第五章三角函數(shù)

5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的含義.

2.掌握y=sinx(xGR),y=cosx(xGR)的周期性、奇偶性、單調(diào)性和最值.

3.會求函數(shù)y=4sin(5+p)及y=Acos(cox+9)的周期，單調(diào)區(qū)間及最值.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：y=sinx(x￡R),y=cosx(x￡R)的周期性、奇偶性、單調(diào)性和最值.

難點(diǎn)：會求函數(shù)產(chǎn)Asin(cor+9)及產(chǎn)Acos(①x+e)的周期，單調(diào)區(qū)間及最值.

知識梳理

1.函數(shù)的周期性

⑴對于函數(shù)火X),如果存在一個，使得當(dāng)X取定義域內(nèi)的________值時，都有

,那么函數(shù)人X)就叫做周期函數(shù)，叫做這個函數(shù)的周期.

(2)如果在周期函數(shù)_/U)的所有周期中存在一個,那么這個最小正數(shù)就叫做大x)的最小正

周期.

2.兩種特殊的周期函數(shù)

(1)正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2祈伏GZ且后0)都是它的周期，最小正周期是—.

(2)余弦函數(shù)是周期函數(shù)，2E/6Z且以0)都是它的周期，最小正周期是—.

2.正、余弦函數(shù)的奇偶性

1.對于y=sinx,x￡R恒有sin(—x)=—sinx,所以正弦函數(shù)y=sinx是__函數(shù),正弦曲線關(guān)于

對稱.

2.對于y=cosx,xGR恒有cos(—x)=cosx,所以余弦函數(shù)y=cosx是__函數(shù)，余弦曲線關(guān)于

________對稱.

3.正、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值

圖象口

-1n0

不-1

同

奇偶

處____函數(shù)一函數(shù)

性

冏在[2E-2?+^(Z￡Z)上是在[2E一兀，2E]/ez)上是_______；在

性\2kit,2E+n](A：eZ)上________

:在2攵兀+5，2E+%(攵￡Z)

上是________

對稱軸x=E+界￡Z)x=kit(kGZ)

不

(E+10)(*Z)

同對稱中心(E,0)(*ez)

處X=____________時，'max=1；x=_____時’>max=1；XX

最值

X=____________時,ymin=-1=______時，ymin=-1

學(xué)習(xí)過程

提出問題

類比以往對函數(shù)性質(zhì)的研究，你認(rèn)為應(yīng)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的哪些性質(zhì)？觀察它們的圖象，

你能發(fā)現(xiàn)它們具有哪些性質(zhì)？

問題探究

根據(jù)研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，我們要研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最大(小)值等.另

外，三角函數(shù)是刻畫“周而復(fù)始”現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，與此對應(yīng)的性質(zhì)是特別而重要的.

觀察正弦函數(shù)的圖象，可以發(fā)現(xiàn)，在圖象上，橫坐標(biāo)每隔2兀個單位長度，就會出現(xiàn)縱坐標(biāo)相同

的點(diǎn)，這就是正弦函數(shù)值具有的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律.實(shí)際上，這一點(diǎn)既可從定義中看出，也能

從誘導(dǎo)公式sin(x+2kn)=sinx(kGZ)中得到反映，即自變量X的值增加2n整數(shù)倍時所對應(yīng)的函

數(shù)值，與x所對應(yīng)的函數(shù)值相等.數(shù)學(xué)上，用周期性這個概念來定量地刻畫這種“周而復(fù)始”的變化規(guī)

律.

1.周期性

一般地，對于函數(shù)/(x)，如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)工取定義域內(nèi)的每一個值時，都有

/0+7)=/(為那么函數(shù)/(%)就叫做周期函數(shù)(periodicfunction).非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周

期(period).

周期函數(shù)的周期不止一個.例如，2it,4兀，6兀，…以及一2兀，一4兀，-6兀，…都是正弦

函數(shù)的周期.事實(shí)上vkez,且常數(shù)獨(dú)兀都是它的周期.

如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小

正周期(minimalpositiveperiod).

根據(jù)上述定義，我們有：正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kir(kdZ且1#0)都是它的周期，最小正

周期是27t.類似地，余弦函數(shù)也是周期函數(shù)，2kn(kdZ且導(dǎo)0)都是它的周期，最小正周期是

27t.

