江蘇省泰州市姜堰勵才實驗學校2023-2024學年八年級下學期期末數(shù)學試題一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（2分）以3，4為兩實數(shù)根的一元二次方程為（）A．x2+7x+12＝0 B．x2﹣7x+12＝0 C．x2﹣7x﹣12＝0 D．x2+7x﹣12＝02．（2分）已知點P是線段AB的黃金分割點（AP＞PB），AB＝4，那么AP的長是（）A． B． C． D．3．（2分）已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個根，則的值為（）A． B．2 C． D．﹣24．（2分）某廠一月份生產(chǎn)產(chǎn)品150臺，計劃二、三月份共生產(chǎn)該產(chǎn)品450臺，設(shè)二、三月平均每月增長率為x，根據(jù)題意列出方程是（）A．150（1+x）2＝450 B．150（1+x）+150（1+x）2＝450 C．150（1+2x）2＝450 D．150（1+x）2＝6005．（2分）下列四個三角形，與如圖中的三角形相似的是（）A． B． C． D．6．（2分）下列條件：①∠A＝45°，AB＝12，AC＝15，∠A'＝45°，A'B'＝16，A'C'＝20；②∠A＝47°，AB＝1.5，AC＝2，∠B'＝47°，A′B′＝2.8，B'C'＝2.1；③AB＝BC＝2，AC＝3，A'B'＝B'C'＝4，A'C'＝6，其中能判定△ABC與△A'B'C'相似的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個二、填空題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.）7．（2分）若，則＝．8．（2分）如圖，△ABC∽△AED，∠AED＝40°，∠A＝60°，則∠C＝．9．（2分）如圖，在長為100米，寬為80米的矩形場地上修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩余部分進行綠化，要使綠化面積為7644米2，則道路的寬應(yīng)為多少米？設(shè)道路的寬為x米，則可列方程為．10．（2分）如圖，已知：l1∥l2∥l3，AB＝6，DE＝5，EF＝7.5，則AC＝．11．（2分）如圖，DE∥AB，F(xiàn)D∥BC，＝，AB＝18cm，BC＝12cm，則平行四邊形BEDF的周長是cm．12．（2分）如圖，已知△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm，如果點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s．連接PQ，設(shè)運動的時間為t（單位：s）（0≤t≤4）．當t為時，△APQ和△ABC相似．三、解答題（本大題共6小題，共36分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）13．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2+1＝0．（1）有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍；（2）如果方程的兩根之和等于兩根之積，求k的值．14．（5分）如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且CD2＝AD?BD．（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．15．（5分）西瓜經(jīng)營戶以2元/千克的價格購進一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售，每天可售出200千克．為了促銷，該經(jīng)營戶決定降價銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小型西瓜每降價0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．該經(jīng)營戶要想每天盈利200元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低多少元？16．（5分）如圖，已知＝＝，試說明：∠ABD＝∠EBC．17．（6分）如圖，先把一矩形ABCD紙片對折，設(shè)折痕為MN，再把B點疊在折痕線上，得到△ABE．過B點折紙片使D點疊在直線AD上，得折痕PQ．（1）求證：△PBE∽△QAB；（2）你認為△PBE和△BAE相似嗎？如果相似，給出證明；若不相似，請說明理由．18．（10分）綜合與探究【知識回顧】在銳角△ABC中，點D是AB上的一點．（1）如圖1，點E是AC邊上的一點，且DE∥BC，證明：；【逆向思考】（2）如圖2，請用尺規(guī)作圖在AC邊上找一點E，使得；【深入研究】（3）若點E是AC邊上的一點，且，則DE∥BC是否一定成立？如不一定，請?zhí)砑右粋€條件：△ABC中滿足時，結(jié)論一定成立．（4）在（3）成立的條件下，請證明DE∥BC．參考答案一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（2分）以3，4為兩實數(shù)根的一元二次方程為（）A．x2+7x+12＝0 B．x2﹣7x+12＝0 C．x2﹣7x﹣12＝0 D．x2+7x﹣12＝0【解答】解：以3，4為兩實數(shù)根的一元二次方程為x2﹣7x+12＝0．故選：B．2．（2分）已知點P是線段AB的黃金分割點（AP＞PB），AB＝4，那么AP的長是（）A． B． C． D．【解答】解：由于P為線段AB＝4的黃金分割點，且AP是較長線段；則AP＝4×＝2﹣2．故選：A．3．（2分）已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個根，則的值為（）A． B．2 C． D．﹣2【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個根，∴x1+x2＝2，x1?x2＝﹣1．∴＝＝﹣2故選：D．4．（2分）某廠一月份生產(chǎn)產(chǎn)品150臺，計劃二、三月份共生產(chǎn)該產(chǎn)品450臺，設(shè)二、三月平均每月增長率為x，根據(jù)題意列出方程是（）A．150（1+x）2＝450 B．150（1+x）+150（1+x）2＝450 C．150（1+2x）2＝450 D．150（1+x）2＝600【解答】解：設(shè)二、三月份每月的平均增長率為x，則二月份生產(chǎn)機器為：150（1+x），三月份生產(chǎn)機器為：150（1+x）2；又知二、三月份共生產(chǎn)450臺；所以，可列方程：150（1+x）+150（1+x）2＝450．故選：B．5．（2分）下列四個三角形，與如圖中的三角形相似的是（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)單位正方形的邊長為1，給出的三角形三邊長分別為，2，．A、三角形三邊分別是2，，3，與給出的三角形的各邊不成比例，故A選項錯誤；B、三角形三邊，4，，與給出的三角形的各邊不成比例，故B選項錯誤；C、三角形三邊2，3，，與給出的三角形的各邊不成比例，故C選項錯誤；D、三角形三邊2，4，2，與給出的三角形的各邊成比例，故D選項正確．故選：D．6．