熱點03空間向量與立體幾何

立體幾何在新高考中主要考查簡潔幾何體的體積，表面積以及外接球問題，有關(guān)角的問題；另外選擇部分主要考查在點線面位置關(guān)系，簡潔幾何體三視圖有所弱化；選擇題主要還是以幾何體的基本性質(zhì)為主，解答題部分主要考查平行，垂直關(guān)系以及二面角問題。前面的熱點專題已經(jīng)對立體幾何進(jìn)行了一系列具體的說明，本專題接著對新高考中立體幾何出現(xiàn)的習(xí)題以及對應(yīng)的題目類型進(jìn)行必要的加強?？臻g幾何中的動態(tài)問題：空間幾何的動態(tài)問題,較好地體現(xiàn)了平面對空間轉(zhuǎn)化的各種線線,線面位置關(guān)系,成了高考命題的熱點,備受命題者推崇。立體幾何中與動點軌跡有關(guān)的題目歸根究竟還是對點線面關(guān)系的認(rèn)知，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在此類問題中要么很簡潔的看出動點符合什么樣的軌跡(定義)，要么通過計算(建系)求出具體的軌跡表達(dá)式，和解析幾何中的軌跡問題并沒有太大區(qū)分。處理此類問題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭立體幾何中的點線面垂直平行異面的關(guān)系，找到與包含未知點的量和已知量之間的等量關(guān)系或不等關(guān)系即可，總體來說難度不大，假如找不出，干脆建系來處理即可。有關(guān)外接圓問題：一般圖形可以采納補形法，將幾何體補成正方體或者是長方體，再利用不在同一個平面的四點確定一個立體平面原理，從而去求。內(nèi)切圓問題：轉(zhuǎn)化成正方體的內(nèi)切圓去求。求點到平面的距離問題：采納等體積法。求幾何體的表面積體積問題：應(yīng)留意奇妙選取底面積與高。對于線面角、二面角問題應(yīng)采納建立空間坐標(biāo)系去求，但是坐標(biāo)系要留意采納左手系務(wù)必要標(biāo)記精確對應(yīng)點以及法向量對應(yīng)的坐標(biāo)。熱點1、球面幾何主要考查多面體的外接球的表面積、體積等，一般應(yīng)用“老方法”，求出球的半徑即可。熱點2、空間幾何中的動態(tài)問題(1)探討動態(tài)中的幾何關(guān)系（位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系）問題。(2)探討空間幾何中的動態(tài)軌跡問題。熱點3、空間向量的應(yīng)用（求角、距離等）A卷（建議用時60分鐘）一、單選題1．（2024·福建廈門市·高三二模）2008年北京奧運會游泳中心(水立方)的設(shè)計靈感來于威爾·弗蘭泡沫，威爾·弗蘭泡沫是對開爾文胞體的改進(jìn)，開爾文體是一種多面體，它由正六邊形和正方形圍成(其中每一個頂點處有一個正方形和兩個正六邊形)，已知該多面體共有24個頂點，且棱長為1，則該多面體表面積是（）

A． B． C． D．2．（2024·天津英華國際學(xué)校高三期中）在四面體中，平面，，，，則該四面體的外接球的表面積是（）A． B．100π C． D．20π3．（2024·全國高考真題）在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（）A． B． C． D．4．（2024·湖北·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M、N、F分別是B1C1、CC1、AB的中點，則下列說法正確的是（）A．MNEF，且MN與EF平行 B．MNEF，且MN與EF平行C．MNEF，且MN與EF異面 D．MNEF，且MN與EF異面5．（2024·廣東·高三專題練習(xí)）已知長方體中，，點在線段上，，平面過線段的中點以及點，若平面截長方體所得截面為平行四邊形，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．（2024·浙江·臺州一中高三期中）如圖，等腰直角中，，點為平面外一動點，滿意，，則存在點使得（）A．B．與平面所成角為C．D．二面角的大小為7．（2024·河南省試驗中學(xué)高三期中）棱長為2的正方體中，是棱的中點，點在側(cè)面內(nèi)，若垂直于，則的面積的最小值為（）A． B． C． D．