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第二章圓錐曲線與方程

一、課程目標(biāo)

在必修階段學(xué)習(xí)平面解析幾何初步的基礎(chǔ)上,在本模塊中,學(xué)生將學(xué)習(xí)圓錐曲線與方程,了解圓錐

曲線與二次方程的關(guān)系,掌握?qǐng)A錐曲線的基本幾何性質(zhì),感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)

際問題中的作用。結(jié)合己學(xué)過的曲線及其方程的實(shí)例，了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)

形結(jié)合的思想。

二、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

(1)、圓錐曲線：

①了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。

②經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及

簡(jiǎn)單性質(zhì)。

③了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì)。

④能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問題(直線與圓錐曲線的位置關(guān)系)和實(shí)際問

題。

⑤通過圓錐曲線的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。

三、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖：

曲線與方曲線與方求曲線的方程橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓坐橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)法雙

曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線拋物線的簡(jiǎn)單幾何

性

2.1求曲線的軌跡方程（新授課）一、教學(xué)目標(biāo)了解兩結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的曲線

及方程的實(shí)例，知識(shí)與技能：了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并初步學(xué)會(huì)通過方程來研究曲能根據(jù)

曲線的己知條件求出曲線的方程，條曲線交點(diǎn)的求法；精品文檔.

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線的性質(zhì)。

過程與方法：通過求曲線方程的學(xué)習(xí)，可培養(yǎng)我們的轉(zhuǎn)化能力和全面分析問題的能力，幫助我

們理解研究圓錐曲線的基本方法。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過曲線與方程概念的學(xué)習(xí)，可培養(yǎng)我們數(shù)與形相互聯(lián)系，對(duì)立統(tǒng)一的辯

證唯物主義觀。

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用技巧與方法.

難點(diǎn)：作相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方法.

三、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)引入

平面解析幾何研究的主要問題是：

1、根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；

2、通過方程，研究平面曲線的性質(zhì).

我們已經(jīng)對(duì)常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進(jìn)行過這兩個(gè)方面的研究，今天在上面已經(jīng)研

究的基礎(chǔ)上來對(duì)根據(jù)己知條件求曲線的軌跡方程的常見技巧與方法進(jìn)行系統(tǒng)分析.

（-）幾種常見求軌跡方程的方法

1.直接法

由題設(shè)所給（或通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出）的動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件列出等式,再用坐標(biāo)代

替這等式，化簡(jiǎn)得曲線的方程，這種方法叫直接法.

吻例1、（1）求和定圓x+y=R的圓周的距離等于R的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

2晨2）過點(diǎn)A（a,o）作圓0：x+y=R（a>R>o）的割線，求割線被圓0截得弦的中點(diǎn)的軌跡.

對(duì)⑴分析：

動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特征，但是給出了動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：|0P|=2R或

|OP：=0.

解:設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x,y）,則有|OP|=2R或|OP|=0.

曲即x+y=4R或x+y=0.

皿故所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x+y=4R或x+y=O.

對(duì)⑵分析：

題設(shè)中沒有具體給出動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出，即圓心與

弦的中點(diǎn)連線垂直于弦，它們的斜率互為負(fù)倒數(shù).解答為：

設(shè)弦的中點(diǎn)為M（x,y）,連結(jié)OM,

則OM±AM.

?.k.kr化簡(jiǎn)得：（x-T+y2=（9?

其軌跡是以O(shè)A為直徑的圓在圓0內(nèi)的一段?。ú缓它c(diǎn)）.

2.定義法

利用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡

方程，這種方法叫做定義法.這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線及兩定點(diǎn)距離之和或差為定值

的條件，或利用平面幾何知識(shí)分析得出這些條

件.例2設(shè)Q是圓x?+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，另有點(diǎn)可』，0),線段AQ的垂

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直平分線1交半徑OQ于點(diǎn)P(見圖2—45),當(dāng)Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方

分析：

?.?點(diǎn)P在AQ的垂直平分線上，

/.|PQ=|PA|.

又P在半徑OQ上.

/.|P0+|PQ=R,即|PO|+|PA|=R.

故P點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和是定值，可用橢圓定義

寫出P點(diǎn)的軌跡方程.

解：連接PAV11PQ,A|PA|=1PQ|.

又P在半徑0Q上.

,MP0I+1PQ|=2..-.|POMPA|=2,且2＞召=|OA|.

由橢圓定義可知：P點(diǎn)軌跡是以0、A為焦點(diǎn)的橢

由2a=2,2c=避得:a=1,c=.

從而b?=:.

4

故所求橢圓方程為3-號(hào)+4=唧為點(diǎn)P的軌跡方程.

圓.4

3.相關(guān)點(diǎn)法

若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)隨已知曲線上的點(diǎn)Q(x,y)的變動(dòng)而變動(dòng)，且x、y可用x、y表示，,則將Q點(diǎn)

坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點(diǎn)P的軌跡方程.這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法(或代換法).

,例3、已知拋物線y=x+l,定點(diǎn)A(3,1),B為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且有BP：

PA=1：2,當(dāng)B點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程.

分析：

P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的原因是B點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，因此B可作為相關(guān)點(diǎn)，應(yīng)先找出點(diǎn)P與點(diǎn)B的聯(lián)系.

解：設(shè)點(diǎn)P(x,y),且設(shè)點(diǎn)B(x,y)

a則有4=Xn+1.

