線性代數(shù)

課程教案

學(xué)院、部______________________

系、所_________________________

授課教師_______________________

課程名稱線性代數(shù)

課程學(xué)時45學(xué)時

實驗學(xué)時_______________________

教材名稱_______________________

年月日

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___________線性代數(shù)__________課程教案

授課類型理論課授課時間3節(jié)

授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）：第一章行列式

§1二階與三階行列式

§2全排列及其逆序數(shù)

§3n階行列式的定義

§4對換

本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求：

1.會用對角線法則計算2階和3階行列式。

2.知道”階行列式的定義。

本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點難點的方法、例題等）:

基本內(nèi)容：行列式的定義

1.計算排列的逆序數(shù)的方法

設(shè)?！ㄊ荓2,，〃這幾個自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序。

先看有多少個比0大的數(shù)排在0前面，記為:；

再看有多少個比必大的數(shù)排在2前面，記為右；

最后看有多少個比P“大的數(shù)排在P0前面，記為《；

則此排列的逆序數(shù)為r=4+^++%。

2.〃階行列式

〃]]U12

a42a2n/、、t

D=21=L（T）%p%4%

（P1P2PG

anlan2ann

其中P1P2P〃為自然數(shù)L2,小的一個排列，，為這個排列的逆序數(shù)，求和符號￡是對所有排列

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(PlP2求和。

n階行列式。中所含〃2個數(shù)叫做。的元素，位于第/?行第j列的元素與，叫做D的(，,j)元。

3.對角線法則：只對2階和3階行列式適用

重點和難點：理解行列式的定義

行列式的定義中應(yīng)注意兩點：

(1)和式中的任一項是取自。中不同行、不同列的〃個元素的乘積。由排列知識可知，。中這樣的

乘積共有加項。

⑵和式中的任一項都帶有符號(-1)'"為排列(。於22)的逆序數(shù)，即當(dāng)PR刃是偶排列時,

對應(yīng)的項取正號；當(dāng)PiPz%是奇排列時，對應(yīng)的項取負號。

綜上所述，”階行列式。恰是。中所有不同行、不同列的〃個元素的乘積的代數(shù)和，其中一半

-+H--T-口_s|z-f±f-Zz,口

中正巧，一牛市負節(jié)。

例：寫出4階行列式中含有ana23的項。

角牛.3a32a44禾口“11。03a34a420

例.試判斷％4"23%1"42。56。65和—。32"43"14"51”25。66是否都是6階仃列式中的項。

解：q4a23a31。42。56。65下標(biāo)的逆序數(shù)為7-(431265)=0+1+2+2+0+1=6,^^a14a23a31a42a56a65

是6階行列式中的項。

-％2。43%4a51a25。66下標(biāo)的逆序數(shù)為4341526)+7-(234156)=5+3=8,所以--心知a51a25〃不

是6階行列式中的項。

000

0020

例：計算行列式。

0300

4000

解:D=(-l)0+1+2+3l-2-3-4=24

本授課單元教學(xué)手段與方法：講授與練習(xí)相結(jié)合

首先通過二(三)元線性方程組的解的表達式引出二(三)階行列式的定義。然后介紹有關(guān)全

排列及其逆序數(shù)的知識，引出〃階行列式的定義。

通過討論對換以及它與排列的奇偶性的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生了解行列式的三種等價定義。

本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：

§1P.261(1)(3)

§22(5)(6)

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本授課單元參考資料（含參考書、文獻等，必要時可列出）

線性代數(shù)附冊學(xué)習(xí)軸導(dǎo)與習(xí)題選講（同濟第四版）

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___________線性代數(shù)__________課程教案

授課類型理論課授課時間2節(jié)

授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）：第一章行列式

§5行列式的性質(zhì)

§6行列式按行（列）展開

§7克拉默法則

本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求：

1.知道〃階行列式的性質(zhì)。

2.知道代數(shù)余子式的定義和性質(zhì)。

3.會利用行列式的性質(zhì)及按行（列）展開計算簡單的〃階行列式。

4.知道克拉默法則。

本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點難點的方法、例題等）：

基本內(nèi)容：

1.行列式的性質(zhì)

（1）行列式。與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。

（2）互換行列式的兩行（列），行列式變號。

（3）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一數(shù)左，等于用數(shù)人乘此行列式；或者行列式的

