為等邊三角形時，求的長；（3）當兩點不關(guān)于軸對稱時，證明：△不行能為等邊三角形.【答案】（1）（2）或（3）證明見解析【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法求出橢圓的方程；（2）設(shè)，，由為等邊三角形，得到.解出，求出；解出，求出.（3）設(shè)，證明出，與不關(guān)于軸對稱沖突，即可得到不行能為等邊三角形.【小問1詳解】可設(shè)橢圓的方程為由題意得：，解得：，所以橢圓的方程為，即.【小問2詳解】設(shè)，，因為為等邊三角形，所以.又點在橢圓上，所以，消去，得到，解得或，當時，，所以；當時，，所以.【小問3詳解】設(shè)，則，且，所以，設(shè)，同理可得，且.因為在上單調(diào)，所以有，因為不關(guān)于軸對稱，所以，所以.所以不行能為等邊三角形.21.已知無窮數(shù)列的前項和為，且滿意，其中、、是常數(shù).（1）若，，，求數(shù)列的通項公式；（2）若，，，且，求數(shù)列的前項和；（3）摸索究、、滿意什么條件時，數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列.【答案】（1）；（2）；（3），或或，．【解析】【詳解】試題分析：（1）已知與關(guān)系，要求，一般是利用它們之間的關(guān)系，把，化為，得出數(shù)列的遞推關(guān)系，從而求得通項公式；（2）與（1）類似，先求出，時，推導(dǎo)出與之間的關(guān)系，求出通項公式，再求出前項和；（3）這是一類探究性命題，可假設(shè)結(jié)論成立，然后由這個假設(shè)的結(jié)論來推導(dǎo)出條件，本題設(shè)數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列，則，，代入恒成立的等式，得對于一切正整數(shù)都成立，所以，，，得出這個結(jié)論之后，還要反過來，由這個條件證明數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列，才能說明這個