（2分）下列條件：①∠A＝45°，AB＝12，AC＝15，∠A'＝45°，A'B'＝16，A'C'＝20；②∠A＝47°，AB＝1.5，AC＝2，∠B'＝47°，A′B′＝2.8，B'C'＝2.1；③AB＝BC＝2，AC＝3，A'B'＝B'C'＝4，A'C'＝6，其中能判定△ABC與△A'B'C'相似的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【解答】解：①由∠A＝∠A′，＝＝，判定△ABC∽△A'B'C'相似，故①符合題意；②由∠A＝∠B′，＝＝，判定△ABC∽△B′C′A′，故②符合題意；③由＝＝＝，判定△ABC∽△A'B'C'相似，故③符合題意．∴能判定△ABC與△A'B'C'相似的有3個．故選：D．二、填空題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.）7．（2分）若，則＝．【解答】解：∵，∴＝＝．故答案為：．8．（2分）如圖，△ABC∽△AED，∠AED＝40°，∠A＝60°，則∠C＝80°．【解答】解：∵∠AED＝40°，∠A＝60°，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴∠ADE＝80°，∵△ABC∽△AED，∴∠C＝∠ADE＝80°，故答案為：80°．9．（2分）如圖，在長為100米，寬為80米的矩形場地上修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩余部分進行綠化，要使綠化面積為7644米2，則道路的寬應(yīng)為多少米？設(shè)道路的寬為x米，則可列方程為（100﹣x）（80﹣x）＝7644．【解答】解：設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，由題意有（100﹣x）（80﹣x）＝7644，故答案為：（100﹣x）（80﹣x）＝7644．10．（2分）如圖，已知：l1∥l2∥l3，AB＝6，DE＝5，EF＝7.5，則AC＝15．【解答】解：∵：l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝6，DE＝5，EF＝7.5，∴BC＝9，∴AC＝AB+BC＝15，故答案為：15．11．（2分）如圖，DE∥AB，F(xiàn)D∥BC，＝，AB＝18cm，BC＝12cm，則平行四邊形BEDF的周長是28cm．【解答】解：∵DF∥BC，∴，∴，∴DF＝8cm，∵DE∥AB，∴，∵，∴，∴，∴DE＝6cm，∴平行四邊形BEDF的周長＝（8+6）×2＝28（cm）．故答案為：28．12．（2分）如圖，已知△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm，如果點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s．連接PQ，設(shè)運動的時間為t（單位：s）（0≤t≤4）．當t為s或s時，△APQ和△ABC相似．【解答】解：由題意得：BP＝2tcm，AP＝（10﹣2t）cm，AQ＝2tcm，∵82+62＝102，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∠C＝90°，∵△APQ和△ABC有公共角∠A，∴只要∠AQP或APQ等于∠C，△APQ和△ABC就相似，（1）當∠AQP＝∠C＝90°時，△APQ∽△ABC，∴＝，即＝，解得：t＝；（2）當∠APQ＝∠C＝90°時，△APQ∽△ACB，∴＝，即＝，解得：t＝；綜上所述，t為s或s時，△APQ和△ABC相似，故答案為：s或s．三、解答題（本大題共6小題，共36分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）13．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2+1＝0．（1）有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍；（2）如果方程的兩根之和等于兩根之積，求k的值．【解答】解：（1）因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+1）＞0，解得k＜，所以k的取值范圍是．（2）由題知，該方程的兩根之和為﹣2k+1，兩根之積為k2+1．因為方程的兩根之和等于兩根之積，所以﹣2k+1＝k2+1，解得k1＝0，k2＝﹣2．因為k≤時方程有實數(shù)根，所以k＝0舍去，所以k＝﹣2．14．（5分）如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且CD2＝AD?BD．（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【解答】（1）證明：∵CD是邊AB上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，又CD2＝AD?BD，即＝，∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD，在△ACD中，∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°．15．（5分）西瓜經(jīng)營戶以2元/千克的價格購進一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售，每天可售出200千克．為了促銷，該經(jīng)營戶決定降價銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小型西瓜每降價0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．該經(jīng)營戶要想每天盈利200元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低多少元？【解答】解：設(shè)應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低x元．根據(jù)題意，得[（3﹣2）﹣x]（200+）﹣24＝200．方程可化為：50x2﹣25x+3＝0，解這個方程，得x1＝0.2，x2＝0.3．為了促銷，x＝0.3，答：應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低0.3元．16．（5分）如圖，已知＝＝，試說明：∠ABD＝∠EBC．【解答】證明：∵＝＝，∴△ABC∽△DBE（三邊對應(yīng)相等的兩個三角形相似），∴∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC（等式的基本性質(zhì)），∴∠ABD＝∠EBC．17．（6分）如圖，先把一矩形ABCD紙片對折，設(shè)折痕為MN，再把B點疊在折痕線上，得到△ABE．過B點折紙片使D點疊在直線AD上，得折痕PQ．（1）求證：△PBE∽△QAB；（2）你認為△PBE和△BAE相似嗎？如果相似，給出證明；若不相似，請說明理由．【解答】（1）證明：∵∠PBE+∠ABQ＝90°，∠PBE+∠PEB＝90°，∴∠ABQ＝∠PEB．在△PBE與△QAB中，∵∠ABQ＝∠PEB，∠BPE＝∠AQB＝90°，∴△PBE∽△QAB．（2）解：△PBE和△BAE相似．∵△PBE∽△QAB，∴＝．∵BQ＝PB，∴＝．又∵∠EPB＝∠EBA＝90°，∴△PBE∽△BAE．18．（10分）綜合與探究【知識回顧】在銳角△ABC中，點D是AB上的一點．（1）如圖1，點E是AC邊上的一