2024～2025學(xué)年中考數(shù)學(xué)重難創(chuàng)新題與三角形有關(guān)的證明與計(jì)算

注意事項(xiàng)：

創(chuàng)新角度：跨學(xué)科、項(xiàng)目式、解題策略開放一、新考法-跨學(xué)科1．如圖為一塊光學(xué)直角棱鏡，其截面為直角三角形ABC，AB所在的面為不透光的磨砂面，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=8cm.現(xiàn)將一束單色光從AC邊上的O點(diǎn)入射，折射后到達(dá)AB邊上的D點(diǎn)，恰有CD⊥AB，再經(jīng)過反射后(即∠CDE=∠ODC)，從E點(diǎn)垂直于BC射出，則光線在棱鏡內(nèi)部經(jīng)過的路徑A．12cm B．63cm C．432．如圖，⊙O的半徑為r，交×軸正半軸于點(diǎn)A，直線l垂直平分OA交⊙O于點(diǎn)P，PB⊥y軸于點(diǎn)B．今假設(shè)在點(diǎn)O，A處，分別有一質(zhì)量為m1，m2的天體(m1>m2)；天體物理中把與O，A處于同一平面，坐標(biāo)為（r2·m1?m2A．△AOP是等邊三角形B．L4在線段BP上C．∠OL4A>60°D．若m1恒定，則m2越小，L4離點(diǎn)P越近3．小明在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動實(shí)驗(yàn)后，對其作了進(jìn)一步的探究：在一個支架的橫桿點(diǎn)O處用一根細(xì)繩懸掛一個小球A，小球A可以自由擺動，如圖，OA表示小球靜止時的位置．當(dāng)小明用發(fā)聲物體靠近小球時，小球從OA擺到OB位置，此時過點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D，當(dāng)小球擺到OC位置時，OB與OC恰好垂直（圖中的A、B、O、C在同一平面上），過點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)E，測得OB=17cm，BD=8cm．（1）試說明：OE=BD；（2）求DE的長．4．光線反射是一種常見的物理現(xiàn)象，在生活中有廣泛地應(yīng)用.例如提詞器可以幫助演講者在看演講詞的同時也能面對攝像機(jī)，自行車尾部的反光鏡等就是應(yīng)用了光的反射原理.（1）自行車尾部的反光鏡在車燈照射下，能把光線按原來的方向返回（如圖②），a表示入射光線，b表示反射光線，a∥b.平面鏡AB與BC的夾角∠ABC=α，則α=.（2）如圖③，若α=108°，設(shè)平面鏡CD與BC的夾角∠BCD=β（90°＜β＜180°），入射光線a與平面鏡AB的夾角為x（0°＜x＜90°），已知入射光線a從平面鏡AB開始反射，經(jīng)過2或3次反射，當(dāng)反射光線b與入射光線a平行時，請直接寫出β=.（可用含x的代數(shù)式表示）5．【學(xué)科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線，入射光線和法線都在同一個平面內(nèi)；反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)；反射角r等于入射角i．這就是光的反射定律圖1圖2【同題解決】如圖2．小紅同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡，手電簡的燈泡在點(diǎn)G處，手電簡的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處，點(diǎn)F到地面的高度CF=1.5m，點(diǎn)A、點(diǎn)C到平面鏡B點(diǎn)的距離相等．圖中點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上．求燈泡到地面的高度6．在古代，智慧的勞動人民已經(jīng)會使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個固定長度的“連桿”，推動“連桿”帶動磨盤轉(zhuǎn)動，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動力傳輸工具為“曲柄連桿機(jī)構(gòu)”.小明受此啟發(fā)設(shè)計(jì)了一個“雙連桿機(jī)構(gòu)”，設(shè)計(jì)圖如圖1，兩個固定長度的“連桿”AP，BP的連接點(diǎn)P在⊙O上，當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上轉(zhuǎn)動時，帶動點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上滑動，OM⊥ON.當(dāng)AP與⊙O相切時，點(diǎn)B恰好落在⊙O上，如圖2.請僅就圖2的情形解答下列問題.（1）求證：∠PAO=2∠PBO；（2）若⊙O的半徑為3，AP=4，求BP的長.7．粒子加速器是當(dāng)今高能物理學(xué)中研究有關(guān)宇宙的基本問題的重要工具，圖（1）、圖（2）是我國某環(huán)形粒子加速器的實(shí)景圖和構(gòu)造原理圖，圖（3）是粒子加速器的俯視示意圖，其中粒子真空室可看作⊙O，粒子在A點(diǎn)注入，經(jīng)過優(yōu)弧AB后，在B點(diǎn)引出，粒子注入和引出路徑都與⊙O相切，C，D是兩個加速電極，粒子在經(jīng)過CD時被加速．已知AB＝16km，粒子注入路徑與AB的夾角α＝53°，CD所對的圓心角是90°．（1）求⊙O的直徑；（2）比較CD與AB的長度哪個更長．（相關(guān)數(shù)據(jù)：tan37二、新題型-項(xiàng)目式學(xué)習(xí)8．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)：測算雷鋒塔的高度素材1如圖1，雷峰塔前有一斜坡AB，長為10米，坡度為3:4