18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體內(nèi)切球的表面積為，是空間中隨意一點：①若點在線段上運動，則始終有；②若是棱中點，則直線與是相交直線；③若點在線段上運動，三棱錐體積為定值；④為中點，過點，且與平面平行的正方體的截面面積為;以上命題為真命題的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題9．（2024·廣東順德·高三階段練習(xí)）如圖，在正方體中，點E，F(xiàn)分別為，BC的中點，設(shè)過點E，F(xiàn)，的平面為，則下列說法正確的是（）A．為等邊三角形；B．平面交正方體的截面為五邊形；C．在正方體中，存在棱與平面平行；D．在正方體中，不存在棱與平面垂直；10．（2024·福建省龍巖第一中學(xué)模擬預(yù)料）已知正方體的棱長為4，點是棱的中點，點在面內(nèi)(包含邊界)，且，則()A．點的軌跡的長度為B．存在，使得C．直線與平面所成角的正弦值最大為D．沿線段的軌跡將正方體切割成兩部分，挖去體積較小部分，剩余部分幾何體的表面積為11.（2024·全國新高考1卷真題）正三棱柱中，，點滿意，其中，，則（）A.當(dāng)時，的周長為定值B.當(dāng)時，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時，有且僅有一個點，使得D.當(dāng)時，有且僅有一個點，使得平面12．（2024·山東濰坊·高三期中）已知正方體的棱長為，下列結(jié)論正確的有（）A．異面直線與所成角的大小為B．若是直線上的動點，則平面C．與此正方體的每個面都有公共點的截面的面積最小值是D．若此正方體的每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截正方體所得截面面積的最大值是三、填空題13．（2024·湖南·衡陽市八中模擬預(yù)料）阿基米德（公元前287年—公元前212年），宏大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，享有“力學(xué)之父”的美稱，阿基米德和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家.公元前212年，古羅馬軍隊入侵?jǐn)⒗?，阿基米德被羅馬士兵殺死，終年七十五歲.阿基米德的遺體葬在西西里島，墓碑上刻著一個圓柱內(nèi)切球（一個球與圓柱上下底面相切且與側(cè)面相切）的圖形，以紀(jì)念他在幾何學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)，這個圖形中的內(nèi)切球的體積與圓柱體積之比為_____，內(nèi)切球的表面積與圓柱的表面積之比為______.14．（2024·海南高考真題）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．15．（2024·江西·南昌市豫章中學(xué)高三開學(xué)考試）已知三棱錐中，，，，，且平面平面，則該三棱錐的外接球的表面積為_________．16．（2024·西藏·拉薩那曲高級中學(xué)高三期中）在矩形中，，，在上運動，設(shè)，將沿折起，使得平面垂直于平面，長最小時的值為__________．四、解答題17．（2024·山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)高三期中）如圖，在四棱臺中，底面是平行四邊形，平面，，，.（1）證明：；（2）證明：平面.18．（2024·江蘇·南京師大蘇州試驗學(xué)校高三期中）如圖，四棱錐中，底面，，，，，M是上一點，且，N是中點.（1）求證：；（2）若二面角大小為，求棱錐的體積.19．（2024·天津二中高三期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，，面ABCD，E、F分別為PA、AB的中點，直線AC與DF相交于O點．（1）證明：平面DEF；（2）求直線PC與平面DEF所成角的正弦值；（3）求二面角A-EO-D的余弦值.

20．（2024·福建·福清西山學(xué)校高三期中）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，E為棱PB上一點.（1）若E為棱PB的中點，求證：直線平面PAD；（2）若E為棱PB上存在異于P?B的一點，且二面角的平面角的余弦值為，求直線AE與平面ABCD所成角的正弦值.