某一行（列）的各元素有公因子女，則上可提到行列式記號之外。

（4）行列式中如果有兩行（列）元素完全相同或成比例，則此行列式為零。

（5）若行列式的某一列（行）中各元素均為兩項之和，則此行列式等于兩個行列式之和。

（6）把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去，行列

式的值不變。

2.行列式的按行（列）展開

⑴把”階行列式中（z,J）元因所在的第i行和第/列劃去后所成的n-1階行列式稱為（i,j）元陽的

余子式，記作場；記A..=（-1產(chǎn)%,則稱A..為（z,j）元4.的代數(shù)余子式。

（2）”階行列式等于它的任一行（列）的各元素與對應(yīng)于它們的代數(shù)余子式的乘積的和。即可以按第

，行展開：

+

D=a（.141+a;24-2+。加4“?=1，2,,”）；

或可以按第/列展開：

。=勺4+旬4++。04（）=1,2,,?）.

（3）行列式中任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即

A"+a,-2A'2++&向a=。，7/）,

或auA）i+atA>2++。加4=°，7/九

3.克拉默法則

含有“個未知元七,％，%的幾個線性方程的方程組

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%1%+%2%++ainX,.=Z?I

4%+%2%2++annX?=bn

當(dāng)4，由，，2全為零時，稱為齊次線性方程組；否則，稱為非齊次線性方程組。

D

(1)如果方程組的系數(shù)行列式。工0,那么它有唯一解：七==。=1,2,,n),其中

D

R(i=l,2,,n)是把。中第i列元素用方程組的右端的自由項替代后所得到的n階行列

式。

(2)如果線性方程組無解或有兩個不同的解，那么它的系數(shù)行列式。=0。

(3)如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式O#0,那么它只有零解；如果齊次線性方程組有非零

解，那么它的系數(shù)行列式必定等于零。

用克拉默法則解線性方程組的兩個條件：(1)方程個數(shù)等于未知元個數(shù)；(2)系數(shù)行列式不等于

克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項之間的關(guān)系.它主要

適用于理論推導(dǎo).

4.一些常用的行列式

(1)上、下三角形行列式等于主對角線上的元素的乘積。即

2

]a??a)

特別地，對角行列式等于對角線元素的乘積，即。=

類似地，D==(-1)aina2,n-l

⑵設(shè)烏=

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a\\a\k

0

akk

D=a-

=。1。2

cn%bu

Cb

%nkb”inn

⑶范德蒙(Vandermonde)行列式

1

玉

=na-%)

n>i>j>l

n-\

玉

計算行列式常用方法：(1)利用定義；(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列

式的值。

重點和難點：行列式的計算，要注重學(xué)會利用行列式性質(zhì)及按行(列)展開等基本方法來簡化行列

式的計算。

例：課本P.12例7一例9

例：課本P.21例13

例：課本P.25例16

本授課單元教學(xué)手段與方法：講授與練習(xí)相結(jié)合

以從行列式的定義為切入口，引導(dǎo)學(xué)生探討行列式的各種性質(zhì)。通過大量的例題引導(dǎo)學(xué)生掌握

如何利用行列式性質(zhì)及按行(列)展開等基本方法來簡化行列式的計算。

本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：

思考題

問：當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時，能否用克拉默法則解方程組？為什么？此時方程組的解為

何？

答：當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時，不能否用克拉默法則解方程組，因為此時方程組的解為無

解或有無窮多解。

本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：

§5P.264(1)(2)(3),5⑴⑵，7(1)(2)(5)

§6P.265(4),7(3)(6)

§7P.288(1),9

本授課單元參考資料(含參考書、文獻等，必要時可列出)

線性代數(shù)附冊學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選講(同濟第四版)

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___________線性代數(shù)___________課程教案

授課類型理論課授課時間2節(jié)

授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）：

第二章矩陣及其運算

§1矩陣

§2矩陣運算

§3逆矩陣

§4矩陣分塊法

本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求：

掌握矩陣的定義,矩陣的加減法'數(shù)乘'轉(zhuǎn)置'矩陣求逆'矩陣的行列式'分塊矩陣等運算,了解矩

陣

多項式運算

本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點難點的方法、例題等）：

本章擬分3次課完成，第一講：§1矩陣,§2矩陣的運算;第二講：§3逆矩陣;第三講：§4矩陣分塊法

第一講：§1矩陣,§2矩陣的運算；

基本內(nèi)容:§1矩陣：

一矩陣的定義，

定義1由MxN個數(shù)%（1=1,2,…，町）=1,2,…組成的加行〃列的數(shù)表

ailai2…ain

。21&22…

。mlam2,‘.