素材2利用測角儀在斜坡底的點(diǎn)B處測得塔尖點(diǎn)D的仰角為51.1°，在斜坡頂?shù)狞c(diǎn)A處測得塔尖點(diǎn)D的仰角為45°（其中點(diǎn)C，B，

素材3查閱銳角三角函數(shù)表sin51.1°≈0.任務(wù)1獲取數(shù)據(jù)計(jì)算斜坡的高度AC任務(wù)2分析計(jì)算通過觀察，計(jì)算雷峰塔的高度（結(jié)果保留整數(shù)）9．在綜合實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識來解決實(shí)際問題.實(shí)踐報(bào)告如下：活動課題測量兩幢樓樓頂之間的距離活動工具測角儀、皮尺等測量過程【步驟一】如圖，在樓AB和樓CD之間豎直放置測角儀MN，其中測角儀的底端M與樓的底部A，C在同一條水平直線上，圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)；【步驟二】利用測角儀測出樓頂B的仰角∠BNE=45°，樓頂D的仰角∠DNF=68.2°【步驟三】利用皮尺測出AM=40米，CM=20米.解決問題根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算兩幢樓樓頂B，D之間的距離請你幫助興趣小組解決以上問題.（計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.50，37≈6.0810．城市雕塑“搖櫓人”位于吉林市吉林大街南端的江城廣場，雕塑人物以幾乎傾斜倒地的姿勢，用盡全身力氣來擺動船櫓，代表著吉林人民在湍流江水之中奮力拼搏的精神.某校數(shù)學(xué)活動小組要測量“搖櫓人”的高度，張明同學(xué)帶領(lǐng)小組成員進(jìn)行此項(xiàng)實(shí)踐活動，活動步棸記錄如下：【步驟一】設(shè)計(jì)測量方案：小組成員討論后，畫出如圖①的測量草圖，確定需測的幾何量.【步驟二】準(zhǔn)備測量工具：皮尺和自制測高儀.其中測高儀ABCD（如圖②）為正方形木板，在頂點(diǎn)A處用細(xì)線掛一個鉛錘M.【步驟三】實(shí)地測量并記錄數(shù)據(jù)：如圖③，令測高儀上的頂點(diǎn)D，A與“搖櫓人”最高點(diǎn)E在同一條直線上.通過測量得到，∠BAM=36°，AF=20m，F(xiàn)G=1.【步驟四】計(jì)算“搖櫓人”高度EG.（結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.588，cos現(xiàn)在，請你結(jié)合圖③和相關(guān)數(shù)據(jù)完成【步驟四】.11．仁皇閣是一個著名景點(diǎn)，某校九年級研學(xué)期間參觀了仁皇閣，數(shù)學(xué)興趣小組對仁皇閣高度產(chǎn)生了濃厚的興趣，他們想運(yùn)用所學(xué)知識估算出仁皇閣的高度。課題估算仁皇閣高度測量工具測量角度的儀器，皮尺，刻度尺等組別測量方案示意圖測量方案說明組1?如圖1，先在仁皇閣底部廣場的C處用儀器測得閣樓頂端A的仰角為27°，然后從C處向閣樓底部前進(jìn)10m到達(dá)D處，此時在D處測得閣樓頂端A的仰角為30°．組2?如圖2，身高1.5m的組員站在仁皇閣正門邊上合影．打印出照片后量得此組員圖上高度GH為0.5cm，量得仁皇閣圖上高度EF為12.9cm.（1）任務(wù)一請分別計(jì)算兩組中測量得到的閣樓高度；（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位．參考數(shù)據(jù)sin27°≈0．45，（2）任務(wù)二后續(xù)經(jīng)過查證后發(fā)現(xiàn)小組2數(shù)據(jù)更為精確，請你幫小組1分析可能產(chǎn)生誤差的原因．（寫出一條即可）12．廊坊某初中數(shù)學(xué)興趣小組為測量路燈高度，設(shè)計(jì)了如下方案，請據(jù)此求出路燈高度AB.主題測量路燈高度AB工具測角儀、皮尺等人員組長：xxx；組員：xxx、xxx、xxx示意圖方案在路燈前選一點(diǎn)P，并測出∠APB，然后把說明豎直竹竿CD在BP的延長線上左右移動到某處，AB⊥地面，CD⊥地面處，并測出∠CPD.數(shù)據(jù)BP=3m，∠APB=70°，CD=3m，∠CPD=20°，BD=11評價13．教學(xué)實(shí)踐活動：910班測量雷峰塔高度實(shí)踐的相關(guān)數(shù)據(jù)活動1如圖，A點(diǎn)為塔頂，將?根木棒立在D處，AC的連線交地面于Q點(diǎn)，同理將相同長度的木棒立在F處，同時得到P點(diǎn).若移動木棒使得CD=QD，在E點(diǎn)的仰角為30°，則∠PAQ活動2如圖，小組2設(shè)計(jì)了此測量方法，若CD的長度為18m，已知∠α=37°，∠β=30°，則可以得到塔的高度大約為▲.(參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，sin總結(jié)與取優(yōu)老師做了一個小小的總結(jié)，并且設(shè)計(jì)了一個新的方案，已知塔前有一高4米的小樹CD，發(fā)現(xiàn)水平地面上點(diǎn)E、樹頂和塔頂A恰好在一條直線上，測得BD=57米，D、E之間有一個花圃無法測量，然后在E處放置一個平面鏡，沿BE后退，退到G處恰好在平面中看到樹頂C的像，此時EG=2.4米，測量者眼睛到地面的距離FG為1.6米，求出塔高三、新考法-解題策略開放14．同學(xué)們在探究學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)：“三角形內(nèi)角的角平分線分對邊所得的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例”.下面是小明同學(xué)思考出的兩種不同的證明方法，請選擇其中一種完成證明．已知：如圖，?ABC中，AD是角平分線．求證：ABAC=BD方法一證明：如圖，過點(diǎn)C作CE//AD，與BA的延長線交于點(diǎn)E．方法二證明：如圖，過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，過點(diǎn)D作DN⊥AC于N．