VBP：PA=1：2,且P為線段AB的內(nèi)分點(diǎn).

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1

X。+]X3

2xo+3

-3~

由定比分點(diǎn)公式得：＜即＜

12y()+1

+X1

Yo2y-3~

y

1+1

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3

X。=萬(wàn)8-1)

1

y0=5?y-l).

將此式代入y；=x0+l中，并整理得：

X=132-y+抻1為所求軌跡的方程.它是一條拋物線.

4.待定系數(shù)法求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求.，軸上的雙曲線僅有

兩個(gè)公共點(diǎn)，y=4x、己知拋物線y和以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸、實(shí)軸在例452被雙曲線所截的的線段

長(zhǎng)等于又直線y=2x,求此雙曲線方程。

解：設(shè)所求雙曲線方程為5一5=1,將y2=4x代入此方程徵蹴

22232-0

xa-4bx+ab因??,拋物線和雙曲線僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)它們的對(duì)稱性，這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)相等,

22222=Ox+ab應(yīng)有等根.x此方程a-4bM2,即二16b，^

y=2x

由,y2x2x2#：(4b2-a2)x2-a2b2=0.

-4ab=0a=2b.■下一/二1

2、5=Jl+22J(X]+x、)2-4x^2

廠1一相

由弦長(zhǎng)公式得：=^5r~4)(4b2-a2)，

22

a=2bZBa=2

由《與與o與得：(與

a2b2=4b2-a2b2=1

人叩生...雙曲線的方程為4-x=l.

2222b即a=4b-a.2

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(三)鞏固練習(xí)

4,求頂點(diǎn)A,-6),另兩邊斜率的積是一邊的兩個(gè)端點(diǎn)是B(0,6)和C(OABC1.△_9的軌跡。

2.點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2,0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1：2,求點(diǎn)P的軌跡方程，

并說明軌跡是什么圖形？

3.求拋物線y=2px(p>0)上各點(diǎn)與焦點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程.2(四)課時(shí)小結(jié)

求曲線的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、待定系數(shù)法，還有參數(shù)法、復(fù)數(shù)法也是

求曲線的軌跡方程的常見方法，這等到講了參數(shù)方程、復(fù)數(shù)以后再作介紹.

(五)布置作業(yè)：習(xí)題2.1A組2.3.4

四、課后反思：

2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(新授課)

一、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：了解橢圓的實(shí)際背景，掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。

過程與方法：通過橢圓的概念引入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的分析探索能力，熟練掌握

解決解析問題的方法一坐標(biāo)法。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過對(duì)橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生體會(huì)

運(yùn)動(dòng)變化、對(duì)立統(tǒng)一的思想，提高對(duì)各種知識(shí)的綜合運(yùn)用能力.

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

三、教學(xué)過程(一)橢圓概念的引入

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問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？

問題2：當(dāng)a〉0時(shí)，而W=a與f(x)=a?是同解方程嗎？

當(dāng)a〉0時(shí)f(x)=a*O-a)(Jf(x)+a)=0OJf(x)=a.

問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？

一般學(xué)生能回答：“平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓”.

對(duì)學(xué)生提出的軌跡命題如：

“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.”

“到兩定點(diǎn)距離平方差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.”

“到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.”

取一條一定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F和F兩點(diǎn)（如圖2-13）,當(dāng)繩長(zhǎng)21大于F

和F的距離時(shí)，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，就可以畫出一個(gè)21橢圓.

教師進(jìn)一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學(xué)說：“立體幾何中圓的直觀圖有的同

學(xué)說：“人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道”等

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F、F的距離之和等于常數(shù)（大于|FF|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)22r定點(diǎn)叫做

橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距.

學(xué)生開始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征一一到兩定點(diǎn)F、F的距離之和等于常數(shù)、教師在演示"中要從兩

個(gè)方面加以強(qiáng)調(diào)：

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（1）將穿有鉛筆的細(xì)線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到需加限制

條件：“在平面內(nèi)

（2）這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|FF|,則是線段2FF；若常

數(shù)＜|FF],則軌跡不存在;若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件:“此常數(shù)2H2大于|FF21（-）

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

I.標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對(duì)橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以

需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程.

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：（1）建系設(shè)點(diǎn)；（2）點(diǎn)的集合；（3）代數(shù)

方程；（4）化簡(jiǎn)方程等步驟.

（1）建系設(shè)點(diǎn)

建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡(jiǎn)單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表

達(dá)式簡(jiǎn)單化，注意充分利用圖形的對(duì)稱性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)?

以兩定點(diǎn)FF的直線為x軸，線段FF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖如、22-14).設(shè)

|FF|=2c(c>0),M(x,y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則有F(-1,0),F(c,0).2211

(2)點(diǎn)的集合

由定義不難得出橢圓集合為:P={M||MF|+|MF|=2a}.21精品文檔.

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22

(3)代數(shù)方程:町1=J(x+c)'+y』|MF2|=J(x-c)+y,

得方程J(x+c>+/+J(x-cl+y2=2a.

(4)化簡(jiǎn)方程(學(xué)生板演，教師點(diǎn)撥)

2.兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)

22

(1)5+、=l(a〉b〉0)表示焦點(diǎn)在陣由上的橢圓，焦點(diǎn)是F](-c，

Ah

0)、

F(c,0),這里c=a?b；2222

22

⑵冬+開=l(a〉b〉0)表小焦點(diǎn)在蚌由上的橢圓，焦點(diǎn)是F](0,

Ab?c)、

F(0,c),這里c=a+b,只須將(1)方程的x、y互換即可得到.2222教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程

中，?「a>b,???可以根據(jù)分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)22坐標(biāo)軸上.