稱為m行〃列矩陣，簡稱MxN矩陣,為表示它是一個整體，總是加一個括弧,并用大寫黑體字母表

示它，記作

。12…ain

a乜…a2rl

_°加。m2_

這M義N個數(shù)稱為菊陣A的元素，簡稱為元，數(shù)%位于矩陣A的第i行j列，稱為矩陣A的（l,J）元，以數(shù)

?,7?為（LJ）元的矩陣可簡記為（%）或（因）,M義N矩陣A也記著Amxn.

元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣

行數(shù)和列數(shù)都等于n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣，n階矩陣A也記作A?.

只有一行的矩陣

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4=(。1a2???a”)

稱為行矩陣，又稱為行向量，行矩陣也記作

A=(%,a2,■-■,??)

只有一列的矩陣

b2

A=：

稱為列矩陣，又稱為列向量.

兩個矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，稱它們是同型矩陣，如果A=(因),B=(%)是同型矩陣,，并且它們的

對應(yīng)元素相等，即

%=b式i=1,2,…,m,j=1,2,…n),

那么就稱矩陣A與矩陣B相等，級作

A=B

元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作O,不同型的零矩陣是不同的.

§2矩陣的運算

-矩陣的加法

定義2設(shè)有兩個相x〃矩陣A=(附)和B=(%)，那么矩陣A與B的和記著A+B,規(guī)定為

ab

u+nan+bnaln+bln

。21+匕21。22+^22…a?”+。2n

a+a+a+

_,nlm2…,nn^mn_

兩個矩陣是同型矩陣時才能進行加法運算.

矩陣加法滿足下列運算規(guī)律(設(shè)A,B,C都是mx"矩陣)：

(z)A+B=B+A;

(zz)(A+B)+C=A+(B+C)

A=(%)的負矩陣記為

-A=(一因)

A+(-A)=O

規(guī)定矩陣的減法為

A-B=A+(-B)

二矩陣的數(shù)乘

定義3數(shù)4與矩陣A的乘積記作九4或AX,規(guī)定為

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Atl]]/^ZZ12…

^<^22***幺，^2〃

AA二

Tl/Z17I/Z。???/(zz

Lmlm2'?儂？」

矩陣數(shù)乘滿足下列運算規(guī)律(設(shè)人3為機'〃矩陣,/1,〃為數(shù))：

(1)(沏)A=2(/4);

(2)(/I+//)A=AA+/jA

(3)^A+B}=AA+AB

重點,難點:矩陣乘矩陣:讓學(xué)生充分理解矩陣乘矩陣的定義，特別強調(diào)前面矩陣的列等于后面矩陣

的行的原因.說明矩陣乘法常態(tài)下不滿足消去率,通過練習(xí)提高學(xué)生的計算準(zhǔn)確率.

三矩陣乘矩陣

定義4設(shè)A=(囹)是一個根xs矩陣,B=(%)是一個sx"矩陣那么矩陣A與矩陣B的乘積是一

個相x〃矩陣C=(q)其中

Cij=%如+q2%+.?.+aisbsj=

k=\

?=1,2,…，根"=1,2,…,72)

把此乘積記為

C=AB

且有

J

(如，為2，…，a)：=沏%+ab+---+abab

isi22jissjikkjij

,女=1

%)

例4求矩陣

10、

(\03-113

A=與3=

(2102011

34,

的乘積

,410、

(\03-1A-113_(9-2-1、

解C=AB=102J211一19911

0?

、134,

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例5求矩陣

，-24、(24、

A=與8=

,1-2J「3-6J

的乘積AB與BA

(-24、(24、J-16—32、

解AB=

-2八-3-6J18

(24](-24、「00、

BA=—6)[1WAB

1-3-2J二。0>

對于兩個“階方陣AB若AB=BA,稱方陣A與B可交換

從上面等式可以得出結(jié)論:若AHO而A(X-Y)=0也不能得出X=Y的結(jié)論

矩陣的乘法雖不滿足交換律，滿足結(jié)合律和分配律

(1)(AB)C=A(BC)

(2)2(AB)=(AA)B=A(2B)2為數(shù)

(3)A(B+C)=AB+AC

(B+C)A=BA+CA

對于單位矩陣E,有

EA=AAE=A

即：

EA=AE=A

特殊矩陣：

1單位矩陣；

」0???0、

01???0

E=

、00???1?

