河南省安陽市、鶴壁市、新鄉(xiāng)市、商丘市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試（理科）試題考生留意：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時間120分鐘．2．請將各題答案填寫在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解出集合，利用補集的定義可求得集合.【詳解】因為，因此，.故選：C.2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿意，則z的共軛復(fù)數(shù)為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念運算求解．【詳解】因，則，所以.故選：A.3.已知向量，，且，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】依據(jù)共線向量的坐標(biāo)運算求解即可.【詳解】因為，所以，解得．故選:B.4.下圖是我國跨境電商在2016～2024年的交易規(guī)模與增速圖，由圖可以知道下列結(jié)論正確的是（）A.這7年我國跨境電商交易規(guī)模的平均數(shù)為8.0萬億元B.這7年我國跨境電商交易規(guī)模的增速越來越大C.這7年我國跨境電商交易規(guī)模的極差為7.6萬億元D.圖中我國跨境電商交易規(guī)模的6個增速的中位數(shù)為13.8％【答案】D【解析】【分析】依據(jù)圖逐項進(jìn)行分析即可求解.【詳解】對于，由圖可知：這7年我國跨境電商交易規(guī)模的平均數(shù)為：萬億元，故選項錯誤；對于，由圖可知：交易規(guī)模的增速并不是越來越大，故選項錯誤；對于，由圖可知：這7年我國跨境電商交易規(guī)模的極差為，故選項錯誤，對于，由圖可知：6個增速的中位數(shù)為和的平均數(shù)，即，故選項正確，故選：.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先推斷函數(shù)的定義域及奇偶性進(jìn)行解除,依據(jù)0到第一個零點處的函數(shù)值正負(fù),即可推斷選項C,D的正誤.【詳解】解:由題知,定義域為,解得,所以,故奇函數(shù),解除A,B;令可得,即,解得,當(dāng)時,,,此時,故選項D錯誤,選項C正確.故選:C6.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（）．A.為奇函數(shù) B.在上單調(diào)遞減C.在上的值域為 D.點是圖象的一個對稱中心【答案】D【解析】【分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題知，，所以A錯誤；因為，，在上先增后減，所以B錯誤；因，，，所以C錯誤；因為，所以點是圖象的一個對稱中心，所以D正確．故選：D.7.設(shè)橢圓的半焦距為，若，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由解出，再由離心率公式計算即可.【詳解】由，解得，即的離心率為.故選：C8.在正方體中，E為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中點，連接，，，證明得為異面直線與所成的角或其補角，再依據(jù)三角形的學(xué)問求解即可.【詳解】如圖所示，取的中點，連接，，．因為分別為和的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以為異面直線與所成的角或其補角．設(shè)，則，，所以．故選：B9.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，的面積為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)正弦定理及兩角和的正弦公式可得，依據(jù)三角形面積公式可求，再由余弦定理即可求解.【詳解】因為，所以，整理得，因為，所以．又，所以．因為的面積為，，所以，解得，，所以，則．故選:D.10.如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個圓臺的組合體，已知，，則該青銅器的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出青銅器的上面、中間和下面幾何體的體積，即得解.【詳解】解：青銅器的最上面的圓柱的體積，中間的圓臺的體積為，最下面的圓臺的體積為.所以該青銅器的體積為.故選：A11.定義函數(shù),若至少有3個不同的解,則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意可知有解,即,分和兩種狀況,畫出大致圖象,找到關(guān)鍵不等式,解出即可.【詳解】解:由題知,記,所以圖象為圖象靠下的位置,因為,有兩個根,分別為或,若至少有3個不同的解,則有一個解或者兩個解,即,解得或,當(dāng)時,,所以對稱軸為,若至少有3個不同的解,畫大致圖象如下:依據(jù)圖象則需滿意,即,解得;當(dāng)時,,所以對稱軸為,此時大致圖象如下:依據(jù)圖象則需滿意,即,解得,又因為,故,當(dāng)時,解得根為-1,因為的根為-1,1,此時的根為-1,1,不滿意有三個根,故舍去,綜上:.故選:B【點睛】思路點睛:該題考查函數(shù)與方程的綜合問題,屬于難題,關(guān)于已知函數(shù)有零點求參數(shù)范圍的思路有:(1)干脆法:干脆依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分別參數(shù)法:先將參數(shù)分別,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:在同一坐標(biāo)系下,畫出有關(guān)函數(shù)圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解即可.12.