(三)例題講解

例、平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離是8,寫出到這兩定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的軌跡的方程.

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程.

解：這個(gè)軌跡是一個(gè)橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用F、F表示.取過點(diǎn)F和F的直線2⑵為x軸,

線段FF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.2-2a=10,2c=8.

.?.a=5,c=4,b=a-c=25-16=9.；加=3222因此，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

思考：焦點(diǎn)F、F放在y軸上呢？21精品文檔.

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（四）課堂練習(xí)：課本42頁(yè)練習(xí)1、2、3、4

（五）課時(shí)小結(jié)

1.定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F、F的距離的和等于常數(shù)（大于|FF|）的點(diǎn)的軌跡.2112

2.標(biāo)準(zhǔn)方程：三?+4=16>1>>0）或4+=但〉1）〉0）.

ahah

3.圖形

（六）布置作業(yè)：習(xí)題2.2A組1、7

四、課后反思

2.2.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（新授課）

一、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能:通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢圓的圖形，

并能根據(jù)幾何性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的問題，從而培養(yǎng)我們的分析、歸納、推理等能力。

過程與方法：掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過本小節(jié)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)方程與曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系，感受圓錐曲線在

刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用.

難點(diǎn)：橢圓離心率的概念的理解.

三、教學(xué)過程

(一)復(fù)習(xí)提問

1.橢圓的定義是什么？

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

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(二)幾何性質(zhì)

根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是解析幾何的基本問題之一。

,葉國(guó)引導(dǎo)學(xué)生從標(biāo)準(zhǔn)方程三■+4=：!得出不等式￥<1,

1、氾困abab

即【XIWa,Iy|Wb,這說明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里,注意結(jié)合圖形講解,

并指出描點(diǎn)畫圖時(shí)，就不能取范圍以外的點(diǎn).

2.對(duì)稱性

先請(qǐng)大家閱讀課本橢圓的幾何性質(zhì)2.

設(shè)問：為什么“把x換成-x,或把y換成-y?,或把x、y同時(shí)換成-x、-y時(shí)，方程都不變，所

以圖形關(guān)于y軸、x軸或原點(diǎn)對(duì)稱的”呢？

事實(shí)上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在曲線上時(shí)，點(diǎn)P

關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q(-x,y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對(duì)稱.類似可以證明其他兩個(gè)命題.

同時(shí)向?qū)W生指出：如果曲線具有關(guān)于y軸對(duì)稱、關(guān)于x軸對(duì)稱和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱中的任意兩種，那

么它一定具有另一種對(duì)稱.如：如果曲線關(guān)于x軸和原點(diǎn)對(duì)稱，那么它一定關(guān)于y軸對(duì)稱.

事實(shí)上，設(shè)P(x,y)在曲線上，因?yàn)榍€關(guān)于x軸對(duì)稱，所以點(diǎn)P(x,-y)必在曲線上.又，因?yàn)?/p>

曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P(-x,y)必在曲線上.因P(x,y)、P(-x,2”y)都在

曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對(duì)稱.

最后指出：x軸、y軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心即橢圓中心.

Q引導(dǎo)學(xué)生從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程4+^=1分析它與X軸、y軸的交點(diǎn).

J?J貝啟、AD

只須令x=0,得y=±b,點(diǎn)B(0,-b)、B(0,b)是橢圓和y軸的兩個(gè)交點(diǎn)；令y=0,得*x=±a,

點(diǎn)A(-a,0)、A(a,0)是橢圓和x軸的兩個(gè)交點(diǎn).強(qiáng)調(diào)指出：橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)A(-a,“,0)、A(a,

0)、B(0,-b)、B(0,b).”,教師還需指出：

⑴線段AA、線段BB分別叫橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b；於⑵a、b的幾

何意義：a是長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)，b是短半軸的長(zhǎng)；

這時(shí)，教師可以小結(jié)以下：由橢圓的范圍、對(duì)稱性和頂點(diǎn)，再進(jìn)行描點(diǎn)畫圖，只須描出較少的點(diǎn)，

就可以得到較正確的圖形.

4.離心率

教師直接給出橢圓的離心率的定義：

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蚌口十檔橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的比e=￡.

相口口乂歸A

的幾何意義.等到介紹橢圓的第二定義時(shí)，再講清離心率e的取值范圍：先分析橢圓的離心率

e1.0<e<cVa>>0,再結(jié)合圖形分析離心率的大小對(duì)橢圓形狀的影響：

⑴當(dāng)e接近1時(shí)，c越接近a,從而bup/越小，因此橢圓越扁；

a,因此橢圓接近圓；,從而b越接近e接近0時(shí)，c越接近0當(dāng)(2)”,圖形就是圓了.x+y=ae=0

時(shí)，c=0,a=b兩焦點(diǎn)重合，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程成為(3)當(dāng)應(yīng)用(三).為了加深對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)

的認(rèn)識(shí)，掌握用描點(diǎn)法畫圖的基本方法，給出如下例L的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂

點(diǎn)的坐標(biāo),并用描=40016x+25y例1、求橢圓點(diǎn)法畫出它的圖形.本例前一部分請(qǐng)一個(gè)同學(xué)板演，

