莫興德廣西大學(xué)數(shù)信學(xué)院Email:moxingde@微積分第1頁(yè)鏈接目錄第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分第四章中值定理,導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第五章不定積分第六章定積分第七章

無(wú)窮級(jí)數(shù)(不要求)第八章多元函數(shù)第九章微分方程復(fù)習(xí)第2頁(yè)參考書(shū)[1]趙樹(shù)嫄.微積分.中國(guó)人民出版社[2]同濟(jì)大學(xué).高等數(shù)學(xué).高等教育出版社第3頁(yè)第四章

習(xí)題課第4頁(yè)洛必達(dá)法則Rolle定理Lagrange中值定理慣用泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理單調(diào)性,極值與最值,凹凸性,拐點(diǎn),函數(shù)圖形描繪;曲率;求根方法.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、主要內(nèi)容第5頁(yè)1、羅爾中值定理2、拉格朗日中值定理3、柯西中值定理4、洛必達(dá)法則關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可處理類型.注意：洛必達(dá)法則使用條件.第6頁(yè)5、泰勒中值定理慣用函數(shù)麥克勞林公式Fermat定理中值定理揭示了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間關(guān)系，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用理論基礎(chǔ)，是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)有效工具。是溝通導(dǎo)數(shù)局部性質(zhì)與函數(shù)在區(qū)間上整體性質(zhì)主要橋梁。第7頁(yè)6、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用(1)函數(shù)單調(diào)性判定法(2)函數(shù)極值及其求法極值必要條件、第一、第二充分條件求極值步驟:(3)最大值、最小值問(wèn)題(4)曲線凹凸與拐點(diǎn)(5)函數(shù)圖形描繪(6)弧微分曲率曲率圓第8頁(yè)例1解二、經(jīng)典例題第9頁(yè)這就驗(yàn)證了命題正確性.第10頁(yè)*例2Darboux定理:證首先假定不妨設(shè)如右圖所表示oyxab由假設(shè)知第11頁(yè)由右方鄰近，有由左側(cè)鄰近，有由Fermat定理,得其次，取介于之間任意數(shù)

C為明確起見(jiàn)，不妨設(shè)引進(jìn)輔助函數(shù)第12頁(yè)由上述已證知例3證實(shí)方程在(0,1)內(nèi)最少有一實(shí)根[分析]如令則符號(hào)不易判別不便使用介值定理用Rolle定理來(lái)證第13頁(yè)證令則且故由Rolle定理知即在(0,1)內(nèi)有一實(shí)根例4證滿足Rolle定理?xiàng)l件第14頁(yè)*例5解第15頁(yè)例6解第16頁(yè)例7第17頁(yè)第18頁(yè)例8證由介值定理,第19頁(yè)（1）（2）注意到由（1）,（2）有（3）（4）（3）+（4）,得第20頁(yè)例9問(wèn)方程有幾個(gè)實(shí)根解同時(shí)也是最大值分三種情況討論第21頁(yè)①因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)根，分別位于②方程僅有一個(gè)實(shí)根，即③方程無(wú)實(shí)根①②③第22頁(yè)*例10證（1）（2）第23頁(yè)（1）–（2）,則有第24頁(yè)*例11解第25頁(yè)若兩曲線滿足題設(shè)條件,必在該點(diǎn)處含有相同一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),于是有第26頁(yè)解此方程組得故所求作拋物線方程為曲率圓方程為兩曲線在點(diǎn)處曲率圓圓心為第27頁(yè)例12解奇函數(shù)第28頁(yè)第29頁(yè)列表以下:第30頁(yè)極大值拐點(diǎn)極小值第31頁(yè)作圖第32頁(yè)*例13Rolle定理推廣形式①證由Rolle定理知②第33頁(yè)證一則由題設(shè)知故由①知而第34頁(yè)證二若則結(jié)論顯然成立下設(shè)不妨設(shè)有必存在最大值M即第35頁(yè)故由Fermat定理知③證一類似于②證一，作變換證二作變換第36頁(yè)證三若則結(jié)論顯然成立下設(shè)不妨設(shè)有必存在最小值m即第37頁(yè)故由Fermat定理知④證實(shí)與③類似第38頁(yè)例14證不妨設(shè)由Lagrange定理，有第39頁(yè)得*注這個(gè)結(jié)論其實(shí)就是Jensen不等式(n