已知函數(shù)，的定義域均為R，，連續(xù)可導(dǎo)，它們的導(dǎo)函數(shù)分別為，．若的圖象關(guān)于點對稱，，且，與圖象的交點分別為，，…，，則下列說法錯誤的是（）A.是奇函數(shù) B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的對稱性可推斷A；由函數(shù)的對稱性可得，兩邊求導(dǎo)可推斷B；設(shè)（C為常數(shù)），依據(jù)可求，從而可推斷C；依據(jù)與的對稱性可推斷D.【詳解】因為的圖象關(guān)于點對稱，所以為奇函數(shù)，故A正確；因為的圖象關(guān)于點對稱，所以，對其兩邊取導(dǎo)數(shù)，得，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；因為，所以（C為常數(shù)），由，得，即，令，，解得，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；因為，的圖象都關(guān)于點對稱，所以，故D錯誤．故選:D.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13.設(shè)x，y滿意約束條件，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】先依據(jù)條件畫出可行域，利用幾何意義求最值即可.【詳解】由題可得，x，y滿意約束條件的可行域如圖陰影部分所示：由圖可知，點的坐標(biāo)為，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)平移到點處時，取得最小值，最小值為：.故答案為：.14.已知，則________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)兩角和的正切公式可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以.故答案為：.15.某居民小區(qū)前有9個連成一排的車位，現(xiàn)有4輛不同型號的車輛要停放，則恰有2輛車停放在相鄰車位的概率是________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)捆綁法、插空法，結(jié)合古典概型計算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】9個車位選4個支配4輛不同型號的車，共有種方法，將余下的5個空車位排成一排形成6個空，然后從4輛車中挑出2輛車作排列后進(jìn)行捆綁，4輛車看作3個元素插入6個空中，共有種方法，由乘法原理結(jié)合古典概型計算公式可得滿意題意的概率值為：故答案為：16.已知拋物線，直線與拋物線交于，兩點，過，分別作拋物線的切線，若，且與交于點M，則的面積的最小值為________.【答案】1【解析】【分析】由直線垂直可構(gòu)造出斜率關(guān)系，得到，通過直線與拋物線方程聯(lián)立，依據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求得；聯(lián)立兩切線方程，可用表示出，代入點到直線距離公式，從而得到關(guān)于的面積的函數(shù)關(guān)系式，求得所求最值．【詳解】解：拋物線的方程為，即，所以，設(shè),，,，則，所以切線方程，，由于，所以，由題意可設(shè)直線方程為，拋物線方程聯(lián)立，得，所以，則，，即即，聯(lián)立方程得，即，點到直線的距離，，所以．當(dāng)時，面積取得最小值1．故答案為：1.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知等比數(shù)列的前n項和，為常數(shù).（1）求的值與的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式即可得出；（2）利用錯位相減法求數(shù)列的前項和為即可．【小問1詳解】解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，是等比數(shù)列，，即，所以，數(shù)列的通項公式為；【小問2詳解】解：由（1）得，，則．．18.如圖，四邊形是菱形，，平面，，．（1）證明：．（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由菱形的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的性質(zhì)得出．（2）建立坐標(biāo)系，由向量法求解即可.【小問1詳解】證明：連接．因為四邊形是菱形，所以．又平面，所以．因為，所以平面．又，所以平面就是平面，因為平面，所以．【小問2詳解】解：設(shè)，相交于點O，以O(shè)為坐標(biāo)原點，，所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，則設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得．取的中點G，連接．易證平面平面，因為是正三角形，所以，從而平面，即是平面的一個法向量．因為，，所以，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．19.某籃球隊為提高隊員訓(xùn)練的主動性，進(jìn)行小組投籃嬉戲，每個小組由兩名隊員組成，隊員甲與隊員乙組成一個小組.嬉戲規(guī)則如下：每個小組的兩名隊員在每輪嬉戲中分別投籃兩次，每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”.