PAGE1-專題八立體幾何【考情探究】課標(biāo)解讀考情分析備考指導(dǎo)主題內(nèi)容一、空間幾何體結(jié)構(gòu)特征及體積與表面積公式1.相識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)潔組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)潔物體的結(jié)構(gòu).2.了解球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.1.從近幾年高考考查內(nèi)容來(lái)看,這一部分主要考查空間幾何體與涉及數(shù)學(xué)文化、空間幾何體的表面積與體積、幾何體的外接、內(nèi)切球的計(jì)算,考查空間幾何體側(cè)面綻開圖問(wèn)題,題型既有選擇題,也有填空題,難度適中.2.這一部分突出對(duì)空間直線、平面位置關(guān)系的推斷,會(huì)求兩異面直線所成的角,在解答題中主要是考查直線與平面平行、垂直的判定與性質(zhì),常出現(xiàn)在解答題第一問(wèn),難度中等,解題時(shí)留意線線、線面、面面平行、垂直位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.3.利用空間向量證明平行與垂直以及求空間角(特殊是二面角)、空間距離均是高考的熱點(diǎn),通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)證明直線平行、垂直,求夾角,難度中等,以解答題形式出現(xiàn),把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量問(wèn)題.1.強(qiáng)化識(shí)圖實(shí)力,還原成自己熟識(shí)的幾何體.2.對(duì)圖形或其某部分進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、綻開或割補(bǔ).3.重視立體幾何最值問(wèn)題的探討.4.平面綻開圖(折線轉(zhuǎn)化成直線).5.完善學(xué)問(wèn)網(wǎng)絡(luò),強(qiáng)調(diào)通性通法,以下是平行垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化關(guān)系圖.6.加強(qiáng)空間向量對(duì)垂直問(wèn)題的探討:空間直角坐標(biāo)系的建立是基于三線兩兩垂直的,因此只有真正駕馭了對(duì)垂直關(guān)系的推斷、論證的探討方法,真正理解法向量的自由性,以及求法向量的方法,才能使問(wèn)題順當(dāng)解決.二、空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.能運(yùn)用公式、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)潔命題.3.以立體幾何的定義、公理和定理為動(dòng)身點(diǎn),相識(shí)和理解空間中線、面平行的判定定理與有關(guān)性質(zhì).4.以立體幾何的定義、公理和定理為動(dòng)身點(diǎn),相識(shí)和理解空間中線、面垂直的判定定理與有關(guān)性質(zhì).三、空間向量運(yùn)算及立體幾何中的向量方法1.駕馭空間向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積及其坐標(biāo)表示、用向量的數(shù)量積推斷向量的平行與垂直.2.理解直線的方向向量與平面的法向量.3.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題,了解向量方法在探討幾何問(wèn)題中的作用.【真題探秘】§8.1空間幾何體的表面積與體積基礎(chǔ)篇固本夯基【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1.給出下列命題:①棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形;②在四棱柱中,若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱;③存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體;④棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn).其中正確命題的序號(hào)是.

答案②③④2.給出下列命題:①在圓柱上、下底面的圓周上各取一點(diǎn),則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線;②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐;③用隨意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體,各個(gè)截面都是圓面,則這個(gè)幾何體肯定是圓錐;④以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái);⑤圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面;⑥一個(gè)平面截圓錐,得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái).其中正確命題的序號(hào)是.

答案⑤3.如圖,矩形O'A'B'C'是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖,其中O'A'=6cm,O'C'=2cm,則原圖形OABC的形態(tài)是.

答案菱形4.一梯形的直觀圖是一個(gè)如圖所示的等腰梯形,且梯形O'A'B'C'的面積為2,則原梯形的面積為.

答案4考點(diǎn)二空間幾何體的體積5.如圖所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為3,D為BC的中點(diǎn),則三棱錐A-B1DC1的體積為()A.3B.32C.1D.答案C6.平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為2,則此球的體積為()A.6πB.43πC.46πD.63π答案B7.如圖,在四邊形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=22,AD=2,則四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成幾何體的體積為.

答案1483考點(diǎn)三空間幾何體的表面積8.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,且AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的表面積是.

答案169π9.《九章算術(shù)》中對(duì)一些特殊的幾何體有特定的稱謂,例如:將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵,將一塹堵沿其一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱刨開,得到一個(gè)陽(yáng)馬(底面是長(zhǎng)方形,且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐)和一個(gè)鱉臑(四個(gè)面均為直角三角形的四面體).在如圖所示的塹堵ABC-A1B1C1中,AA1=AC=5,AB=3,BC=4,則陽(yáng)馬C1-ABB1A1的外接球的表面積是.