15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分別是BC、AB、AC的中點(diǎn)，連結(jié)DE、DF，求證：DE＝DF．針對這道題，三位同學(xué)進(jìn)行了如下討論﹣﹣小胡：“需要利用全等證明．”小吳：“要證中線相等，我想到了直角三角形．”小明：“我覺得你們都對，但還有別的方法．”請你結(jié)合上述討論，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄍ瓿勺C明．16．在證明圓周角定理時，某學(xué)習(xí)小組討論出圓心與圓周角有三種不同的位置關(guān)系（如圖1，2，3所示），小敏說：當(dāng)圓心O在∠ACB的邊上時，只要利用三角形內(nèi)角和定理的推論和等腰三角形的性質(zhì)即可證明．小亮說：當(dāng)圓心O在∠ACB的內(nèi)部或外部時，可以通過添加直徑這條輔助線，把問題轉(zhuǎn)化為圓心O在∠ACB的邊上時的特殊情形來解決．請選擇圖2或圖3中的一種，完成證明．圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．已知：如圖，在⊙O中，AB所對的圓周角是∠ACB，圓心角是∠AOB．求證：∠ACB=117．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是底邊BC的中點(diǎn)，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F求證：DE＝DF.證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C①.在△BDE和△CDF中，∠B＝∠C，∠BED＝∠CFD，BD＝CD，∴△BDE≌△CDF②.∴DE＝DF③.（1）上面的證明過程是否正確？若正確，請寫出①、②和③的推理根據(jù).（2）請你寫出另一種證明此題的方法.18．小明遇到這樣一個問題如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在AB上，且BD=BC，求證：∠ABC=2∠ACD.小明發(fā)現(xiàn)，除了直接用角度計(jì)算的方法外，還可以用下面兩種方法：方法2：如圖2，作BE⊥CD，垂足為點(diǎn)E.方法3：如圖3，作CF⊥AB，垂足為點(diǎn)F.根據(jù)閱讀材料，從三種方法中任選一種方法，證明∠ABC=2∠ACD.19．用兩種方法證明“三角形的外角和等于360°”；如圖，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三個外角.求證：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°證法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三個外角∴__▲_.∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）∵_(dá)▲_.∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°請把證法1補(bǔ)充完整，并用不同的方法完成證法2