已知甲、乙兩名隊員投進(jìn)籃球的概率分別為，.（1）若，，求他們在第一輪嬉戲獲得“神投小組”稱號的概率；（2）若，則在嬉戲中，甲、乙兩名隊員想要獲得297次“神投小組”的稱號，理論上他們小組至少要進(jìn)行多少輪嬉戲才行？并求此時，的值.【答案】（1）（2）至少須要進(jìn)行625輪嬉戲【解析】【分析】(1)依據(jù)獲得“神投小組”稱號的分類求概率即可；(2)利用二項分布概率的數(shù)學(xué)期望即可求解.小問1詳解】他們在第一輪嬉戲獲得“神投小組”稱號的概率等于.【小問2詳解】由（1）可知他們在一輪嬉戲中獲得“神投小組”稱號的概率為,因為，所以,且，令則，，因為對稱軸，所以當(dāng)時概率最大為，此時，設(shè)他們在場競賽獲得神投小組稱號的次數(shù)為，每場獲得神投小組稱號的概率為，則，所以，所以，解得，即至少須要進(jìn)行625輪嬉戲.20.已知雙曲線的離心率為，且點在雙曲線C上.（1）求雙曲線C的方程；（2）若點M，N在雙曲線C上，且，直線不與y軸平行，證明：直線的斜率為定值.【答案】（1）（2）直線的斜率為定值【解析】【分析】(1)依據(jù)離心率公式確定，再依據(jù)雙曲線經(jīng)過點即可求解；(2)利用韋達(dá)定理用坐標(biāo)表示出,進(jìn)而可求解.【小問1詳解】由題可得離心率，所以，又因為，所以，所以雙曲線方程為，又因為雙曲線過點，所以，解得，所以雙曲線方程為.【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則得，，得，，，因為，所以，所以，即，所以，所以即，得或，若，則直線的方程為，即過點，不符合題意，若，則，滿意，綜上直線的斜率為定值.21.已知函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程有兩個不相等的實根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）將方程有兩個不相等的實根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)，在上有兩個零點問題，求導(dǎo)數(shù)從而探討函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理推斷是否符合題意，從而可得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：函數(shù)，，則，令，則，設(shè)，則，得，故時，，函數(shù)即單調(diào)遞減，時，，函數(shù)即單調(diào)遞增，所以，又時，，又，所以時，，函數(shù)單調(diào)遞減，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為；【小問2詳解】解：關(guān)于的方程有兩個不相等的實根，即函數(shù)，在上有兩個零點，又，①當(dāng)時，，得，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，又時，，，則函數(shù)在上有兩個零點；②當(dāng)時，，得，，（i）當(dāng)時，，此時恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，在上不行能有兩個零點，不符合題意；（ii）當(dāng)時，，則當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，故函數(shù)在區(qū)間無零點，在不行能存在兩個零點，故不符合題意；（iii）當(dāng)時，，則當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，故函數(shù)在區(qū)間無零點，在不行能存在兩個零點，故不符合題意；綜上，實數(shù)的取值范圍.【點睛】本題考查的是函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)零點問題與導(dǎo)數(shù)的綜合，難度較大.解決含參方程問題得關(guān)鍵是將含參方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題，從而利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，對參數(shù)進(jìn)行探討先確定單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理及函數(shù)的極值推斷各單調(diào)區(qū)間零點個數(shù)，從而求得參數(shù)范圍，須要留意的是取值推斷函數(shù)值符號的過程可結(jié)合函數(shù)的極限思想看開區(qū)間端點處的函數(shù)值趨勢得正負(fù).（二）選考題：共10分．請考生從第22，23兩題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一個題目計分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）已知A，B是曲線C上的兩點，且，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先消去參數(shù)得到一般方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化即可求解；（2）利用的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于三角函數(shù)的方程，再通過協(xié)助角公式即可求解.【小問1詳解】先將曲線C的參數(shù)方程（為參數(shù)）化為一般方程，得，再轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程，進(jìn)一步化簡得．【小問2詳解】不妨設(shè)