教師予以訂正，估計(jì)不難完成.后一部分由教師講解，以引起學(xué)生重視，步驟是：

X2V24'-----------4I------------------

(1)列表.將不+k=1變形為y=士-725-X2,根揄=+￡,25-X2

251655

在第一象限《5的范圍內(nèi)算出幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)：

X012345

y43.93.73.22.40

描點(diǎn)作圖.先描點(diǎn)畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對(duì)稱性就可以畫出(2)2-19).要

F10

強(qiáng)調(diào)：利用對(duì)稱性可以使計(jì)算量大大減少.整個(gè)橢圓(圖圖2-19

例2點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(c,0)的距離和它到定直線1：x=±?的

C

距離的比是常數(shù)％a〉c〉0),求點(diǎn)M的軌跡.

A

本例實(shí)質(zhì)上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統(tǒng)一定義做準(zhǔn)備的，同時(shí)再

一次使學(xué)生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細(xì)講解：的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就

是到直線1設(shè)d是點(diǎn)Mc?d二MF||_0-22222.-c=a+a-c將上式化簡(jiǎn)，得：(a)xy(a)精品文檔.

米主口十檔設(shè)就可化成：0+巳=1?

相口口乂eAb

M的軌跡是橢圓.這是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點(diǎn)由此例不難歸納出橢圓的第二定義.橢圓的

第二定義(四).定義1與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)平面內(nèi)點(diǎn)M

e=￡(O<e<l)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)M的軌跡是橢圓.定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直

A

是橢圓的離心率.線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e2.說明

⑴對(duì)于橢圓5+&=1，相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c,0)的準(zhǔn)線方程是x=±.

abc

根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，相應(yīng)于焦點(diǎn)F'(-c,0)的準(zhǔn)線方程是x=-土.

⑵對(duì)于橢圓當(dāng)+%=1，相應(yīng)于焦點(diǎn)F(0,C)的準(zhǔn)線方程是y=上，

abc

相應(yīng)于焦點(diǎn)F'(0,-c)的準(zhǔn)線方程是y=--.

r

的幾何意義是：橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比.這時(shí)還要講清e(cuò)課時(shí)小結(jié)

五)(解法研究圖形的性質(zhì)是通過對(duì)方程的討論進(jìn)行的，同一曲線由于坐標(biāo)系選取不同，方程的形

式也不同，但是最后得出的性質(zhì)是一樣的，即與坐標(biāo)系的選取無關(guān).前面我們著重分析了第一個(gè)

標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì)，類似可以理解第二個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì).布置學(xué)生最后小結(jié)下列

2222

xyyx

標(biāo)準(zhǔn)方程--2~=l(a>b>0)^+―=l(a>b>0)

abab

圖象

范圍

對(duì)稱性

頂點(diǎn)

長(zhǎng)軸

短軸

焦點(diǎn)

離心率

表格:推線

(五)布置作業(yè).求下列橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦距、離心率、各個(gè)頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線

方程：1精品文檔.

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"-100=0,(D25X+4加.-l=o(2)x+4y.我國(guó)發(fā)射的科學(xué)實(shí)驗(yàn)人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球

的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，2,求這顆衛(wèi)星的軌道方程.近地點(diǎn)距地面266Km,遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面

1826Km的軌P：2,求點(diǎn)，與一定點(diǎn)F(20)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是13.點(diǎn)P跡

方程，并說明軌跡是什么圖形.四、課后反思:

2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（新授課）

一、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：使學(xué)生理解并掌握雙曲線的定義，掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程。

過程與方法：了解雙曲線的實(shí)際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出雙曲線模型的過程，感受雙曲線

定義在解決實(shí)際問題中的作用。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過對(duì)雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，啟發(fā)我們

在研究問題時(shí)，抓住問題的本質(zhì)。

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

難點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

三、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)提問

1.橢圓的定義是什么？

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F、F的距離的和等于常數(shù)（大于FF）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.教師要”強(qiáng)調(diào)條件：

（1）平面內(nèi)；（2）到兩定點(diǎn)F、F的距離的和等于常數(shù)；（3）常數(shù)2a>|FF|.如2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程？

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）雙曲線的概念（二那么點(diǎn)的軌跡會(huì)怎樣？它的方程是怎把橢圓定義中的“距離的和”改為“距

離的差”，樣的呢？）

（邊演示、邊說明1.簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)是一個(gè)細(xì)套管，兩條細(xì)繩分別拴在按釘上且穿是兩個(gè)按釘，MN,

定點(diǎn)F、F如圖2-2區(qū),是同一常|-|MF，這樣就畫出曲線的一支；由|MF點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，WFHMFI是

常數(shù)，過套管，，",數(shù)，可以畫出另一支.