典例解析

例2.求下列三角函數(shù)的周期:

⑴y=3sior,xGR；(2)y=coslx,xGR：(3)y=2sin(打-

2.奇偶性

觀察正弦曲線和余弦曲線，可以看到正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)轄對稱，余弦曲線關(guān)于x軸對

稱.這個事實(shí)，也可由誘導(dǎo)公式sin(-x)=-sinx；cos(-x)=cosx得到.所以正弦函數(shù)是奇函

數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù).

知道一個函數(shù)具有周期性和奇偶性，對研究它的圖象與性質(zhì)有什么幫助？

做一做

1.(1)函數(shù)Xx)=，5sin2x的奇偶性為()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)

⑵判斷函數(shù)?=sin?x+用的奇偶性.

3.單調(diào)性

由于正弦函數(shù)是周期函數(shù)，我們可以先在它的一個周期的區(qū)間(如［彳，萼］)上討論它的

單調(diào)性，再利用它的周期性，將單調(diào)性擴(kuò)展到整個定義域.

觀察圖5.4-8,可以看到：當(dāng)x由后增大到三時，曲線逐漸上升，sinx的值由-1增大到1；

當(dāng)》由學(xué)曾大到當(dāng)時,曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到-1.

表5.42

7T37r

JC70/7/兀/T

sinX/0/10-1

sinx的值的變化情況如表5.4.2所示：

就是說，左弦函數(shù)丁=sinx在區(qū)間產(chǎn)，自上單調(diào)遞增，在區(qū)f%,專上單調(diào)遞減，有正弦函

數(shù)的周期性可得:

正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間E1+2kn,1+2kn](kez)上都單調(diào)遞增，其值從-1增大至U1;

在每一個閉區(qū)間碎+2/OT,等+2時(kSZ)上都單調(diào)遞減，其值從1減小到-1.

類似地，觀察余弦函數(shù)在一個周期區(qū)間(如卜兀,初)上函數(shù)值的變化規(guī)律，將看到的

函數(shù)值的變化情況填入表5.4.3

表5.43

7t7T

,r-K/~~20~2兀

cosX

由此可得，余弦函數(shù)y=cosx,xG[-兀,兀],在區(qū)間上單調(diào)遞增，

其值從-1增大到1；上單調(diào)遞增，在區(qū)間

上單調(diào)遞減，其值從1減小到-1.由余弦函數(shù)的周期性可得，

余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間，上都單調(diào)遞增,其值從-1增大到1；

在每一個閉區(qū)間,上都單調(diào)遞減,其值從1減小到-1.

函數(shù)名遞增區(qū)間遞減區(qū)間

伶+2左肛,+2團(tuán)

[--+2左左,—+2k7r]

y=sinx22

[（2k-V）7r,2k兀1[2人",（24+1）%]（左￡z）

y=cosx

4.最大值與最小值

從上述對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性的討論中容易得到，正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x=

時，取得最大值1，當(dāng)且僅當(dāng)x=時，取得最小值一1:

余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x=時，取得最大值1,

當(dāng)且僅當(dāng)%=時，取得最小值一1.

例3.下列函數(shù)有最大值、最小值嗎？如果有，請寫出取最大值、最小值時自變量x的集合，

并求出最大值、最小值.

(1)y=cosx+1,xGR；

(2)y=-3sin2x,%GR.

例4.不通過求值，指出下列各式的大小:

（1）sin（一勺；sin（-布

(2)cos(--);cos(-—)

例5.求函數(shù)y=si兀G冗+g）,X￡［—2兀，2兀］的單調(diào)遞增區(qū)間.