答案50π綜合篇知能轉(zhuǎn)換【綜合集訓(xùn)】考法一與表面積和體積有關(guān)的問(wèn)題1.(2024課標(biāo)Ⅰ,16,5分)如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)改變時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為.

答案4152.(2025屆浙江東陽(yáng)中學(xué)10月月考,16)頂點(diǎn)為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形,A是底面圓周上的點(diǎn),B是底面圓內(nèi)的點(diǎn),O為底面圓圓心,AB⊥OB,垂足為B,OH⊥PB,垂足為H,且PA=4,C是PA的中點(diǎn),則當(dāng)三棱錐O-HPC的體積最大時(shí),OB的長(zhǎng)為.

答案2考法二與球有關(guān)的切、接問(wèn)題3.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,11,5分)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是()A.4πB.9π2答案B4.(2024皖中入學(xué)摸底,10)將半徑為3,圓心角為2π3的扇形圍成一個(gè)圓錐(接縫處A.2π3B.3π答案A5.(2024四川南充模擬,9)已知A,B,C,D是同一球面上的四個(gè)點(diǎn),其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6,則該球的體積為()A.323πB.48πC.24πD.16π答案A6.(2024江蘇,6,5分)如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則V1V2答案37.(2024湖南師大附中模擬,16)在體積為43的三棱錐S-ABC中,AB=BC=2,∠ABC=90°,SA=SC,且平面SAC⊥平面ABC,若該三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的體積是答案928.(2024江西南昌二中1月模擬,16)在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,SA=3,SB=23,二面角S-AB-C的大小為120°,則此三棱錐的外接球的表面積為.

答案21π應(yīng)用篇知行合一【應(yīng)用集訓(xùn)】1.(2024課標(biāo)Ⅰ,6,5分)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B2.如圖,有一個(gè)水平放置的透亮無(wú)蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個(gè)球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,假如不計(jì)容器的厚度,則球的體積為()A.500π3cm3B.866π3C.1372π3cm3D.答案A3.(2024課標(biāo)Ⅲ,16,5分)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長(zhǎng)方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn),AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

答案118.8【五年高考】考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1.(2024課標(biāo)Ⅱ,16,5分)中國(guó)有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形態(tài)多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體,但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形態(tài)是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體,它的全部頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上,且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有個(gè)面,其棱長(zhǎng)為.(本題第一空2分,其次空3分)

圖1圖2答案26;2-1考點(diǎn)二空間幾何體的體積2.(2024課標(biāo)Ⅰ,12,5分)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為()A.86πB.46πC.26πD.6π答案D3.(2024山東,7,5分)在梯形ABCD中,∠ABC=π2A.2π3B.4π3C.答案C4.(2024江蘇,9,5分)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120,E為CC1的中點(diǎn),則三棱錐E-BCD的體積是.

答案105.(2024天津,11,5分)已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)均為5.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn),另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心,則該圓柱的體積為.

答案π6.(2024天津,11,5分)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,除面ABCD外,該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E,F,G,H,M(如圖),則四棱錐M-EFGH的體積為.

答案17.(2024江蘇,10,5分)如圖所示,正方體的棱長(zhǎng)為2,以其全部面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為.

答案48.(2024天津,10,5分)已知一個(gè)正方體的全部頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,若這個(gè)正方體的表面積為18,則這個(gè)球的體積為.

答案929.(2024江蘇,9,5分)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè),則新的底面半徑為.