,否則作不出圖形.這樣作出的曲線就叫做雙曲線.注意：常數(shù)要小于IFF"2.設(shè)問不在平

面上，能否得到雙曲線？F與動(dòng)點(diǎn)M問題1：定點(diǎn)F、.請(qǐng)學(xué)生回答，不能.強(qiáng)調(diào)“在平面內(nèi)”.哪

個(gè)大？與問題2：IMF%在雙曲線左支上時(shí)，M；當(dāng)點(diǎn)在雙曲線右支上時(shí)，請(qǐng)學(xué)生

回答，不定：當(dāng)此.|MF||MFV|?1MF、F距離的差是否就是HMF問題3：點(diǎn)M與定點(diǎn)正

確表示為IlMFl-lMF請(qǐng)學(xué)生回答，不一定，也可以是］?：這個(gè)常數(shù)是否會(huì)大于等于

IFF問題4“為端點(diǎn)的兩條F時(shí)，軌跡是以F、F|且大于零.當(dāng)常數(shù)=1FF||F請(qǐng)學(xué)生回答，應(yīng)小于

如"時(shí)，無軌跡.F|射線；當(dāng)常數(shù)>|心.定義3在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括雙曲線的定義:

的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲F|)的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)(小于|FF平面內(nèi)與兩定點(diǎn)、F如叫做雙曲線

的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距.、線.這兩個(gè)定點(diǎn)FJ教師指出：雙曲線的定義可以與

橢圓相對(duì)照來記憶，不要死記.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程三)(這時(shí)我們可以類似求橢圓的方程的方法

來求雙曲線的方程.現(xiàn)在來研究雙曲線的方程.隨即引求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不

要求學(xué)生回答，主要引起學(xué)生思考，設(shè)問：導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線的方程的推導(dǎo).標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：

建系設(shè)點(diǎn)(1)2-24)

如圖軸的垂直平分線為FFx的直線為、F取過焦點(diǎn)F軸，線段yQw精品文檔.

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建立直角坐標(biāo)系.的坐標(biāo)分別是F,那么F、y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c(c>

0)設(shè)M(x,的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù).、F0).又設(shè)點(diǎn)M與F(-c,0)、(c,2,點(diǎn)的集合(2)由

定義可知，雙曲線就是集合：2a}±.|=2a}={M|MF|-|MF|=P={M||MF刈(3)代數(shù)方程

)

(由學(xué)生演板(4)化簡(jiǎn)方程將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方得:

化簡(jiǎn)整理得：22222222?(c-a)=a(c-a)x-ay)

以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo).Q.>0>a,所以c-a即由雙曲線定義,2c>2a0),

代入上式得：-ac=b(b>設(shè)"的.y-a=abbx圖223

這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.：引導(dǎo)學(xué)生歸納)兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較

焦點(diǎn)在陣由上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為餐+%=l(a>b>0)；焦點(diǎn)在我由

ab

(IAU7.X

說明：b；不一定大于>0,bO,但a>雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，(l)a=項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)

在yxx(2)如果項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在軸上；如果精品文檔.

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y軸上.注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)釉上.

2—(3)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的關(guān)系是c=a+b,不同于橢圓方程中c=a-b.

(四)例題講解：

1.求滿足下列的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)F(-3,0)、F(3,0),且2a=4；

「gl=J(X+C)2+y2,|MF21=J(x-c)2+y2,

3.已知兩點(diǎn)F(-5,0)、F(5,0),求與它們的距離的差的絕對(duì)值是6的點(diǎn)的軌跡方程.如.果把

這里的數(shù)字6改為12,其他條件不變，會(huì)出現(xiàn)什么情況？

四"解：由定義，所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線，因?yàn)閏=5,a=3,所以

..勺底十與十yyix-cj+y=J-za.

b=c-a=5-3=4.(x+c"+v2=4a2士4aJ(x-c)2+v2+(x-c)2-

因?yàn)?a=12,2c=10,且2a>2c.

所以動(dòng)點(diǎn)無軌跡.

(五)課時(shí)小結(jié)

1.定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F、F的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|FF|)的點(diǎn)的軌跡.21!,

即當(dāng)W=L

22

(l)|7-p-=l(a>0,b>0)表示焦點(diǎn)在x軸上臺(tái)

0),F2(C,0),這里c2=a2+b\

22

⑵=l(a>0,b>0)表小焦點(diǎn)在蚌由上的

-c)、6(0,c),這里「=a2+b?(只須將⑴方程的

3.圖形：

4.焦點(diǎn)：F(-c,0)、F(c,0)；F(0,-c),F(0,c)."皿5.a、b、c的關(guān)系：c=a+b

五、布置作業(yè)

1.根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(-6,0)、(6,0),并且經(jīng)過點(diǎn)A(-5,2)；

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8，求其焦點(diǎn)坐標(biāo).0<m+n)3.已知圓錐曲線的方程為mx+ny=m+n(m<四、課后反思:

2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)（新授課）

一、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：理解并掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，并能從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)出這些性質(zhì)，

并能根據(jù)這些幾何性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問題，從而培養(yǎng)我們的分析、歸納和推理等能力。

過程與方法：在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，掌握利

用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過本小節(jié)的學(xué)習(xí)，加深對(duì)直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)系概念的理解,

這樣才能解決雙曲線中的弦、最值等問題.

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用.

難點(diǎn)：雙曲線的漸近線方程的導(dǎo)出和論證.

三、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)提問引入新課

1.橢圓有哪些幾何性質(zhì)，是如何探討的？

2.雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

下面我們類比橢圓的幾何性質(zhì)來研究它的幾何性質(zhì).

（二）類比聯(lián)想得出性質(zhì)（性質(zhì)1—3）

引導(dǎo)學(xué)生完成下列關(guān)于橢圓與雙曲線性質(zhì)的表格（讓學(xué)生回答，教師引導(dǎo)、啟發(fā)、訂正并板書）.

