§1.7事件的獨(dú)立性與伯努利概型

1一、事件的獨(dú)立性

粗略地說，兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指其中一個(gè)事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件的發(fā)生．

例如，A表示“晚上7點(diǎn)整甲B表示“晚上7點(diǎn)整乙家人看電視”．顯然，A的發(fā)生不影響B(tài)的發(fā)家人看電視”，生，反之亦然．2上述意思翻譯成概率語言即為下面給出關(guān)于兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性定義：

且

但只要其中的條件概率有意義，上面兩個(gè)式子相互等價(jià)(參見習(xí)題1.44)．同時(shí)，也等價(jià)于對(duì)于任意兩個(gè)事件Ａ和Ｂ，若則稱Ａ與Ｂ相互獨(dú)立.

3

例1.27

將一枚勻稱硬幣拋擲三次，觀察正A與B相互獨(dú)立．反面朝上的試驗(yàn)的樣本空間為

設(shè)A=“前兩次出現(xiàn)正面”={HHH，HHT}；Ｂ=“第三次出現(xiàn)反面”={HHT，HTT，THT，TTT}；C=“前兩次出現(xiàn)反面”={TTH，TTT}．◎AB={HHT}4關(guān)于獨(dú)立性的幾個(gè)注記

A與Ｃ不相互獨(dú)立．1o兩個(gè)事件相互獨(dú)立的本質(zhì)意思是：其中一個(gè)事件發(fā)生與否不影響另一個(gè)事件的發(fā)生．

A與B相互獨(dú)立?5?2oＡ與任何事件Ｂ都相互獨(dú)立；

Ａ與任何事件Ｂ都相互獨(dú)立.

證關(guān)于第一個(gè)蘊(yùn)涵式．

及概率的

由

從而

都與任何事件相互獨(dú)立．

單調(diào)性知

6關(guān)于第二個(gè)蘊(yùn)涵式．

從而

于是

由

及概率的單

調(diào)性知

3o相互獨(dú)立與互不相容沒有必然聯(lián)系．

?7概率有關(guān)，后者的定義沒有借助概率．

◎從實(shí)際結(jié)果來看，兩個(gè)事件相互獨(dú)立，這兩個(gè)事件未必互不相容，在例1.27中，Ａ與Ｂ相互獨(dú)立，但Ａ與Ｂ相容；同樣地，兩個(gè)事件互不相容，這兩個(gè)事件也未必相互獨(dú)立，還是在例1.27中，Ａ與Ｃ互不相容，但Ａ與Ｃ不相互獨(dú)立．◎從定義來看，A與B獨(dú)立

而A與B互不相容

前者的定義與8事件中，若其中有一對(duì)事件相互獨(dú)立，則其它三對(duì)事件也分別相互獨(dú)立．

?9設(shè)事件A與B互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，則

前面給出了幾個(gè)注記，現(xiàn)在鞏固一下．（A）

P(B|A)>0．（B）P(A|B)=P(A)．設(shè)事件A與B相互獨(dú)立，且P(A)>0，P(B)>0，則（A）

P(B|A)>0．（B）P(A|B)=P(A)．（C）

P(A|B)=0．（D）P(AB)=P(A)P(B)．（C）

P(A|B)=0．（D）P(AB)=P(A)P(B)．10

例1.28

甲、乙兩射手彼此獨(dú)立地向同一目標(biāo)各射擊一次，甲射中目標(biāo)的概率為0.8，乙射中目標(biāo)的概率為0.7，問目標(biāo)被擊中的概率是多少?

解

設(shè)A=“甲射中目標(biāo)”，B=“乙射中目標(biāo)”，注即求兩個(gè)相互獨(dú)立事件并的概率．為了充分利用獨(dú)立性，一個(gè)重要技巧是利用對(duì)偶原則把“并”轉(zhuǎn)化成“交”.11判斷事件的獨(dú)立性常有三種途徑：

◎由實(shí)際問題本身決定．如在例1.28中，Ａ與Ｂ◎根據(jù)事件獨(dú)立性的定義及概率計(jì)算得知．如在獨(dú)立性的獲知．◎在已知獨(dú)立事件的基礎(chǔ)經(jīng)過一些推理得知相例1.27中，Ａ與Ｂ的獨(dú)立性的獲知．

關(guān)事件的獨(dú)立性．如在上述注記4o的證明中，12關(guān)于三個(gè)事件的相互獨(dú)立性定義對(duì)于任意三個(gè)事件A，B，C，若下述四個(gè)等式同時(shí)成立，則稱A，B，C相互獨(dú)立．

由定義可知，三個(gè)事件相互獨(dú)立必保證兩兩獨(dú)立．但兩兩獨(dú)立不一定保證相互獨(dú)立．

13關(guān)于任意有限多個(gè)事件的相互獨(dú)立性的定義

14◎當(dāng)3個(gè)及以上的事件相互獨(dú)立時(shí)，它們乘積的概率等于各自概率的乘積，但反過來不成立．

◎n個(gè)事件相互獨(dú)立，需要

同時(shí)成立，則稱相互獨(dú)立．個(gè)等式來保證．

15例1.29

將一枚勻稱硬幣拋擲兩次，觀察正反面朝上的試驗(yàn)的樣本空間為

設(shè)A=“第一次出現(xiàn)正面”={HH，HT}，B=“第二次出現(xiàn)正面”={HH，TH}，C=“正、反面各出現(xiàn)一次”={HT，TH}．經(jīng)過一些簡(jiǎn)單計(jì)算得