2數(shù)量矩陣

900、

02-??0

AE

()0???

3對角矩陣

400、

0。22…0

、00???%

4；三角矩陣

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/

61“12.11。1J?110???0、

0〃22,,,a2n21〃22.??0

或。

??0

00?,,ann,Qi冊2.,,ann)

可以得到：

(洱)4=犯=4(珥)

表明純量矩陣跟任何矩陣可交換

定義矩陣的帚為

A1=A,A2==A"

其中左為正整數(shù)

例6證明

cos0—sm0)(cos〃0-smn(p

、sin>cos*J(sin〃夕cosn(p?

證用數(shù)學(xué)歸納法,〃=1時顯然成立，設(shè)〃二人時成立，即

(?\k

cos。一sin。zoskcp-sinkp

、sin°cos。，ksin左夕cosk(p?

當(dāng)〃=左+1時，有

(-\k+\/?\

cos。一sin/'coskcp-sink。、cos。一sin。

sin/cos/.sink/cosk/7、sin°cos。.

(cos左9cos夕一sin左夕sin。-sinkcpcoscp-cos^sincp^

、sin左9cos9+cos左夕sin。cos左9cos°-sin左夕sin。)

_'cos也+l)(p-sin(k+1)夕、

、sin(k+1)。COS&+1)。)

等式得證.

四矩陣的轉(zhuǎn)置

定義5把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作A?

auan.,?%"a\\“21?,dml.

21“22?a2an〃22.??am2o

A=。n.則AT=

a,nlam2.a,nn__aina2n.??amn」

A的轉(zhuǎn)置也是一種運算，滿足

⑴(萬尸=4

(2)(A+B)r=Ar+BT

(3)(2A)r=2Ar

(4)(AB)T=BTAT

證明⑷設(shè)A=(%)…B=電)記A3=C=C)…,"M=D=3))j，有

s

cfi=E3

k=l

而"的第i行為(瓦也.，…,雄),K的第j列為(孫，…,外尸,因此

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d)=工0加於=>,a*bki

dg=(："。=1,2,…,”"=1,2,…，㈤

BTAT=(AB)r

例7已知

求(AB)，

解因為

所以

'017、

(AB)r=1413

「310,

若A是〃階方陣，如果滿足A，=A,即

%=a"(Lj=1,2,…，n)

那么A稱為對稱矩陣.

例設(shè)列矩陣X=(芭,招了滿足X「X=1,E是”階單位陣,H=E-2XXT，證明H是對稱

矩陣，且印廣=6

HT^{E-2XXTY

=ET-2XXT

=E—2XX〔=H

所以H是對稱矩陣.

HHT^H2=(E-2XXT)2

^E-4XXT+4(XXTXXXT)

=E-4XXr+4X(X?X)XT)

^E-4XXT+4XXT^E

五方陣的行列式

定義6由〃階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式(各元素位置不變)，稱為方陣A的行列式，記作網(wǎng)

或

detA

Ml滿足下列運算規(guī)律(A,B為”階方陣,2為數(shù))

H)K|=|A|

(2)陽=/阿

0)3耳=網(wǎng)",且M耳=|必

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例9行列式N的各個元素的代數(shù)余子式&所構(gòu)成的如下的矩陣

A%…A?

A?42…A；2

IA“A?”,,,A"J

稱為A的伴隨矩陣試證

AA*=A*A=|坐

證明設(shè)A=(%)，記A4*=(%)，則

by=ajiAjl+ai2Aj2'+上。而4加=網(wǎng)與

故44*=(同為)=同(熱)=網(wǎng)后

類似有

A*A=(￡4備)(|4琢)=|A|(^,)=|A|E

%=1

本授課單元教學(xué)手段與方法：

講授為主，練習(xí)為輔，主要讓學(xué)生充分理解矩陣運算的定義，原則，從而掌握矩陣運算，并通過練習(xí)

提高學(xué)生運算的準(zhǔn)確率.