（三）問題之中導(dǎo)出漸近線（性質(zhì)4）

在學(xué)習(xí)橢圓時(shí)，以原點(diǎn)為中心，2a、2b為鄰邊的矩形，對(duì)于估計(jì)

2.證明：楠圓（+4=1與雙曲線*2-15/=15的焦點(diǎn)相同.

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仍以原點(diǎn)為中心，2a、2b為鄰邊作一矩形（板書圖形），那么雙曲線和這個(gè)矩形有什么關(guān)系？這

個(gè)矩形對(duì)于估計(jì)和畫出雙曲線簡(jiǎn)圖（圖2-26）有什么指導(dǎo)意義？這些問題不要求學(xué)生回答，只引

起學(xué)生類比聯(lián)想.

接著再提出問題：當(dāng)a、b為已知時(shí)，這個(gè)矩形的兩條對(duì)角線的方程是什么？

下面，我們來證明它：

雙曲線在第一象限的部分可寫成:

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g，u;卜&?U/J世ju;

(0,-b).(0,b)實(shí)軸為2a

頂點(diǎn)

長(zhǎng)軸為2a虛軸為2b

短軸為2b

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請(qǐng)一同學(xué)回答，應(yīng)為y=

生從圖觀察得出結(jié)論：雙曲為

橢圓雙曲線

也接近于零，就是IMQI無限增大，逐漸減小，x|MN|接近于零，當(dāng)X逐漸增大時(shí)，|MN|.說，雙

曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON在其他象限內(nèi)也可以證明類似的情

2222

xyxy

況.方程—+^r=l(a>b>0)-

軸上的雙曲線y現(xiàn)在來看看實(shí)軸在軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點(diǎn)在y字母對(duì)調(diào)

所得到，自然前者漸近線方程也可x、y方程是由焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程，將y字母對(duì)調(diào)由

后者漸近線方程將X、

auao

a、bsc關(guān)系d-b'(a>b>0)(:骨牝%>o,b>o)

y

卜J

這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠(yuǎn)處趨向問題，從而可比較精

圖形

再描幾個(gè)點(diǎn)，就可以隨后畫出比較精確的雙曲線.5)

（性質(zhì)）（四離心率介紹一為此，由于正確認(rèn)識(shí)了漸近線的概念，對(duì)于離心率的直觀意義也就容易

掌握了，下雙曲線的離心率以及它對(duì)雙曲線的形狀的影響：

1

范圍|x|<a,|y|Wb|x|>a,ywR

—?i—_*■_!_*-a_r1*U_

??4??，?，I???J?一

對(duì)稱性

對(duì)稱中心：原點(diǎn)對(duì)稱中心：原點(diǎn)

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變得開闊，從而得出：雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊.

這時(shí)，教師指出：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)可以類似得出，雙曲線的幾何性質(zhì)與坐標(biāo)系

的選擇無關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變.

（五）典型例題剖析：

“L求雙曲線9y-16x=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方

（x-7x2-a2）（x+7x2-a2）

程.r~Tir

由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a=4,虛半軸長(zhǎng)b=3.ab

x+Vx2-a2

設(shè)|MQ|是點(diǎn)M到直線y=2x的距離，則彳

a

焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0,-5）,（0,5）...................h............

寸々II且咫y=，一如力瞅以四雙口丫制心士.

a

定義：直線y=±?x叫做雙曲線耳-4=1的漸近線；直線y=±Bx

aaba

”2?a

叫13此線\-.=1的新

確地畫出雙曲線.例如「

1.雙曲線的焦距與實(shí)軸隹

2.由于。=

a

本題實(shí)質(zhì)上是雙曲線的第二定義，要重點(diǎn)講解并加以歸納小結(jié).的距離，根據(jù)題意，所求軌跡

設(shè)M(x,y)是它上面的點(diǎn)

的橫坐標(biāo)的點(diǎn)，WJy=—x.

就是集合：到直線1解：設(shè)d是點(diǎn)Ma,——

axa

mm(c.-a)化簡(jiǎn)得：(c-a)x-ay=aaVx/

這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.由此例不難歸納出雙曲線的第二定義.精品文檔.

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(六)雙曲線的第二定義

1.定義(由學(xué)生歸納給出)

平面內(nèi)點(diǎn)M與一定點(diǎn)的距離和它到一條直線的距離的比是常數(shù)e=

解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程

叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.

222

c=7a2+b=74+3=5.

C5

離心率為e=_=—.

2.說明a4.

漸近線方程為X=±：y,即丫=±yX.

a2

2.點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F(c,0)的距離和它到定直線1：x=一的

C

(七)課時(shí)小結(jié)：

將雙曲線的幾何性質(zhì)按兩種標(biāo)準(zhǔn)方程形式列表小結(jié).

(A)布置作業(yè)

1.己知雙曲線方程如下，求它們的兩個(gè)焦點(diǎn)、離心率e和漸近線方程.

式l)16x-9y=144；

"⑵16x-9y=T44.

2.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)實(shí)軸的長(zhǎng)是10,虛軸長(zhǎng)是8,焦點(diǎn)在x軸上；

(2)焦距是10,虛軸長(zhǎng)是8,焦點(diǎn)在y軸上；

距離的比是常數(shù)(-)(c>a>0),來點(diǎn)M的新跡(圖2-2

a

rr?M

F'

曲線的方程.

點(diǎn)到兩準(zhǔn)線及右焦點(diǎn)的距離.

