第22章一元二次方程

22.3實(shí)踐與探索

第2課時(shí)利用一元二次方程解決平均變化率、利潤(rùn)問(wèn)題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能列出關(guān)于平均變化率、利潤(rùn)問(wèn)題的一元二次方程；（重點(diǎn)）2.體會(huì)一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用；（重點(diǎn)、難點(diǎn)）3.經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)．回顧與思考問(wèn)題1列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟是哪些？應(yīng)該注意哪些？問(wèn)題2

生活中還有哪類(lèi)問(wèn)題可以用一元二次方程解決？某藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由56元降為31.5元。已知兩次降價(jià)的百分率相同，求每次降價(jià)的百分率。分析

若每次降價(jià)的百分率為，則第一次降價(jià)后的零售價(jià)為原來(lái)的(1－x)倍，即56(1－x)元，第二次降價(jià)后的零售價(jià)為56(1－x)元的(1－x)倍。解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意，得56(1－x)2=31.5解這個(gè)方程，得x1=0.25，x2=1.75因?yàn)榻祪r(jià)的百分率不可能大于1，所以x2

=1.75不符合題意。經(jīng)檢驗(yàn)，x

=0.25=25%符合本題要求。答：每次降價(jià)的百分率為25%.典例精析某工廠計(jì)劃在兩年后實(shí)現(xiàn)產(chǎn)值翻一番，那么這兩年中產(chǎn)值的平均年增長(zhǎng)率應(yīng)為多少?分析翻一番，即為原產(chǎn)值的2倍.若設(shè)原產(chǎn)值為1個(gè)單位，那么兩年后的產(chǎn)值就是2個(gè)單位.

探索如果調(diào)整計(jì)劃，兩年后的產(chǎn)值為原產(chǎn)值的1.5倍、1.2倍……那么兩年中的平均年增長(zhǎng)率分別應(yīng)調(diào)整為多少？

又如果第二年的增長(zhǎng)率為第一年的2倍，那么第一年的增長(zhǎng)率為多少時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)兩年后產(chǎn)值翻一番?

歸納小結(jié)概括一下“變化率問(wèn)題”的基本特征嗎？解決“變化率問(wèn)題”的關(guān)鍵步驟是什么？“變化率問(wèn)題”的基本特征：平均變化率保持不變；解決“變化率問(wèn)題”的關(guān)鍵步驟：找出變化前的數(shù)量、變化后的數(shù)量，找出相應(yīng)的等量關(guān)系．當(dāng)堂練習(xí)1.某花生種植基地原有花生品種每公頃產(chǎn)量為3000千克，出油率為55%。改用新品種之后，每公頃收獲的花生可加工得到花生油2025千克。已知新品種花生的每公頃產(chǎn)量和出油率都比原有品種有所增加，其中出油率增加是每公頃產(chǎn)量增長(zhǎng)率的一半，求兩者的增長(zhǎng)率，(精確到1%)

2.某商店準(zhǔn)備進(jìn)一種季節(jié)性小家電，每臺(tái)進(jìn)價(jià)為40元。經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，銷(xiāo)售定價(jià)為52元時(shí)，可售出180臺(tái)；銷(xiāo)售定價(jià)每增加(或降低)1元，銷(xiāo)售量將減少(或增多)10臺(tái)。商店若希望獲利2000元，則應(yīng)進(jìn)貨多少臺(tái)?銷(xiāo)售定價(jià)為多少?本題如何設(shè)未知數(shù)較適宜?需要列出哪些相關(guān)量的代數(shù)式?所列方程的解是否都符合題意？如何解釋?zhuān)空?qǐng)你為商店估算一下，若要獲得最大利潤(rùn)，則應(yīng)進(jìn)貨多少臺(tái)？銷(xiāo)售定價(jià)為多少?解：(1)本題設(shè)銷(xiāo)售定價(jià)為x元較適宜，需要列出相關(guān)量的代數(shù)式為每臺(tái)的利潤(rùn)：(x－40)元，銷(xiāo)售量：[180+10(52－x)]臺(tái)。(2)所列方程為[180+10(52－x)](x－40)=2000.解得x1=50，x2=60.當(dāng)x=50時(shí)，銷(xiāo)售量為200臺(tái)；當(dāng)x=60時(shí)，銷(xiāo)售量為100臺(tái)。兩個(gè)解都符合題意，即當(dāng)銷(xiāo)售定價(jià)為50元時(shí)，應(yīng)進(jìn)貨200臺(tái)；當(dāng)銷(xiāo)售定價(jià)為60元時(shí)，應(yīng)進(jìn)貨100臺(tái)。(3)設(shè)所獲利潤(rùn)為W元.則W=[180+10(52－x)](x-40)=-10(x2-110x+2800)=