本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：

P53:3.4(l),(2)；(3),(4)

本授課單元參考資料(含參考書、文獻等，必要時可列出)

線性代數(shù)附冊學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選講(同濟第四版)

注：1.每單元頁面大小可自行添減；2.一個授課單元為一個教案；3.“重點”、“難點”、“教學(xué)手段與方法

部分要盡量具體；4.授課類型指：理論課、討論課、實驗或?qū)嵙?xí)課、練習(xí)或習(xí)題課。

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___________線性代數(shù)___________課程教案

授課類型理論課授課時間2節(jié)

第二講：§3逆矩陣

基本內(nèi)容：§3逆矩陣

定義7對于〃階矩陣A,如果有一個〃階矩陣B,使

AB=BA=E

則說矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣，簡稱逆陣.記為A-1

如果A可逆，則A的逆陣是唯一的.因為:設(shè)B,C都是A的逆陣，則有

B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C

定理1若矩陣A可逆，則網(wǎng)W0

證A可逆，即有使A*=瓦故網(wǎng)=|國=1所以網(wǎng)70.

定理2若網(wǎng)20,則矩陣A可逆，且

4T-J_4*

■|A|A

其中A*為A的伴隨矩陣.

證由例9可知

AA*=ATA=\^E

所以有

A^-A*=，A*A=E

⑶國

按照逆矩陣的定義知A可逆，且有

4T-J_4*

■|A|A

當(dāng)網(wǎng)=0時稱A為奇異矩陣,否則稱A為非奇異矩陣，可逆矩陣就是非奇異矩陣.

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推論若AB=E(或癡=E)廁B=A-1

證阿?冏=|同=1,故網(wǎng)片0,因而A-存在，有

B=EB=(AlA)B=A-1(AB)==斯

逆陣滿足下列運算：

(1)若A可逆，則A-1也可逆，且(A」］)T=A.

⑵若A可逆〃數(shù)則九4可逆，且(4A)T=2一

A

⑶若A,B為同階矩陣且可逆，則AB也可逆，且

(A5)-'=B^A-1

證(AB)(BTAT)=4(班T)A-1=AEA-=AA-1=E，由推論有：

(4)若A可逆"，則K也可逆，且(K)T=(AT)T

證AT(AT)7=(ATA)T=E7=E，由推論有：(浦尸=(1廣

當(dāng)網(wǎng)中0時，定義

(Ar)-'=(A-1)rA°=E,AY=(AT)、左為正整數(shù)

這樣當(dāng)閾20,4〃為整數(shù)，有

4,(A")〃=

重點,難點:逆矩陣的求法.定理2說明通過求伴隨矩陣的方式，讓學(xué)生掌握矩陣求逆，并告知學(xué)生下一

章里還有更簡單的求逆方法.

(ab}

例10求二階矩陣，的逆陣.

、cdj

解|H=ad—Z?c,A=,當(dāng)網(wǎng)w0時，有

_j1(d—b'

A=------

ad-be^-ca?

例11求方陣

,123、

A=221

、343,

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的逆陣.

解網(wǎng)=2,知A可逆,A的余子式

=2,=3,%=2

M2X=—6,M22=—6,%=-2

Af=—4,Af22=一5,心=-2

得

X-M21峪i)(26-4、

A*=—MnM22-M32=-3-65

<加13-〃23A/23,、22—2,

所以

(13-2、

1

A-=^A*=---3-

W22

1-u

\1

例12設(shè)

’121n/、n31

(21)

A=22,B=,C=20

()

v537

、34二V317

求矩陣X使其滿足

AXB=C

解若人\氏|存在，有

A-1AXBR'=A-'CB'

即

13-2V13)/、

35(3-l^l

X=AxCB1=----3-20

22[-52

11—J"少7

(11"、(-21)

f-1}

=0-2=10-4

、02卜52J)I。4J

(12](\0>

例13設(shè)P=,A=,AP=P,A,求A”

U"1。2)

1(L4-2、

解|尸|=2,尸一|=；；

2(一11,

A=PAP1,A2=pA2pT,?.、A"=PA"pT

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n0、2no)〃n0>

而/A=，…,A=

(02)Lo2?2J(02“j

所以

(12Y10>Ip—21-if12〃+i4—2、

n

A=PNP-'=4Jo2n)2[-l17丸

J

1(4-2"+i2"—1

+2

2^4-2"2"+1-1J

定義設(shè)0(%)=4+〃1%+〃2元2H-----

為x的機次多項式,A為n階矩陣記

m

0(A)—CLQE+UyA+a2A2+,,,+cimA

0(A)稱為矩陣A的機次多項式.，可證矩陣A的兩個多項式。(A)和/(A)是可交換的，即有

-A)=F(A1(A)