四、課后反思：

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2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（新授課）

一、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：使學(xué)生掌握拋物線的定義，理解焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程的幾何意義，能夠根據(jù)已知條件寫

出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

過程與方法：掌握開口向右的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，進(jìn)一步理解求曲線的方法一一坐標(biāo)

法；通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生在解決問題時(shí)應(yīng)具有觀察、類比、分析和計(jì)算的能力。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)引入拋物線的定義，可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行理論來源于實(shí)踐的

辯證唯物主義思想教育.

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.

難點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

三、教學(xué)過程

（一）導(dǎo)出課題

我們己學(xué)習(xí)了圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線.今天我們將學(xué)習(xí)第四種圓錐曲線一一拋物線，以

及它的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.課題是“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”.

請(qǐng)大家思考兩個(gè)問題：

問題1：同學(xué)們對(duì)拋物線已有了哪些認(rèn)識(shí)？

在物理中，拋物線被認(rèn)為是拋射物體的運(yùn)行軌道；在數(shù)學(xué)中，拋物線是二次函數(shù)的圖象？

問題2：在二次函數(shù)中研究的拋物線有什么特征？

在二次函數(shù)中研究的拋物線，它的對(duì)稱軸是平行于y軸、開口向上或開口向下兩種情形.

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：如果拋物線的對(duì)稱軸不平行于y軸，那么就不能作為二次函數(shù)的圖象來研

究了.今天，我們突破函數(shù)研究中這個(gè)限制，從更一般意義上來研究拋物線.

（二）拋物線的定義

1.回顧

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F的距離和一條定直線1的距離的比是常數(shù)e的軌跡，當(dāng)0<e<l時(shí)是橢圓，

當(dāng)e>l時(shí)是雙曲線，那么當(dāng)e=l時(shí)，它又是什么曲線？

2.簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)

如圖2-29,把一根直尺固定在畫圖板內(nèi)直線1的位置上，一塊三角板的一條直角邊緊靠直尺的

邊緣；把一條繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上的點(diǎn)A,截取繩子的長(zhǎng)等于A到直線1的

距離AC,并且把繩子另一端固定在圖板上的一點(diǎn)F；用一支鉛筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條

直角邊把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直尺左右滑動(dòng)，這樣鉛筆就描出一條曲線，這條曲線叫

做拋物線.反復(fù)演示后，請(qǐng)同學(xué)們來歸納拋物線的定義，教師總結(jié).

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.定義3這樣，可以把拋物線的定義概括成：不在定直F（定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物

線平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線1叫做拋物線的準(zhǔn)線.叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線n上）.定

點(diǎn)F線拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程三）（怎我們來求拋物線的方程..下面，的距離為P（P為已知數(shù)且大于

0）設(shè)定點(diǎn)F到定直線1樣選擇直角坐標(biāo)系，才能使所得的方程取較簡(jiǎn)單的形式呢？讓學(xué)生議論

一下，教師巡視，啟發(fā)輔導(dǎo)，最后簡(jiǎn)單小結(jié)建立直角坐標(biāo)系的幾種方案：）

（由第一組同學(xué)完成，請(qǐng)一學(xué)生板練.方案1：2-

（圖垂直的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系與直線以1為y軸，過點(diǎn)F1拋物線的集合為：，y軸于D,

過M作MDLM30）.設(shè)定點(diǎn)F（p,0）,動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）.p={M||MF|=|MD|）

々e〉l）時(shí)，這個(gè)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線

22.y=2px-p（p>0）化簡(jiǎn)后得：）

⑴對(duì)于雙曲線鳥-4=1,

ab

根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，相應(yīng)于限

⑵對(duì)于雙曲線?打=1，7

相應(yīng)于焦點(diǎn)F/Q-c）的準(zhǔn)線下

（方案2：由第二組同學(xué)完成，請(qǐng)一學(xué)生板練....「.

的坐標(biāo)為M2-31）（圖.設(shè)動(dòng)點(diǎn)F以定點(diǎn)為原點(diǎn)，平行1的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系D,拋物線

的集合為：MD±1于MF（01（x,y）,且設(shè)直線的方程為x=-p,定點(diǎn)，0）,過作.p={M||MF|=|MD|）

I刁向'U罕e-7乙,。工巫盡mi-j,與；

"（p>0）.=2px+p化簡(jiǎn)得：y）

：方案3（由第三、四組同學(xué)完成，請(qǐng)一學(xué)生板練.精品文檔.

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的垂直平分線為以線段KF1交于K,x取過焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線1的直線為軸,x軸與2-32).軸,

建立直角坐標(biāo)系(圖y

拋物線是集合p={M“MFUd}y)到l的距離為d,拋物線上的點(diǎn)M(x

,0)=2px(p>.化簡(jiǎn)后得：y比較所得的各個(gè)方程，應(yīng)該選擇哪些方程作為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？

這是因?yàn)檫@個(gè)方程不僅3中得出的方程作為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.引導(dǎo)學(xué)生分析出：方案2具有較

簡(jiǎn)的形式，而方程中的系數(shù)有明確的幾何意義：一次項(xiàng)系數(shù)是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的倍.列表如由

于焦點(diǎn)和準(zhǔn)線在坐標(biāo)系下的不同分布情況，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種情形()下：精品文檔.