16故A，B，C兩兩相互獨(dú)立但不相互獨(dú)立．17二、伯努利概型

伯努利概率模型，簡(jiǎn)稱伯努利概型始于雅格布·伯努利的研究．雅格布·伯努利(1654－1705)

率為p的伯努利試驗(yàn)．如果一個(gè)試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果：和A且則稱這個(gè)試驗(yàn)為成功概成功失敗18試驗(yàn)序列為n重伯努利試驗(yàn)．結(jié)果都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱這n次將一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次，若每次試驗(yàn)伯努利公式

容易求得，在一個(gè)每次成功的概率為p的n重伯努利試驗(yàn)中，恰好成功k次的概率為19由二項(xiàng)式展開定理得，n次的概率總和為1．

它表示n重伯努利試驗(yàn)中成功0次，1次，…，20

解

在任一時(shí)刻，考察一名售貨員是否使為成功，否則視為失敗，從而每次試驗(yàn)成功的用臺(tái)秤相當(dāng)于作一次試驗(yàn)，如果使用臺(tái)秤則視概率為15/60

=1／4．

例1.30

店內(nèi)有4名售貨員，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)每名售貨員平均在一小時(shí)內(nèi)只用秤15分鐘，若店內(nèi)只有1個(gè)臺(tái)秤，求任一時(shí)刻臺(tái)秤不夠用的概率．現(xiàn)同時(shí)考察4名售貨員使用臺(tái)秤的情況，因此這是每次成功概率為1／4的4重伯努利試驗(yàn)．21所謂“臺(tái)秤不夠用”是指同時(shí)至少有2名售貨員要使用臺(tái)秤，即至少成功兩次．由伯努利公式，得22

例1.31

某機(jī)構(gòu)有一個(gè)5人組成的顧問小組，若每個(gè)顧問貢獻(xiàn)正確意見的概率為0.9，現(xiàn)在該機(jī)構(gòu)對(duì)某事可行與否個(gè)別征求各位顧問的意見，并按多數(shù)的意見作出決策，求作出正確決策的概率．

解

考察一位顧問的意見，相當(dāng)于作一次試驗(yàn)，如果他貢獻(xiàn)正確意見則視為成功，否則視為失敗，從而每次試驗(yàn)成功的概率為0.9.因此，這是每次成功概率為0.9的5重伯努利試驗(yàn)．

23這個(gè)概率幾乎接近百分之百了，決策錯(cuò)誤的可能性是很小的．所以，“少數(shù)服從多數(shù)”和“民主集中制”原則蘊(yùn)藏深刻的概率道理．的意見正確．由伯努利公式，所求概率為作出正確決策的充分必要條件是大多數(shù)顧問24

例1.32

在戰(zhàn)爭(zhēng)進(jìn)入攻堅(jiān)戰(zhàn)時(shí)，需要打擊敵方的一個(gè)目標(biāo)．設(shè)每個(gè)人擊中目標(biāo)的概率都是0.6，問至少需要多少人同時(shí)射擊才能以99℅以上的概率擊中目標(biāo)?

解設(shè)至少需要n個(gè)人同時(shí)射擊才能以99℅以上的概率擊中目標(biāo)，這里可以假設(shè)每個(gè)人射擊是否擊中目標(biāo)相互獨(dú)立．如果把擊中目標(biāo)視為成功，那么這是一個(gè)每次成功概率為0.6的n重伯努利試驗(yàn)．25問題歸結(jié)為求最小的n使得所以n至少應(yīng)取6，即至少需要6人同時(shí)射擊才能以99℅以上的概率擊中目標(biāo)．26三、小概率事件如果一個(gè)事件發(fā)生的概率很小，我們就說它是小概率事件．在實(shí)際生活中，我們常常忽略小概率事件發(fā)生的可能性，并認(rèn)為小概率事件在一次試驗(yàn)中不會(huì)發(fā)生，通常稱為小概率原理．◎雖然人坐飛機(jī)出現(xiàn)事故的概率不等于零，但我們還是很坦然地坐飛機(jī)；反過來，一旦小概率事件發(fā)生了，人們會(huì)不由自主地詫異甚至震驚.27

例1.33

一位音樂專家聲稱，他可以由海頓或莫扎特的一頁樂譜看出作者是海頓還是莫扎特．做了10次試驗(yàn)，他每次都正確．問該音樂專家的聲稱是否可信？

解

假設(shè)該音樂專家的聲稱不可信，即純粹是靠運(yùn)氣猜對(duì)的，那么每次成功(猜對(duì))的概率為1/2．于是，10重伯努利試驗(yàn)中全部成功的概率為28發(fā)生的可能性不到千分之一的事件居然在一次試驗(yàn)中發(fā)生了，由小概率事件原理，人們有理由懷疑“該音樂專家的聲稱不可信”這一假設(shè)的正確性，而斷言音樂專家的聲稱是可信的．雖然人們經(jīng)常自覺不自覺地使用小概率原理，但當(dāng)大量