A的多項式可以象數(shù)x的多項式一樣相乘或分解因式.例如

(E+A)(2E-A)=2E+A-A2

(E-A)3=E-3A+3A2-A3

容易證明

⑴如果A=PAP-,則Ak=,從而

0(A)=。。石+%A+%A~+…+a,”4"

=Pa0EP-'+P/AP-i+Pa2A2-1+…+Pa“N"P-

=P°(A)PT

⑵如果A=dia/,4,…，兒)為對角陣測#=d，ag(若，若，…，愛)，從而

0(A)=GQE+<7]A+a2K+,?,+aMN”

、

、'4、

1m

i丸242

=ao+%+…+a,“

0

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7(4)、

=。(①

本授課單元教學(xué)手段與方法：

講授為主，練習(xí)為輔，通過逆矩陣的定義及定理2的證明讓學(xué)生充分掌握矩陣的求逆運算，并告

知學(xué)生在下一章里還可用更簡練的方法計算逆矩陣

本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：

P54:11(1),(3)；12(1),(2)；P55：19,22

本授課單元參考資料(含參考書、文獻等，必要時可列出)

線性代數(shù)附冊學(xué)習(xí)軸導(dǎo)與習(xí)題選講(同濟第四版)

___________線性代數(shù)___________課程教案

授課類型理論課授課時間2節(jié)

第三講：§4矩陣分塊法

基本內(nèi)容:§4矩陣分塊法

對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A,運算時常采用分塊法，使大矩陣的運算化成小矩陣的運算將矩陣A

用若干條縱線和橫線分成許多小矩陣，每一個小矩陣稱為A的子塊.以子塊為元素的形式上的矩陣稱

為分塊矩陣.

例將3x4矩陣

/

a\\〃12〃13

A=a?2〃23〃24

。32。33“347

可以分塊為

"11"11。14'"/11

〃12為3〃12〃13an%3

⑴

〃21。22〃23〃24(2)a22。23〃24(3)。21a22a23。24

。32。33“34J。32。33“34J。32“33。34)

分法⑴可記為

A=Ai2

、4142‘

1112

縣苴中由A4l_-，342_-

分塊矩陣的運算規(guī)則與普通矩陣的運算規(guī)則類似，滿足：

(1)設(shè)矩陣A與矩陣B的行數(shù)相同，列數(shù)相同，采用相同的分塊法，有

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A=::,B=::

其中,A)與勺的行數(shù)相同，列數(shù)相同，那么

Ai+%A,+%、

A+B=:

<Ai+Bs\4+及)

pn-AJ

⑵設(shè)A=：：,4為數(shù)，那么

,?1

//LA1]…AAlr

AA=：：

、A4i???AAsr>

⑶設(shè)A為加x/矩陣,B為/x"矩陣,分塊成

%i1?,4,(%…BJ

A=::,B=::

、41…ArJ[綜,?'B")

其中4,片2，…4的列數(shù)分別等于％,生八…約的行數(shù)，那么

(cn-G八

AB=

CJ

其中3=比入用。=1,…,s"=l,…')

k=\

重點,難點：分塊矩陣的乘法運算，對于四階且子塊含有零矩陣,單位陣，對角陣的高階,一般做四塊分且

盡量分出單位陣,零矩陣..

例14設(shè)

坨E、

品1居2,

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<-12V10^1(10)(—24、

+=

而A+坊1二］J［一12-1-1

V1JII

1］<33、

。廣〔31,

10、

01

所以AB=_4

233

、T131J

A…"竹：…砌

⑷設(shè)A=:：，則AT=::

H…

(5)設(shè)A為〃階矩陣，若A的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊,其余子塊都為零矩陣，且在對角線

上的子塊都是方陣，即

(A,O???O}

(°O???AJ

其中4。=1,2,…s)都是方陣，稱A為分塊對角矩陣.

分塊對角矩陣的行列式有下列性質(zhì):

H=|A|A|-|A|

若同屋o(i=L2,…s)，則網(wǎng)二0,并有

’AJO???。、

A-O對…O

、。O???￡

'500、

例15設(shè)A=031,求AT

、02

’50

1)/1f

解A=031,A=(5)，A_,，可

4J、一23,

、02

J

00

5

01-1

0-23

7

對矩陣進行按行分快或按列分塊:

mxn矩陣A有機行，稱為矩陣A的m個行向量，若第i行記作

邸=(沏，42,…，口加)

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則矩陣A記為

A,或

機X〃矩陣A有幾列，稱為矩陣A的"個列向量，若第j列記作

alj