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】（1）證明：∵OB⊥OC，∴∠BOD+∠COE=90°，又∵CE⊥OA,∴∠CEO=∠ODB=90°，∴∠BOD+∠B=90°，∴∠COE=∠B，在△COE和△OBD中，∠CEO=∠BDO∠COE=∠B∴△COE≌△OBD(AAS)，∴OE=BD；（2）解：在Rt△OBD中，OD=O由（1）得OE=BD=8cm，∴DE=OD?OE=15?8=7(4．【答案】（1）90°（2）162°或90°＋x5．【答案】解：如圖2，根據(jù)題意得：法線垂直于平面鏡，且∠i=∴∠ABG在△FCB和△GAB中，∠FCB=∠GAB=90°∴△FCB≌△GAB（ASA）∴AG=CF=1.5m（全等三角形的性質(zhì)）6．【答案】（1）證明：如圖，連接OP，∵AP與⊙O相切，∴OP⊥AP，∴∠APO=90°，∴∠PAO+∠POA=90°，OM⊥ON，∴∠POQ+∠POA=90°∴∠POQ=∠PAO，B恰好落在⊙O上，∴∠PBO=∴∠PAO=2∠PBO（2）解：連接CP，過P作PD⊥BC于點(diǎn)D，∠PDO=90°，由（1）可知：∠POQ=∠PAO，∠APO=90°，∴△PDO～ΔOPA，∴PDA⊙O的半徑為3，AP=4∴AO=5，∴PD∴PD=∴BD=3?OD=3+12∴Rt△PBD中，PB∴P∴PB=97．【答案】（1）解：過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，連接AO，∵AF是⊙O的切線，∴∠FAO＝90°，∵α＝53°，∴∠EAO＝90°﹣53°＝37°，∵AB是⊙O的弦，OE是⊙O的弦心距，OE⊥AB，AB＝16km，∴AE＝BE＝12AB＝1∴tan∠EAO＝OEAE＝tan3∴OE≈34AE＝3∴AO＝AE∴⊙O的直徑為：2AO＝20（km），∴⊙O的直徑約為20km；（2）解：AB的長度更長一些．理由：∵CD所對的圓心角為90°，OC＝OA＝10（km），∴CD的長度約為：90π×10180∵15.7＜16，∴AB的長度更長一些．8．【答案】解：任務(wù)一：∵斜坡AB的坡度是3:∴ACBC=34又∵在Rt△ABC中，AB∴AB=5x，∴5x=10，解得：x=2，∴AC=3x=6，∴斜坡的高AC為6．任務(wù)二：如圖，過A作AH⊥DE于H，結(jié)合題意可得：四邊形ACEH是矩形，∴AH=CE，AC=HE=6，設(shè)BE=x，∵tan∠DBE=∴DE=1.∴AH=CE=8+x，DH=DE?HE=1.∵在斜坡頂?shù)狞c(diǎn)D處測得樓頂B的仰角為45°，∴AH=DH，∴8+x=1.解得：x≈58，∴DE=DH+HE=58+6=64米，故雷峰塔的高度為64米．9．【答案】解：過B作BG⊥CD交于G，如圖：由測量步驟可得：四邊形AMNE、四邊形CMNF、四邊形ACFE、四邊形BEFG均是矩形∵EN=AM=40∴FN=CM=20，∴EF=EN+FN=60，∴BG=FF=60∵∠EMB=45°，∴∠EBM=∠EMB=45°，∴BE=EM=40，∴FG=BE=40，在Rt△DFN中tan∠DNF=DF∴DF=20×tan68.2°≈50，∴DG=DF-FG=50-40=10，在Rt△BGD中，BD=故兩幢樓樓頂B，D之間的距離為608米.10．【答案】解：根據(jù)題意可知：∠FAM=∠BAE=90°∴∠EAF=∠BAM=36°在Rt△EFA中，∠EFA=90°，tan∠EAF=∴EF=tan∴EG=EF+FG=14.答：“搖櫓人”的高度約為16.5m.11．【答案】（1）解：組1，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∵∠ACB=27°，∴tan∴BC=2AB，在Rt△ABD中，∵∠ADB=30°，∴tan∴BD=3∵CD=10m，∴BC?BD=2AB?3解得AB≈37.（2）解：組2，設(shè)閣樓高度為xm，根據(jù)題意得1.解得x=38.任務(wù)二：能產(chǎn)生誤差的原因：測角儀擺放不平衡（答案不唯一）12．【答案】解：∵∠CPD=20°，∠APB=70°，∠CDP=∠ABP=90°，∴∠DCP=∠APB=70°.在△CPD和△PAB中，∠CDP=∠PBACD=PB∠DCP=∠BPA∴DP=AB.∵BD=11.2m，∴DP=BD?BP=8.2m，即13．【答案】解：活動一：15°；