達(dá)標(biāo)槍測

1.判斷（正確的打y“，錯誤的打"X”）

⑴若疝（60。+60。）=5皿60。，則60。為正弦函數(shù)），=sinx的一個周期.（）

（2）若7是函數(shù)段）的周期，貝以7,AGN*也是函數(shù)40的周期.（）

（3）函數(shù)y=sinx,xd（一兀，兀］是奇函數(shù).（）

2.函數(shù)/(x)=5sin?一￡)

,xGR的最小正周期為（)

4.比較下列各組數(shù)的大小:

(1)cos150°與cos170°；(2)sin5與sin

課堂小結(jié)

1.正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性

2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

（1）.直接利用相關(guān)性質(zhì)；（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；（3）利用圖象尋找單調(diào)區(qū)間

參考答案:

一、知識梳理

I最小的正數(shù);2兀;2兀2奇;原點(diǎn);偶;y軸

3奇；偶；增函數(shù)；減函數(shù)；增函數(shù)；減函數(shù)；2A7t+*AGZ）；2E—］（&eZ）；2E+JT；2kn

二、學(xué)習(xí)過程

例2.分析：通常可以利用三角函數(shù)的周期性，通過代數(shù)變形，得出等式〃%+7）=/（切而求出相

應(yīng)的周期.對于（2）,應(yīng)從余弦函數(shù)的周期性出發(fā)，通過代數(shù)變形得出cos2（x+T）=cos2x,xG

R；對于（3）,應(yīng)從正弦函數(shù)的周期性出發(fā)，通過代數(shù)變形得出sinC（x+7）-￡）=singx-9，x

CR；

【解】⑴"X?R＞有3sin（x+?t）=3sinx,由周期函數(shù)的定義知，y=3sinx的周期為27t.

⑵令z=2x,由xiR,得R,且〉二cosz的周期為2兀即

因?yàn)閏os(z+2兀)=cosz,于是cos(2x+2兀)=cos2丫，所以cos2(/+7i)=cos2x,xlR

由周期函數(shù)的定義知，y=cos2x的周期為兀.

令z=—J,由％6R得ZER且y=2sinz的周期為即周期為2兀.

26

即，2si/i(z+2兀)=2sinz,于是，2si?i(二%—巳+2兀)=2si九(-X--?

\26/26

所以，2sin(-(x4-4n)--)=2sin(-x--)

\26/26

由周期函數(shù)的定義知，原函數(shù)的周期為4兀

回顧例2的解答過程，你能發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關(guān)嗎？

做一做：【答案】A

【解析】(1)??7U)的定義域是R,且/—1)=啦sin2(-x)=-V2sin2x=~/U),

工函數(shù)為奇函數(shù).

⑵■?D=sinQ+為=-cos?\/(—x)=—cosC)=-cos

函數(shù)yU)=singx+多為偶函數(shù).

例3.解：容易知道，這兩個函數(shù)都有最大值、最小值.

(1)使函數(shù)y-cosx4-1,x￡R取得最大值的被的集合，

就是使函數(shù)y=cosx,xeR,

取得最大值的％的集合{xIx=2kn,kez)；

使函數(shù)y=cos%+l,x￡R,取得最小值的被的集合，

就是使函數(shù)y=cosx,xER取得最小值的x的集合

{x\x=(2k+1)兀,kWZ}.

函數(shù)y=cosx+1,%eR的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.

⑵解：令z=2%,使函數(shù))y=-3sin2x,z￡R取得最大值的z的集合，

就是使y=sinz,zCR取得最小值的z的集合{zIz=-]+21＜兀，kez)

由z=2x=-]+2k7T,得％=-g+k7i,所以，使函數(shù)y=-3sin2%,工￡R

取得最大值的工的集合是{xI%=?g+k兀,kez}.

同理，使函數(shù)y=-3sin2x,%WR取得最小值的工的集合是

{xIx=2+k花，k￡Z).

4

函數(shù)y=-3sin2x,xGR的最大值是3,最小值是一3.

例4.分析：可利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個同名三角函數(shù)值的大小.為此，先用誘導(dǎo)公式

將已知角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，然后再比較大小.

解：（1）因?yàn)?=<^<-^<0,

L1Ulo

正弦函^y=sinx在房,自上是增函數(shù)，

所以?.?sE（一盤）<5加（個）

（2）解：cos（一等）=cos（等）=cos拳cos（一牛）=cos（率）=cos^

因?yàn)椤?lt;：（當(dāng)<兀，且余弦函數(shù)y=cosx在［0,n］上單調(diào)遞減，

所以cos蓑〉cos：；砌cos（一子）>cos（一等）

例5.分析：令2=號*+々當(dāng)自變量X的值增大時，Z的值也隨之增大，因此若函數(shù)y=sinz

在某個區(qū)間上單