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四種并講清為什么會(huì)出現(xiàn)四種不同的情形，將上表畫在小黑板上，講解時(shí)出示小黑板，軸xO；

并指出圖形的位置特征和方程的形式應(yīng)結(jié)合起來記憶.即：當(dāng)對(duì)稱軸為P情形中方程等號(hào)

的右端為±2py軸時(shí)，y；當(dāng)對(duì)稱軸為y方程等號(hào)右端為土?xí)r，2px,相應(yīng)地左端為,當(dāng)焦點(diǎn)在負(fù)

半軸上時(shí)，取負(fù)號(hào)..同時(shí)注意：當(dāng)焦點(diǎn)在正半軸上時(shí)，取正號(hào)；相應(yīng)地左端為x四種標(biāo)準(zhǔn)方程

的應(yīng)用)(四一，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y=6x例題：(1),求它

由坐標(biāo)表示得:J(x-p)2+y2=|x|.

的標(biāo)準(zhǔn)方程.，-2)(2)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0

=-8y方程是x.練習(xí)：根據(jù)下列所給條件，寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：；,(1)焦點(diǎn)是F(30)

.2(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是由三名學(xué)生板練，教師予以糾正.精品文檔.

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這時(shí)，教師小結(jié)一下：由于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，且每一種形式中都只含一個(gè)系數(shù)P，

因此只要給出確定p的一個(gè)條件，就可以求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方

程給定以后，它的標(biāo)準(zhǔn)方程就唯一確定了；若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程沒有給定，則所求的

標(biāo)準(zhǔn)方程就會(huì)有多解.

(五)課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課主要介紹了拋物線的定義，推導(dǎo)出拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式，并加以運(yùn)用.

(六)布置作業(yè)?

到準(zhǔn)線的距離是多少？點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是多少？

2.求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：

2-(1)x=2y；(2)4x+3y=0；

*(3)2y+5x=0；(4)y-6x=0.

3.根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并描點(diǎn)畫出圖形：

(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于6；

⑵頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，并經(jīng)過點(diǎn)p(-6,-3).

4.求焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

四、課后反思:

2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（新授課）

一、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：使學(xué)生理解并掌握拋物線的幾何性質(zhì)，能運(yùn)用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)出它的幾何性

質(zhì)，同時(shí)掌握拋物線的簡(jiǎn)單畫法。

過程與方法：通過對(duì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的研究，得出拋物線的幾何性質(zhì)，并應(yīng)用拋物線的性質(zhì)解

決有關(guān)拋物線的實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，提高我們的綜合素質(zhì)。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對(duì)直角坐標(biāo)系

中曲線方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決拋物線中的弦、最值等問題.

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用.

難點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用

三、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)

1.拋物線的定義是什么？

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

?下面我們類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y=2px（p>0）出發(fā)來研究精品文

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它的幾何性質(zhì).

（二）幾何性質(zhì)

。怎樣由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定它的幾何性質(zhì)？以y=2px（p>0）為例，用小黑板給出下表，請(qǐng)學(xué)

生對(duì)比、研究和填

3?

解：(1)因?yàn)閜=3,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是份，0),準(zhǔn)線方程是x=-].

(2)因?yàn)榻裹c(diǎn)在碎由的負(fù)半軸上，并且￡=2,p=4,所以它的標(biāo)準(zhǔn)

(2)準(zhǔn)線方程是x=-；；

填寫完畢后，再向?qū)W生提出問題：和橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)相比，拋物線的幾何性質(zhì)有什么特

點(diǎn)？

學(xué)生和教師共同小結(jié)：

(1)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但是沒有漸近線.

(2)拋物線只有一條對(duì)稱軸，這條對(duì)稱軸垂直于拋物線的準(zhǔn)線或與頂點(diǎn)和焦點(diǎn)的連線重合，拋物

線沒有中心.

(3)拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，它是焦點(diǎn)和焦點(diǎn)在準(zhǔn)線上射影的中點(diǎn).

(4)拋物線的離心率要聯(lián)系橢圓、雙曲線的第二定義，并和拋物線的定義作比較.其結(jié)果是應(yīng)規(guī)

定拋物線的離心率為1.注意：這樣不僅引入了拋物線離心率的概念，而且把圓錐曲線作為點(diǎn)的

軌跡統(tǒng)一起來了.

(三)應(yīng)用舉例

為了加深對(duì)拋物線的幾何性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，掌握描點(diǎn)法畫圖的基本方法，給出如下例1.

例1己知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)

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x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)解：因?yàn)閽佄锞€關(guān)于

1枷)物線“2I1占K1"到隹占的陽(yáng)意星

y=4x.程是后一部分由學(xué)生演板，檢查一下學(xué)生對(duì)用描點(diǎn)法畫圖的基本方法掌握情況.

第一象限內(nèi)的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得：

描點(diǎn)作圖(2)就可以畫出拋物線的另一部分再利用對(duì)稱性，描點(diǎn)畫出拋物線在第一象限內(nèi)的一部

分，.如圖2-33)(

到焦點(diǎn)的距，m)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)M(-3例2

m的值.離等于5,求拋物線的方程和z,則準(zhǔn)線方=-2px(p>0)解法一：由焦半徑關(guān)系，設(shè)拋

物線方程為y

與到準(zhǔn)線的距離到焦點(diǎn)的距離IMF|因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)M(-3,m)

p=4.得一因此，所求拋物線方程為y=-8xz*(-3).)(mm)M(-3又點(diǎn)，在此拋物線上，故=-8

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解法二：由