答案710.(2024江蘇,17,14分)現(xiàn)須要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù),它由上下兩部分組成,上部的形態(tài)是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部的形態(tài)是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少?(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m,則當(dāng)PO1為多少時(shí),倉(cāng)庫(kù)的容積最大?解析(1)由PO1=2m知O1O=4PO1=8m.因?yàn)锳1B1=AB=6m,所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐=13·A1B12·PO1=13×6正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).所以倉(cāng)庫(kù)的容積V=V錐+V柱=24+288=312(m3).(2)設(shè)A1B1=a(m),PO1=h(m),則0<h<6,O1O=4h(m).連接O1B1.因?yàn)樵赗t△PO1B1中,O1B12+PO12=PB12,所以2a于是倉(cāng)庫(kù)的容積V=V柱+V錐=a2·4h+13a2·h=133a2h=263(36h-h3從而V'=263(36-3h2)=26(12-h2).令V'=0,得h=23或h=-23當(dāng)0<h<23時(shí),V'>0,V是單調(diào)增函數(shù);當(dāng)23<h<6時(shí),V'<0,V是單調(diào)減函數(shù).故h=23時(shí),V取得極大值,也是最大值.因此,當(dāng)PO1=23m時(shí),倉(cāng)庫(kù)的容積最大.方法指導(dǎo)(1)依據(jù)已知條件求出相關(guān)數(shù)據(jù),進(jìn)而利用相應(yīng)體積公式求解.(2)選擇中間關(guān)聯(lián)變量PO1為主變量把相關(guān)邊長(zhǎng)與高用主變量表示出來(lái),再把容積表示成主變量的函數(shù),進(jìn)而轉(zhuǎn)化成探討函數(shù)最值的問(wèn)題.評(píng)析本題主要考查函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、棱柱和棱錐的體積等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn),考查空間想象實(shí)力和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)力.考點(diǎn)三空間幾何體的表面積11.(2024課標(biāo)Ⅱ,9,5分)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),∠AOB=90°,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()A.36πB.64πC.144πD.256π答案C12.(2024課標(biāo)Ⅱ,16,5分)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值為78,SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為515,則該圓錐的側(cè)面積為答案402π【三年模擬】一、單項(xiàng)選擇題(每題5分,共50分)1.(2025屆山東夏季高考模擬,5)已知三棱錐S-ABC中,∠SAB=∠ABC=π2,SB=4,SC=213A.4B.6C.43D.63答案C2.(2025屆九師聯(lián)盟9月質(zhì)量檢測(cè),3)埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,世界七大奇跡之一,其中較為聞名的是胡夫金字塔,令人驚訝的并不僅僅是胡夫金字塔的雄壯身姿,還有發(fā)生在胡夫金字塔上的數(shù)字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周長(zhǎng)假如除以其高度的兩倍,得到的商為3.14159,這就是圓周率較為精確的近似值.金字塔底部為正方形,整個(gè)塔形為正四棱錐,經(jīng)古代能工巧匠建設(shè)完成后,底座邊長(zhǎng)大約為230米.因年久風(fēng)化,頂端剝落10米,則胡夫金字塔現(xiàn)高大約為()A.128.4米B.132.4米C.136.4米D.140.4米答案C3.(2025屆廣東廣州中學(xué)10月月考,7)已知圓柱的高為2,底面半徑為3,若該圓柱的兩個(gè)底面的圓周都在同一個(gè)球面上,則這個(gè)球的表面積等于()A.4πB.163πC.32答案D4.(2025屆山東壽光現(xiàn)代中學(xué)10月月考,10)已知矩形ABCD的面積為8,當(dāng)矩形周長(zhǎng)最小時(shí),沿對(duì)角線AC把△ACD折起,則三棱錐D-ABC的外接球的表面積等于()A.4πB.8πC.16πD.24π答案C5.(2025屆遼寧瓦房店高級(jí)中學(xué)10月月考,11)一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為2,圓錐的母線與底面的夾角為π4A.8πB.4(2-2)2πC.4(2+2)2πD.32(答案B6.(2024寧夏銀川質(zhì)量檢測(cè),11)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形,且兩直角邊長(zhǎng)分別為1和3,此三棱柱的高為23,則該三棱柱的外接球的體積為()A.32π3B.16π3C.8π答案A7.(2024廣東惠州二模,10)已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=2,則三棱錐S-ABC的外接球的球心到平面ABC的距離是()A.33B.1C.3D.答案A8.(2025屆遼寧阜新高級(jí)中學(xué)10月月考,11)在三棱錐S-ABC中,AB=10,∠ASC=∠BSC=π4,AC=AS,BC=BS,若該三棱錐的體積為15A.πB.43πC.5πD.π答案B9.(2025屆河北衡水中學(xué)模擬,11)在菱形ABCD中,∠DAB=60°,將這個(gè)菱形沿對(duì)角線BD折起,使得平面DAB⊥平面BDC,若此時(shí)三棱錐A-BCD的外接球的表面積為5π,則AB的長(zhǎng)為()A.52B.3C.5答案B10.(2025屆湖南長(zhǎng)沙一中第一次月考,12)已知三棱錐D-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,若AB=AC=BC=DB=DC=1,當(dāng)三棱錐D-ABC的體積取到最大值時(shí),球O的表面積為()A.5π3B.2πC.5πD.答案A二、多項(xiàng)選擇題(每題5分,共15分)11.(改編題)已知三棱錐A-BCD中,BC⊥CD,AB=AD=2,BC=1,CD=3,則()A.三棱錐的外接球的體積為4π3B.三棱錐的外接球的體積為C.三棱錐的體積的最大值為36D.三棱錐的體積的最大值為答案AC12.(改編題)如圖,矩形ABCD中,M為BC的中點(diǎn),將△ABM沿直線AM翻折成△AB1M,連接B1D,N為B1D的中點(diǎn),則在翻折過(guò)程中,下列說(shuō)法中正確的是()A.存在某個(gè)位置,使得CN⊥AB1B.CN的長(zhǎng)是定值C.若AB=BM,則AM⊥B1DD.若AB=BM=1