活動二：44.26m；

總結(jié)與取優(yōu)：∵CD⊥BG∴∠CDE∵∠CED∴△CDE∽△∴CDDE=FGEG，

∵∴4解得：DE=6∵BD∴BE∵AB⊥BG∴∠ABE∵∠AEB∴△ABE∽△∴AB即AB63解得：AB=42∴雷鋒塔的高度AB為42米．14．【答案】解：方法一：證明：如圖，過點(diǎn)C作CE//AD與BA得延長線交于點(diǎn)E．∵CE//AD∴∠1=∠2，∠3=∠4∵AD平分∠BAC∴∠1=∠3∴∠2=∠4∴AE=AC∵CE//AD∴AB∵AE=AC∴AB方法二：證明：如圖，過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，過點(diǎn)D作DN⊥AC于N，過點(diǎn)A作AP⊥BC于P．∵AD平分∠BAC∴DM=DN∴S∵DM=DN∴AB15．【答案】解：小胡的證明方法：如圖，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵D、E、F、分別是BC、AB、AC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，BE=12AB，CF=1∴BE=CF∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF．小吳的證明方法：如圖，連結(jié)AD，∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，即△ABD和△ACD為直角三角形，∵E、F、分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE＝DF．小明的證明方法：如圖，連結(jié)AD，EF，AD和EF交于點(diǎn)O，∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD是∠BAC的角平分線，∵E、F、分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴AE=12AB，AF=1∴AE=AF∴AD是△AEF邊EF的中垂線∴DE＝DF．16．【答案】證明：∵OC=AO∴∠ACO=CAO∴∠AOD=∠ACO+∠CAO=2∠ACO同理：∠BOD=2∠BCO∵∠AOB=∠AOD+∠BOD∴∠AOB=2∠ACO+2∠BCO=2(∠ACO+∠BCO)=2∠ACB，即∠ACB=117．【答案】（1）解：①等邊對等角，②AAS，③全等三角形的對應(yīng)邊相等（2）解：連接AD，∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD平分∠BAC（等