-10(x2-110x+3025)+2250=-10(x－55)2+2250∵(x－55)2≥0，∴-10(x-55)2≤0∴W≤2250∴商店要獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)進(jìn)貨180+10×(52-55)=150(臺(tái))，銷(xiāo)售定價(jià)為55元。3.某市人均居住面積為14.6平方米，計(jì)劃在兩年后達(dá)到18平方米。在預(yù)計(jì)每年住房面積的增長(zhǎng)率時(shí)，還應(yīng)考慮人口的變化因素等。請(qǐng)你把問(wèn)題補(bǔ)充完整，再給出解答。解：本題是一道開(kāi)放性問(wèn)題，可以設(shè)想各種不同情境，變換條件進(jìn)行探索，答案不唯一.如補(bǔ)充條件：該市現(xiàn)有人口10萬(wàn)，預(yù)計(jì)今后兩年每年人口增長(zhǎng)1萬(wàn)，求這兩年每年住房面積的平均增長(zhǎng)率。解答過(guò)程：設(shè)每年住房面積的平均增長(zhǎng)率為x.則可列方程14.6×10×(1+x)2=18×12，整理，得73x2＋146x－35=0.解得x1≈

0.216=21.6%，x2≈-2.216(舍去)答：這兩年每年住房面積的平均增長(zhǎng)率約為21.6%4.商場(chǎng)某種商品的進(jìn)價(jià)為每件100元，當(dāng)售價(jià)定為每件150元時(shí)平均每天可銷(xiāo)售30件．為了盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．設(shè)每件商品降價(jià)

x元(x為整數(shù))．據(jù)此規(guī)律，請(qǐng)回答：(1)商場(chǎng)日銷(xiāo)售量增加____件，每件商品盈利________元(用含

x的代數(shù)式表示)；(2)在上述條件不變、銷(xiāo)售正常情況下，每件商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2100元？2x(50－x)解：(2)設(shè)每件商品降價(jià)

x元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2100元．根據(jù)題意，得(50－x)(30＋2x)＝2100，化簡(jiǎn)，得

x2－35x＋300＝0，解得

x1＝15，x2＝20.答：在上述條件不變、銷(xiāo)售正常情況下，每件商品降價(jià)15元或20元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2100元．5.地震牽動(dòng)著全國(guó)人民的心，某單位開(kāi)展了“一方有難，八方支援”賑災(zāi)捐款活動(dòng)．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．(1)如果第二天、第三天收到捐款的增長(zhǎng)率相同，求捐款的增長(zhǎng)率；(2)按照(1)中收到捐款的增長(zhǎng)速度，第四天該單位能收到多少捐款？解：(1)設(shè)捐款增長(zhǎng)率為

x，則依題意列方程10000(1＋x)2＝12100，解方程，得

x1＝－2.1(不合題意，舍去)，x2＝0.1＝10％．答：捐款的增長(zhǎng)率為10％；(2)12100×(1＋10％)＝13310(元)．答：按照(1)中收到捐款的增長(zhǎng)速度，第四天該單位能收到捐款13310元．課堂小結(jié)1.用一元二次方程解變化率問(wèn)題規(guī)律：變化前數(shù)量×(1±平均變化率)變化次數(shù)＝變化后數(shù)量．注意：有關(guān)變化率的問(wèn)題，都可以根據(jù)以上規(guī)律列方程求解．在實(shí)際問(wèn)題的求解過(guò)程中，要注意方程