21．（2024·天津市第五十四中學(xué)高三期中）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，底面，是棱的中點，且，.（1）求證：平面；（2）棱上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求的值；若不存在，說明理由.22．（2024·北京·北師大二附中高三期中）如圖所示，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，平面ABCD，，，BE與平面ABCD所成角為60°.（1）求證：平面BDE；（2）求二面角的余弦值；（3）設(shè)點M是線段BD上的一個動點，試確定點M的位置，使得平面BEF，并證明你的結(jié)論.B卷（建議用時90分鐘）一、單選題1．（2024·浙江高考真題）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面2．（2024·江蘇南京市·高三一模）鉞（yuè）的本字其實是“戊（yuè）”，是一種斧頭．在中國古代，長江流域以南的少數(shù)民族都被稱為越人，由于民族很雜部落眾多，也稱“百越”，有學(xué)者指出，“越人”的“越”，其含義可能由“戊”而來，意指這些都是一幫拿著斧頭的人．此外，“戊（wù）”的本意和“戊”一樣，也是指斧頭．如圖是一把斧子，它的斧頭由鐵質(zhì)鍛造，它的形態(tài)可以近似看做由上下兩個多面體組合而成，上部是一個長方體，下部是一個“楔（xie）形”，其尺寸如圖標(biāo)注（單位：cm），已知鐵的比重為，斧頭上用作安裝斧柄的洞眼仍看作實心，這只斧頭的質(zhì)量（單位：g）所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．3．（2024·海南高考真題）日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為（）A．20°B．40°C．50°D．90°4．（2024·山東·膠州市教化體育局教學(xué)探討室高三期中）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面為等邊三角形，平面平面，為上一點，為上一點，直線平面，則的面積為（）A． B． C． D．35．（2024·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)料）在三棱錐中，平面平面，，，，的面積為，則三棱錐的外接球體積為（）A． B． C． D．6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，點M在線段(不包含端點)上運動，則下列推斷中正確的是（）①平面；②異面直線與所成角的取值范圍是；③平面恒成立；④三棱錐的體積不是定值．A．①③ B．①② C．①②③ D．②④7．（2024·浙江省杭州其次中學(xué)模擬預(yù)料）已知正三棱錐中，底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱長為，為的中點，為中點，是的動點，是平面上的動點，則的最小值是（）A． B． C． D．8．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，，點在面上的投影是的垂心，二面角的平面角記為，二面角的平面角記為，二面角的平面角記為，則（）A．B．C．D．二、多選題9.（2024.八省聯(lián)考）下圖是一個正方體的平面綻開圖，則在該正方體中（）A. B. C. D.10．（2024·福建·莆田一中高三期中）如圖1，在矩形與菱形中，，，，分別是，的中點．現(xiàn)沿將菱形折起，連接，，構(gòu)成三棱柱，如圖2所示，若，記平面平面，則（）A．平面平面 B．C．直線與平面所成的角為60° D．四面體的體積為11．（2024·重慶市育才中學(xué)二模）如圖，正四棱錐的高為3，底面邊長為2，K是棱的中點，過作平面與線段，分別交于點M，N(M，N可以是線段的端點)，設(shè)，，下列說法正確的是（）A．時，平面與平面所成銳二面角取得最大值B．C．類比，可得到一個真命題：D．的最小值為12．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)料）正方體的棱長為6，M?N為底面內(nèi)兩點，，異面直線與所成角為30°，則正確的是（）A．B．直線與為異面直線C．線段長度最小值為D．三棱錐的體積可能取值為12三、填空題13．（2024·江蘇連云港·高三期中）現(xiàn)有四個半徑都為2的小球，若把這四個小球完全裝入一個球形容器內(nèi)，則該球形容器半徑的最小值為___________.14．（2024·北京高考模擬）a，b為空間中兩條相互垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角；②當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最大值為60°.其中正確的是________.（填寫全部正確結(jié)論的編號）15．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）在正方體中，M為AB中點，N為BC中點，P為線段上一動點（不含C）過M、N、P與正方體的截面記為，則下面三個推斷，其中正確推斷的序號有______．①當(dāng)P為中點時，截面為六邊形；②當(dāng)時，截面為五邊形；③當(dāng)截面為四邊形時，它肯定是等腰梯形；16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在長方體中，，，，點是棱的中點，點在棱上，且滿意，是側(cè)面四邊形內(nèi)一動點（含邊界），若平面，則線段